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选修三7.4二项分布与超几何分布
知识储备
题型专练
1、二项分布的概率计算
2、二项分布的分布列、均值、方差
3、二项分布的实际应用
4、超几何分布的概率
5、超几何分布的均值
6、超几何分布的综合应用
三、课后加练
一、知识储备
二、题型分类
二项分布的概率计算
1.已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有位患有该病的患者服用了这种药物，位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有位患者被治愈的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知位患者被治愈是相互独立的，每位患者被治愈的概率为，则不被治愈的概率为
所以位患者中恰有1为患者被治愈的概率为故选：B
2.已知X～B，则P(X＝2)等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为X～B，所以.故选：D
2、二项分布的分布列、均值、方差
1.某同学参加学校篮球选修课的期末考试，老师规定每个同学罚篮20次，每罚进一球得5分，不进记0分，已知该同学罚球命中率为60%，则该同学得分的数学期望和方差分别为（ ）.
A．60，24 B．80，120 C．80，24 D．60，120
【答案】D
【解析】设该同学次罚篮，命中次数为，则，
所以，，
所以该同学得分的期望为，
方差为.故选：D
2.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第、、层停靠，若该电梯在底层载有位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯是等可能的，用表示这位乘客在第层下电梯的人数，则___________.
【答案】
【详解】由题意可知，因此，.
3.若随机变量，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为随机变量，所以，，
所以，，D项错误，故选：D.
3、二项分布的实际应用
1.疫情过后，为促进居民消费，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到500元则可参加一轮抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.在一个不透明的盒子中装有6个质地均匀且大小相同的小球，其中2个红球，4个白球，搅拌均匀.
方案一：顾客从盒子中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得50元的返金券，若抽到白球则获得30元的返金券，可以有放回地抽取3次，最终获得的返金券金额累加.
方案二：顾客从盒子中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得100元的返金券，若抽到白球则不获得返金券，可以有放回地抽取3次，最终获得的返金券金额累加.
（1）方案一中，设顾客抽取3次后最终可能获得的返金券的金额为X，求X的分布列；
（2）若某顾客获得抽奖机会，试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望，并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适.
【答案】（1）答案见解析；（2）方案一数学期望为（元），方案二数学期望为100（元）；方案一.
【解析】（1）由题意易知，方案一和方案二中单次抽到红球的概率为，抽到白球的概率为，
依题意，X的取值可能为90，110，130，150.
且，
，
其分布列为
X 90 110 130 150
p
（2）由（1）知选择方案一时最终获得返金券金额的数学期望为
（元），
选择方案二时，设摸到红球的次数为Y，最终可能获得返金券金额为Z元，
由题意可知，，得
由可知，该顾客应该选择方案一抽奖.
超几何分布的概率
1.在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为(　　)
A．N＝15，M＝7，n＝10 B．N＝15，M＝10，n＝7
C．N＝22，M＝10，n＝7 D．N＝22，M＝7，n＝10
【答案】A
【详解】根据超几何分布概率模型知选A.
2．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，故选：D
超几何分布的均值
1.甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为，则=(　　)
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】B
【解析】由已知得
2.把半圆弧分成4等份，以这些分点(包括直径的两端点)为顶点，作出三角形，从这些三角形中任取3个不同的三角形，则这3个不同的三角形中钝角三角形的个数X的期望为_____________.
【答案】
【解析】以这些分点包括直径的两端点为顶点，一共能画出个三角形，
其中钝角三角形有7个，所以，1，2，3，
，，
，，
所以．
超几何分布的综合应用
1.某大学在一次公益活动中聘用了10名志愿者，他们分别来自于A、B、C三个不同的专业，其中A专业2人，B专业3人，C专业5人，现从这10人中任意选取3人参加一个访谈节目．
（1）求3个人来自两个不同专业的概率；
（2）设X表示取到B专业的人数，求X的分布列．
【详解】
令事件A表示“3个来自于两个不同专业”，
表示“3个人来自于同一个专业”，
表示“3个人来自于三个不同专业”，
，
，
个人来自两个不同专业的概率：．
随机变量X有取值为0，1，2，3，
，
，，，
的分布列为：
X 0 1 2 3
P
课后精练
1.2人的兴趣小组中有5人是“三好学生”，现从中任选6人参加竞赛．若随机变量X表示参加竞赛的“三好学生”的人数，则为(　　)
A．P(X＝6) B．P(X＝5) C．P(X＝3) D．P(X＝7)
【答案】C
【详解】由题意可知随机变量X服从参数为N＝12，M＝5，n＝6的超几何分布．由公式P(X＝k)＝，易知表示的是X＝3的取值概率．
2.（多选题）某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响.则下列四个选项中，正确的是（ ）
A．他第3次击中目标的概率是0.9
B．他恰好击中目标3次的概率是0.930.1
C．他至少击中目标1次的概率是1-0.14
D．他恰好有连续2次击中目标的概率为30.930.1
【答案】AC
【详解】∵射击一次击中目标的概率是0.9，∴第3次击中目标的概率是0.9，∴A正确;∵连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，∴本题是一个独立重复试验，根据独立重复试验的公式得到恰好击中目标3次的概率是0.930.1，∴B不正确;∵至少击中目标1次的概率是10.14，∴C正确;∵恰好有连续2次击中目标的概率为30.920.12，∴D不正确.故选：AC.
3．（多选题）袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为，则（ ）
A． B． C．X的期望 D．X的方差
【答案】ACD
【详解】从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等，又取到黑球记1分，取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，所以随机变量服从二项分布，故A正确；，记其概率为，故B错误；
因为，所以的期望，故C正确；因为，所以的方差，故D正确．故选：ACD．
4.设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命中一次的概率是，则该射手每次射击的命中率为______________.
【答案】
【详解】设该射手射击命中的概率为，两次射击命中的次数为，则，由题可知：，即，解得.
5.数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格。某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是______________.
【答案】
【解析】由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：
.
6.江苏实行的“新高考方案：”模式，其中统考科目：“”指语文、数学、外语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“”指首先在在物理、历史门科目中选择一门；“”指再从思想政治、地理、化学、生物门科目中选择门某校，根据统计选物理的学生占整个学生的；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为；在选历史的条件下，选地理的概率为．
（1）求该校最终选地理的学生概率；
（2）该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量．
①求随机变量的概率；
②求的概率分布列以及数学期望．
【答案】（1）；（2）①；②分布列见解析，.
【解析】（1）该校最终选地理的学生为事件，；
因此，该校最终选地理的学生为；
（2）①由题意可知，，所以，；
②由于，则，
，，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
．
7.冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病，而新型冠状病毒(nCoV)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株人，感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状，发热、咳嗽、气促和呼吸困难等在较严重病例中，感染可导致肺炎，严重急性呼吸综合征，肾衰竭，甚至死亡．假如某医药研究机构合成了甲、乙两种抗“新冠病毒”的药物．经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为，现已进入药物临床试用阶段．每个试用组由4位该病毒的感染者组成．其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物．如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”．
（1））求一个试用组为“甲类组”的概率；
（2）观察3个试用组，用表示这3个试用机组“甲类组”的个数，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为．
【详解】解（1）设表示事件“一个试验组中，服用甲种抗病毒药物有效的人数人”，，
表示事件“一个试验组中，服乙有效的人有人”，
依题意有
所求的概率为
（2）的可能值为，且
，
，
，
，
的分布列为
0 1 2 3
数学期望
8.交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T，其范围是[0,10]，分别有五个级别：T∈[0,2)为畅通；T∈[2,4)为基本畅通；T∈[4,6)为轻度拥堵；T∈[6,8)为中度拥堵；T∈[8,10]为严重拥堵．晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如图所示：
(1)这20个路段中轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？
(2)从这20个路段中随机抽出3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布列．
【详解】(1)轻度拥堵的路段个数是(0.1＋0.2)×1×20＝6；中度拥堵的路段个数是(0.3＋0.2)×1×20＝10.
(2)X的可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P选修三7.4二项分布与超几何分布
知识储备
题型专练
1、二项分布的概率计算
2、二项分布的分布列、均值、方差
3、二项分布的实际应用
4、超几何分布的概率
5、超几何分布的均值
6、超几何分布的综合应用
三、课后加练
一、知识储备
二、题型分类
二项分布的概率计算
1.已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有位患有该病的患者服用了这种药物，位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有位患者被治愈的概率为（ ）
A． B． C． D．
2.已知X～B，则P(X＝2)等于（ ）
A． B． C． D．
2、二项分布的分布列、均值、方差
1.某同学参加学校篮球选修课的期末考试，老师规定每个同学罚篮20次，每罚进一球得5分，不进记0分，已知该同学罚球命中率为60%，则该同学得分的数学期望和方差分别为（ ）.
A．60，24 B．80，120 C．80，24 D．60，120
2.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第、、层停靠，若该电梯在底层载有位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯是等可能的，用表示这位乘客在第层下电梯的人数，则___________.
3.若随机变量，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
3、二项分布的实际应用
1.疫情过后，为促进居民消费，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到500元则可参加一轮抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.在一个不透明的盒子中装有6个质地均匀且大小相同的小球，其中2个红球，4个白球，搅拌均匀.
方案一：顾客从盒子中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得50元的返金券，若抽到白球则获得30元的返金券，可以有放回地抽取3次，最终获得的返金券金额累加.
方案二：顾客从盒子中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得100元的返金券，若抽到白球则不获得返金券，可以有放回地抽取3次，最终获得的返金券金额累加.
（1）方案一中，设顾客抽取3次后最终可能获得的返金券的金额为X，求X的分布列；
（2）若某顾客获得抽奖机会，试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望，并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适.
超几何分布的概率
1.在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为(　　)
A．N＝15，M＝7，n＝10 B．N＝15，M＝10，n＝7
C．N＝22，M＝10，n＝7 D．N＝22，M＝7，n＝10
2．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则等于（ ）
A． B． C． D．
超几何分布的均值
1.甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为，则=(　　)
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
2.把半圆弧分成4等份，以这些分点(包括直径的两端点)为顶点，作出三角形，从这些三角形中任取3个不同的三角形，则这3个不同的三角形中钝角三角形的个数X的期望为_____________.
超几何分布的综合应用
1.某大学在一次公益活动中聘用了10名志愿者，他们分别来自于A、B、C三个不同的专业，其中A专业2人，B专业3人，C专业5人，现从这10人中任意选取3人参加一个访谈节目．
（1）求3个人来自两个不同专业的概率；
（2）设X表示取到B专业的人数，求X的分布列．
课后精练
1.2人的兴趣小组中有5人是“三好学生”，现从中任选6人参加竞赛．若随机变量X表示参加竞赛的“三好学生”的人数，则为(　　)
A．P(X＝6) B．P(X＝5) C．P(X＝3) D．P(X＝7)
2.（多选题）某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响.则下列四个选项中，正确的是（ ）
A．他第3次击中目标的概率是0.9
B．他恰好击中目标3次的概率是0.930.1
C．他至少击中目标1次的概率是1-0.14
D．他恰好有连续2次击中目标的概率为30.930.1
3．（多选题）袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为，则（ ）
A． B． C．X的期望 D．X的方差
4.设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命中一次的概率是，则该射手每次射击的命中率为______________.
5.数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格。某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是______________.
6.江苏实行的“新高考方案：”模式，其中统考科目：“”指语文、数学、外语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“”指首先在在物理、历史门科目中选择一门；“”指再从思想政治、地理、化学、生物门科目中选择门某校，根据统计选物理的学生占整个学生的；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为；在选历史的条件下，选地理的概率为．
（1）求该校最终选地理的学生概率；
（2）该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量．
①求随机变量的概率；
②求的概率分布列以及数学期望．
7.冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病，而新型冠状病毒(nCoV)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株人，感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状，发热、咳嗽、气促和呼吸困难等在较严重病例中，感染可导致肺炎，严重急性呼吸综合征，肾衰竭，甚至死亡．假如某医药研究机构合成了甲、乙两种抗“新冠病毒”的药物．经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为，现已进入药物临床试用阶段．每个试用组由4位该病毒的感染者组成．其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物．如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”．
（1））求一个试用组为“甲类组”的概率；
（2）观察3个试用组，用表示这3个试用机组“甲类组”的个数，求的分布列和数学期望．
8.交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T，其范围是[0,10]，分别有五个级别：T∈[0,2)为畅通；T∈[2,4)为基本畅通；T∈[4,6)为轻度拥堵；T∈[6,8)为中度拥堵；T∈[8,10]为严重拥堵．晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如图所示：
(1)这20个路段中轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？
(2)从这20个路段中随机抽出3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布列．

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