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专题四 一次方程（组）
讲解一：一元一次方程及其解法
一、等式的性质
类别 具体内容 表示
性质1 等式两边加（减）同一个数（式子），结果仍相等 如果，那么
性质2 等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数，结果仍相等 如果，那么或
性质3 等式两边同时乘方（开方），结果仍相等 如果，那么或
二、一元一次方程的定义：只含有一个未知数（一元），未知数的次数都是1（一次）的整式方程叫做一元一次方程.
1.方程：含有未知数的等式
2.未知数的系数不为0.
三、一元一次方程的解法
使方程中等号两边相等的未知数的值叫做方程的解，只含有一个未知数（一元）的方程的解又叫做它的根.解一元一次方程的一般步骤如下：
变形名称 具体做法 变形依据 注意事项
去分母 在方程两边同乘各分母的最小公倍数.当分母是小数时，要利用分数的基本性质把小数化为整数 等式的性质2 （1）不要漏乘不含分母的项 （2）分子是一个多项式，去分母后加上括号
去括号 一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号 分配律，去括号法则 不要漏乘括号里面的项，不要弄错符号
移项 把含有未知数的项和常数项分别移至等号的两侧 移项法则（等式的性质1） 移项要变号，不移项不要变号
合并同类项 把方程化为（其中）的形式 合并同类项法则 （1）系数相加 （2）字母及指数不变
系数化为1 在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为 等式的性质2 （1）除数不为0 （2）不要把分子分母颠倒
1.（2022.青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
【答案】A
【解析】A.若，则，故A符合题意；
B.若，则，故B不符合题意；
C.若，则，故C不符合题意；
D.，则，故D不符合题意；故选A.
2.（2022.广西百色）方程的解是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：；移项得，；合并同类项得，；故选：C.
3.（2022.贵州黔西南州）小明解方程的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得①
去括号，得②
移项，得③
合并同类项，得④
以上解题步骤中，开始出错的一步是( )
A.① B.② C.③ D.④
【答案】A
【解析】解：方程两边同乘6，得①
开始出错的一步是①，故选A.
4.（2022.四川广元）解方程：.
【答案】
【解析】，
，
，
，
，
.
讲解二：二元一次方程（组）及其解法
一、二元一次方程（组）的相关概念
类别 定义
二元一次方程 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程
二元一次方程组 共含有两个未知数的两个一次方程组成的方程组
二元一次方程组的解 二元一次方程组中两个方程的公共解
三元一次方程 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程
三元一次方程组 共含有三个未知数的三个一次方程组成的方程组
1.在二（三）元一次方程中，未知数的系数都不等为0.
2.含有未知数的项的次数都是1，不是未知数的指数都是1，如不是二元一次方程.
3.在二（三）元一次方程组中，一共含有两（三）个未知数，并非每个方程都必须含有两（三）个未知数.
二、二（三）元一次方程组的解法
解二（三）元一次方程组的基本思路是消元.
类别 具体内容
代入消元法 将方程组中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数
加减消元法 ①当方程组中同一个未知数的系数互为相反数（相同）时，把两个方程相加（相减）消去其中一个未知数； ②当系数既不互为相反数也不相同时，需先将两个方程适当变形（将一组未知数的系数的绝对值化为相同）后，再通过相加（相减）消去其中一个未知数
1.书写方程组的解时，通常用“{”把各个未知数的值合写在一起.
2.检验一组数是否为方程组的解时，只需将这组数同时代入方程组即可.
5.（2022.山东聊城）关于x，y的方程组的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】把两个方程相减，可得，
根据题意得：，
解得：.
所以k的取值范围是.
故选A.
6.（2022.辽宁沈阳）二元一次方程组的解是______.
【答案】
【解析】
把②代入①，得.解得.
把代入②，得.
原方程组的解为故答案为
7.（2022.上海）解方程组的结果为_____.
【答案】，
【解析】，且，
，
可得方程组，
解得：.
故答案为：.
8.（2022.湖北荆州）已知方程组的解满足，求k的取值范围.
【答案】
【解析】令①+②得，，
解得：，
将代入①中得，，
解得：，
将，代入得，，
解得：.
讲解三：利用一次方程（组）解决生活实际问题
一、配套问题
1.在配套问题中，配套的物品之间都具有一定的数量关系，这个数量关系可以作为列方程的依据.
2.生产配套问题中的基本相等关系：加工（或生产）的各种零件、配件的总数量比等于一套组合件中各种零件、配件的数量比.
3.调配问题中的基本相等关系：指从甲处调一些人（或物）到乙处，使之符合一定的数量关系，或从第三方调入一些人（或物）到甲、乙两处，使之符合一定的数量关系，其基本相等关系为：甲人（或物）数+乙人（或物）数=总人（或物）数.
【注意】
生产配套问题的关键是理解配套方式，若配套的方式以比例形式出现，则生产总量的比例等于一套的比例；若配套的方式给出数量，如件A产品与件B产品配套，则相等关系是“A产品的件数=B产品的件数”
二、工程问题
1.基本关系式：，，.
2.找相等关系的方法与形成问题相类似，一般有如下规律：在工作量、工作效率、工作时间这三个量中，如果一个量已知，从另一个设元，那么就从第三个量找相等关系列方程.
【注意】
1.当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，统称把总工作量看做整体1.
2.常见的相等关系为：总工作量=各部分工作量之和
三、销售问题
1.在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常遇到的几个量：进价、标价、售价、折扣、利润、利润率.
2.相关的相等关系
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【注意】
当售价相同，盈利率与亏损率也相同时，其结果一定是亏损，因为盈利商品的进价一定小于售价，亏损商品的进价一定大于售价，而盈利的钱数=盈利商品的进价×盈利率，亏损的钱数=亏损商品的进价×亏损率，故亏损的钱数大于盈利的钱数.
四、积分问题
在比赛积分问题中，基本相等关系有：参赛场数=胜场数+负场数+平均数
比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分
【注意】
（1）比赛中的积分与胜负场数有关，同时也与比赛积分规则有关，需先弄清“胜一场积几分，平一场积几分，负一场积几分”.
（2）在积分规则中，一般规律为：胜场积分>平场积分>负场积分，据此可粗略判断解题的结果是否正确.
（3）所谓比赛中的积分问题是指一种题目类型，其问题情境不一定是比赛.
五、列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
（1）审：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间的等量关系
（2）设：恰当地设未知数
（3）列：依据题中的等量关系列方程组
（4）解：解方程组，求出未知数的值
（5）验：检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义
（6）答：写所答
【注意】
找等量关系的方法
（1）抓住题目中的关键词，常见的关键词有：“比”“是”“等于”等；
（2）根据常见的数量关系，如体积公式、面积公式等，找等量关系；
（3）挖掘题目中的隐含条件，如飞机沿同一航线航行，顺风航行与逆风航行的路程相等；
（4）借助列表格、画线段示意图等方法找等量关系
9.（2022.贵州铜仁）为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分.小红一共得70分，则小红答对的个数为( )
A.14 B.15 C.16 D.17
【答案】B
【解析】解：设小红答对的个数为x个，由题意得，解得，故选B.
10.（2022.甘肃金昌）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海.现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过x天相遇，根据题意可列方程为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】把南海到北海的路程看作单位“1”，野鸭的速度是，大雁的速度为，根据相遇时间=总路程÷速度和，即可列方程.设经过x天相遇，根据题意得.故选A
11.（2022.河北）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图.按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出.然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置.如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置.已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，则正确的是( )
A.依题意 B.依题意
C.该象的重量是5040斤 D.每块条形石的重量是260斤
【答案】B
【解析】根据题意，得，故选项B正确，选项A错误；解上述方程，得，即每块条形石的重量是240斤，大象的重量为（斤），故选项C,D错误.
12.（2022.浙江衢州）某班环保小组收集废旧电池，数据统计如下表.问1节5号电池和1节7号电池的质量分别是多少？设1节5号电池的质量为x克，1节7号电池的质量为y克，列方程组，由消元法可得的值为( )
5号电池(节) 7号电池(节) 总质量（克）
第一天 2 2 72
第二天 3 2 96
A.12 B.16 C.24 D.26.
【答案】C
【解析】由题意得：
，
解得，
故选：C.
13.（2022.安徽）某地区2020年进出口总额为520亿元，2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口额增加了25%，出口额增加了30%.
注：进出口总额=进口额+出口额.
（1）设2020年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式填表：
年份 进口额/亿元 出口额/亿元 进出口总额/亿元
2020 x y 520
2021 1.25x 1.3y
（2）已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，求2021年进口额和出口额分别是多少亿元.
【答案】（1）
（2）进口额400亿元，出口额是260亿元
【解析】（1）解：
年份 进口额/亿元 出口额/亿元 进出口总额/亿元
2020 x y 520
2021 1.25x 1.3y
故答案为：；
（2）由题意得
解得
，.
答：2021年进口额为400亿元，出口额为260亿元.
14.（2022.辽宁大连）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家喜爱.已知购买1个冰墩墩毛绒玩具和2个雪容融毛绒玩具用了400元，购买3个冰墩墩毛绒玩具和4个雪容融毛绒玩具用了1000元.这两种毛绒玩具的单价各是多少元？
【答案】冰墩墩毛绒玩具和雪容融毛绒玩具的单价分别为每个200元，100元.
【解析】设冰墩墩毛绒玩具的单价为x元，雪容融毛绒玩具的单价为y元，
依题意得：，
解得：，
答：冰墩墩毛绒玩具的单价为200元，雪容融毛绒玩具的单价为100元.
2

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