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30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数
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课前导入
新课精讲
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课堂小结
课前导入
情景导入
已知一次函数图象上两个点的坐标就可以用待定系数法求出一次函数的解析式，那么要求一个二次函数的解析式需要哪些条件，用什么方法求解呢？这就是我们本节课要学习的内容.
新课精讲
探索新知
1
知识点
用一般式（三点式）确定二次函数的解析式
已知抛物线过三点，求其解析式，可采用一般式；
而用一般式求待定系数要经历以下四步：
第一步：设一般式 y＝ax 2＋bx＋c；
第二步：将三点的坐标分别代入一般式中，组成一
个三元一次方程组；
第三步：解方程组即可求出 a，b，c 的值；
第四步：写出函数解析式.
探索新知
例1 已知三点A (0，0)，B (1，0)，C (2，3)，求由这
三点所确定的二次函数的表达式.
解：设所求二次函数的解析式为y＝ax 2＋bx＋c.
将A，B，C 三点的坐标分别代入二次函数
表达式中，得
∴所求二次函数解析式为 y＝2x 2－3x＋1.
解得
1.设一般式
2.点代入
一般式
3.解得方程组
4.写出解
析式
典题精讲
对上面的抛物线形水流问题，请以地平线ACF 为横轴，以F为原点建立直角坐标系，并解决相应的问题.
设所求二次函数表达式为y＝ax 2＋bx＋c. 将A，
B，C 三点的坐标分别代入二次函数表达式中，
得 解得
∴所求二次函数表达式为 y＝x 2－2x＋8.
解：
典题精讲
2 如图，已知二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图象过A (2，0)，B (0，－1)和C (4，5)三点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)设二次函数的图象与x 轴的另一
个交点为D，求点D 的坐标；
(3)在同一坐标系中画出直线 y＝x＋
1，并写出当x 在什么范围内时，一次函数的值大于
二次函数的值．
典题精讲
(1)∵二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图象过A(2，0)，
B (0，－1)和C (4，5)三点，∴
∴a＝ ，b＝－ ，c＝－1.
∴二次函数的表达式为 y＝ x 2－ x－1.
(2)当y＝0时， 得 x 2－ x－1＝0，
解得x1＝2，x2＝－1，
∴点D 的坐标为(－1，0)．
解：
典题精讲
(3)如图．
当－1＜x＜4时，一次函数的值大于二次函数的值．
典题精讲
如图，Rt△AOB 的直角边OA 在x 轴上，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝1，将Rt△AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到Rt△COD，抛物线 y＝－ x 2＋bx＋c 经过B，D 两点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接BD，点P 是抛物线上一点，
直线OP 把△BOD 的周长分成
相等的两部分，求点P 的坐标．
3
典题精讲
(1)∵Rt△AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到 Rt△COD，
∴CD＝AB＝1，OA＝OC＝2，
则点B (2，1)，D (－1，2)，代入表达式，
得： 解得
∴二次函数的表达式为 y＝－ x 2＋ x＋ ；
解：
探索新知
(2)如图，设OP 与BD 交于点Q.
∵直线OP 把△BOD 的周长分
成相等的两部分，
且OB＝OD，
∴DQ＝BQ，即点Q 为BD 的中点，
∴点Q 的坐标为
设直线OP 对应的函数表达式为 y＝kx，
将点Q 的坐标代入，得 k＝ ，
解：
探索新知
解得k＝3，
∴直线OP 对应的函数表达式为y＝3x，
代入 y＝－ x 2＋ x＋ ，
得－ x 2＋ x＋ ＝3x，
解得x＝1或x＝－4(舍去)．
当x＝1时，y＝3，
∴点P 的坐标为(1，3)．
探索新知
2
知识点
用顶点式确定二次函数表达式
二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 可化成：y＝a (x-h)2＋k ，
顶点是(h， k ).如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另
一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式.
探索新知
例2 已知抛物线的顶点坐标为(4，-1)，与y 轴交于点(0，3)
求这条抛物线的解析式.
解：依题意设 y＝a (x-h)2＋k ，将顶点(4，-1)及交点(0，3)
代入得3=a (0-4)2-1，解得a= ， ∴这条抛物线的解析
式为：y = (x-4)2-1.
探索新知
总 结
若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通
常可设顶点式 y＝a (x-h) 2＋k (a≠0).
典题精讲
已知A (1，0)，B (0，－1)，C (－1，2)，D (2，－1)，E (4，2)
五个点，抛物线y＝a (x－1)2＋k (a>0)经过其中三个点．
(1)求证：C，E 两点不可能同时在抛物线 y＝a (x－1)2＋k (a>0)上．
(2)点A 在抛物线 y＝a (x－1)2＋k (a>0)上吗？为什么？
(3)求a 和k 的值．
典题精讲
(1)由题意可知，抛物线的对称轴为直线x＝1.
若点C (－1，2)在抛物线上，
则点C 关于直线x＝1的对称点(3，2)也在这条抛
物线上．
∴C，E 两点不可能同时在抛物线
y＝a (x－1)2＋k (a＞0)上．
证明：
典题精讲
(2)点A不在抛物线上．
理由：若点A(1，0)在抛物线 y＝a (x－1)2＋k
(a＞0)上，则k＝0.
∴y＝a (x－1)2(a＞0)．
已知B (0，－1)，D (2，－1)都不在抛物线上．
由(1)知C，E 两点不可能同时在抛物线上．
∴与抛物线经过其中三个点矛盾．
∴点A 不在抛物线上．
解：
典题精讲
由(2)可知点A 不在抛物线上．结合(1)的结论易知B，D 一定在抛物线 y＝a (x－1)2＋k (a＞0)上．
①若点C (－1，2)在此抛物线上，
则 解得
②若点E (4，2)在此抛物线上，
则 解得
综上可知， 或
解：
探索新知
3
知识点
用交点式确定二次函数解析式
例3 如图，已知抛物线 y＝ax 2＋bx＋c 与x 轴交于
点A (1，0)，B (3，0)，且过点C (0，－3)．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物
线的顶点落在直线 y＝-x上，并写出平移
后抛物线的解析式．
导引：(1)利用交点式得出 y＝a (x－1)(x－3)，进而求出a 的
值，再利用配方法求出顶点坐标即可；(2)根据左加
右减得出抛物线的解析式为y＝－x 2，进而得出答案．
探索新知
(1)∵抛物线与x 轴交于点A(1，0)，B (3，0)，
∴可设抛物线解析式为y＝a (x－1)(x－3)，
把(0，－3)代入得：3a＝－3，解得：a＝－1，
故抛物线的解析式为y＝－(x－1)(x－3)，
即y＝－x 2＋4x－3，
∵y＝－x 2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，
∴顶点坐标为(2，1)．
(2)先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到
的抛物线的解析式为y＝－x 2，
平移后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线y＝－x上．
解：
探索新知
总 结
（1）本题第（2）问是一个开放性题，平移方法不唯一，
只需将原顶点平移成横纵坐标互为相反数即可.
（2）已知图象与x 轴的交点坐标，通常选择交点式.
典题精讲
在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0.
(1)若函数y1的图象经过点(1，－2)，求函数y1的表达式；
(2)若一次函数 y2＝ax＋b 的图象与y1的图象经过x 轴上同
一点，探究实数a，b 满足的关系式；
(3)已知点P (x0，m)和 Q (1，n)在函数y1的图象上，若m＜
n，求x0 的取值范围．
1
典题精讲
(1)由函数y1的图象经过点(1，－2)，
得(a＋1)(－a)＝－2，解得a1＝－2，a2＝1.
当a＝－2时，函数 y1 的表达式为
y＝(x－2)(x＋2－1)，
即y＝x 2－x－2；
当a＝1时，函数 y1的表达式为y＝(x＋1)(x－2)，
即 y＝x 2－x－2.
综上所述，函数y1的表达式为 y＝x 2－x－2.
解：
典题精讲
(2)当 y1＝0时，(x＋a)(x－a－1)＝0，
解得x＝－a 或 x＝a＋1，
所以y1的图象与x 轴的交点是
(－a，0)，(a＋1，0)．
当y2＝ax＋b 的图象经过(－a，0)时，
－a 2＋b＝0，即b＝a 2；
当y2＝ax＋b 的图象经过(a＋1，0)时，
a 2＋a＋b＝0，即b＝－a 2－a.
典题精讲
(3)由题易知 y1的图象的对称轴为直线x＝ .
当P 在对称轴的左侧(含顶点)时，
y 随x 的增大而减小，
因为(1，n)与(0，n)关于直线x＝ 对称，
所以由m＜n，得0＜x0≤ ；
当P 在对称轴的右侧时，y 随x 的增大而增大，
由m＜n，得 ＜x0＜1.
综上所述，x0的取值范围为0＜x0＜1.
学以致用
小试牛刀
已知二次函数 y＝3x 2－6x＋5，求满足下列条件的二次函数的表达式：
(1)两图像关于x 轴对称；
(2)两图像关于y 轴对称；
(3)两图像关于经过抛物线 y＝3x 2－6x＋5的顶点且平行于x
轴的直线对称．
小试牛刀
解：
y＝3x 2－6x＋5可化为y＝3(x－1)2＋2，根据对称可知：
(1)两图像关于x 轴对称，所求表达式为 y＝－3(x－1)2－2，
即y＝－3x 2＋6x－5.
(2)两图像关于y 轴对称，所求表达式为 y＝3(x＋1)2＋2，
即y＝3x 2＋6x＋5.
(3)两图像关于经过抛物线 y＝3x 2－6x＋5的顶点且平行于x 轴
的直线对称，所求表达式为y＝－3(x－1)2＋2，即y＝－3x 2
＋6x－1.
小试牛刀
已知抛物线 y1＝－x 2＋mx＋n，直线y2＝kx＋b，y1的对称轴与
y2交于点A(－1，5)，点A与y1的顶点B 的距离是4.
(1)求y1的解析式；
(2)若y2随着x 的增大而增大，且y1与y2都经过x 轴上的同一点，求
y2的解析式．
解：
(1)由题意得B (－1，1)或(－1，9)，
解得m＝－2，n＝0或8.
∴y1的解析式为y1＝－x 2－2x 或y1＝－x 2－2x＋8.
小试牛刀
(2)①当y1＝－x 2－2x 时，解－x 2－2x＝0，得x＝0或－2，
∴抛物线与x 轴的交点是(0，0)和(－2，0)，
∵y2随着x 的增大而增大，且过点A (－1，5)，
∴y1与y2都经过x 轴上的同一点(－2，0)．
把(－1，5)，(－2，0)的坐标代入y2＝kx＋b，
∴y2＝5x＋10.
小试牛刀
②当 y1＝－x 2－2x＋8时，解－x 2－2x＋8＝0，
得x＝－4或2，
∴抛物线与x 轴的交点是(－4，0)和(2，0)．
∵y2 随着x 的增大而增大，且过点A(－1，5)，
∴y1与y2都经过x 轴上的同一点(－4，0)．
把(－1，5)，(－4，0)的坐标代入y2＝kx＋b，
得 解得 ∴y2＝ x＋ .
综上，y2的解析式为y2＝5x＋10或y2＝ x＋ .
小试牛刀
如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y＝ax 2＋bx＋2
过B (－2，6)，C (2，2)两点．
(1)试求抛物线的表达式；
(2)记抛物线的顶点为D，求△BCD 的面积；
(3)若直线 y＝－ x 向上平移c 个单位长
度所得的直线与抛物线段BDC (包括
端点B，C )部分有两个交点，求c 的
取值范围．
解：
(1)由题意得 解得
∴抛物线的表达式为 y＝x 2－x＋2.
小试牛刀
(2)∵y＝ x 2－x＋2＝ (x－1)2＋ ，
∴顶点坐标为
如图，作直线BC，由B，C 两点坐标易得直线BC
的表达式为y＝－x＋4，作抛物线的对称轴，交BC
于点H，则点H 的坐标为(1，3)．
∴S△BDC＝S△BDH＋S△DHC＝ ×
×[1－(－2)]＋ ×
×(2－1)＝3.
小试牛刀
(3)由 消去 y，得到x 2－x＋4－2c＝0.
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，
1－4(4－2c )＝0，∴c＝ .
当直线 y＝－ x＋c 经过点C 时，c＝3，
当直线y＝－ x＋c 经过点B 时，c＝5.
∵直线 y＝－ x 向上平移c 个单位长度所得的直线与抛
物线段BDC (包括端点B，C )部分有两个交点∴5课堂小结
课堂小结
设
列
解
答
步骤
类型
一般式（三点式）
顶点式
交点式
待定系数法求二次函数解析式
同学们，
下节课见！
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