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带电粒子在匀强磁场中的运动
一、带电粒子在匀强磁场中的运动
（1）带电粒子平行于磁场方向射入时，带电粒子不受力，做__________运动；
（2）带电粒子垂直于磁场方向射入时，洛伦兹力总始终与速度方向______, 所以洛伦兹力对带电粒子______ 。
（3）带电粒子垂直于磁场方向射入时，洛伦兹力总与速度方向______,起到向心力的作用，所以带电粒子在匀强磁场中做__________运动.
（3）带电粒子做匀速圆周运动的半径大小与匀强磁场的磁感应强度、粒子的速度大小有关.
（4）圆周运动的半径和周期
质量为m、带电量为q的粒子，以速度v垂直射入磁感应强度为B的匀强磁场，粒子做匀速圆周运动所需向心力是由__________提供,根据牛顿第二定律和圆周运动公式求得半径与周期.
匀速圆周运动的半径和周期：
①半径：由qvB＝m得：r＝ 。
②周期：由T＝得：T＝ 。
二、带电粒子在匀强磁场中的运动应用实例
1.质谱仪
（1）原理图：如图所示.
（2）加速：带电粒子进入质谱仪的加速电场，由动能定理得： =
（3）偏转：带电粒子进入质谱仪的偏转磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力： =
（4）由r=可知电荷量相同时，半径将随 变化.
（5）应用：测定带电粒子的质量和分析 .
（6）原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期 .粒子在圆周运动的过程中一-次一次地经过D形盒缝隙，两盒间的电势差一-次一次地反向，粒子就会被一-次一次地加速。
（7）由，得Ekm= ，可见粒子获得的最大动能由 决定，与加速电压 。
答案：匀速直线 垂直 不做功 垂直 匀速圆周 洛伦兹力 qU qvB 质量 同位素 D形盒 相等 qmBR 无关
考点一 带电粒子在有界磁场中运动的临界值问题
当大量带电粒子通过磁场区域时，由于边界的约束而产生“恰好”“最大”“至少”“不相撞”等临界值问题，解决此类问题的关键是画出“临界轨迹”.
1.探究“临界轨迹”的方法
（1）“放缩圆法”：如图，一束带电粒子垂直射入匀强磁场，初速度方向相同，大小不同，所有粒子运动轨迹的圆心都在垂直于初速度方向的直线上，其轨迹为半径放大的动态圆，利用放缩的动态圆，可以找出与右边界相切的“临界轨迹”.
（2）“旋转圆法”：如图，一束带电的粒子垂直射入匀强磁场，初速度大小相同，方向不同，所有粒子运动的轨道半径相同，运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆，通过旋转圆确定粒子“临界轨迹”.
2.判断临界值的常用结论
（1）粒子刚好穿出磁场的条件：在磁场中运动的轨迹与边界相切.
（2）根据半径判断速度的极值：轨迹圆的半径越大，对应的速度越大.
（3）根据圆心角判断时间的极值：粒子运动转过的圆心角越大，时间越长.
（4）根据弧长（或弦长）判断时间的极值：当速率一定时，粒子运动弧长（或弦长）越长，时间越长.
【例1】如图所示，空间存在垂直纸面的匀强磁场，一粒子发射源P位于足够大的绝缘板上方，间距为d，在纸面内向各个方向发射速率均为v的同种带电粒子，不考虑粒子间的相互作用和粒子重力.已知粒子做圆周运动的半径也为d，则粒子（　　）
A.能打在板上离P点的最远距离为d
B.能打在板上的区域长度是2d
C.到达板上的最长时间为
D.到达板上的最短时间为
【例2】（多选）如图所示，ABCD是磁感应强度为B的匀强磁场的边界AB＝2a、BC＝a，磁场方向垂直纸面向里.一细束质量为m、电荷量为＋q的粒子以大小不同的速度在纸面内从E点垂直AB边界射入磁场，BE＝，不计粒子的重力和粒子之间的相互作用，关于粒子在磁场中运动的情况，下列说法中正确的是（　　）
A.在磁场中的运动时间相同的粒子入射速度相同
B.到达D点的粒子入射速度大小v＝
C.落在AD边的粒子在磁场中运动的最短时间为
D.粒子在磁场中运动的最长时间为
考点二 带电粒子在磁场中运动的多解问题
当带电粒子在磁场中做匀速圆周运动时，由于不确定因素的影响，使运动具有多种可能性，解决此类问题的关键是找出产生多解的原因，主要有五个因素：电性不确定、磁场的方向不确定、粒子的速度不确定、临界状态不唯一、粒子运动的周期性.
（一）带电粒子电性不确定形成多解
带电粒子可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，出现两种可能性.
【例3】如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界.现有质量为m，电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入.要使粒子不能从边界NN′射出，则粒子入射速率v的最大值可能是多少.
（二）磁场方向不确定形成多解
有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解.
【例4】（多选）一质量为m，电荷量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是（　　）
A. B. C. D.
（三）带电粒子速度不确定形成多解
有些题目只告诉了带电粒子的电性，但未具体指出速度的大小或方向，此时必须考虑由于速度的不确定而形成的多解.
【例5】（多选）如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC理想分开，三角形内磁场垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子（质子重力不计），所有质子均能通过C点，质子比荷＝k，则质子的速度可能为（　　）
A.2BkL B. C. D.
（四）带电粒子的周期性运动形成多解
解决带电粒子在磁场中的周期性运动与多解问题，关键是对运动过程进行准确分析，找出周期性运动的规律，并用数学通式表达多解性.分析运动过程要注意两点：
1.注意磁场大小或方向的变化引起粒子运动轨迹的变化.
2.注意粒子的运动方向改变而使粒子的运动具有周期性和对称性.
【例6】如图所示，在x<0与x>0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面向里，且B1>B2.一个带负电荷的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B1与B2的比值应满足什么条件？
1.带电粒子进入云室会使云室中的气体电离，从而显示其运动轨迹.如图所示.是在有匀强磁场云室中观察到的粒子的轨迹，a和b是轨迹上的两点，匀强磁场B垂直纸面向里.该粒子在运动时，其质量和电荷量不变，而动能逐渐减少，下列说法正确的是（ ）
A.粒子先经过a点，再经过b点
B.粒子先经过b点，再经过a点
C.粒子带负电荷
D.粒子带正电荷
2.1930年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如图所示.这台加速器由两个铜质D形盒D1、D2构成，其间留有空隙，下列说法正确的是（ ）
A.离子由加速器的中心附近进入加速器
B.离子由加速器的边缘进入加速器
C.离子从磁场中获得能量
D.离子从电场中获得能量
3.粒子甲的质量与电荷量分别是粒子乙的4倍与2倍，两粒子均带正电，让它们在匀强磁场中同一点以大小相等、方向相反的速度开始运动.已知磁场方向垂直纸面向里.以下四个图中，能正确表示两粒子运动轨迹的是（ ）
4.如图所示，截面为正方形的容器处在匀强磁场中，一束电子从孔a垂直磁场射入容器中，其中一部分从c孔射出，一部分从d孔射出，则下列叙述中正确的是（ ）
A.从两孔射出的电子速率之比
B.从两孔射出的电子在容器中运动所用时间之比
C.从两孔射出的电子在容器中运动时的加速度大小之比
D.从两孔射出的电子在容器中运动时的加速度大小之比
5.如图所示，在x轴上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一个不计重力的带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成120°角，若粒子穿过y轴正半轴后在磁场中到x轴的最大距离为a，则该粒子的比荷和所带电荷的正负是（ ）
A.，正电荷 B.，正电荷 C.，负电荷 D.，负电荷
6.如图所示可测定比荷的某装置的简化示意图.在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.0×10－3 T，在x轴上距坐标原点L=0.50 m的P处为粒子的入射口，在x轴上安放接收器.现将一带正电荷的粒子以v=3.5×104 m／s的速率从P处射入磁场，若粒子在y轴上距坐标原点L=0.50 m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m、电荷量为q，不计其重力.
（1）求上述粒子的比荷；
（2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场就可使其沿y轴正方向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；
（3）为了在M处观测到按题设条件运动的上述粒子，第一象限内的磁场可以局限在第一个矩形区域内，求此矩形区域的最小面积，并在图中画出该矩形.带电粒子在匀强磁场中的运动
一、带电粒子在匀强磁场中的运动
（1）带电粒子平行于磁场方向射入时，带电粒子不受力，做__________运动；
（2）带电粒子垂直于磁场方向射入时，洛伦兹力总始终与速度方向______, 所以洛伦兹力对带电粒子______ 。
（3）带电粒子垂直于磁场方向射入时，洛伦兹力总与速度方向______,起到向心力的作用，所以带电粒子在匀强磁场中做__________运动.
（3）带电粒子做匀速圆周运动的半径大小与匀强磁场的磁感应强度、粒子的速度大小有关.
（4）圆周运动的半径和周期
质量为m、带电量为q的粒子，以速度v垂直射入磁感应强度为B的匀强磁场，粒子做匀速圆周运动所需向心力是由__________提供,根据牛顿第二定律和圆周运动公式求得半径与周期.
匀速圆周运动的半径和周期：
①半径：由qvB＝m得：r＝ 。
②周期：由T＝得：T＝ 。
二、带电粒子在匀强磁场中的运动应用实例
1.质谱仪
（1）原理图：如图所示.
（2）加速：带电粒子进入质谱仪的加速电场，由动能定理得： =
（3）偏转：带电粒子进入质谱仪的偏转磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力： =
（4）由r=可知电荷量相同时，半径将随 变化.
（5）应用：测定带电粒子的质量和分析 .
（6）原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期 .粒子在圆周运动的过程中一-次一次地经过D形盒缝隙，两盒间的电势差一-次一次地反向，粒子就会被一-次一次地加速。
（7）由，得Ekm= ，可见粒子获得的最大动能由 决定，与加速电压 。
答案：匀速直线 垂直 不做功 垂直 匀速圆周 洛伦兹力 qU qvB 质量 同位素 D形盒 相等 qmBR 无关
考点一 带电粒子在有界磁场中运动的临界值问题
当大量带电粒子通过磁场区域时，由于边界的约束而产生“恰好”“最大”“至少”“不相撞”等临界值问题，解决此类问题的关键是画出“临界轨迹”.
1.探究“临界轨迹”的方法
（1）“放缩圆法”：如图，一束带电粒子垂直射入匀强磁场，初速度方向相同，大小不同，所有粒子运动轨迹的圆心都在垂直于初速度方向的直线上，其轨迹为半径放大的动态圆，利用放缩的动态圆，可以找出与右边界相切的“临界轨迹”.
（2）“旋转圆法”：如图，一束带电的粒子垂直射入匀强磁场，初速度大小相同，方向不同，所有粒子运动的轨道半径相同，运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆，通过旋转圆确定粒子“临界轨迹”.
2.判断临界值的常用结论
（1）粒子刚好穿出磁场的条件：在磁场中运动的轨迹与边界相切.
（2）根据半径判断速度的极值：轨迹圆的半径越大，对应的速度越大.
（3）根据圆心角判断时间的极值：粒子运动转过的圆心角越大，时间越长.
（4）根据弧长（或弦长）判断时间的极值：当速率一定时，粒子运动弧长（或弦长）越长，时间越长.
【例1】如图所示，空间存在垂直纸面的匀强磁场，一粒子发射源P位于足够大的绝缘板上方，间距为d，在纸面内向各个方向发射速率均为v的同种带电粒子，不考虑粒子间的相互作用和粒子重力.已知粒子做圆周运动的半径也为d，则粒子（　　）
A.能打在板上离P点的最远距离为d
B.能打在板上的区域长度是2d
C.到达板上的最长时间为
D.到达板上的最短时间为
【答案】C
【解析】用“旋转圆法”，如图1所示，右侧轨迹打在板上B点，当PB恰为轨迹圆的直径时，离P点最远，距离为2d.左侧轨迹与板的切点为A，则AB为能打在板上的区域长度，根据几何关系知：1＝d＋d＝（＋1）d.A、B两项错误.
如图2所示，当右侧轨迹与板相切时，转过的圆心角最大，经过的时间最长，
t长＝t1＝T＝×＝
左侧轨迹与板的交点为D，当PD与板垂直时，转过的弧长最短，经过的时间最短，
t短＝t2＝T＝×＝.C项正确、D项错误.
【例2】（多选）如图所示，ABCD是磁感应强度为B的匀强磁场的边界AB＝2a、BC＝a，磁场方向垂直纸面向里.一细束质量为m、电荷量为＋q的粒子以大小不同的速度在纸面内从E点垂直AB边界射入磁场，BE＝，不计粒子的重力和粒子之间的相互作用，关于粒子在磁场中运动的情况，下列说法中正确的是（　　）
A.在磁场中的运动时间相同的粒子入射速度相同
B.到达D点的粒子入射速度大小v＝
C.落在AD边的粒子在磁场中运动的最短时间为
D.粒子在磁场中运动的最长时间为
【答案】CD
【解析】粒子在磁场中做圆周运动的周期：T＝与粒子的速度无关，从AB边离开的粒子在磁场中的运动时间t＝T都相等，从AB边的不同位置离开磁场的粒子速度不同，A项错误.
当粒子速度较小时，粒子从AB边离开，运动轨迹与CD相切时，从AD边的最高点离开磁场，速度再增大，粒子从CD边离开磁场，粒子不可能从D点离开磁场，故B项错误.
从AD边离开磁场的粒子中，轨迹与CD相切时，运动时间最短，如图所示：
r＝a，θ＝arccos＝arccos＝arccos＝60°，
转过的圆心角：α＝180°－θ＝120°，
最短时间：t＝T＝，C项正确；
粒子从AB边离开磁场时的运动时间最长为：t＝T＝，D项正确.
考点二 带电粒子在磁场中运动的多解问题
当带电粒子在磁场中做匀速圆周运动时，由于不确定因素的影响，使运动具有多种可能性，解决此类问题的关键是找出产生多解的原因，主要有五个因素：电性不确定、磁场的方向不确定、粒子的速度不确定、临界状态不唯一、粒子运动的周期性.
（一）带电粒子电性不确定形成多解
带电粒子可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，出现两种可能性.
【例3】如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界.现有质量为m，电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入.要使粒子不能从边界NN′射出，则粒子入射速率v的最大值可能是多少.
【答案】（2＋）（q为正电荷）或（2－）（q为负电荷）
【解析】题目中只给出粒子“电荷量为q”，未说明是带哪种电荷.若q为正电荷，轨迹是如图所示的上方与NN′相切的圆弧，轨道半径：R＝
又d＝R－
解得v＝（2＋）.
若q为负电荷，轨迹如图所示的下方与NN′
相切的圆弧，则有：R′＝
d＝R′＋，
解得v′＝（2－）.
（二）磁场方向不确定形成多解
有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解.
【例4】（多选）一质量为m，电荷量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是（　　）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】磁场方向有两种可能，洛伦兹力的方向也有两种可能.
当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相同时，
4Bqv＝m，得v＝，
角速度为ω＝＝；
当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相反时，
2Bqv＝m，得v＝，
角速度为ω＝＝，应选A、C两项.
（三）带电粒子速度不确定形成多解
有些题目只告诉了带电粒子的电性，但未具体指出速度的大小或方向，此时必须考虑由于速度的不确定而形成的多解.
【例5】（多选）如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC理想分开，三角形内磁场垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子（质子重力不计），所有质子均能通过C点，质子比荷＝k，则质子的速度可能为（　　）
A.2BkL B. C. D.
【答案】BD
【解析】因质子带正电，且经过C点，其可能的轨迹如图所示，
所有圆弧所对圆心角均为60°，
所以质子运行半径r＝（n＝1，2，3，…），
由洛伦兹力提供向心力得Bqv＝m，
即v＝＝Bk·（n＝1，2，3，…），B、D两项正确.
（四）带电粒子的周期性运动形成多解
解决带电粒子在磁场中的周期性运动与多解问题，关键是对运动过程进行准确分析，找出周期性运动的规律，并用数学通式表达多解性.分析运动过程要注意两点：
1.注意磁场大小或方向的变化引起粒子运动轨迹的变化.
2.注意粒子的运动方向改变而使粒子的运动具有周期性和对称性.
【例6】如图所示，在x<0与x>0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面向里，且B1>B2.一个带负电荷的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B1与B2的比值应满足什么条件？
【解析】粒子交替地两个磁场区域中做匀速圆周运动，轨道都是半个圆周.设粒子的质量和电荷量分别为m和q，圆周运动的半径分别为r1和r2，有：
r1＝①
r2＝②
如图所示，在xy平面内，粒子先沿半径为r1的半圆C1运动至y轴上离O点距离为2r1的A点，接着沿半径为r2的半圆D1运动至O1点，OO1的距离
d＝2（r2－r1）③
此后，粒子每经历一次“回旋”，粒子的y坐标就减小d，设粒子经过n次回旋后与y轴交于On点，则OOn＝nd
当满足nd＝2r1（n＝1，2，3，…）④
粒子再经过半圆Cn＋1就能经过原点，
由③④式，解得＝（n＝1，2，3，…）⑤
联立①②⑤式，可得B1、B2应满足的条件：
＝（n＝1，2，3，…）
1.带电粒子进入云室会使云室中的气体电离，从而显示其运动轨迹.如图所示.是在有匀强磁场云室中观察到的粒子的轨迹，a和b是轨迹上的两点，匀强磁场B垂直纸面向里.该粒子在运动时，其质量和电荷量不变，而动能逐渐减少，下列说法正确的是（ ）
A.粒子先经过a点，再经过b点
B.粒子先经过b点，再经过a点
C.粒子带负电荷
D.粒子带正电荷
1.AC
解析：粒子在云室中运动使气体电离，能量不断损失，v减小，处于磁场中的云室中的带电粒子满足，因为，因此半径逐渐减小，分析图线知ra＞rb，说明粒子先经过a点后经过b点；利用左手定则可判定，粒子所带负电荷，故C对，D错.
2.1930年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如图所示.这台加速器由两个铜质D形盒D1、D2构成，其间留有空隙，下列说法正确的是（ ）
A.离子由加速器的中心附近进入加速器
B.离子由加速器的边缘进入加速器
C.离子从磁场中获得能量
D.离子从电场中获得能量
2.AD
解析：回旋加速器的两个D型盒间隙分布周期性变化的电场，不断地给带电粒子加速使其获得能量；而D形盒处分布有恒定不变的磁场，具有一定速度的带电粒子在D形盒内受到磁场的洛伦兹力提供的向心力而做圆周运动；洛伦兹力不做功故不能使离子获得能量，C错；离子源在回旋加速器的中心附近.所以正确选项为A、D.
3.粒子甲的质量与电荷量分别是粒子乙的4倍与2倍，两粒子均带正电，让它们在匀强磁场中同一点以大小相等、方向相反的速度开始运动.已知磁场方向垂直纸面向里.以下四个图中，能正确表示两粒子运动轨迹的是（ ）
3.A
解析：由于，，，故.由于带电粒子只受洛伦兹力的作用，而洛伦兹力充当粒子做圆周运动的向心力，由左手定则判断，甲、乙所受洛伦兹力方向相反，则可判断，A选项正确.
4.如图所示，截面为正方形的容器处在匀强磁场中，一束电子从孔a垂直磁场射入容器中，其中一部分从c孔射出，一部分从d孔射出，则下列叙述中正确的是（ ）
A.从两孔射出的电子速率之比
B.从两孔射出的电子在容器中运动所用时间之比
C.从两孔射出的电子在容器中运动时的加速度大小之比
D.从两孔射出的电子在容器中运动时的加速度大小之比
4.ABD
解析：，，因为Rc=2Rd，所以vc∶vd=2∶1，故A正确；，，所以tc∶td=1∶2，故B正确；加速度之比，故C错误，D正确.
5.如图所示，在x轴上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一个不计重力的带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成120°角，若粒子穿过y轴正半轴后在磁场中到x轴的最大距离为a，则该粒子的比荷和所带电荷的正负是（ ）
A.，正电荷 B.，正电荷 C.，负电荷 D.，负电荷
5.C
解析：从“粒子穿过y轴正半轴后”可知粒子向右侧偏转，洛伦兹力指向运动方向的右侧，由左手定则可判定粒子带负电荷，作出粒子运动轨迹示意图如图所示.根据几何关系有，再结合半径表达式可得，故C正确.
6.如图所示可测定比荷的某装置的简化示意图.在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.0×10－3 T，在x轴上距坐标原点L=0.50 m的P处为粒子的入射口，在x轴上安放接收器.现将一带正电荷的粒子以v=3.5×104 m／s的速率从P处射入磁场，若粒子在y轴上距坐标原点L=0.50 m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m、电荷量为q，不计其重力.
（1）求上述粒子的比荷；
（2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场就可使其沿y轴正方向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；
（3）为了在M处观测到按题设条件运动的上述粒子，第一象限内的磁场可以局限在第一个矩形区域内，求此矩形区域的最小面积，并在图中画出该矩形.
6.（1）（或）;（2）70 N／C，方向沿x轴正方向 7.9×10－6 s ;
（3）0.25 m2 图见解析
解析：（1）设粒子在磁场中的运动半径为r.如图甲，依题意M、P连线即为该粒子在磁场中做匀速圆周运动的直径，由几何关系得. ①
由洛伦兹力提供粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力，可得. ②
联立①②并代入数据得 （或） ③
（2）设所加电场的场强大小为E如图乙，当粒子经过Q点时，速度沿y轴正方向，依题意，在此时加入沿x轴正方向 的匀强电场，电场力与此时洛伦兹力平衡，则有
， ④
代入数据得. ⑤
所加电场的场强方向沿x轴正方向.由几何关系可知，圆弧PQ所对应的圆心角为45°，设带电粒子做匀速圆周运动的周期为T，所求时间为t，则有
， ⑥
， ⑦
联立①⑥⑦并代入数据得 . ⑧
（3）如图丙，所求的最小矩形是MM1P1P，该区域面积 ， ⑨
联立①⑨并代入数据得 .
矩形如图丙中MM1P1P（虚线）.

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