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期末复习——双曲线
知识点一：双曲线的定义及几何性质
1双曲线的定义： 平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于常数（小于且不等于零）的点的轨迹（或集合）叫做双曲线． 这两个定点叫做双曲线的 焦点 ，两焦点的距离叫做双曲线的 焦距 ．
2双曲线的标准方程、
①当焦点在轴上时，双曲线的标准方程为：，其中左焦点 ，右焦点 ，如图1
．
②当焦点在轴上时，双曲线的标准方程为：，其中下焦点 ，上焦点 ，如图2
③a，b，c满足的关系
2双曲线的基本性质、
①范围 由方程：可知，双曲线C上任意一点的坐标M都适合不等式 ，即 ，解得 或 ．
因此双曲线 位于两条直线 和 所夹平面区域的外侧，如下图
②对称性 双曲线C是 以轴， 轴为对称轴的轴对称图形；也是以原点为对称中心的中心对称图形 ．这个对称中 心叫做双曲线的中心．
③顶点
如下图，双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点． 双曲线的顶点是 和 ，这两个顶点是双曲线两支中相距最近的点．线段叫做双曲线的 实轴 ，它的长度等于．在轴上作点B1(0，－b)，B2(0，b)，线段叫做双曲线的 虚轴 ，它的 长度等于 .
相应地，和分别是双曲线的实半轴长和虚半轴长．
特别的，实轴和虚轴等长的双曲线叫做 等轴双曲线 ．
④渐近线
焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是
焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是
①共渐近线的双曲线方程的统一表示
与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程，可以统一设为 ，代入条件求出即可．
②由渐近线设双曲线方程的技巧
若双曲线的渐近线方程为 ，则可以设双曲线方程为 ，再利用已知条件求出参数即可．
⑤离心率
双曲线的焦距与实轴的比，叫做双曲线的离心率.
双曲线的离心率有如下的性质：
①由可得 ；
②双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔 ．
题型练习
题型一：双曲线的定义
1．（2022春·天津红桥·高二天津三中校考期中）双曲线的左右焦点分别为，，点P在双曲线C上且，则等于（ ）
A．14 B．26 C．14或26 D．16或24
2．（2022秋·天津滨海新·高二校考开学考试）若双曲线的焦点为，，则b等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
3．（2022春·天津河东·高二统考期末）双曲线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021春·天津南开·高二统考期末）已知圆的圆心为M，设A为圆上任一点，，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
5．（2021春·天津滨海新·高二统考期末）若方程表示双曲线，则的取值范围是________．
题型二：双曲线的性质
（一）求双曲线的方程
1．（2020春·天津河东·高二统考期末）焦距是10，虚轴长是8，经过点的双曲线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021春·天津静海·高二校联考阶段练习）与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022春·天津河北·高二统考期末）若双曲线与椭圆有公共焦点，且离心率，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021春·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校联考期末）与椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022春·天津河东·高二统考期末）已知双曲线的一条渐近线为，且一个焦点坐标是，则双曲线的标准方程是（ ）
A．=1 B．=1 C．=1 D．=1
6．（2021春·天津·高二统考期末）经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为_____________.
（二）焦点三角形
1．（2022春·天津南开·高二统考期末）过双曲线的右焦点有一条弦是左焦点，那么△的周长为（ ）
A．28 B． C． D．
2．（2018春·天津·高二天津一中校考期末）若双曲线的左、右焦点是，过的直线交左支于两点，若，则的周长是_____.
3．（2021春·天津津南·高二校考期中）已知，分别是双曲线的左 右焦点，AB是过点的一条弦（A，B均在双曲线的左支上），若的周长为30，则___________.
(三)双曲线渐近线方程
1．（2022春·天津红桥·高二统考期末）双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
2．（2020春·天津河东·高二统考期末）双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022春·天津南开·高二统考期末）已知双曲线的离心率为2，则C的渐近线方程为（ ）．
A． B．
C． D．
4．（2021春·天津和平·高二校考期末）已知双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021春·天津红桥·高二统考期末）双曲线的渐近线方程为_________．
6．（2022春·天津和平·高二统考期末）双曲线的渐近线方程是___________.
(四)双曲线离心率
1．（2022春·天津滨海新·高二天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021春·天津西青·高二统考期末）三个实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A． B． C．或 D．或
3．（2018春·天津红桥·高二统考期末）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022春·天津河东·高二统考期末）已知，分别为双曲线的左，右焦点，双曲线上的点A满足，且的中点在轴上，则双曲线的离心率为( )
A． B． C．2 D．
5．（2020春·天津和平·高二耀华中学校考期末）已知分别为双曲线的左、右焦点,为双曲线右支上的任意一点,若的最小值为,则双曲线的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
6．（2021春·天津静海·高二静海一中校考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为双曲线在第一象限上的点，直线，分别交双曲线的左，右支于另一点，，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．3 C．2 D．
7．（2022春·天津西青·高二统考期末）已知过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021春·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校联考期末）双曲线的左右焦点分别是，以为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限交于点A，在第二象限交于点B，若，则双曲线的离心率为_______________．
参考答案
题型一：双曲线定义
1【答案】C 2【答案】B 3【答案】A 4【答案】C
5【答案】
题型二：双曲线性质
（一）求双曲线方程
1【答案】A 2【答案】B 3【答案】A 4【答案】A
5【答案】B 6【答案】
（二）焦点三角形
1【答案】C 2【答案】 3【答案】9
（三）渐近线方程
1【答案】C 2【答案】B 3【答案】A 4【答案】A
5【答案】 6【答案】
（四）离心率
1【答案】C 2【答案】D 3【答案】B 4【答案】B
5【答案】A 6【答案】D 7【答案】B 8【答案】

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