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专题01 等差数列与等比数列
一、考情分析
二、考点梳理
【等差数列】
1、等差数列的判断方法：定义法或
2、等差数列的通项：或。
①当时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；
3、等差数列的前和：，。
①前和是关于的二次函数且常数项为0.
4、等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。
①当时,则有，特别地，当时，则有.
5、若是等差数列 ， ，…也成等差数列.
【等比数列】
1.等比数列的定义--------（证明或判断等比数列），
2.等比数列的通项公式：或。
3．等比数列的前和：
①当时，；②当时，。
4、等比中项：
⑴若成等比数列，那么A叫做与的等比中项，
⑵当时，则有。
5、若是等比数列 ， ，…也成等比数列.
三、题型突破
重难点题型突破1 等差数列与等比数列基本量的计算
例1．（1）、（2022·江苏徐州·高二期末）设等比数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
（2）、（2022·福建福州·高二期末）（多选题）已知等差数列的公差为d，前n项和为，．则（ ）
A． B．
C． D．取得最大值时，
【变式训练1-1】、（2022·河南驻马店·高三期末（理））已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前项和为，则当取得最小值时，的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式训练1-2】、（2021·云南·模拟预测（文））已知为等差数列，为其前n项和．若，则______．
重难点题型突破2 等差中项与等比中项的应用
例2．（1）、（2022·广东潮阳·高二期末）等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．5 B．10 C．4 D．
（2）．（2022·河南焦作·一模（文））设和都是等差数列，前项和分别为和，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】、（2022·广东·红岭中学高二期末）在等差数列中，其前项和为.若，是方程的两个根，那么的值为（ ）
A．44 B． C．66 D．
重难点题型突破3 求数列的前n项和
例3．（1）、（2022·山东泰安·高三期末）设等差数列的前项和为，若，则___________.
（2）．（2022·安徽·合肥市第七中学高二期末）已知数列的前n项和，则其通项公式______．
【变式训练3-1】、（2021·天津二中高三阶段练习）等差数列中，，，若数列的前n项和为，则___________.
【变式训练3-2】、（2022·江苏徐州·高二期末）（多选题）已知数列的前项和，则（ ）
A．是等差数列 B．是等比数列
C． D．的前20项和为320
重难点题型突破4 等差等比的综合应用
例4．（福建省三明市普通高中2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学试题）已知等差数列}的公差为整数，为其前n项和，，．
(1)求{}的通项公式：
(2)设，数列的前n项和为，求．
例5．（2022·广西北海·高二期末）在等差数列中，
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和.
例6．（2022·山西运城·高三期末（理））已知数列的前项和，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
四、课堂训练（30分钟）
1．（2022·山西晋中·高二期末）在等差数列中，，且构成等比数列，则公差等于（ ）
A．0 B．3 C． D．0或3
2．（2022·吉林·四平市第一高级中学高二期末）已知等比数列的前3项和为3，，则（ ）
A． B．4 C． D．1
3．（2022·安徽·合肥市第十一中学高二期末）设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·重庆·高二期末）（多选题）若数列满足的前项和为，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·安徽·六安一中高二期末）（多选题）已知等比数列的前n项和为，且是与的等差中项，数列满足，数列的前n项和为，则下列命题正确的是（ ）
A．数列的通项公式为 B．
C． D．的取值范围是
6．（2021·全国全国·模拟预测）设是等差数列的前项和，，，则的最小值为___________.
7．（2021·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）已知数列中，，前项和，则的通项公式为___________.
8．（2021·福建·莆田二中高三期末）已知两个等差数列和的前n项和分别为，，且，则_________.
9．（2021·吉林·辉南县第一中学高二阶段练习）已知等差数列中，，则______．
10．（2022·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（理））已知数列的前n项和．
(1)求的通项公式；
(2)若数列的前n项和，求数列的前n项和．专题01 等差数列与等比数列
一、考情分析
二、考点梳理
【等差数列】
1、等差数列的判断方法：定义法或
2、等差数列的通项：或。
①当时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；
3、等差数列的前和：，。
①前和是关于的二次函数且常数项为0.
4、等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。
①当时,则有，特别地，当时，则有.
5、若是等差数列 ， ，…也成等差数列.
【等比数列】
1.等比数列的定义--------（证明或判断等比数列），
2.等比数列的通项公式：或。
3．等比数列的前和：
①当时，；②当时，。
4、等比中项：
⑴若成等比数列，那么A叫做与的等比中项，
⑵当时，则有。
5、若是等比数列 ， ，…也成等比数列.
三、题型突破
重难点题型突破1 等差数列与等比数列基本量的计算
例1．（1）、（2022·江苏徐州·高二期末）设等比数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给定条件求出等比数列公比q的关系，再利用前n项和公式计算得解.
【详解】
设等比数列的的公比为q，由得：，解得，
所以.
故选：C
（2）、（2022·福建福州·高二期末）（多选题）已知等差数列的公差为d，前n项和为，．则（ ）
A． B．
C． D．取得最大值时，
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用基本量代换，求出通项公式，即可验证A、B、C；由通项公式判断出时，，，时，可以得到最大，即可判断选项D.
【详解】
因为，所以，解得：，故选项A、B正确；
所以.
对于C：因为，所以，故C正确；
对于D：因为，所以.
因为时，；时，；所以最大.故D错误.
故选：ABC
【变式训练1-1】、（2022·河南驻马店·高三期末（理））已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前项和为，则当取得最小值时，的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得数列的通项公式，再根据数列的正负项求解.
【详解】
因为，，
所以，公差，
所以，
故在数列中，，，，，均小于0，中其余项均大于0．
又因为，，
所以当取得最小值时，的值为6．
故选：C．
【变式训练1-2】、（2021·云南·模拟预测（文））已知为等差数列，为其前n项和．若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得等差数列的公差为，再根据通项公式求解即可.
【详解】
解：设等差数列的公差为，因为
所以，解得，
所以，所以．
故答案为：
重难点题型突破2 等差中项与等比中项的应用
例2．（1）、（2022·广东潮阳·高二期末）等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．5 B．10 C．4 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用等比数列的性质及对数的运算性质求解.
【详解】
由题有，则
=5.
故选：A
（2）．（2022·河南焦作·一模（文））设和都是等差数列，前项和分别为和，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用等差数列的性质分别求得，，再利用等差数列前n项和公式求解.
【详解】
由等差数列的性质可得，
所以；
因为，
所以．
由等差数列的前项和公式可得，，
所以．
故选：A
【变式训练2-1】、（2022·广东·红岭中学高二期末）在等差数列中，其前项和为.若，是方程的两个根，那么的值为（ ）
A．44 B． C．66 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由，是方程的两个根，利用韦达定理可知与的和，根据等差数列的性质可得与的和等于，即可求出的值，然后再利用等差数列的性质可知等于的11倍，把的值代入即可求出的值.
【详解】
因为，是方程的两个根，所以，
而，所以，
则,故选：.
重难点题型突破3 求数列的前n项和
例3．（1）、（2022·山东泰安·高三期末）设等差数列的前项和为，若，则___________.
【答案】13
【解析】
【分析】
由题意结合等差数列前n项和公式得、，再由等差数列的通项公式即可得解.
【详解】
设等差数列的公差为，
，，
，解得，
.
故答案为：13.
（2）．（2022·安徽·合肥市第七中学高二期末）已知数列的前n项和，则其通项公式______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用当时，，可求出此时的通项公式，验证n=1时是否适合，可得答案.
【详解】
当时，，
当时，不适合上式，
∴，
故答案为:.
【变式训练3-1】、（2021·天津二中高三阶段练习）等差数列中，，，若数列的前n项和为，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意列出方程求得，得到，得到，结合裂项求和法，即可求得答案.
【详解】
解：设等差数列的公差为，由，，得，解得，
所以数列的通项公式为，
设，
所以.
故答案为：.
【变式训练3-2】、（2022·江苏徐州·高二期末）（多选题）已知数列的前项和，则（ ）
A．是等差数列 B．是等比数列
C． D．的前20项和为320
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用给定的前n项和求出数列的通项，再逐项分析计算作答.
【详解】
数列的前项和，
则当时，，而满足上式，即，
对于A，因，则是等差数列，A正确；
对于B，因，则是等比数列，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，
数列的前20项和为328，D不正确.
故选：ABC
重难点题型突破4 等差等比的综合应用
例4．（福建省三明市普通高中2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学试题）已知等差数列}的公差为整数，为其前n项和，，．
(1)求{}的通项公式：
(2)设，数列的前n项和为，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意利用等差数列的性质列出方程，即可解得答案；
（2）根据（1）的结果，求出的表达式，利用裂项求和的方法求得答案.
(1)
设等差数列{}的公差为d，
则,
整理可得：，∵d是整数，解得，
从而，
所以数列{}的通项公式为：;
(2)
由（1）知，，
所以
例5．（2022·广西北海·高二期末）在等差数列中，
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据等差数列条件列方程，即可求通项公式；
（2）先由等比数列通项公式求出，解得，分组求和即可.
(1)
设等差数列的公差为，
则，
∴，
由，
∴，
∴数列的通项公式为.
(2)
∵数列是首项为1，公比为2的等比数列，
∴，即，
∴，
∴
.
例6．（2022·山西运城·高三期末（理））已知数列的前项和，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
由，代入计算可得，由代入得到，从而证明数列是等比数列，求出通项公式；（2）由余弦的周期性可知，代入通项公式可得，计算可求出前项和.
(1)
，算得
当时，；得到
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，由，
得到
(2)
由，得到.
.
四、课堂训练（30分钟）
1．（2022·山西晋中·高二期末）在等差数列中，，且构成等比数列，则公差等于（ ）
A．0 B．3 C． D．0或3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据，且构成等比数列，利用“”求解.
【详解】
设等差数列的公差为d，
因为，且构成等比数列，
所以，
解得，
故选：D
2．（2022·吉林·四平市第一高级中学高二期末）已知等比数列的前3项和为3，，则（ ）
A． B．4 C． D．1
【答案】D
【解析】
【分析】
设等比数列的公比为，由已知结合等比数列的通项公式可求得，，代入即可求得结果.
【详解】
设等比数列的公比为，
由，得
即，又
，即
又，，解得
又等比数列的前3项和为3，故，
即，解得
故选：D
3．（2022·安徽·合肥市第十一中学高二期末）设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等比数列前项和的性质，，，，成等比数列求解.
【详解】
解：因为数列为等比数列，则，，成等比数列，
设，则，则，
故，所以，得到，所以.
故选：C.
4．（2022·重庆·高二期末）（多选题）若数列满足的前项和为，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据递推公式可以判断该数列奇数项和偶数项的性质，结合性质逐一判断即可.
【详解】
因为，
所以当时，有，
得：，
因为，所以，
由可知：该数列奇数项是以2为首项，公差为3的等差数列，
该数列偶数项是以1为首项，公差为3的等差数列，
A：因为，所以本选项结论正确；
B：因为，所以本选项结论正确；
C：因为，所以本选项结论不正确；
D：因为，
所以本选项结论正确，
故选：ABD
【点睛】
关键点睛：利用等差数列的性质进行判断是解题的关键.
5．（2022·安徽·六安一中高二期末）（多选题）已知等比数列的前n项和为，且是与的等差中项，数列满足，数列的前n项和为，则下列命题正确的是（ ）
A．数列的通项公式为 B．
C． D．的取值范围是
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由等比数列的基本量法求得公比和，然后可得通项公式，由等比数列前项和公式得，求出后用裂项相消法求得和，由的单调性得其取值范围，判断各选项．
【详解】
，所以，，
又，，2，
所以，A错；，B正确；
，，C正确；
易知是关于递增函数，所以，又，所以，D正确．
故选：BCD．
6．（2021·全国全国·模拟预测）设是等差数列的前项和，，，则的最小值为___________.
【答案】4
【解析】
【分析】
根据和，可求出等差数列的首项和公差，从而求出，结合函数的图象可求的最小值.
【详解】
设等差数列的公差为，由题意可知，解得，.
所以，.
易知函数的零点为和，
且当接近0或时，取得最小值，
又，，，所以当时，取得最小值4.
故答案为：.
7．（2021·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）已知数列中，，前项和，则的通项公式为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由，变形可得则，两式相减变形可得，又由，计算可得，验证即可得答案．
【详解】
根据题意，数列中，，，
①，
②，
①②可得：，
变形可得：，
则；
时，符合；
故答案为：．
8．（2021·福建·莆田二中高三期末）已知两个等差数列和的前n项和分别为，，且，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】
由与的比值可求得等差数列和的首项及公差，进而可求得，，求出其比值即可.
【详解】
解：设等差数列的首项为，公差为，等差数列的首项为，公差为，
则，
故
又已知
不妨令且
解得且
故
故答案为：.
9．（2021·吉林·辉南县第一中学高二阶段练习）已知等差数列中，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据给定条件利用等差数列前n项和公式及等差数列性质计算得解.
【详解】
等差数列中，，则，
所以.
故答案为：
10．（2022·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（理））已知数列的前n项和．
(1)求的通项公式；
(2)若数列的前n项和，求数列的前n项和．
【答案】(1)，；
(2)，.
【解析】
【分析】
（1）根据的关系可得，根据等比数列的定义写出的通项公式，进而可得的通项公式；
（2）利用的关系求的通项公式，结合（1）结论可得，再应用分组求和、错位相消法求的前n项和．
(1)
．①
当时，，可得．
当时，．②
①－②得，则，即是首项为1，公比为2的等比数列，则．
∴数列的通项公式为，．
(2)
∵，
∴当时，，
当时，，又也适合上式，
∴，．
∴，．
令，，
则，又，
∴．

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