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30.4 二次函数的应用
第1课时
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（任务-发布任务-选择章节）
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课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
前面我们已经学习了利用二次函数解决几何最值问题，实际问题中最值问题，本节课我们继续学习利用二次函数解决拱桥、隧道、以及一些运动类的“抛物线”型问题.
新课精讲
探索新知
1
知识点
建立坐标系解抛物线形运动的最值问题
前面我们已学习了利用二次函数解决抛物线型建筑问题，下面我们学习建立坐标系解抛物线型运动问题.
探索新知
例1 如图，某灌溉设备的喷头B 高出地面
1.25 m，喷出的抛物线型水流在与喷
头底部A 的距离为1 m处达到距离地面
最大高度2.25 m，试建立恰当的直角坐
标系并求出与该抛物线型水流对应的二次函数关系式．
导引：解决问题的关键是建立适当的平面直角坐标系，把
实际问题中的长度转化为点的坐标，从而利用待定
系数法求二次函数关系式．
探索新知
解：方法一：建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线的顶点为
O (0，0)，且经过点B (－1，－1)．于是设所求二次函数关系式
为 y＝ax 2，则有－1＝a · (－1)2，得a＝－1. ∴抛物线型水流对
应的二次函数关系式为y＝－x 2.
探索新知
方法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线的顶点为D (0，2.25)，且抛物线经过点B (－1，1.25)．于是设所求二次函数关系式为 y＝ax 2＋2.25，则有1.25＝a·(－1)2＋2.25，解得a＝－1.
∴抛物线型水流对应的二次函数关系式为y＝－x 2＋2.25.
探索新知
方法三：建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线的顶点为D (1，2.25)，且经过点B (0，1.25)．于是设所求二次函数关系式为 y＝a (x－1)2＋2.25，则有1.25＝a (－1)2＋2.25，解得a＝－1. ∴抛物线型水流对应的二次函数关系式为 y＝－(x－1)2＋2.25.
探索新知
总 结
解决抛物线型问题，其一般步骤为：
(1)建立适当的坐标系，正确写出关键点的坐标；
(2)根据图象设抛物线对应的函数表达式；
(3)根据已知条件，利用待定系数法求表达式，再利用二次函数的性质解题．在解题过程中要充分利用抛物线的对称性，同时要注意数形结合思想的应用．
典题精讲
1 飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)关于滑行的时间t (单位：s)的函数表达式是s＝60t－ t 2，则飞机着陆后滑行的最长时间为________．
20 s
向上发射一枚炮弹，经x s后的高度为y m，且时间与高度之间的关系
为 y＝ax 2＋bx. 若此炮弹在第7 s与第14 s时的高度相等，则在下列哪
一个时间的高度是最高的(　　)
A．第9.5 s B．第10 s
C．第10.5 s D．第11 s
C
探索新知
2
知识点
建立坐标系解抛物线型建筑问题
1. 运用二次函数的代数模型解决实际中的问题，如抛(投)物体，抛物
线的模型问题等，经常需要运用抽象与概括的数学思想，将文字语
言转化为数学符号．
2．利用二次函数解决实际问题的基本思路是：
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)把实际问题中一些数据与点的坐标联系起来；
(3)用待定系数法求出抛物线对应的函数表达式；
(4)利用二次函数的图象及性质去分析、解决问题．
探索新知
导引：由题意可知拱桥为抛物线型，因此可建立以O 为坐标原
点，AB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴的直角坐标
系，利用二次函数 y＝ax 2＋c 解决问题．
例2 如图是一个抛物线型拱桥的示意图，桥的跨度AB 为100 m，
支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立A点10 m处的立柱FE 的
高度为3.6 m.
(1)求正中间的立柱OC 的高度．
(2)是否存在一根立柱，其高度恰
好是OC 的一半？请说明理由．
探索新知
(1)根据题意可得正中间立柱OC 经过AB 的中点O，如图，
以O 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，OC 所在直
线为y 轴，建立直角坐标系，则B 点的坐标为(50，0)．
∵OF＝OA－FA＝40 m，∴E 点的坐标为(－40，3.6)．
由题意可设抛物线对应的函数表达式为 y＝ax 2＋c，
∴y＝－ x 2＋10. 当x＝0时，y＝10，
即正中间的立柱OC 的高度是10 m.
解：
探索新知
(2)不存在．
理由：假设存在一根立柱的高度是OC 的一半，即这
根立柱的高度是5 m，则有5＝－ x 2＋10，
解得x＝±25 .由题意知相邻立柱间的水平距离均
为10 m，正中间的立柱OC 在y 轴上，
∴每根立柱上的点的横坐标均为10的整数倍．
∴x＝±25 与题意不符．
∴不存在一根立柱，其高度恰好是OC 的一半．
探索新知
总 结
本题运用待定系数法求二次函数 y＝ax 2＋c 的表达式.
典题精讲
河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线型，建立如图所示
的平面直角坐标系，其函数表达式为 y＝－ x 2，当水面离桥
拱顶的高度DO 是4 m时，这时水面宽度AB 为(　　)
A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 m
C
典题精讲
图②是图①中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，
以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，
桥的拱形可近似看成抛物线y＝－ (x－80)2＋16，桥拱与桥
墩AC 的交点C 恰好在水面，有AC⊥x 轴，若OA＝10 m，则桥
面离水面的高度AC 为(　　)
A．16 m B. m
C．16 m D. m
B
典题精讲
例3 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如
图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线对应的函
数表达式为y＝－ x 2＋c 且过点C (0，5).(长度单位：m)
(1)直接写出c 的值；
(2)现因做庆典活动，计划沿拱桥的
台阶表面铺设一条宽度为1.5 m 的地
毯，地毯的价格为20元/m 2，求购买地毯需多少元；
(3)在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH (H，
G 分别在抛物线的左右侧上)，并铺设斜面EG.已知矩形
EFGH 的周长为27.5 m，求斜面EG 的倾斜角∠GEF 的度
数．(精确到0.1°)
典题精讲
导引：(1)将点C 的坐标代入计算即可；(2)首先应求出铺设
地毯的台阶的表面积，而求表面积的关键在于求得
所有台阶的水平和竖直的总长度，进而求得所需钱
数；(3)求出点G 的坐标，在Rt△EFG 中，利用三角
函数求∠GEF 的度数．
解：(1)c＝5.
(2)由(1)知OC＝5.令y＝0，即－ x 2＋5＝0，
解得x1＝10，x2＝－10.
∴地毯的总长度为AB＋2OC＝20＋2×5＝30(m)．
∴30×1.5×20＝900(元)．
∴购买地毯需要900元．
典题精讲
(3)可设G 的坐标为 其中a＞0，
则EF＝2a m，GF＝
由已知得2(EF＋GF )＝27.5 m，即2
解得a1＝5，a2＝35(不合题意，舍去)．当a＝5时，
＋5＝－ ×52＋5＝3.75，∴点G 的坐标是(5，3.75)．
∴EF＝10 m，GF＝3.75 m. 在Rt△EFG 中，tan ∠GEF＝
0.375，∴∠GEF≈20.6°.
探索新知
总 结
本题实际上是一道函数与几何的综合题．主要考查根据题意和已知图形，利用数形结合思想、方程思想等来解决问题，是中等难度的试题．
典题精讲
如图的一座拱桥，当水面宽AB 为12 m时，桥洞顶部离水面4 m，
已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐
标系，若选取点A为坐标原点时抛物线对应的函数表达式是y＝
－ (x－6)2＋4，则选取点B 为坐标原点时抛物线对应的函数表
达式是______________________．
学以致用
小试牛刀
足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h (单位：m)与足球被踢出后经过的时间t (单位：s)之间的关系如下表：
1
t 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
小试牛刀
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝ ；③足球被踢出9 s时落地；④足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m．其中正确结论的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
B
小试牛刀
2 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，
出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是
抛物线y＝－x 2＋4x (单位：m)的一部分，则水喷出的最大高
度是(　　)
A．4 m
B．5 m
C．6 m
D．7 m
A
小试牛刀
如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是
12 m，宽是4 m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线
可以用y＝－ x 2＋bx＋c 表示，且抛物线上的点C 到墙面
OB 的水平距离为3 m，到地面OA 的距离为 m.
(1)求该抛物线的函数表达式，并计算出拱
顶D 到地面OA 的距离．
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，
宽为4 m，如果隧道内设双向行车道，那么
这辆货车能否安全通过？
(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高
度相等，如果灯离地面的高度不超过8 m，那么两排灯
的水平距离最小是多少米？
小试牛刀
解：
(1)根据题意得B (0，4)，C .
把B (0，4)，C 的坐标代入 y＝－ x 2＋bx＋c，
得 解得
所以抛物线的表达式为 y＝－ x 2＋2x＋4，
即 y＝－ (x－6)2＋10，
所以D (6，10)．
所以拱顶D 到地面OA 的距离为10 m.
小试牛刀
(2)当 x＝ －4＝2或 x＝ ＋4＝10时，y＝ ＞6，
所以这辆货运汽车能安全通过．
(3)令y＝8，则－ (x－6)2＋10＝8，解得x1＝6＋2 ，
x2＝6－2 ，则x1－x2＝4 .
所以两排灯的水平距离最小是4 m．
小试牛刀
随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，
小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池(如图)，在水池中
心竖直安装了一根高为2 m的喷水管，它喷出的抛物线形水
柱在与水池中心的水平距离为1 m处达到最高，水柱落地处
离池中心3 m.
(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并
求出水柱抛物线对应的函数解析式；
(2)求出水柱的最大高度是多少．
小试牛刀
(1)如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直
线为x 轴，水管所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．设抛
物线对应的函数解析式为 y＝a (x－1)2＋h，将(0，2)和(3，0)
的坐标代入，得 解得
∴抛物线对应的函数解析式为 y＝－ (x－1)2＋ ，
即 y＝－ x 2＋ x＋2(0≤x≤3)．
(2)y＝－ x 2－ x＋2(0≤x≤3)，当x＝1时，y＝ ，
即水柱的最大高度为 m.
解：
小试牛刀
甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分．
如图，甲在O 点正上方1 m的P 处发出一球，羽毛球飞行的高度y (m)
与水平距离x (m)之间满足函数表达式 y＝a (x－4)2＋h，已知点O 与
球网的水平距离为5 m，球网的高度为1.55 m.
(1)当a＝－ 时，①求h 的值．
②通过计算判断此球能否过网．
(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O 的水平距
离为7 m，离地面的高度为 m的 Q 处时，乙
扣球成功，求a 的值．
小试牛刀
解：
(1)①当a＝－ 时，
函数表达式为y＝－ (x－4)2＋h.
∵P (0，1)，∴1＝－ ×(0－4)2＋h，解得h＝ .
②当x＝5时，y＝－ (5－4)2＋ ＝ ＝1.625＞1.55，
∴此球能过网．
小试牛刀
(2)∵P (0，1)，Q ，
∴ 解得
∴a 的值为－ .
课堂小结
课堂小结
1.运动问题：
(1)运动中的距离、时间、速度问题；这类问题多根据运动规
律中的公式求解．
(2)物体的运动路线(轨迹)问题；解决这类问题的思想方法是利
用数形结合思想和函数思想，合理建立直角坐标系，根据已知
数据，运用待定系数法求出运动轨迹(抛物线)的解析式，再利
用二次函数的性质去分析、解决问题．
课堂小结
2.抛物线型建筑物问题：几种常见的抛物线型建筑物有拱形桥洞、隧道洞口、拱形门等．解决这类问题的关键是根据已知条件选择合理的位置建立直角坐标系，结合问题中的数据求出函数解析式，然后利用函数解析式解决问题．
同学们，
下节课见！
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