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南京市 2023 届高三年级期末调研模拟
数 学
选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
D C B C D D A B
选择题
9 10 11 12
ABC ABD ACD ACD
填空题
2 5
13 14
5 2
4 sin1 2 π
15 16
3 或 e
－
4
e 2
解答题
17．解：
由题意，(X，Y)的所有可能取值为(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)，
1 1 1 3
且 p03＝p30＝C
0×( )33 ＝ ，p12＝p
1 3
2 8 21
＝C3×( ) ＝ ， 2 8
所以(X，Y)的联合分布列为：
(X，Y) 3 2 1 0
1
3 － － －
8
3
2 － － －
8
3
1 － － －
8
1
0 － － －
8
18．解：
（1）
设 AB＝a，BC＝b，BB1＝c，
→→ → →
且AC·AB1＝|AC |·|AB1|·cos∠CAB1，
→→
由余弦定理得：AC·AB1＝a2＝4，则 a＝2，
— 1 —
又 AC1＝ 6＝ a2＋b2＋c2，所以 b2＋c2＝2，
2 2 b2＋c2 2
且VACB1D1＝ bc≤ × ＝ ， 3 3 2 3
2
即四面体 ACB1D1 体积的最大值为 ； 3
（2）
过点 D 作 AC 的垂线，垂足为 E，连接 D1E，
因为 DD1⊥平面 ABCD，AC 平面 ABCD，
所以 DD1⊥AC，且 AC⊥DE，
又 DE∩DD1＝D，DE，DD1 平面 DED1，
所以 AC⊥平面 DED1，且 D1E 平面 DED1，
所以 AC⊥D1E，即∠DED1 为二面角 D－AC－D1的平面角，
记二面角 B－AC－D1 的平面角为 θ，
则二面角 D－AC－D1的平面角为 π－θ，
DD 6c21 －c4 5
所以 sinθ＝ ＝ ＝ ，
D1E －c4＋2c2＋8 3
则(c2－1)(c2－10)＝0，且 c2＜2，所以 c＝1，
且VABCD－A1B1C1D1＝2bc＝2，
所以 ABCD－A1B1C1D1的体积为 2．
19．解：
（1）
记△ABC 的面积为 S，
π 3π
因为 S1＋S2－S ＝ (a2＋b23 －c2)＝A＋B＝π－C＝ ， 4 4
由余弦定理，则 a2＋b2－c2＝2abcosC＝ 2ab＝3，
1 1 3 2 3
所以 S＝ absinC＝ × × ＝ ；
2 2 2 2 4
（2）
2(π－C) π
因为 ab＝ ＞0，所以 0＜C＜ ，
πcosC 2
1 π－C △
且 S＝ absinC＝ tanC＝f(C)，
2 π
tanC π－C π
又 f ′(C)＝－ ＋ ＞0，所以 f(C)在(0， )单调递增，
π πcos2C 2
— 2 —
2 3 π 8
且 f(C)＝ ，从而 C＝ ，ab＝ ，
3 3 3
8
由余弦定理，2abcosC＝a2＋b2－c2＝ ，
3
8 8 8 2 6
所以 c2＝a2＋b2－ ≥2ab－ ＝ ，即 c≥ ，
3 3 3 3
4 6 2 6
且 a＋b≥2 ab＝ ，当且仅当 a＝b＝c＝ 时，取等号，
3 3
2 6
所以△ABC 周长的最小值 3× ＝2 6．
3
20．解：
（1）
a1 an
因为 ＝1，{ }是公差为 1 的等差数列，
b1 bn
an
所以 ＝n，即 an＝nbn， bn
且 b2－b1＝1，所以bn＋1－bn＝2n－1，
累加得bn＋1－b1＝n2，所以 bn＝(n－1)2＋1，
则 a 3 2n＝nbn＝n －2n ＋2n；
（2）
因为bn＋1－bn＝2n＋b2－3，
累加得bn＋1－b1＝n2－2n＋nb2，所以 b 2n＝n －4n＋4＋(n－1)b2，
则 an＝n3－4n2＋4n＋n(n－1)b2，
△
则 a1＝1，ab2＝2－5＋4b2＝f(b2)，
且 f ′(b2)＝6－10b2＋4≥0，
所以ab2≥a1，且 a1≥ab2，所以 b2＝1，
所以 b 2n＝n －3n＋3，
且 b1＝b2＝1，b ＝n2n －3n＋3＞n2－3n＋2，
1 1 1 1 1
从而 ＝ 2 ＜ ＝ － (n≥3)， bn n －3n＋3 n2－3n＋2 n－2 n－1
1 1 1 1
所以 ＋ ＋…＋ ＜3－ ＜3(n≥3)，
b1 b2 bn n－1
1 1 1
当 n＝1 时， ＝1＜3，n＝2 时， ＋ ＝2＜3，
b1 b1 b2
1 1 1
所以 ＋ ＋…＋ ＜3．
b1 b2 bn
21．解：
— 3 —
（1）
1
设 C 的半焦距为 c，且 C 的准线方程为 x＝± ，
2
1 a2 1
所以 ＝ ＝ ，即 c＝2，所以 b＝ c2－a2＝ 3；
2 c c
（2）
y2
由（1）知 C：x2－ ＝1，设点 A(x0，y0)，F1(－2，0)，F2(2，0)， 3
y0y
首先证明：l：x0x－ ＝1，并将 l 斜率不存在的情况舍弃， 3
y2
联立 x2－ ＝1 消去 x 得：y2－2y y＋3x20 0－3＝0， 3
y0y 3x0 3
且 Δ＝4y2 20－4(3x0－3)＝0，所以 l：x0x－ ＝1，即 y＝ x－ ， 3 y0 y0
y0 y0
所以直线 F2B：y＝－ (x－2)，F1A：y＝ (x＋2)， 3x0 x0＋2
2－2x0 2y0 2－2x0
联立直线 F2B，F1A，解得 B( ， )，且 ≠－1，
1＋2x0 1＋2x0 1＋2x0
2－2x0 4＋2x0
注意到(x ＋2)2＋y20 0＝(2x0＋1)2，且 ＋2＝ ，
1＋2x0 1＋2x0
4＋2x0 2y0
从而( )2＋( )2＝4，
1＋2x0 1＋2x0
所以点 B 的轨迹方程为(x＋2)2＋y2＝4，其中 x≠－1，
即点 B 在定曲线上．
22．解：
（1）
a
记 h(x)＝f(x)－g(x)＝(1－ )lnx＋ax2－2x≥0，
2
1
①当 a≤2 时，取 f( )＜0，不符条件；
2
a a
2ax2－2x＋1－ (2x－1)(ax－1＋ )
2 2
②当 a＞2 时，h′(x)＝ ＝ ，
x x
1 1
令 h′(x)＜0，h′(x)＞0，所以 h(x)在(0， )单调递减，在( ，＋∞)单调递增，
2 2
1 a a 4＋4ln2
所以 h( )＝( －1)ln2＋ －1≥0，即 a≥ ，
2 2 4 1＋2ln2
4＋4ln2
则 a 的取值范围为[ ，＋∞)；
1＋2ln2
（2）
— 4 —
a a
因为 g′(x)＝2＋ ，令 g′(x)＝0，则 x
2x 0
＝－ ，4ex ＝－ea，
4 0
1
且 f ′(x)＝2ax＋ ，令 f ′(x)＞0，f ′(x)＜0，
x
1 1
所以 f(x)在(0， － )单调递增，在( － ，＋∞)单调递减，
2a 2a
1 1 1 1 1
且 f( － )＝－ ＋ ln(－ )＞0，所以－ ＜a＜0，
2a 2 2 2a 2e
1
取 x＝1，则 f(1)＝a＜0，所以 1＜x1＜ e＜ － ＜x2， 2a
1 1 1 1 1
取 x＝－ ，则 f(－ )＝ 2 ＋ln(－ )，记 t＝－ ，0＜t＜2， ea ea e a ea ea
t 1 1
所以 f(t)＝lnt－ ，且 f ′(t)＝ － ＞0，所以 f(t)在(0，2)单调递减，
e t e
x1 1
所以 f(t)＜0，从而 ＞ ＞－ea＝4ex ．
x2 x
0
2
— 5 —南京市2023届高三年级期末调研模拟
数 学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合M＝{x＋1|－1≤x＜3}，N＝{2x|0＜x≤2}，则M∩N＝
A．{x|0≤x＜4} B．{x|0＜x＜4}
C．{x|1≤x＜4} D．{x|1＜x＜4}
2．若复数z满足|z－|＝2，z·＝3，则z2的实部为
A．－2 B．－1 C．1 D．2
3．若等差数列{an}的前5项和为75，a4＝2a2，则a9＝
A．40 B．45 C．50 D．55
4．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(－1＜X≤2)＝3P(X＞5)，则P(－1＜X≤5)＝
A．0.5 B．0.625 C．0.75 D．0.875
5．若正n边形A1A2…An的边长为2，·＝20，则n＝
A．6 B．8 C．10 D．12
6．已知O为坐标原点，椭圆C：＋y2＝1(a＞1)，C的两个焦点为F1，F2，A为C上一点，其横坐标为1，且|OA|2＝|AF1|·|AF2|，则C的离心率为
A． B． C． D．
7．若sinα＝2sinβ，sin(α＋β)·tan(α－β)＝1，则tanαtanβ＝
A．2 B． C．1 D．
8．若函数f(x)的定义域为Z，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)·[f(y)＋f(－y)]，f(－1)＝0，f(0)＝f(2)＝1，则曲线y＝|f(x)|与y＝log2|x|的交点个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知点A(cosα，sinα)，B(2cosβ，sinβ)，其中α，β∈[0，2π)，则
A．点A的轨迹方程为x2＋y2＝1 B．点B的轨迹方程为＋＝1
C．|AB|的最小值为－1 D．|AB|的最大值为＋1
10．记函数f(x)＝cos(ωx＋)(ω＞0)的最小正周期为T，且＜T＜nπ(n∈N*)．若x＝为f(x)的零点，则
A．＜ω＜ B．ω＜
C．x＝可能为f(x)的零点 D．x＝可能为f(x)的极值点
11．对于伯努利数Bn(n∈N)，有定义：B0＝1，Bn＝Bk(n≥2)．则
A．B2＝ B．B4＝ C．B6＝ D．＝0
12．已知函数f(x)＝sin，g(x，n)＝f(x＋i)(n≥2)，则
A．g(x，4n)＝0 B．g(x，4n＋2n)＋f(x)＝0
C．g(x＋1，nf(n))＋f(x)＝0 D．g(x＋n，nf(n))＋f(x)＝0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．小颖和小星在玩抽卡游戏，规则如下：桌面上放有5张背面完全相同的卡牌，卡牌正面印有两种颜色的图案，其中一张为紫色，其余为蓝色．现将这些卡牌背面朝上放置，小颖和小星轮流抽卡，每次抽一张卡，并且抽取后不放回，直至抽到印有紫色图案的卡牌停止抽卡．若小颖先抽卡，则小星抽到紫卡的概率为__________．
14．已知O为坐标原点，抛物线C：y＝x2的焦点为F，过点O的直线与C交于点A，记直线OA，FA的斜率分别为k1，k2，且k1＝3k2，则|FA|＝__________．
15．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面PCD，则P－ABCD体积的最大值为__________．
16．若函数f(x)＝aex－sinx，g(x)＝aex－xsinx，且f(x)和g(x)在[0，π]一共有三个零点，则a＝__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
设(X，Y)是一个二维离散型随机变量，其所有可能取值为(ai，bj)，其中i，j∈N*．记pij＝P(X＝ai，Y＝bj)是随机变量(X，Y)的联合分布列．与一维的情形相似，二维分布列可以如下形式表示：
(X，Y) b1 b2 …
a1 p11 p12 …
a2 p21 p22 …
… … … …
现将3张卡片等可能地放入A，B两盒，记A盒中的卡片数为X，B盒中的卡片数为Y，求(X，Y)的联合分布列．
18．（12分）
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，·＝4，AC1＝．
（1）求四面体ACB1D1体积的最大值；
（2）若二面角B－AC－D1的正弦值为，求ABCD－A1B1C1D1的体积．
19．（12分）
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为直径的三个圆的面积依次为S1，S2，S3．已知S1＋S2－S3＝A＋B．
（1）若C＝，求△ABC的面积；
（2）若△ABC的面积为，求△ABC周长的最小值．
20．（12分）
已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝1，{}是公差为1的等差数列，{－bn}是公差为2的等差数列．
（1）若b2＝2，求{an}，{bn}的通项公式；
（2）若b2∈N*，an≥，证明：＋＋…＋＜3．
21．（12分）
已知双曲线C：x2－＝1(b＞0)的准线方程为x＝±，C的两个焦点为F1，F2．
（1）求b；
（2）若直线l与C相切，切点为A，过F2且垂直于l的直线与AF1交于点B，证明：点B在定曲线上．
22．（12分）
已知函数f(x)＝ax2＋lnx，g(x)＝2x＋lnx．
（1）若f(x)≥g(x)，求a的取值范围；
（2）记f(x)的零点为x1，x2(x1＜x2)，g(x)的极值点为x0，证明：＞4ex0．

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