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2022年吉首市基础教育综合实践改革成果展示活动
高中数学试卷
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．计算（ ）
A．2022 B． C． D．0
3．如图，在四面体中，，，，点在上，且，点为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
4．双曲线（，）的离心率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．设，且，则（ ）
A． B．10 C．20 D．100
6．已知一组数据，，，，的平均数是2，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数和方差分别是（ ）
A．2， B．2，1 C．7，3 D．3，3
7．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（ ）
A．若，，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
8．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．命题“，”的否定是“，”
C．“”是“”的必要条件
D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件
10．如图，正方体的棱长为1，是线段上的动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．的最小值为
C．平面
D．异面直线与，所成角的取值范围是
11．某中学为了解高三男生的体能情况，通过随机抽样，获得了200名男生的100米体能测试成绩（单
位：秒），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．由直方图推断，下列选项正确的是（ ）
A．直方图中的值为0.38
B．由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩的众数为13.75秒
C．由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩不大于13秒的人数为54
D．由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩的中位数为13.7秒
12．函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．点是的对称中心
B．直线是的对称轴
C．在区间上单调递减
D．的图像向右平移个单位得的图像
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．直线：被圆：截得的弦长最短，则实数______．
14．已知函数，则它的单调递增区间是______．
15．求值：______．
16．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，______．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分10分）
（1）计算：；
（2）已知，求．
18．（本小题满分12分）已知集合，．
（1）当时，求；
（2）当时，若“”是“”的充分条件，求的取值范围．
19．（本小题满分12分）已知函数．
（1）若，求的单调递增区间；
（2）若在上的最小值为2，求实数的取值范围．
20．（本小题满分12分）在正四棱柱中，，为的中点．
（1）求证：平面．
（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值，
21．（本小题满分12分）已知椭圆：与椭圆：有相同的离心率，且椭圆过点．
（1）求椭圆的方程；
（1）若直线与椭圆交于、两点，求线段的垂直平分线的方程．
22．（本小题满分12分）设．
（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
2022年吉首市基础教育综合实践改革成功展示活动
高中数学 参考答案：
1．D 2．C 3．B 4．C 5．A 6．C 7．C 8．D
9．BD 10．ABC 11．BC 12．CD
13．1 14． 15． 16．
17．（1）3；（2）．
【详解】（1）原式
．
（2）由于，所以，，所以．
18．（1）；（2）．
【详解】解：（1）当时，由不等式，得，故，
又，所以．
（2）若“”是“”的充分条件，等价于，
因为，由不等式，得，
又，要使，则或，综合可得的取值范围为．
19．（1）；（2）．
【详解】解：（1）．
令，，解得，，
∴的递增区间为．
（2），得．∵在上的最小值为2，
∴，解得．
20．（1）详见解析；（2）．
【详解】（1）证明：如图所示：连接与交于点，因为，为中点，
所以，又平面，平面，所以平面；
（2）解：建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，，则，
设直线与平面所成的角为，则．
21．（1）；（2）．
【解析】（1）已知得，由离心率得，从而得，再计算出后可得椭圆方程；
（2）由韦达定理得中点坐标，由垂直得斜率，然后可得垂直平分线方程．
【详解】解：（1）由题意，椭圆：的离心率为，
∴，∴，∴，∴椭圆方程为；
（2）设，，
由，得，∴，
设中点为，则，∴．
又，∴的垂直平分线方程为，即．
22．（1）；（2）答案见解析．
【分析】（1）不等式转化为对一切实数成立，列不等式即可求解；
（2）不等式转化为，对进行分类讨论求解即可．
【详解】解：（1）由题意可得对一切实数成立，
当时，不满足题意；
当时，得．所以实数的取值范围为．
（2）由题意可得，
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为，
当时，，
当时，，
①当，解集，
②当，解集为，
③当，解集为．
综上所述，当，不等式的解集为，
当，不等式的解集为，
当，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为．

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