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专题11 极坐标与参数方程
(
一、
核心先导
)
(
二、
考点再现
)
【考点1】极坐标方程的概念
(1)、极坐标系
如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.
(2)、极坐标
设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.
一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.
特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.
如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.
常见圆与直线的极坐标方程
曲线 图形 极坐标方程
圆心在极点,半径为的圆
圆心为,半径为的圆
圆心为,半径为的圆
过极点,倾斜角为的直线 (1) (2)
过点,与极轴垂直的直线
过点,与极轴平行的直线
【考点2】极坐标与直角坐标的互化
(1)、互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:
(2)、互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
点 直角坐标 极坐标
互化公式
在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.
【考点3】直角的参数方程
直线参数方程中的几何意义的应用：
表示直线上任意一点到定点的距离.
直线参数方程（为参数），椭圆方程，相交于两点，直线上定点
将直线的参数方程带入椭圆方程，得到关于的一元二次方程，则：
若为的中点，则
【考点4】曲线的参数方程
1．圆的参数方程
如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则。
这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度。
圆心为，半径为的圆的普通方程是，
它的参数方程为：。
2．椭圆的参数方程
以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。
【名师提醒】：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在到的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当时，相应地也有，在其他象限内类似。
3．双曲线的参数方程（了解）
以坐标原点为中心，焦点在轴上的双曲线的标准议程为其参数方程为，其中
焦点在轴上的双曲线的标准方程是其参数方程为
以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。
4．抛物线的参数方程
以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线的参数方程为
(
三、
考点解密
)
题型一:函数平移问题与极坐标、参数方程与直角坐标方程的互化
例1．（江西省2022-2023学年高三上学期11月阶段联考检测数学试题（理））在直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后得到曲线，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：.
(1)写出曲线的参数方程和直线l的直角坐标方程；
(2)已知点P为曲线上一动点，求点P到直线l距离的最小值，并求出取最小值时点P的直角坐标.
【变式训练1-1】、（2023·全国·高三专题练习）在直角坐标系中，曲线：经过伸缩变换后得到曲线，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：．
(1)写出曲线的参数方程和直线的直角坐标方程；
(2)在曲线上求一点，使点到直线的距离最小并求出最小值．
题型二:直线的参数方程的应用
例2．（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（理））在平面直角坐标中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线的普通方程和极坐标方程；
(2)在平面直角坐标中，若过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求证：成等差数列．
【变式训练2-1】、（2022·河南·一模（理））在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）．
(1)求直线与曲线的普通方程，并说明是什么曲线？
(2)设M，N是直线与曲线的公共点，点的坐标为，求的值．
题型三:圆或椭圆的参数方程的应用
例3．（2022·青海·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)若P是曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值，并求此时点P的坐标.
【变式训练3-1】、（2022·四川·模拟预测（理））在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半箱为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为，直线l的极坐标方程为．
(1)求点M的直角坐标和直线l的直角坐标方程；
(2)若N为曲线C上的动点，求的中点P到直线l的距离的最小值及此时点P的极坐标．
题型四:极坐标方程的应用
例4．（2022·全国·安阳市第二中学模拟预测（理））已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
(1)求直线l的极坐标方程以及曲线C的参数方程；
(2)若直线l与曲线C交于M，N两点，求的值．
【变式训练4-1】、（2022·四川资阳·一模（理））下图所示形如花瓣的曲线称为四叶玫瑰线，并在极坐标系中，其极坐标方程为．
(1)若射线：与相交于异于极点的点，与极轴的交点为，求；
(2)若，为上的两点，且，求面积的最大值．
(
四、
分层训练
)
A组 基础巩固
1．（2007·全国·高考真题（理））设曲线C的方程是，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线．
(1)写出曲线的方程；
(2)证明：曲线C与关于点对称；
(3)如果曲线C与有且仅有一个公共点，证明：且．
2．（2022·四川·阆中中学高三阶段练习（文））在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），是上的动点，点满足点的轨迹为曲线.
(1)求的参数方程；
(2)在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求.
3．（2021·陕西汉中·高二期末（理））在平面直角坐标系xOy中，曲线的方程为，点P为曲线上任意一点，记线段OP的中点Q的轨迹为曲线，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程；
(2)若点M，N分别是曲线和上的点，且，证明：为定值.
4．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系（取相同的单位长度），曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），曲线，相交于、两点，曲线经过伸缩变换后得到曲线.
(1)求曲线的普通方程和线段的长度；
(2)设点是曲线上的一个动点，求的面积的最小值．
5．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（，t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)已知直线l与x轴的交点为F，且曲线C与直线l交于A，B两点，求的值．
6．（2022·四川·盐亭中学模拟预测（文））在直角坐标系中，直线的参数方程为（ 为参数，），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程；
(2)设直线与曲线相交于，两点，若，求的值．
7．（2022·四川·盐亭中学模拟预测（理））已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线经过定点，倾斜角为.
(1)写出直线的参数方程和曲线的标准方程；
(2)设直线与曲线相交于,两点，求的值.
8．（2022·四川省巴中中学模拟预测（文））在直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线的极坐标方程为．
(1)求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；
(2)设直线与曲线相交于A，两点，求的值．
9．（2022·广西桂林·模拟预测（文））在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ+4ρsin θ+4=0．
(1)求l的普通方程和C的参数方程；
(2)已知点M是曲线C上任一点，求点M到直线l距离的最大值，并求出此时点M的坐标．
10．（2022·江西萍乡·三模（文））在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)若点为曲线上任意一点，求点到直线距离的最小值．
B组 能力提升
11．（2022·内蒙古·满洲里市教育研修中心三模（文））在直角坐标系中，圆C的方程为：，如图，为圆上任意一点.
(1)以直线的倾斜角为参数，写出圆C的参数方程；
(2)设点的坐标为，求的最大值.
12．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学三模（理））如图，某“京剧脸谱”的轮廓曲线由曲线和围成．在平面直角坐标系中，的参数方程为(为参数，且)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为．
(1)求的普通方程和的直角坐标方程；
(2)已知曲线与轴、轴的正半轴分别交于A、B两点，求曲线上任意一点到直线的距离的最大值．
13．（2022·河南商丘·三模（理））在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)若直线与轴、轴的交点分别为，两点，为曲线上的任意一点，求的面积的最小值．
14．（2022·全国·模拟预测（文））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若点M，N分别为曲线C和直线l上的动点，求的最小值.
15．（2022·四川雅安·模拟预测（理））数学中有许多美丽的曲线，如在平面直角坐标系xOy中，曲线的形状如心形（如图），称这类曲线为心形曲线．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．当时，
(1)求E的极坐标方程；
(2)已知P，Q为曲线E上异于O的两点，且，求的面积的最大值．
16．（2022·广西·模拟预测（文））在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数为（为参数）．
(1)求曲线和直线的直角坐标方程；
(2)过原点引一条射线分别交曲线和直线于、两点，求的最大值．
17．（2022·陕西·西乡县教学研究室一模（文））已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)若点，直线l交曲线C于P，Q两点，求的值.
18．（2022·河南安阳·模拟预测（理））在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
(1)写出C的普通方程和一个参数方程；
(2)若直线和分别与C交于与O不重合的点A，B，求．
19．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为，将射线l绕点逆时针旋转后，得到射线，若射线l，分别与曲线C相交于点A，点B．
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)求的最小值．
20．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的心型曲线的极坐标方程为，M为曲线上一动点，曲线的参数方程为（t为参数，）
(1)若与交于A，O，B三点，求的值；
(2)射线OM逆时针旋转后与交于点N，求取最大值时点M的极坐标.
21．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数且），曲线与x轴，y轴分别交于A，B两点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求A，B两点的直角坐标及曲线的直角坐标方程；
(2)设直线与曲线：交于P，Q两点，求的值．
22．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图，在极坐标系中，曲边三角形为勒洛三角形，且，，以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（t为参数）．
(1)求的极坐标方程和所在圆的直角坐标方程；
(2)已知点M的直角坐标为，曲线和圆相交于A，B两点，求．
C组 真题实战练
23．（2019·全国·高考真题（文））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
24．（2020·全国·高考真题（理））已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：（θ为参数），C2：（t为参数）.
（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.
25．（2019·全国·高考真题（理））如图，在极坐标系中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.
（1）分别写出，，的极坐标方程；
（2）曲线由，，构成，若点在上，且，求的极坐标.
26．（2020·全国·高考真题（文））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点.
（1）求||：
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.
27．（2017·全国·高考真题（理））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为
．
（1）若，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求．
28．（2022·全国·高考真题（文））在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．
(1)写出l的直角坐标方程；
(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．
29．（2017·全国·高考真题（理））在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；
（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．专题11 极坐标与参数方程
(
一、
核心先导
)
(
二、
考点再现
)
【考点1】极坐标方程的概念
(1)、极坐标系
如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.
(2)、极坐标
设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.
一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.
特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.
如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.
常见圆与直线的极坐标方程
曲线 图形 极坐标方程
圆心在极点,半径为的圆
圆心为,半径为的圆
圆心为,半径为的圆
过极点,倾斜角为的直线 (1) (2)
过点,与极轴垂直的直线
过点,与极轴平行的直线
【考点2】极坐标与直角坐标的互化
(1)、互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:
(2)、互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
点 直角坐标 极坐标
互化公式
在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.
【考点3】直角的参数方程
直线参数方程中的几何意义的应用：
表示直线上任意一点到定点的距离.
直线参数方程（为参数），椭圆方程，相交于两点，直线上定点
将直线的参数方程带入椭圆方程，得到关于的一元二次方程，则：
若为的中点，则
【考点4】曲线的参数方程
1．圆的参数方程
如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则。
这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度。
圆心为，半径为的圆的普通方程是，
它的参数方程为：。
2．椭圆的参数方程
以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。
【名师提醒】：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在到的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当时，相应地也有，在其他象限内类似。
3．双曲线的参数方程（了解）
以坐标原点为中心，焦点在轴上的双曲线的标准议程为其参数方程为，其中
焦点在轴上的双曲线的标准方程是其参数方程为
以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。
4．抛物线的参数方程
以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线的参数方程为
(
三、
考点解密
)
题型一:函数平移问题与极坐标、参数方程与直角坐标方程的互化
例1．（江西省2022-2023学年高三上学期11月阶段联考检测数学试题（理））在直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后得到曲线，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：.
(1)写出曲线的参数方程和直线l的直角坐标方程；
(2)已知点P为曲线上一动点，求点P到直线l距离的最小值，并求出取最小值时点P的直角坐标.
【答案】(1)（为参数），
(2)最小值，此时点P的坐标为
【分析】（1）根据伸缩变换的公式，结合两角和的正弦公式、直角坐标方程与极坐标方程互化公式进行求解，
（2）根据参数方程，利用点到直线距离公式，结合辅助角公式进行求解
【详解】（1）由题意，曲线的参数方程为（为参数），经过伸缩变换，
曲线的参数方程为（为参数），
由得：，
化为直角坐标方程为
（2）设，
点P到直线l的距离为，
当时，即，得时，
点P到直线l的距离d取到最小值，
此时，点P的坐标为.
【变式训练1-1】、（2023·全国·高三专题练习）在直角坐标系中，曲线：经过伸缩变换后得到曲线，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：．
(1)写出曲线的参数方程和直线的直角坐标方程；
(2)在曲线上求一点，使点到直线的距离最小并求出最小值．
【答案】(1)（为参数）；；
(2)最小值，．
【分析】（1）根据伸缩变换的公式，结合两角和的正弦公式、直角坐标方程与极坐标方程互化公式进行求解，
（2）根据参数方程，利用点到直线距离公式，结合辅助角公式进行求解
（1）
由题意，曲线的参数方程为，经过伸缩变换后，曲线的参数方程为，
由得：，
化为直角坐标方程为，
所以，曲线的参数方程为，直线的直角坐标方程为．
（2）
设，
点到直线的距离为，
（其中，，），
当时，即，时，点到直线的距离取到最小值，
此时，，，
，，
所以，点的坐标为．
题型二:直线的参数方程的应用
例2．（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（理））在平面直角坐标中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线的普通方程和极坐标方程；
(2)在平面直角坐标中，若过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求证：成等差数列．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用消参法求曲线的普通方程，并注意y的取值范围，再利用求曲线的极坐标方程；（2）先求直线l的参数方程，根据直线参数方程的几何意义运算求解.
【详解】（1）由得，代入整理得，即，
∵，则，，
故曲线的普通方程为，
又∵，则，
整理得
曲线的极坐标方程为
（2）由题意可得：直线l的参数方程为（t为参数），
代入，整理得，
∴，，
则，
即，
∴成等差数列
【变式训练2-1】、（2022·河南·一模（理））在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）．
(1)求直线与曲线的普通方程，并说明是什么曲线？
(2)设M，N是直线与曲线的公共点，点的坐标为，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）消去参数即可得到直线与曲线的普通方程即可说明曲线.
（2）将直线参数方程代入圆的普通方程即可得到与，根据参数的几何意义讨论求得的值.
【详解】（1）由题意可得：直线l的参数方程为消去参数
得：.
曲线的参数方程为.消去参数
得：
曲线表示以原点为圆心，以为半径的圆.
（2）由（1）知：将直线的参数方程代入
得：
可知，，故与异号. 不妨设 ,
易知，故=
=
同理，
易知，故=
=
综上：
题型三:圆或椭圆的参数方程的应用
例3．（2022·青海·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)若P是曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值，并求此时点P的坐标.
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）结合消元即可得出曲线C的普通方程；由即可得出直线l的直角坐标方程；
（2）设点，结合点线距离公式，讨论最大值即可
【详解】（1）由（为参数），得，故曲线C的普通方程为.
由，得，故直线l的直角坐标方程为.
（2）设点，
则点P到直线l的距离.
故当时，点P到直线l的距离取得最大值.
此时，点P的坐标为.
【变式训练3-1】、（2022·四川·模拟预测（理））在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半箱为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为，直线l的极坐标方程为．
(1)求点M的直角坐标和直线l的直角坐标方程；
(2)若N为曲线C上的动点，求的中点P到直线l的距离的最小值及此时点P的极坐标．
【答案】(1)点M的直角坐标为，直线l的直角坐标方程为；
(2)的中点P到直线l的距离的最小值为，此时点P的极坐标为.
【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式进行求解；（2）先设，进而表达出的中点P的坐标，用点到直线距离和三角函数的有界性求出最小值及点P的极坐标.
（1）
由，所以点M的直角坐标为，
化简得：，即，
（2）
设，则，
所以的中点P到直线l的距离
，
当，即，时，，
此时，所以，
由，，可知P点的极坐标为
所以的中点P到直线l的距离的最小值为，此时点P极坐标为.
题型四:极坐标方程的应用
例4．（2022·全国·安阳市第二中学模拟预测（理））已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
(1)求直线l的极坐标方程以及曲线C的参数方程；
(2)若直线l与曲线C交于M，N两点，求的值．
【答案】(1)（），（为参数）
(2)
【分析】（1）以直角坐标方程为桥梁分别求得极坐标方程和参数方程.
（2）将极坐标方程联立即可得到与可得.
【详解】（1）由已知消去参数得， ，
将，，代入上式化简整理得：
故直线l的极坐标方程为（）
由得：
所以，故
曲线C的参数方程为 （为参数）
（2）将直线l的极坐标方程代入曲线C的极坐标方程得：
解得： ，不妨设 ，
所以
【变式训练4-1】、（2022·四川资阳·一模（理））下图所示形如花瓣的曲线称为四叶玫瑰线，并在极坐标系中，其极坐标方程为．
(1)若射线：与相交于异于极点的点，与极轴的交点为，求；
(2)若，为上的两点，且，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知得到、两点的极坐标，代入距离公式即可；
（2）设， ，根据极坐标方程求出、，将三角形面积表示为的三角函数，根据三角恒等变换求三角函数的最大值.
【详解】（1）将代入方程，
得， ，则的极坐标为.
又与极轴的交点为的极坐标为.
则.
（2）不妨设，，
则，
所以，的面积
所以，当，即时，.
所以，面积最大值为.
(
四、
分层训练
)
A组 基础巩固
1．（2007·全国·高考真题（理））设曲线C的方程是，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线．
(1)写出曲线的方程；
(2)证明：曲线C与关于点对称；
(3)如果曲线C与有且仅有一个公共点，证明：且．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据图象平移有变为，变为代入曲线C即得的方程；
（2）在曲线上任取，应用中点公式求对称点之间横纵坐标的数量关系，代入曲线即可判断对称性，同理证上点的对称点在上.
（3）将问题化为有且仅有一个根，结合二次函数的性质即可证结论.
【详解】（1）由题设，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度，
所以变为，变为，代入得：，
所以.
（2）在曲线上任取，若是关于的对称点，
所以，，可得，，
代入曲线得：，
整理得：，故在上，
同理，可证上任意一点关于的对称点在曲线上，
所以曲线C与关于点对称.
（3）由曲线C与有且仅有一个公共点，
所以有且仅有一组解，
消去，整理得：有且仅有一个根，
若，则，两图象重合，不合题意；
所以，可得，故且.
2．（2022·四川·阆中中学高三阶段练习（文））在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），是上的动点，点满足点的轨迹为曲线.
(1)求的参数方程；
(2)在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求.
【答案】(1)(为参数).
(2)
【分析】（1）设，可知，代入的参数方程即可求得的参数方程；
（2）先求出和的极坐标方程，再根据极径的几何含义即可求得.
（1）
设，由可知，
有，即.
故的参数方程为(为参数).
（2）
曲线的普通方程为：，
由极坐标与直角坐标的互化公式得曲线的极坐标方程为：，
同理，曲线的极坐标方程为：，
射线与的交点的极径为，
射线与的交点的极径为，
所以.
3．（2021·陕西汉中·高二期末（理））在平面直角坐标系xOy中，曲线的方程为，点P为曲线上任意一点，记线段OP的中点Q的轨迹为曲线，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程；
(2)若点M，N分别是曲线和上的点，且，证明：为定值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）首先得到曲线的极坐标方程，然后根据的位置关系可得答案；
（2）设，然后可得，，，即可得答案.
(1)
曲线的方程为，
根据可得曲线的极坐标方程为，
设，则，
所以曲线的极坐标方程为；
(2)
设，则，，
因为，所以，
所以.
4．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系（取相同的单位长度），曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），曲线，相交于、两点，曲线经过伸缩变换后得到曲线.
(1)求曲线的普通方程和线段的长度；
(2)设点是曲线上的一个动点，求的面积的最小值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式可求出的普通方程，求出的普通方程，然后求出圆心到直线的距离，再由圆心距，弦和半径的关系可求出的长度，
（2）由伸缩变换可求出曲线的方程为，设点，求出点到直线的距离，化简后利用三角函数的性质可求出其最小值，从而可求出的面积的最小值
(1)
由，得，又，，所以．
由（为参数），消去参数得，
的圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离为
，
所以.
(2)
曲线经过伸缩变换后得到曲线，则，即曲线的方程为，设点，则点到直线的距离为
（其中，），
故当时，取得最小值，且，
因此，当点到直线的距离最小时，的面积也最小，
所以的面积的最小值为．
5．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（，t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)已知直线l与x轴的交点为F，且曲线C与直线l交于A，B两点，求的值．
【答案】(1)，．
(2)8
【分析】（1）根据完全平方公式以及基本不等式，结合整体换元，利用极坐标等量公式，可得答案；
（2）利用直线的直角坐标系方程，求得点的坐标，根据直线参数方程代入抛物线方程，利用韦达定理，可得答案.
【详解】（1）由曲线C的参数方程为，则，
，当且仅当，即时，等号成立，
故曲线的直角坐标方程：，
由，且直线l的极坐标方程为，则曲线的直角坐标方程：.
（2）由直线方程为，则，
直线的参数方程为（为参数），代入曲线：，
可得，
所以，由直线参数方程的意义可知，
所以．
6．（2022·四川·盐亭中学模拟预测（文））在直角坐标系中，直线的参数方程为（ 为参数，），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程；
(2)设直线与曲线相交于，两点，若，求的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据极坐标和直角坐标之间的转化即可求解，
（2）根据直线的参数方程以及参数的几何意义即可求解弦长.
（1）
由 ，得 ，
，即
（2）
的焦点为，直线经过焦点，
将直线 的参数方程代入曲线 的方程得 ，
设 ， 是方程的根，
则 ， ，
又 ， ，
，又 ， ， 或
7．（2022·四川·盐亭中学模拟预测（理））已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线经过定点，倾斜角为.
(1)写出直线的参数方程和曲线的标准方程；
(2)设直线与曲线相交于,两点，求的值.
【答案】(1)（为参数），；
(2).
【分析】(1)由直线的参数方程的标准形式和同角的平方关系，即可得到所求方程；
(2)将直线的参数方程代入椭圆的标准方程，可得关于的一元二次方程，由韦达定理及参数的几何意义，即可得到的值.
（1）
解：因为直线经过定点，倾斜角为，
所以直线的参数方（为参数），
即（为参数）；
因为曲线的参数方程为（为参数），
所以 ，
又因为，
所以曲线的标准方程为；
（2）
解：把直线的参数方程代入，
可得：，
又，所以方程有两个不同的实根，
设，是方程的两个实根，则，
所以.
8．（2022·四川省巴中中学模拟预测（文））在直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线的极坐标方程为．
(1)求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；
(2)设直线与曲线相交于A，两点，求的值．
【答案】(1)，（t为参数）；
(2)
【分析】（1）由直线经过点，倾斜角为，可直接写出其参数方程；利用极坐标与直角坐标的转化公式可得曲线的直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中,利用参数的几何意义可求得的值.
【详解】（1）因为直线经过点，倾斜角为，故直线的参数方程为,（t为参数），
即，（t为参数）；
由可得，
即，将代入，
可得曲线的直角坐标方程为；
（2）设A,B两点对应的参数为 ，将直线l的参数方程代入，
即中，得：，
整理得，此时，
故.
9．（2022·广西桂林·模拟预测（文））在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ+4ρsin θ+4=0．
(1)求l的普通方程和C的参数方程；
(2)已知点M是曲线C上任一点，求点M到直线l距离的最大值，并求出此时点M的坐标．
【答案】(1)；(α为参数)．
(2)点M到直线l距离的最大值为+1，此时点M的坐标为．
【分析】（1）利用消元法求出l的普通方程；先求出C的普通方程，再化为参数方程；
（2）利用参数方程求出点M到直线l距离的最大值，进而得到点M的坐标.
(1)
因为直线l的参数方程为 (t为参数)，两式相加消去t可得：；
因为，所以ρ2+2ρcos θ+4ρsin θ+4=0可化为：，化为参数方程为：(α为参数).
(2)
可设，则点M到直线l的距离为：
所以，当且仅当，即时取得，此时，所以.
所以点M到直线l距离的最大值为+1，此时点M的坐标为．
10．（2022·江西萍乡·三模（文））在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)若点为曲线上任意一点，求点到直线距离的最小值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）消去参数t得直线普通方程，将代入曲线可得直角坐标方程；
（2）设点，利用点到直线距离公式求解可得.
(1)
将代入，消去t得直线的普通方程为；
由得，，
将代入可得，即曲线的直角坐标方程为；
(2)
设点，
则点到直线的距离，
当，即时，，
所以点到直线的距离最小值为.
B组 能力提升
11．（2022·内蒙古·满洲里市教育研修中心三模（文））在直角坐标系中，圆C的方程为：，如图，为圆上任意一点.
(1)以直线的倾斜角为参数，写出圆C的参数方程；
(2)设点的坐标为，求的最大值.
【答案】(1)，其中为参数，
(2)+1
【分析】（1）根据点P（x，y），可写成极坐标，然后代入圆的方程，即可得到，进而可解.
（2）根据圆的参数方程，x+y=，根据三角函数即可求出最大值
(1)
P为圆C上任意一点，假设P（x，y），OP长度为，则由题可得
，
P还在圆上，则，
有；
则，即，其中为参数，
(2)
x+y=+1
当时，即时，x+y取到最大值+1
12．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学三模（理））如图，某“京剧脸谱”的轮廓曲线由曲线和围成．在平面直角坐标系中，的参数方程为(为参数，且)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为．
(1)求的普通方程和的直角坐标方程；
(2)已知曲线与轴、轴的正半轴分别交于A、B两点，求曲线上任意一点到直线的距离的最大值．
【答案】(1)；；
(2)．
【分析】(1)消去参数t即可的普通方程；将代入极坐标方程，即可求出其直角坐标方程；
(2)利用椭圆的参数方程设上任意一点的坐标，利用点到直线的距离公式和三角函数最值即可求解．
（1）
的参数方程为为参数，且，转换为普通方程为；
曲线的极坐标方程为，
根据，转换为直角坐标方程为；
（2）
根据题意得A(3，0)，B(0，3)，
则直线AB的方程为，即x+y-3=0，
设上任意一点为D(3cosθ，4sinθ)()，
则D到直线AB的距离d=，其中tanφ=(0<φ<)，
∵，故当时，d有最大值，
即曲线上任意一点到直线的距离的最大值．
13．（2022·河南商丘·三模（理））在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)若直线与轴、轴的交点分别为，两点，为曲线上的任意一点，求的面积的最小值．
【答案】(1)直线的普通方程；曲线的直角坐标方程为．
(2).
【分析】（1）直接消去参数得普通方程，利用互化公式得到曲线的直角坐标方程；
（2）由题可设，利用点到直线的距离公式求解可得.
(1)
由直线的参数方程为消去参数，得
直线的普通方程；
由得，则，
所以曲线的直角坐标方程为．
(2)
由（1）可知，，设，
则点到直线的距离为
，其中，
当时，，
又，
所以的面积的最小值为．
14．（2022·全国·模拟预测（文））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若点M，N分别为曲线C和直线l上的动点，求的最小值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用消去参数，可得曲线C的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可求出直线l的直角坐标方程，
（2）设曲线C上任意一点到直线l的距离为d，然后利用点到直线的距离公式表示出，再根据三角函数的性质可求出其最小值
(1)
由曲线C的参数方程为（为参数）可知，
故曲线C的直角坐标方程为.由直线l的极坐标方程为，
结合，可知l的直角坐标方程为.
(2)
的最小值即为曲线C上任意一点到直线l距离的最小值.
设曲线C上任意一点到直线l的距离为d，
则，
故的最小值为.
15．（2022·四川雅安·模拟预测（理））数学中有许多美丽的曲线，如在平面直角坐标系xOy中，曲线的形状如心形（如图），称这类曲线为心形曲线．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．当时，
(1)求E的极坐标方程；
(2)已知P，Q为曲线E上异于O的两点，且，求的面积的最大值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）将，代入曲线E，化简可得答案；
（2）不妨设，，，，则的面积，令，可得，再利用配方计算可得答案.
【详解】（1）将，代入曲线E，
得，即，
所以，E的极坐标方程为；
（2）不妨设，，
即，，
则的面积
，
由于，
令，则，，
则，
故当时，，
即的面积的最大值为．
16．（2022·广西·模拟预测（文））在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数为（为参数）．
(1)求曲线和直线的直角坐标方程；
(2)过原点引一条射线分别交曲线和直线于、两点，求的最大值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）在曲线和直线的参数方程中，消去参数，可得出曲线和直线的直角坐标方程；
（2）设点、，求出直线与曲线的极坐标方程，可得出、的表达式，再利用三角恒等变换结合三角函数的有界性可求得的最大值.
【详解】（1）解：在曲线的参数中，，
所以，曲线的直角坐标方程为，
在直线的参数方程中，消去参数可得，即.
（2）解：曲线的极坐标方程为，即，
直线的极坐标方程为，
设点、，则，，
由可得，
所以，，不妨取，
所以，
，为锐角，且，
因为，则，
故当时，取最大值.
17．（2022·陕西·西乡县教学研究室一模（文））已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)若点，直线l交曲线C于P，Q两点，求的值.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）消参可得直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的转化公式可求圆的直角坐标方程；
（2）直线参数方程代入圆的方程可得关于t的一元二次方程，由根与系数的关系及几何意义求解.
（1）
由直线l的参数方程（t为参数），消去参数可得：
即直线l的普通方程为，
由可得，即，
所以圆C的直角坐标方程：.
（2）
将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程得：
，即，
设P Q关于的参数分别是，
，故与异号，
.
18．（2022·河南安阳·模拟预测（理））在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
(1)写出C的普通方程和一个参数方程；
(2)若直线和分别与C交于与O不重合的点A，B，求．
【答案】(1)普通方程为，参数方程为（为参数）；
(2)
【分析】（1）先由公式求出C的普通方程，再写出参数方程即可；
（2）先联立极坐标方程求得，再结合，由勾股定理求即可.
(1)
由可得，化为普通方程为，即；参数方程为（为参数）；
(2)
将和分别代入，得，解得；，解得；
则，又，则，则.
19．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为，将射线l绕点逆时针旋转后，得到射线，若射线l，分别与曲线C相交于点A，点B．
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据参数方程和普通方程的互化,以及直角坐标方程与极坐标方程的互化即可求解.（2）根据极坐标极角和极径的含义,即可表达出,然后根据二倍角公式即可求解最小值.
(1)
曲线C的参数方程为，（为参数），
则曲线C的直角坐标方程为：．
所以曲线C的极坐标方程为，即
(2)
）设A、B两点极坐标方程分别为，，
，
当，即或时，取最小值．
20．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的心型曲线的极坐标方程为，M为曲线上一动点，曲线的参数方程为（t为参数，）
(1)若与交于A，O，B三点，求的值；
(2)射线OM逆时针旋转后与交于点N，求取最大值时点M的极坐标.
【答案】(1)2
(2)
【分析】(1)写出的极坐标方程，联立求出的极坐标即可证明；(2)设出的极坐标，利用极径的几何意义表示，再利用辅助角公式化简即可确定取最大值时的位置.
(1)
由可得
所以曲线的极坐标方程为和
设，
(2)
设，则
当，即等号成立，
此时，则.
21．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数且），曲线与x轴，y轴分别交于A，B两点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求A，B两点的直角坐标及曲线的直角坐标方程；
(2)设直线与曲线：交于P，Q两点，求的值．
【答案】(1)，，曲线的直角坐标方程为；
(2)的值为5.
【分析】(1)由参数方程取可求点的直角坐标，取可求点的直角坐标，根据极坐标与直角坐标的互化公式可由曲线的极坐标方程求其直角坐标方程；(2)利用直线参数方程的参数的几何意义可求的值．
(1)
由取可得，又，
所以，，故点的直角坐标为，
由取可得，又，
所以，，故点的直角坐标为，
由可得，
所以，又，
所以，
(2)
由(1)，，设
则直线的参数方程为(为参数)，
联立直线的参数方程与曲线的直角坐标方程可得
，
所以，
所以，
设P，Q两点对应的参数为，则
且，
所以，
所以的值为5.
22．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图，在极坐标系中，曲边三角形为勒洛三角形，且，，以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（t为参数）．
(1)求的极坐标方程和所在圆的直角坐标方程；
(2)已知点M的直角坐标为，曲线和圆相交于A，B两点，求．
【答案】(1)；
(2)3
【分析】（1）由已知，可根据题意直接写出的极坐标方程，并标注范围，然后求解出点P的直角坐标，写出所在圆的直角坐标方程即可；
（2）由已知，设A，B对应的参数分别为，将曲线的参数方程带入圆，并根据根与系数关系，求解即可.
【详解】（1）因为，，所以的极坐标方程：，
因为点P的直角坐标是，
所以所在圆的直角坐标方程为．
（注：的极坐标方程不标明的取值范围或写错扣1分）
（2）设A，B对应的参数分别为，
将代入得：
所以
因为，由t的几何意义得：
C组 真题实战练
23．（2019·全国·高考真题（文））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
【答案】（1）；；（2）
【分析】（1）利用代入消元法，可求得的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.
【详解】（1）由得：，又
整理可得的直角坐标方程为：
又，
的直角坐标方程为：
（2）设上点的坐标为：
则上的点到直线的距离
当时，取最小值
则
【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.
24．（2020·全国·高考真题（理））已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：（θ为参数），C2：（t为参数）.
（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.
【答案】（1）；；（2）.
【分析】（1）分别消去参数和即可得到所求普通方程；
（2）两方程联立求得点，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.
【详解】(1)[方法一]：消元法
由得的普通方程为．
由参数方程可得，
两式相乘得普通方程为．
[方法二]【最优解】：代入消元法
由得的普通方程为，
由参数方程可得，
代入中并化简得普通方程为．
(2)[方法一]：几何意义+极坐标
将代入中解得，故P点的直角坐标为．
设P点的极坐标为，
由得，，．
故所求圆的直径为，
所求圆的极坐标方程为，即．
[方法二]：
由得所以P点的直角坐标为．
因为．
设圆C的极坐标方程为，所以，
从而，解得．
故所求圆的极坐标方程为．
[方法三]：利用几何意义
由得所以P点的直角坐标为，
化为极坐标为，其中．
如图，设所求圆与极轴交于E点，则，
所以，所以所求圆的极坐标方程为．
[方法四]【最优解】：
由题意设所求圆的圆心直角坐标为，则圆的极坐标方程为．
联立得解得．
设Q为圆与x轴的交点，其直角坐标为，O为坐标原点．
又因为点都在所求圆上且为圆的直径，
所以，解得．
所以所求圆的极坐标方程为．
[方法五]利用几何意义求圆心
由题意设所求圆的圆心直角坐标为，
则圆的极坐标方程为．
联立得，
即P点的直角坐标为．
所以弦的中垂线所在的直线方程为，
将圆心坐标代入得，解得．
所以所求圆的极坐标方程为．
【整体点评】(1)[方法一]利用乘积消元充分利用了所给式子的特征，体现了解题的灵活性，并不是所有的问题都可以这样解决；
[方法二]代入消元是最常规的消元方法之一，消元的过程充分体现了参数方程与普通方程之间的联系.
(2)[方法一]利用几何意义加极坐标求解极坐标方程是充分利用几何思想的提现，能提现思维的 ；
[方法二]首先确定交点坐标，然后抓住问题的本质，求得的值即可确定极坐标方程；
[方法三]首先求得交点坐标，然后充分利用几何性质求得圆的直径即可确定极坐标方程；
[方法四]直径所对的圆周角为是圆最重要的性质之一，将其与平面向量垂直的充分必要条件想联系进行解题时一种常见的方法；
[方法五]圆心和半径是刻画圆的最根本数据，利用几何性质求得圆心的坐标即可确定圆的方程.
25．（2019·全国·高考真题（理））如图，在极坐标系中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.
（1）分别写出，，的极坐标方程；
（2）曲线由，，构成，若点在上，且，求的极坐标.
【答案】(1) ,,,
(2) ,,,.
【分析】(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中的取值范围.
(2)根据条件逐个方程代入求解，最后解出点的极坐标.
【详解】(1)由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.
，
,.
(2)解方程得，此时P的极坐标为
解方程得或，此时P的极坐标为或
解方程得，此时P的极坐标为
故P的极坐标为,,,.
【点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题.
26．（2020·全国·高考真题（文））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点.
（1）求||：
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）由参数方程得出的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出的值；
（2）由的坐标得出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.
【详解】（1）令，则，解得或（舍），则，即.
令，则，解得或（舍），则，即.
；
（2）由（1）可知，
则直线的方程为，即.
由可得，直线的极坐标方程为.
【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.
27．（2017·全国·高考真题（理））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为
．
（1）若，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求．
【答案】（1），；（2）或．
【详解】试题分析：（1）直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立解交点坐标；（2）利用椭圆参数方程，设点，由点到直线距离公式求参数．
试题解析：（1）曲线的普通方程为.
当时，直线的普通方程为.
由解得或.
从而与的交点坐标为，.
（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为
.
当时，的最大值为.由题设得，所以；
当时，的最大值为.由题设得，所以.
综上，或.
点睛:本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表示出椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数的值．
28．（2022·全国·高考真题（文））在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．
(1)写出l的直角坐标方程；
(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；
（2）方法一：联立l与C的方程，采用换元法处理，根据新设a的取值范围求解m的范围即可.
【详解】（1）因为l：，所以，
又因为，所以化简为，
整理得l的直角坐标方程：
（2）[方法一]：【最优解】参数方程
联立l与C的方程，即将，代入中，
可得，
化简为，
要使l与C有公共点，则有解，
令，则，令，，
对称轴为，开口向上，
，
，
，即m的取值范围为.
[方法二]：直角坐标方程
由曲线的参数方程为，为参数，消去参数，可得，
联立，得，即，即有，即，的取值范围是．
【整体点评】方法一：利用参数方程以及换元，转化为两个函数的图象有交点，是该题的最优解；
方法二：通过消参转化为直线与抛物线的位置关系，再转化为二次函数在闭区间上的值域，与方法一本质上差不多，但容易忽视的范围限制而出错．
29．（2017·全国·高考真题（理））在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；
（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）
【详解】试题分析：（1）设出P的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为；
（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得面积的最大值为.
试题解析：解：（1）设P的极坐标为（）（＞0），M的极坐标为（）由题设知
|OP|=，=.
由|OP|=16得的极坐标方程
因此的直角坐标方程为.
（2）设点B的极坐标为 （）.由题设知|OA|=2，，于是△OAB面积
当时， S取得最大值.
所以△OAB面积的最大值为.
点睛:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.

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