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专题7 三角函数的图象与性质
探究1：三角函数的图象
【典例剖析】
例1.(2020·新高考1卷·多选)如图是函数的部分图象，则( )
A.
B.
C.
D.
【变式训练】
练1-1(2022·湖北省荆州市联考)已知函数的部分图象如图，
，则( )
A. B.
C. D.
练1-2(2021·全国甲卷理科)已知函数的部分图象，如图所示，则满足条件
的最小正整数为 ．
【规律方法】
对形如中参数的确定
准确识别和利用题干中函数图像的信息（如周期、振幅、最值、特征点等），列出方程（组）或不等式（组），常规方法有：
（1）由振幅或最值，可确定;
（2）由周期的值或取值范围，可确定的值或取值范围.
（3）由特征点确定φ的取值.
2. 充分挖掘题干中所给的函数性质（如周期、单调性、最值、奇偶性、对称性等），列出方程（组）或不等式（组）.
特别地，正弦型函数与最小正周期相关的几种表述：
两个相邻最低（高）点的距离，即为;
两个相邻对称轴的距离，即为;
两个相邻对称中心的距离，即为;
相邻对称中心与对称轴的距离，即为.
探究2：三角函数的性质
【典例剖析】
例2.(2022·新高考2卷·多选)已知函数的图象关于点对称，则( )
A. 在单调递减
B. 在有两个极值点
C. 直线是曲线的一条对称轴
D. 直线是曲线的一条切线
【变式训练】
练2-1(2022·湖北省武汉市联考)函数在的单调递增区间是 ．
练2-2(2022·新高考1卷)记函数的最小正周期为若，且的图像关于点中心对称，则( )
A. B. C. D.
练2-3(2020·全国新课标Ⅲ理科)关于函数有如下四个命题：
的图象关于轴对称．
的图象关于原点对称，
的图象关于直线对称．
的最小值为．
其中所有真命题的序号是 ．
练2-4(2022·广东省联考·多选)已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 的最大值为
B. 在上单调递增
C. 在上有个零点
D. 把的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于直线对称
【规律方法】
1.研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）的前提是用公式把已给函数化成同一个角同一种类型的三角函数形式（简称：同角同函）或，常见方法有：
（1）用同角三角函数基本关系式或诱导公式将已给函数化成同名三角函数；
（2）用倍角公式（升幂或降幂）将已给函数化成同角；
（3）用两角和、差公式或辅助角公式将已给函数化成同名三角函数.
2.二次函数型：或，这时需要借助二次函数知识求解，但要注意的取值范围.
若将已给函数化简为更高次的函数，如，则换元后可通过导数求解.如：解析式中同时含有和，令，由关系式得到关于的函数表达式.
探究3：三角函数中的最值与范围问题
【典例剖析】
例3.(2022·全国甲卷文科)将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是( )
A. B. C. D.
【变式训练】
练3-1(2022·河北省名校联考)设,若函数在上单调递增,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
练3-2(2022·辽宁省沈阳市联考)函数的最大值为 ．
练3-3(2022·全国乙卷文科)函数在区间的最小值，最大值分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
练3-4(2022·湖北省武汉市联考)已知函数，则 的最大值为 ．
【规律方法】
三角函数中的范围与最值问题是高考中的一个难点，题型千变万化，解法灵活多样.求解三角函数的最值范围时一定要注意自变量的取值范围，要把这两个最值点弄清楚，求解最值与范围问题一般有以下四种方法：
1.有界性：正弦函数与余弦函数具有相同的值域,这两个函数的有界性是求解三角函数最值或参数取值范围的最基本方法.
2.辅助角法：当三角函数式比较复杂时,我们可以利用公式进行化简,先化成的形式,并引进辅助角,最终化成的形式;再通过求这个函数的值域来求最值或取值范围.
3.换元法：当题目的已知条件中与同时出现时，我们通常巧妙的利用关系式
来换元,把问题转化为二次函数或其他函数的最值问题,注意新函数的定义域.
4.导数法：导数是求解函数最值问题的“神器”.当三角函数的函数名与角无法“统一”时，导数法最有效.
探究4：平面向量与三角函数
【典例剖析】
例4.(2022·湖北省武汉市联考)已知向量设函数．
求函数的最小正周期；
在中，角，，的对边分别为、、，的角平分线交于点若恰好为函数的最大值，且此时，求的最小值．
【变式训练】
练4-1(2022·江苏省无锡市模拟)已知函数，图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图象，的部分图象如图所示，若，则等于( )
A. B. C. D.
练4-2(2022·江苏省百校大联考)已知向量，，函数．
若，且，求的值；
将图象上每一个点的横坐标变为原来的纵坐标不变，再将得到的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，求函数在区间的值域．
【规律方法】
1.三角函数平移与向量平移的综合
三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同，但它们实质是一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问题主要注意两个方面的确定：(1)平移的方向；(2)平移的大小.这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标.
2.三角函数与平面向量平行(共线)的综合
此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与性质进行求解.
3.三角函数与平面向量垂直的综合
此题型在高考中是一个热点问题,解答时与题型二的解法差不多,也是首先利用向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等.
4.三角函数与平面向量的模的综合
此类题型主要是利用向量模的性质，如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法：（1）先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；（2）先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标运算进行求解.
5.三角函数与平面向量数量积的综合
此类题型主要表现为两种综合方式：(1)三角函数与向量的数量积直接联系；(2)利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合.解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解.
专题7 三角函数的图象与性质--答案解析
例1.【解析】由图象可知，故A错误 解得，点在函数图象上，
当时，，解得，
故，
当时，解得，
故函数解析式为，又，
故选BC．
练1-1.【解析】由图可知，，则，
又，，
由图可知，所以，所以，所以，
因为，所以，
令，解得：
关于对称，则，则，
则．
故选C．
练1-2.【解析】由题意可知，函数的周期为，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
所以，所以，，
所以原式可化简为，所以或，
所以或．
当时，
得到，解得，
此种情况下正整数的最小值为．
当，即时，
得到，解得，
此种情况下正整数的最小值为．综上所述，正整数的最小值为．
故答案为．
例2.【解析】由题意得：，所以，即，，
又，所以时，，故
选项A时，，由图象知在单调递减
选项B时，，由图象知在有个极值点
选项C由于，故直线不是的对称轴
选项D令，得，
解得或，，从而得或，，
令，则是斜率为的直线与曲线的切点，从而切线方程为，即．
故选AD．
练2-1.【解析】，
令，得，，
函数的单调增区间为：，．
，函数在的单调递增区间是
故答案为
练2-2.【解析】由题可知：，所以．
又因为的图像关于点中心对称，所以，且．
所以，，所以所以所以．
故选A.
练2-3.【解析】根据题意，易得函数定义域关于原点对称，
，
所以是奇函数，图象关于原点对称，故错误，正确；
若函数关于直线对称，则有，即，
通过化简可得等式成立，故正确；
当时，，故错误．
故答案为．
练2-4.【解析】因为，所以的最大值为，故A正确；
当时，，函数在上先增后减，无单调性，故B不正确
令，得，，故，，
因为，所以，，，，故C正确
把的图象向右平移个单位长度，
得到的图象，当时，取得最小值，故D正确．
故选ACD．
例3.【解析】记为向左平移个单位后得到的曲线，则，
由关于轴对称，可得：，，故有，，所以的最小值为．
故选C．
练3-1.【解析】，由，，可得，
根据正弦函数的单调性，可得：，又，解得，即，
故选．
练3-2.【解析】函数，
当，取得最大值，
故答案为．
练3-3.【解析】，则，
当；当，；当
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
，，
又，，在区间上，，．
故选．
练3-4.【解析】，
，
，即的最大值为．
故答案为：．
例4.【解析】，，
则的最小正周期为
方法一：由恰好为函数的最大值可得，即，
，则可解得，则，
在中，由，可得，
在中，由，可得，，
则可得，，，
，，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
方法二：同上：解得，则，等面积法可得：
即：，
，，,
设且，则且，
，当且仅当时即且时，等号成立．
的最小值为 .
练4-1.【解析】因为函数图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图象，
所以，
因为，，所以，
因为，所以，
又，所以，
过点作轴，垂足为，则，所以，
所以周期．所以，所以，
故选．
练4-2.【解析】，，函数，
，，
，，，
；
由题意，
，，，函数在区间的值域为
2

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