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电势差与电场强度的关系
一、匀强电场中电势差与电场强度的关系
1.在匀强电场中，两点间的电势差等于 与这两点 的距离的乘积.
2.公式：UAB＝ .
3.适用条件
（1） 电场.
（2）d为两点沿 的距离.
二、公式E＝的意义
1.意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的 与这两点 的比值.
2.电场强度的另一种表述：电场强度在数值上等于沿 方向每__________
上降低的电势.
3.电场强度的另一个单位：由E＝ 可导出电场强度的另一个单位，即 .1 V/m＝1 N/C.
考点一 电势差与电场强度的关系的理解
1．关系式的推导
如图所示，在匀强电场力作用下，电荷q从A点移动到B点．
静电力做功WAB与UAB的关系为WAB＝qUAB，因为匀强电场中电场强度处处相等．所以电荷q所受静电力F＝qE是一个恒力，它所做的功为WAB＝Fd＝qEd．
比较功的两个计算结果得：UAB＝Ed
2．匀强电场中电势差与电场强度的关系
（1）匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积．
（2）公式：UAB＝Ed．
注意：
（1）此公式只适用于匀强电场．
（2）公式中d必须是沿场强方向的距离．当电场中的两点不在同一条电场线上时，d应为两点在场强方向上的投影的距离，亦为电场中的两点所在的等势面的垂直距离．
（3）对于非匀强电场，用公式可以定性分析某些问题．例如等差等势面E越大，d越小，因此可以断定等差等势面越密的地方电场强度越大．如图所示，在点电荷的电场中有A、B、C三点，，要求比较UAB与UBC的大小时，可以利用即U＝Ed定性说明．AB段平均电场强度比BC段平均电场强度大，故UAB＞UBC．
3.电场强度的另一种表述
（1）表述：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与两点间沿电场强度方向距离的比值．
（2）公式：
（3）数值：电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势．
（4）单位：伏特每米（V/m），且1V/m＝1N/C．
（5）物理意义：场强E的大小描述了沿电场线方向电势下降的快慢，在数值上等于沿电场线方向每单位距离上降低的电势。
（6）方向：电场强度的方向就是电势降低最快的方向，只有沿场强方向，在单位长度上的电势差最大，也就是说电势降低最快的方向为电场强度的方向．但是，电势降落的方向不一定是电场强度的方向．
注意：
（1）电场线与等势面处处垂直，并且电场线由高等势面指向低等势面．
（2）在同一幅图中，等差等势面越密（即相邻等势面间距越小）的地方，场强越大．如图中左、右两端与上、下两部分比较就很明显．
（3）电场强度与电势无直接关系．因为电场中某点电势的值是相对选取的零电势点而言的，选取的零电势点不同，电势的值也不同，而场强不变，零电势可以人为选取，而场强是否为零则由电场本身决定．初学者容易犯的一个错误是把电势高低与电场强度大小联系起来，误认为电场中某点电势高，场强就大；某点电势低，场强就小．
考点二 电场强度的三个公式的区别
区别公式 物理含义 引入过程 适用范围
是电场强度大小的定义式 ，与F、q无关，是反映某点电场的性质 适用于一切电场
是真空中点电荷场强的决定式 由和库仑定律导出 在真空中，场源电荷Q是点电荷
是匀强电场中场强的决定式 由F＝qE和W＝qU导出 匀强电场
【例题】如图所示，实线表示电场线，虚线表示等势线，a、b两点的电势分别为，，则a、b连线的中点c的电势应为 （ ）
A． B．
C． D．无法判断
考点三 电场强度、电势、电势差和电势能的比较
电场强度E 电势 电势差U 电势能
区别 定义 放入电场中某一点的电荷受到的电场力跟它的电荷量的比值 电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值 在电场中两点间移动电荷时，电场力所做的功跟电荷量的比值 描述电荷在电场中具有的与电荷位置有关的物理量
定义式
方向 规定为正电荷在该点所受电场力的方向 标量，无方向 标量，无方向 正正得正（正电荷在正电势位置有正电势能），负正得负，负负得正。
大小 数值上等于单位电荷受到的力 数值上等于单位正电荷具有的电势能 数值上等于单位正电荷从一点移到另一点时，电场力所做的功 等于该电荷从某一点移动到零势能位置时静电力所做的功
物理意义 描述电场的力的性质 描述电场的能的性质 描述电场的能的性质 描述电场的力的性质
联系 ①场强的方向是电势降落最快的方向，但电势降落的方向不一定是场强的方向②电势与场强大小之间不存在任何关系，电势为零的点，场强不一定为零；电势高的地方，场强不一定大；场强为零的地方，电势不一定为零；场强大的地方，电势不一定高③场强的大小等于沿场强方向每单位长度上的电势降落，即或U＝Ed（匀强电场）④电势差等于电场中两点电势间的差，即
【例题】如图所示，在匀强电场中A、B、C三点构成一边长为a的等边三角形，电场强度方向平行于纸面．现有一电子，在电场力作用下，由A至C动能减少W，而质子在电场力作用下，由A至B动能增加W，则对该匀强电场E的大小和方向的判断正确的是（ ）
A．，方向垂直BC并由A指向BC
B．，方向垂直BC并由A指向BC
C．，方向垂直AC并由B指向AC
D．，方向垂直AB并由C指向AB
1.如图所示，匀强电场的场强为E，A与B两点间的距离为d，AB与电场线的夹角为α，则A、B两点间的电势差为（ ）
A.Ed B.Edcosα C.Edsinα D.Edtanα
2.如图所示，水平虚线表示匀强电场中的两等势面，电势分别为2 V和5 V, 两等势面相距10 cm，将一带电荷量为+10-6C的点电荷从a点匀速移动到b点，ab=30 cm，不计重力，则下列说法正确的是（　　）
A.此电场的场强大小为10 V/m，方向竖直向下
B.此电场的场强大小为30 V/m，方向竖直向上
C.所加外力的方向垂直ab斜向下方
D.外力做的功是3×10-6J
3.（多选）如图所示，a、b、c、d是某电场中的四个等势面，它们是互相平行的平面，并且间距相等，下列判断中正确的是（　　）
A.该电场一定是匀强电场 B.相邻两个等势面间电势差一定相等
C.如果φa＞φb，则电场强度Ea＞Eb D.如果φa＜φb，则电场方向垂直于等势面由b指向a
4.（多选）如图所示的匀强电场中，已知场强大小等于100 V/m，AB间距为6 cm；则以下说法正确的是（　　）
A.A点电势等于B点电势，A、B、C三点场强相同
B.AB两点间的电势差为6 V
C.现有一个电量为+q的电荷，第一次从A点移到B点，电场力做功为W1；第二次该电荷从A点移到C点，然后再移到B点，在这个过程中电场力做功为W2，则W2＞W1
D.若A点电势为零，则B点电势为-3 V
5.如图所示，已知AC⊥BC，∠ABC＝60°，BC＝20 cm，A、B、C三点都在匀强电场中，且A、B、C所在平面与电场线平行，把一个电荷量q＝10－5C的正电荷从A移到B，电场力做功为零；从B移到C，电场力做功为－×10－3J.
（1）求A、C间的电势差；
（2）若规定B点电势为零，求C点的电势；
（3）求匀强电场的场强大小及方向.
6.如图所示，一带电液滴在重力和匀强电场对它的作用力向下，从静止开始由b沿直线运动到d，且bd与竖直方向所夹的锐角为45°，bd的长度为L，匀强电场的电场强度为E，求：
（1）此液滴带何种电荷；
（2）液滴的加速度为多少；
（3）b、d两点的电势差Ubd .
7.如图所示为一个水平的匀强电场，在电场内某水平面上做一个半径为10cm的圆，在圆周上取如图所示的A、B、C三点，已知A、B两点间电势差为1350V，
（1）求匀强电场的场强大小.
（2）若在圆心O处放置电荷量为10－8C的正点电荷，求C点电场强度的大小和方向.（结果保留三位有效数字）
8.如图所示为一组未知方向的匀强电场的电场线，将带电荷量为q=1.0×10﹣6C的点电荷由A点沿水平线移至B点，克服静电力做了2×10﹣6J的功，已知A、B间的距离为2cm.
（1）试求A、B两点间的电势差UAB；
（2）若A点的电势为φA=1 V，试求B点的电势φB；
（3）试求该匀强电场的场强大小并判断其方向.
物理量
内容
项目电势差与电场强度的关系
一、匀强电场中电势差与电场强度的关系
1.在匀强电场中，两点间的电势差等于 与这两点 的距离的乘积.
2.公式：UAB＝ .
3.适用条件
（1） 电场.
（2）d为两点沿 的距离.
二、公式E＝的意义
1.意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的 与这两点 的比值.
2.电场强度的另一种表述：电场强度在数值上等于沿 方向每__________
上降低的电势.
3.电场强度的另一个单位：由E＝ 可导出电场强度的另一个单位，即 .1 V/m＝1 N/C.
答案：电场强度 沿电场方向 Ed 匀强 电场方向 电势差 沿电场强度方向距离 电场 单位距离 V/m
考点一 电势差与电场强度的关系的理解
1．关系式的推导
如图所示，在匀强电场力作用下，电荷q从A点移动到B点．
静电力做功WAB与UAB的关系为WAB＝qUAB，因为匀强电场中电场强度处处相等．所以电荷q所受静电力F＝qE是一个恒力，它所做的功为WAB＝Fd＝qEd．
比较功的两个计算结果得：UAB＝Ed
2．匀强电场中电势差与电场强度的关系
（1）匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积．
（2）公式：UAB＝Ed．
注意：
（1）此公式只适用于匀强电场．
（2）公式中d必须是沿场强方向的距离．当电场中的两点不在同一条电场线上时，d应为两点在场强方向上的投影的距离，亦为电场中的两点所在的等势面的垂直距离．
（3）对于非匀强电场，用公式可以定性分析某些问题．例如等差等势面E越大，d越小，因此可以断定等差等势面越密的地方电场强度越大．如图所示，在点电荷的电场中有A、B、C三点，，要求比较UAB与UBC的大小时，可以利用即U＝Ed定性说明．AB段平均电场强度比BC段平均电场强度大，故UAB＞UBC．
3.电场强度的另一种表述
（1）表述：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与两点间沿电场强度方向距离的比值．
（2）公式：
（3）数值：电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势．
（4）单位：伏特每米（V/m），且1V/m＝1N/C．
（5）物理意义：场强E的大小描述了沿电场线方向电势下降的快慢，在数值上等于沿电场线方向每单位距离上降低的电势。
（6）方向：电场强度的方向就是电势降低最快的方向，只有沿场强方向，在单位长度上的电势差最大，也就是说电势降低最快的方向为电场强度的方向．但是，电势降落的方向不一定是电场强度的方向．
注意：
（1）电场线与等势面处处垂直，并且电场线由高等势面指向低等势面．
（2）在同一幅图中，等差等势面越密（即相邻等势面间距越小）的地方，场强越大．如图中左、右两端与上、下两部分比较就很明显．
（3）电场强度与电势无直接关系．因为电场中某点电势的值是相对选取的零电势点而言的，选取的零电势点不同，电势的值也不同，而场强不变，零电势可以人为选取，而场强是否为零则由电场本身决定．初学者容易犯的一个错误是把电势高低与电场强度大小联系起来，误认为电场中某点电势高，场强就大；某点电势低，场强就小．
考点二 电场强度的三个公式的区别
区别公式 物理含义 引入过程 适用范围
是电场强度大小的定义式 ，与F、q无关，是反映某点电场的性质 适用于一切电场
是真空中点电荷场强的决定式 由和库仑定律导出 在真空中，场源电荷Q是点电荷
是匀强电场中场强的决定式 由F＝qE和W＝qU导出 匀强电场
【例题】如图所示，实线表示电场线，虚线表示等势线，a、b两点的电势分别为，，则a、b连线的中点c的电势应为 （ ）
A． B．
C． D．无法判断
【答案】 B
【解析】由图可知，这是一个非匀强电场，且．若此电场为匀强电场，则．而此电场中，即从b到c的过程中每单位距离上的电势降低要比从c到a的过程中每单位距离上的电势降低慢．故．因而正确答案为B．
考点三 电场强度、电势、电势差和电势能的比较
电场强度E 电势 电势差U 电势能
区别 定义 放入电场中某一点的电荷受到的电场力跟它的电荷量的比值 电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值 在电场中两点间移动电荷时，电场力所做的功跟电荷量的比值 描述电荷在电场中具有的与电荷位置有关的物理量
定义式
方向 规定为正电荷在该点所受电场力的方向 标量，无方向 标量，无方向 正正得正（正电荷在正电势位置有正电势能），负正得负，负负得正。
大小 数值上等于单位电荷受到的力 数值上等于单位正电荷具有的电势能 数值上等于单位正电荷从一点移到另一点时，电场力所做的功 等于该电荷从某一点移动到零势能位置时静电力所做的功
物理意义 描述电场的力的性质 描述电场的能的性质 描述电场的能的性质 描述电场的力的性质
联系 ①场强的方向是电势降落最快的方向，但电势降落的方向不一定是场强的方向②电势与场强大小之间不存在任何关系，电势为零的点，场强不一定为零；电势高的地方，场强不一定大；场强为零的地方，电势不一定为零；场强大的地方，电势不一定高③场强的大小等于沿场强方向每单位长度上的电势降落，即或U＝Ed（匀强电场）④电势差等于电场中两点电势间的差，即
【例题】如图所示，在匀强电场中A、B、C三点构成一边长为a的等边三角形，电场强度方向平行于纸面．现有一电子，在电场力作用下，由A至C动能减少W，而质子在电场力作用下，由A至B动能增加W，则对该匀强电场E的大小和方向的判断正确的是（ ）
A．，方向垂直BC并由A指向BC
B．，方向垂直BC并由A指向BC
C．，方向垂直AC并由B指向AC
D．，方向垂直AB并由C指向AB
【答案】A
【解析】电子在电场力作用下由A到C，克服电场力做功为W，则质子从A到C电场力做功也为W，又因为由题知质子从A到B电场力做功也为W．因此B、C两点是等势点，B、C的连线为匀强电场的等势线，电场线垂直于BC，电场强度的方向从A指向BC．A到BC的距离为a sin60°，则，所以．
1.如图所示，匀强电场的场强为E，A与B两点间的距离为d，AB与电场线的夹角为α，则A、B两点间的电势差为（ ）
A.Ed B.Edcosα C.Edsinα D.Edtanα
【答案】B
【解析】图中A、B两点之间沿电场方向的距离为dcosα，电势差，故B正确，A、C、D错误.
2.如图所示，水平虚线表示匀强电场中的两等势面，电势分别为2 V和5 V, 两等势面相距10 cm，将一带电荷量为+10-6C的点电荷从a点匀速移动到b点，ab=30 cm，不计重力，则下列说法正确的是（　　）
A.此电场的场强大小为10 V/m，方向竖直向下
B.此电场的场强大小为30 V/m，方向竖直向上
C.所加外力的方向垂直ab斜向下方
D.外力做的功是3×10-6J
【答案】D
【解析】ab两点的电势差U=3 V，由U=Ed可得：V/m =30 V/m; 且a点电势高于b点电势，故电场线方向竖直向下.则A、B错误.正电荷在电场中受力向下；要使电荷做匀速直线运动，则外力应与电场力大小相等、方向相反；故外力大小为N，方向竖直向上，C错误.外力做的功W=Fd=3×10-5N×0.1 m=3×10-6J；故D正确；故选D.
3.（多选）如图所示，a、b、c、d是某电场中的四个等势面，它们是互相平行的平面，并且间距相等，下列判断中正确的是（　　）
A.该电场一定是匀强电场 B.相邻两个等势面间电势差一定相等
C.如果φa＞φb，则电场强度Ea＞Eb D.如果φa＜φb，则电场方向垂直于等势面由b指向a
【答案】ABD
【解析】等势面是平行平面而且均匀分布，则电场线平行同向，均匀分布，该电场一定是匀强电场.故A正确.由图判断出电场方向垂直于等势面，由公式U=Ed可知，沿着电场线方向，相同距离电势差相同.故B正确.匀强电场，电场强度处处相同.故C错误.根据电场线总和等势面垂直，并且由电势高的等势面指向电势低的等势面可知，如果Ua＜Ub，电场方向垂直于等势面由b指向a.故D正确.
4.（多选）如图所示的匀强电场中，已知场强大小等于100 V/m，AB间距为6 cm；则以下说法正确的是（　　）
A.A点电势等于B点电势，A、B、C三点场强相同
B.AB两点间的电势差为6 V
C.现有一个电量为+q的电荷，第一次从A点移到B点，电场力做功为W1；第二次该电荷从A点移到C点，然后再移到B点，在这个过程中电场力做功为W2，则W2＞W1
D.若A点电势为零，则B点电势为-3 V
【答案】AD
【解析】图中A、C两点在同一等势面上，电势相等，根据顺着电场线方向电势逐渐降低，知C点的电势高于B点的电势，所以A点电势等于B点电势，A、B、C三点场强相同.故A正确.
AB两点间的电势差为UAB=Ed=EABcos60°=100×0.06×0.5V=3V，故B错误.
电场力做功只与初末位置有关，与路径无关，则电荷从A点移到B点与从A点移到C点再移到B点电场力做功相等，即W2=W1.故C错误.
根据UAB=φA-φB，若φA=0，则φB=-UAB=-3V，故D正确.
5.如图所示，已知AC⊥BC，∠ABC＝60°，BC＝20 cm，A、B、C三点都在匀强电场中，且A、B、C所在平面与电场线平行，把一个电荷量q＝10－5C的正电荷从A移到B，电场力做功为零；从B移到C，电场力做功为－×10－3J.
（1）求A、C间的电势差；
（2）若规定B点电势为零，求C点的电势；
（3）求匀强电场的场强大小及方向.
【答案】　（1）－×102V
（2）×102V
（3）1 000 V/m　方向与水平方向夹角为30°指向右下方
【解析】根据W＝Uq得，UAB＝0，即φA＝φB，
UBC＝＝－×102V
（1）UAC＝φA－φC＝φB－φC＝UBC＝－×102V
（2）φB＝0，UBC＝φB－φC，所以φC＝φB－UBC＝×102V
（3）AB为等势面，场强方向垂直AB连线指向右下方，故E＝＝1000 V/m. 6.如图所示，一带电液滴在重力和匀强电场对它的作用力向下，从静止开始由b沿直线运动到d，且bd与竖直方向所夹的锐角为45°，bd的长度为L，匀强电场的电场强度为E，求：
（1）此液滴带何种电荷；
（2）液滴的加速度为多少；
（3）b、d两点的电势差Ubd .
【答案】（1）负电（2）（3）
【解析】（1）由b到a，液滴做直线运动，所受合力沿bd所在直线，对液滴受力分析可知，电场力水平向右，与电场方向相反，所以小球带负电.（2）由图可知，液滴所受合力
根据牛顿第二定律F=ma，解得液滴的加速度（3）由图可知，电场力qE=mg
由b到d，沿电场方向的距离
沿电场方向电势降低，应有<0，所以
7.如图所示为一个水平的匀强电场，在电场内某水平面上做一个半径为10cm的圆，在圆周上取如图所示的A、B、C三点，已知A、B两点间电势差为1350V，
（1）求匀强电场的场强大小.
（2）若在圆心O处放置电荷量为10－8C的正点电荷，求C点电场强度的大小和方向.（结果保留三位有效数字）
【答案】（1）9 000 V/m　（2）1.27×104N/C，方向与水平方向成45°角斜向右上
【解析】（1）由题图知A、B两点在匀强电场方向上的距离d＝r＋＝0.15 m，所以匀强电场场强E＝＝9 000 V/m.
（2）设正点电荷在C处产生的电场强度为E1，则
E1＝＝9×103N/C，方向由O指向C.
C处另有匀强电场，场强E＝9×103N/C，方向水平向右，与E1垂直，根据平行四边形定则，C处合电场的场强为E′＝≈1.27×104N/C，方向与水平方向成45°角斜向右上.
8.如图所示为一组未知方向的匀强电场的电场线，将带电荷量为q=1.0×10﹣6C的点电荷由A点沿水平线移至B点，克服静电力做了2×10﹣6J的功，已知A、B间的距离为2cm.
（1）试求A、B两点间的电势差UAB；
（2）若A点的电势为φA=1 V，试求B点的电势φB；
（3）试求该匀强电场的场强大小并判断其方向.
【答案】（1）2 V （2）1 V （3）200 V/m，方向沿电场线斜向下
【解析】（1）由题意可知，静电力做负功，有：
J
根据UAB=
得：UAB=2V
（2）由UAB=φAφB，可得：φB=φAUAB=1V-2V=-1V
（3）沿着电场方向的位移为：
d=2×10﹣2cos60°m=1×10﹣2m
E=V/m=200 V/m
沿着电场线方向电势降低，所以电场线的方向：沿电场线斜向下.
物理量
内容
项目

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