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专题10 平面向量及其应用
探究1：平面向量数量积的最值与范围问题
【典例剖析】
例1.(2022·山东省联考)已知,且，的夹角为,若,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【变式训练】 (
选题意图:
最新联考题，与数量
积有关
的最值和范围问题是高考的热点，可
通过建立适当的直角坐标系,将向量的数量积坐标化,从而转化常见的
三角函数求范围，还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质求解，体现了高考数学的灵活性和创新性.
思维引导：
解法
：取
，说明点
在以
为圆心，半径为
的圆面上
包括边界
，设向量
的夹角为
，推出
取值范围为
；然后求解
的取值范围．
解法
：不妨设
，
，

设
，
，
，
，求出斜率的数量积的表达式，推出范围即可．
)
练1-1(2022·安徽省安庆市联考)已知向量，，满足，，，若对任意，
恒成立，则的取值范围是 ．
练1-2(2022·河北省模拟)已知平面向量，满足，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
练1-3(2022·安徽省滁州市三模)已知平面向量满足，，，与的夹角为，则的最大值为 ．
【规律方法】
平面向量中，有关最值问题的求解通常有两种思路：
1.“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断.
2.“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.
探究2：平面向量与平面几何
【典例剖析】
例2.(2022·北京卷)在中，，，为所在平面内的动点，且，
则的取值范围是( )
A. B. C. D.
(
选题意图:
高考真题，
以三角形和平面向量为载体
，
综合考查了向量的数量积、直线和圆、函数的最值、三角函数等知识点，该题目的解法多样，可通过建立坐标系，利用数量积的坐标运算求解，也可以利用平面向量的线性运算和数量
积进行
求解，
体现了高考数学的灵活性和创新性.
思维引导：
法
一
：建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求解
;
法二：利用平面向量的线性运算与数量积运算进行求解
)
【变式训练】
练2-1(2022·浙江省联考·多选)八卦是我国古代的一套有象征意义的符号如图是八卦模型图，其平面图形记为图中的正八边形，其中，则( )
A. B.
C. D.
练2-2(2022·湖南省长沙市模拟)数学家欧拉于年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：的外心，重心，垂心，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线．若，，则下列各式不正确的是 ( )
A. B.
C. D.
练2-3(2022·浙江省期末)如图，正方形的边长为，为边的中点，为边上一点，若
，则( )
A. B. C. D.
练2-4(2022·湖南省长沙市联考)已知边长为的菱形中，点为上一动点，点满足，
，则的最小值为 ．
【规律方法】
利用向量法解决平面几何问题一般需要三步：
1.寻基底，寻找条件中的已知长度和夹角的不共线的两条线段作为基底
2.用基底表示结论中的有关线段
3.通过向量的运算，研究几何元素之间的关系，并把运算结果翻译成几何关系.
探究3：平面向量与解析几何
【典例剖析】
例3.(2021·全国乙卷文科)已知抛物线：的焦点到准线的距离为．
求的方程；
已知为坐标原点，点在上，点满足，求直线斜率的最大值．
(
选题意图
：
高考真题，向量与参数是圆锥曲线中常见的载体，很好的体现解析几何中数形转化和坐标法的核心思想方法，考查了直线和抛物线的基本知识，考查了向量数形“两面性”的运用转化和求解最值中运用函数基本思想
,
体现了观察、探究、发现变化规律的数学探索学科素养
.
思维引导：
根据焦点
到准线的距离为
求出
，进而得到抛物线方程，
设出点
的坐标
，按照向量关系得出
点坐标，再代入抛物线方程中，表示出
斜率
，结合基本不等式分别讨论
，
，
时
的取值范围，可得结论
.
)
【变式训练】
练3-1(2022·河北省联考) 已知双曲线方程为，，为双曲线的左、右焦点，离心率为，点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，．
求双曲线的标准方程；
过点作直线交双曲线于、两点，则在轴上是否存在定点使得为定值，若存在，请求出的值和该定值，若不存在，请说明理由．
练3-2(2022·广东省深圳市联考)如图，平面直角坐标系中，点为轴上的一个动点，动点满足
，又点满足．
求动点的轨迹的方程；
过曲线上的点，的直线与，轴的交点分别为和，且，过原点的直线与平行，且与曲线交于、两点，求面积的最大值．
【规律方法】
1.运用向量的共线的相关知识，可以较容易地处理涉及三点共线、定比分点、直线等问题。在处理圆锥曲线中求相关量的取值范围、求直线的方程、求待定字母的值、证明过定点等问题时，如能恰当的运用平面向量共线的相关知识，常常能使问题较快捷的得到解决。
2.向量的数量积将一些几何知识与代数知识充分的联系在一起，它可以处理垂直、长度、三角形面积和三角函数等问题。所以在解决圆锥曲线中的一些问题时，它通常可以运用在探索点、线的存在性、求参数的取值范围和求圆锥曲线的方程等方面。
3.解圆锥曲线与平面向量交汇题的关键点：
设相关点的坐标，将平面向量用坐标表示
运用相应的平面向量坐标运算法则（加、减、乘、数乘向量）或运算律或数量积的意义，将问题中向量间的关系（相等、垂直、平行、和差、数量积等）转化为代数关系。
在解题过程中还要涉及到圆锥曲线问题中一些常见方法，如解方程组、解不等式（组）、消元、利用根的判别式求字母的取值范围、利用韦达定理建构方程等等。
专题10 平面向量及其应用--答案解析
例1.【解析】解法：取，
则点在以为圆心，半径为的圆面上包括边界，
设向量的夹角为，由图可知，取值范围为；
，
由于为向量在向量上的投影，且．
故的取值范围是．
解法：不妨设，，．
因为，所以，设，，，，
所以，
由于，故．
故选．
练1-1.【解析】因为，
则，
因为，则，
则
，
所以
故答案为．
练1-2.【解析】，，
又，所以，
不妨设，，，
则，
即，所以，则，
故选．
练1-3.【解析】，可以方向为轴正方向，方向为轴正方向建立直角坐标系，如图所示：
由图可知，，，，，，
以线段为一边可作两个等边三角形：和，
由图可知，，
以为圆心，长为半径作出圆，同理作出圆．
与的夹角为，即与的夹角为，
即，
则点的轨迹为圆中弦所对应的优弧以及圆中弦所对应的优弧不包括端点、．
当在圆中弦所对应的优弧中时，
由图可知，设点，则有，
令，
则，
当时，即时，上式不等式可取等号，此时取得最大值．
故的最大值为；
当在圆中弦所对应的优弧中时，同理可得的最大值为；
综上所述，的最大值为．
故答案为．
例2.【解析】法一：建立如图所示坐标系，
由题易知，设，，，，
设，
，
法二：注意：，，，且
，，
，，
其中，，．
故选D．
练2-1.【解析】对于，两向量方向相反，故错误；
对于，连接交于，由，可得，
由向量的平行四边形法则可得，
又，则，B正确；
对于，由正八边形可得，
则，C正确；
对于，，
，
易得，
又，，则，D错误．
故选：．
练2-2.【解析】，设为中点，由是的重心可得，
所以，故A错误；
，由题意可得，即，故B正确；
，过的外心分别作的垂线，垂足为，如图，
易知分别是的中点，
则
，故C正确；
，因为是的重心，所以，
故
，
由欧拉线定理可得，所以，故D正确．
故选A．
练2-3.【解析】法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立平面直角坐标系如图所示，
则，设，则，故，．
，，解得，
．
故选D．
法二：连接
由题意，，
，
是的中点，
设，
则，
在中，，
即，
解得，．
故选D．
练2-4.【解析】由题意知：，设，
，
．
以与交点为原点，为轴，为轴建立如下图所示的平面直角坐标系：
，，设，，
则，，
，
当时，．
故答案为.
例3.【解析】【解析】抛物线的焦点，准线方程为，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，．
由知，抛物线：，，
设点的坐标为，则，
点坐标为，
将点代入得，整理得，
直线斜率，当时，，
当时，，即，
当且仅当，即时，取等号，
当时，，即，
当且仅当，即时，取等号，
综上所述，，所以直线斜率的最大值为．
练3-1.【解析】【解析】 由题意可得，可得，，所以，
又因为，．
在中，由．
由，所以可得，
而，所以，可得，，
所以双曲线的方程为：；
由可得，
当直线的斜率为时，：，此时，，
由，则，
当的斜率不为时，设：，，，
联立，整理可得：，
因为，，，
因为
2

，
要使为定值，则，解得，
所以在轴上存在定点使得为定值．
练3-2.【解析】法一：设，由题意，设，由得，且，
由得，则，得，
代入整理得，
则动点的轨迹的方程为：．
法二：设
设，则
消去得．
动点的轨迹的方程为：．
，，又直线的斜率存在且，
设直线为：，
可得：，，
由，则，故，，
联立可得：，
又，故直线的方程为，
联立，得：，
即、的横坐标为，
，
点到直线的距离，
，
当且仅当，即时等号成立．
面积的最大值为．
2

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