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(共12张PPT)
解题是一种实践性的技能，就象游泳、滑雪一样，
只能通过模仿、练习和钻研学到它。
------玻利亚
浙教版八上数学
第一章 二次根式章末复习
------代数式的恒等变形
我们学过的整式、分式的四则运算以及因式分解都是代数式的恒等变形，
恒等变形的方法灵活多变，技巧性强。
在初中数学中，代数式的恒等变形是重要的知识点之一。
如果两个代数式在字母允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等。
所谓恒等变形是指在字母允许的范围内，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式。
恒等变形的方法灵活多变，技巧性强。
温故知新：
完全平方公式
6种恒等变形：
②
①
.
完全平方公式
拓展1.
x2 +
=
( x - )2 + 2
.
x2 +
=
( x + )2 - 2
.
拓展2.
( x + )2 =x2 +2+
.
x=( )2
y=( )2
x + 2 + y =
.
（）2
.
x - 2 + y =
.
（）2
.
平方差公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
拓展.
a-b=()()
.
( x - )2 =x2 - 2+
(x≠0)
(x
.
(
.
（1）.已知 ， 计算：
夯实基础，稳扎稳打
解法1【直接代入】：
解法2【整体代入】：
解：
( x - )2 + 2
.
x2 +
=
=（）2+2=6+2=8
.
.
（1）已知：x -
,求x2+ 的值
2.计算：
.
3.计算：
(1)已知x＝－1，y＝＋1，
求的值
解：x＋y＝2，
xy＝1，
＝
=
(2)2－2×1＝6.
=
5 .比较 和 的大小。
1.差值法
性质：如果a-b>0, 那么a>b; 如果a-b<0, 那么a解：∵
连续递推，豁然开朗
比较两个数的大小。
6 .比较 和 的大小。
性质：当a>0, b>0时, 如果 , 那么a>b。
解：
1.平方法。
分析：
>
>
>
>
性质：当a>0, b>0时，如果a>b,那么 。
倒数法：
7. 比较 和 的大小。
解：∵
8．我们学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看成是一个数的平方，如3＝()2，5＝()2，下面我们观察：(－1)2＝()2－2×1×＋12＝2－2 ＋1＝3－2 .
反之，3－2 ＝2－2 ＋1＝(－1)2，∴3－2 ＝(－1)2，
∴＝－1. (1)化简. (2)化简.(3)化简.
(4)若＝±，则m，n与a，b的关系是什么？并说明理由．
思维拓展，更上一层
.
(4)理由：把±两边平方，
得a±2 ＝m＋n±2 ，∴
.
(3)－1.
.
解：(1)＋1.
.
(2)＋1.
.
解：(1)m2＋3n2；2mn
(2)答案不唯一，如：21；12；3；2
(3)由探索可得4＝2mn，所以mn＝2.因为m，n均为正整数，所以m＝1，n＝2或m＝2，n＝1.当m＝1，n＝2时，a＝m2＋3n2＝12＋3×22＝13；
当m＝2，n＝1时，a＝m2＋3n2＝22＋3×12＝7.因此a的值为13或7.
8．阅读材料：
小明在学习完二次根式后，发现一些式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2 ＝＋)2.善于思考的小明进行了如下探索：
设a＋b＝＋)2(其中a，b，m，n均为正整数)，
则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，∴a＝m2＋2n2，b＝2mn.
这样小明就找到了把类似a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b=+)2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝__________，b＝__________；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n
填空：______＋______＝(______＋______ )2；
(3)若a＋4 ＝+)2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
.二次根式专项训练（1）
夯实基础，稳扎稳打
计算：(1) (＋)×÷3　　 　　(2) ÷－×＋
(3＋2)2－(4＋)(4－) (4) －＋(1－)0－|－2|
(＋1)(－1)＋－ (6) (＋)×.
连续递推，豁然开朗
2．(1)若a＋＝4(0＜a＜1)，求－的值；
(2)已知x＝，y＝，求＋的值．
3.已知，求代数式的值
4．已知x=，y=，求的值
思维拓展，更上一层
5．读取表格中的信息，解决问题.
n＝1 a1＝＋2 b1＝＋2 c1＝1＋2
n＝2 a2＝b1＋2c1 b2＝c1＋2a1 c2＝a1＋2b1
n＝3 a3＝b2＋2c2 b3＝c2＋2a2 c＝a2＋2b2
… … … …
求满足≥2022×(－＋1)的n可以取得的最小整数值．
6.已知，求的值.
7.计算：＋＋＋…＋.
8．已知a＋b＝－2，ab＝，求＋的值．
1.解：(1)原式＝(3＋2)÷3＝1＋ .
(2)原式＝4÷－＋2＝4－＋2＝4＋.
(3)原式＝9＋12＋20－(16－5)＝29＋12－11＝18＋12.
(4)原式＝－2－2＋1－(2－)＝－2－2＋1－2＋＝－3－.
(5)原式＝3－1＋2－1＝1＋2
(6)原式＝×＋×＝1＋9＝10.
2．解：(1)∵a＋＝4，∴a＋－2＝2.∴()2＋－2＝2，
∴＝2.∵0＜a＜1，∴＞1，∴＜.∴－＝－.
(2)x＝＝(－)，y＝＝(＋)，
∴＋＝＋＝＋＝12.
3.解：把代入代数式得：===．
4.解：原式=====4．
5．　解析：由a1＋b1＋c1＝＋2＋＋2＋1＋2＝3(＋＋1)，a2＋b2＋c2＝9(＋＋1)，…，an＋bn＋cn＝3n(＋＋1)，∵≥2022×(－＋1)，∴an＋bn＋cn≥2022×(－＋1)(＋)＝2022(＋＋1)，∴3n≥2022，∴36＜2022＜37.∴n最小整数是7.
6.解：因为，
所以，
所以，
所以，所以，，，所以，，，所以.
7.解：原式＝(－1)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1＋－＋－＋＋…－＋＝－1＋＝－1＋10＝9.21教育名师原创作品
878解：由题意知a＜0，b＜0，所以原式＝＋＝＋＝＋＝－＝－＝2.二次根式专项训练（2）
夯实基础，稳扎稳打
1.计算：(1) 3－2＋　　 　(3) ×(－)＋|－2|＋.
(3) ＋(2＋) (4) (4 －3 )÷2
2－4＋3 (6) (－2)2＋＋6 .
（7） （8）
连续递推，豁然开朗
2．已知a＝＋1，b＝，比较a与b的大小
3.已知a=,b=,求下列各式的值:(1) a2+b2-3ab;　　(2) - .
4.．解方程：(1)(5－)x＝2; (2)2x－1＝x＋ .
5．(1)已知x＝＋1，求x＋1－的值；
(2)已知x＝－1，y＝＋1，求＋的值．
思维拓展，更上一层
6.已知x=,求2x2+6x-3的值.
7.已知，求的值.
8．人教版初中数学教科书八年级下册第16页阅读与思考给我们介绍了“海伦﹣秦九韶公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，那么这个三角形的面积S＝．如图，在△ABC中，a＝8，b＝4，c＝6．
（1）求△ABC的面积；
（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，BC边上的高为h3，求h1+h2+h3的值．
1.解：(1)原式＝3×2－2×4＋2＝6－8＋2＝－2＋2.
(2)原式＝－3＋2＋8＝8－ .(3)原式＝2 ＋2 ＋()2＝4 ＋5.
(4)原式＝4 ×－3 ×＝2 －. (5)原式＝6 －＋12 ＝17 .
(6)原式＝3＋4－4 ＋2 ＋6×＝3＋4－4 ＋2 ＋2 ＝7.
（7）（8）
2．　解：b＝＝＝＝＋1＝a，
3..解析　∵a===2+, b===2-,
∴a+b=(2+)+(2-)=4, a-b=(2+)-(2-)=2, ab=(2+)(2-)=4-3=1
.(1)a2+b2-3ab=(a+b)2-5ab=42-5×1=16-5=11. (2) -====8.
4．解：(1)x＝＝；(2)2x－x＝1＋，x＝＝＋.
5．解：(1)原式＝＝－，当x＝＋1时，原式＝－；
(2)x＋y＝2，xy＝1，＋＝＝(2)2－2×1＝6.
6.解　∵x=,∴2x+3=.两边平方,得4x2+12x+9=5,整理,得2x2+6x=-2,∴2x2+6x-3=-2-3=-5.
7.解：将取倒数得，
，.
8．解．（1）根据题意知p＝＝9，
所以S＝，
∴△ABC的面积为3；
∵S＝ch1＝bh2＝ah3＝3，∴×6h1＝×4h2＝×8h3＝3，
∴h1＝，h2＝，h3＝，∴h1+h2+h3＝．二次根式专项训练（3）
夯实基础，稳扎稳打
1．把下列二次根式化为最简二次根式：
（1） （2） （3） （4）（5）2（a，b，c均大于0）
2．计算：（1） （2）
（3）﹣÷﹣×+； (4) 3×÷2；
（5）（+）（﹣）+（+）2﹣．
连续递推，豁然开朗
3．如图，如果正方形ABCD的面积为12，正方形BEFG的面积为6，求△ADF的面积．
4．比较＋与＋2的大小关系．
5．先化简，再求值： ÷ ，其中a＝2＋，b＝2－.
6.先化简，再求值：(6x ＋ )－(4y ＋ )，其中x＝＋1，y＝－1.
思维拓展，更上一层
7．如果一个三角形的三边的长分别为a、b、c，那么可以根据秦九韶－海伦公式S＝[其中p＝(a＋b＋c)]或其他方法求出这个三角形的面积．试求出三边长a、b、c分别为，3，2的三角形的面积．
8.小明在解方程－＝2时采用了下面的方法：由(－)(＋)＝()2－()2＝(24－x)－(8－x)＝16，又有－＝2，可得＋＝8，将这两式相加可得，将＝5两边平方可解得x＝－1，
经检验x＝－1是原方程的解．请你学习小明的方法，解下面的方程：
(1)方程＋＝16的解是________；
(2)解方程＋＝4x
解：（1）原式＝＝＝；
（2）原式＝＝；
（3）原式＝＝；（4）原式＝＝＝；
（5）原式＝4ab．
2.解：（1）＝2+2﹣3+＝3﹣；
（2）
（3）原式＝﹣﹣2+＝﹣2；（4）原式＝
（5）原式＝7﹣5+2+﹣2﹣＝2．
3．解：∵正方形ABCD的面积为12，正方形BEFG的面积为6，
∴AB＝AD＝2，BG＝，
∴S△ADF＝AD AG＝×2×（2﹣）＝6﹣3．
4．解：∵(＋)2＝7＋2 ＝7＋，(＋2)2＝7＋4 ＝7＋，
∴(＋)2<(＋2)2.又∵＋>0，＋2>0，∴＋<＋2.
5．解：原式＝÷＝·＝，当a＝2＋，b＝2－时，原式＝＝＝.
26解：∵x＝＋1>0，y＝－1>0，∴原式＝(6＋3)－(4＋6)＝－.
当x＝＋1，y＝－1时，原式＝－＝－＝－1.
7．解：∵a＝，b＝3，c＝2，∴p＝(a＋b＋c)＝(＋3＋2)＝，则p－a＝－＝，p－b＝－3＝，p－c＝－2＝，∴S＝＝＝＝3.
8．解：(1)x＝±　解析：(＋)(－)＝()2－()2＝(x2＋42)－(x2＋10)＝32.∵＋＝16，∴－＝32÷16＝2，∴∵()2＝x2＋42＝92＝81，∴x＝±，经检验x＝±是原方程的解，∴方程＋＝16的解是x＝±；
(2)(＋)(－)＝()2－()2＝(4x2＋6x－5)－(4x2－2x－5)＝8x.∵＋＝4x，∴－＝8x÷4x＝2，∴
∵()2＝(2x＋1)2，∴4x2＋6x－5＝4x2＋4x＋1，∴2x＝6，解得x＝3，经检验x＝3是原方程的解，∴方程＋＝4x的解是x＝3.二次根式专项训练（4）
夯实基础，稳扎稳打：
“一”判：判定计算结果的符号；“二”求：各数的绝对值；“三”运算：绝对值运算
1.计算：(1)×(-6) (2)6×(-2) (3)××(-)
(4)÷3× (5)5x÷3·(x>0)
（9）5 （﹣）÷3．
连续递推，豁然开朗
2.．
3.阅读下面的解题过程,再解答问题.
5=×==. 化简:(1) ; (2)
4.如从一个大正方形中裁去面积为15 cm2和24 cm2的两个小正方形,求剩下部分的面积.
5. 已知 是 的算术平方根， 是 的立方根，求 ， 的值．
6. 已知 ，，试求 的值．
7. 已知：，求：代数式 的值．
8.已知xy＞0，化简二次根式x
9.已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，
求（1）Rt△ABC的面积；（2）斜边AB的长．
10.解方程组．
思维拓展，更上一层
11.若a=，计算共有2000层的值．
12.化简
二次根式专项训练（4）
夯实基础，稳扎稳打：
1.计算：(1) ×(-6)=×(-6)×=-2=-10.
(2)6×(-2)=6×(-2)×=-12=-12×9=-108.
(3)××(-)=××(-)=2×=2.
(4)原式=××= - = - = - .
(5)原式=5x··=·==.
；
；
；
（9）5 （﹣）÷3=2b2 （﹣a） =﹣3a2b2．
连续递推，豁然开朗
2.解：，，，
原式．
3.解:(1)=×==.
(2)由二次根式的性质,知a<0,所以原式= =-×=-=-.
4.解:由题意得剩下的形是两个相同的长方形,
长为=2 cm,宽为 cm ,∴S剩=2×2×=12(cm2).
5. ，，解得 ，，
把 ， 代入 ，，可得 ，．
6. ．
7. ， ，
．
8.解：根据题意，xy＞0，得x和y同号，又x中，≥0，得y＜0，
故x＜0，y＜0，
所以原式= ．
9.解：（1）Rt△ABC的面积=AC×BC=×（+）（﹣）=；
（2）斜边AB的长==．
10.解： ①×+②，得，解得，x=，
将x=代入①，得y=1，∴原方程组的解是．
思维拓展，更上一层
2+=2+=2+(-1)==a,原式==-1
12.化简二次根式专项训练（5）
夯实基础，稳扎稳打
1.计算：1. 2.
4. .
5. . 6.
连续递推，豁然开朗
2.计算： 3.计算： .
4.若m2-n2=4,且m>0,n>0,求m-n的值.
5.已知,求3x2－5xy+3y2的值.
6.已知实数的整数部分是m,小数部分是n，求的值.
7.已知在Rt△OAB中，∠B=90°，，BA=2．把△OAB按如图方式放置在直角坐标系中，使点O与原点重合，点A落在x轴正半轴上．求点B的坐标．
8.已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，求
（1）Rt△ABC的面积．（2）斜边AB的长．（3）求AB边上的高．
思维拓展，更上一层
9.若+=，求﹣的值
10.+ +
先阅读下列的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个数
、b使，这样就得到：
例如：化简
由上述例题的方法化简：
⑴ ⑵ ⑶
二次根式专项训练（5）
夯实基础，稳扎稳打
1.解：.
2解：.
3解：
.
4解：
.
5解：原式.
6. ===.
连续递推，豁然开朗
2解：
=4.
3解:.
4.解:因为m2-n2=4,所以m2=4+n2,m2-4=n2.因为m>0,n>0,
所以m-n=m-n=m2-n2=4.
5解：∵,
∴x－y＝，xy＝1，
∴3x2－5xy+3y2=3(x－y)2+xy=289.
6解：∵,又∵5<3+2<6，
∴m＝5，，∴.
7.解：过点B作BC⊥x轴交x轴于点C，如图，由题意，得，AB=2，
∵∠B=90°，∴OB2=OA2﹣AB2=12﹣4=8，解得OB=2，
∵BC OA=OB OC，∴BC==，
在Rt△OBC中，OC==，∴B点坐标为（，）．
8.解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，
∴Rt△ABC的面积===4，
（2）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，
∴AB===2，
（3）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，AB=2，
∴AB边上的高是：=，
思维拓展，更上一层
9.若+=，求﹣的值
10. + +
= + +
=（）+（）+（）+（）+（）+（）
+（）+（）==3-1=2
11．⑴
⑵
⑶

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