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（寒假自学课）第三单元长方体和正方体的体积讲义+例题+练习
学习目标：
一、了解体积的意义及计量单位,会进行单位之间的换算。
二、掌握长方体和正方体体积的计算,并会运用公式解决实际问题。
三、认识容积的意义及计量单位,会进行容积单位和体积单位的互化。
知识梳理：
1.物体所占空间的大小叫做物体的体积。
2.常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米,可以分别写成cm3、dm3、m3。
3.棱长是1 cm的正方体,体积是1cm3
棱长是1 dm的正方体,体积是1 dm3;
棱长是1m的正方体,体积是1 m3。
4.长方体的体积=长×宽×高。
用字母表示:V=abh。
5.正方体的体积=棱长×棱长×棱长。
用字母表示:V=a3。
6.长方体和正方体体积的统一公式:
长方体和正方体的体积=底面积×高。
用字母表示:V=Sh。
74.体积单位间的进率:
1立方分米=1000立方厘米　　　1立方米=1000立方分米
相邻的两个体积单位间的进率是1000。
8.体积单位的换算与以前学过的长度、面积单位的换算方法基本相同,只是相邻的两个体积单位间的进率是1000。
9.已知长方体的体积、长、宽、高四个量中的任意三个量,都能求出另一个未知量。
a=V÷b÷h　　b=V÷a÷h　　h=V÷a÷b
10.容器所能容纳物体的体积,通常叫做它们的容积。
11.计量容积,一般用体积单位。计量液体的体积,如水、油等,常用容积单位升和毫升,也可以写作L或mL。
12.容积单位的换算:1升=1000毫升
容积单位和体积单位的关系:1升=1立方分米
　　　　　　　　　　　　1毫升=1立方厘米
13.长方体或正方体容器容积的计算方法跟体积的计算方法相同,但要从容器里面量长、宽、高。
典型例题：
1．一张长方形纸板长30厘米、宽18厘米，从它的四个角上各剪去一个边长是2厘米的小正方形，然后用剩下的部分折成一个无盖的长方体纸盒（接头处忽略不计），这个纸盒的容积是多少毫升？（纸板的厚度忽略不计）
【答案】728毫升
【分析】从长方形纸板的四个角上各剪去一个边长是2厘米的小正方形，折成的长方体纸盒的长是（30－2－2）厘米，宽是（18－2－2）厘米，高是2厘米，利用长方体体积公式直接求体积，再换算成容积即可。
【详解】（30－2－2）×（18－2－2）×2
＝26×14×2
＝728（立方厘米）
＝728（毫升）
答：这个纸盒的容积是728毫升。
【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体体积（容积）公式，确定长方体的长和宽是解答本题的关键。
2．在一个从里面量长40厘米，宽25厘米且足够高的长方体水缸中，放入一块棱长10厘米的正方体铁块（完全浸没），水深15厘米。将铁块取出后，水深多少厘米？
【答案】14厘米
【分析】根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”，求出铁块的体积，用铁块的体积除以长方体鱼缸的底面积就是水面下降的高度，然后用原来的水深减去水面下降的高度即可。
【详解】15－10×10×10÷（40×25）
＝15－10×10×10÷1000
＝15－1000÷1000
＝15－1
＝14（厘米）
答：水深14厘米。
【点睛】此题主要考查了正方体、长方体体积计算公式的灵活运用，关键是熟记公式。
3．一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长50厘米，宽30厘米，高40厘米。
（1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方厘米？
（2）先往鱼缸里注入30升水，再往鱼缸中放入鹅卵石和鱼，水面上升了2.5厘米。这些鹅卵石和鱼的体积是多少立方厘米？
【答案】（1）7900平方厘米；
（2）3750立方厘米
【分析】（1）求长方体无盖鱼缸的表面积，用长×宽＋长×高×2＋宽×高×2计算即可；
（2）求鹅卵石和鱼的体积就是求上升的2.5厘米高的水的体积，用长×宽×2.5即可。
【详解】（1）50×30＋50×40×2＋30×40×2
＝1500＋4000＋2400
＝7900（平方厘米）
答：做这个鱼缸至少需要玻璃7900平方厘米。
（2）50×30×2.5
＝1500×2.5
＝3750（立方厘米）
答：这些鹅卵石和鱼的体积是3750立方厘米。
【点睛】掌握长方体的表面积和体积公式并灵活运用排水法测量物体体积是解答本题的关键。
4．在一个长为40厘米，宽为25厘米，水深为20厘米的玻璃鱼缸中放入一个棱长为10厘米的正方体铁块（完全浸没，水没有溢出），水面上升到多少厘米？
【答案】21厘米
【分析】已知铁块完全浸没在水中，且水没有溢出，可知铁块的体积等于水升高的体积，因此用正方体的体积公式即可求出水升高的体积，再根据长方体的体积公式得出求出水面升高的高度，再加上原来的水深即得到水面最终高度。
【详解】10×10×10＝1000（立方厘米）
1000÷（40×25）
＝1000÷1000
＝1（厘米）
20＋1＝21（厘米）
答：水面上升到21厘米。
【点睛】本题重点考查长方体和正方体体积公式的应用，明确水上升的部分的体积就是正方体铁块的体积是解题的关键。
长方体和正方体的体积课后练习
一、选择题
1．一个啤酒罐的容量是（ ）。
A．330升 B．0.3立方米 C．330毫升 D．330立方分米
2．下面四个容器中，体积最大的（ ）。
A． B．
C． D．
3．一个玻璃杯最多能装300mL水，它的（ ）是300mL。
A．容积 B．体积 C．表面积 D．占地面积
4．一个长方体的底面积是2dm2，如果高增加10cm，那么它的体积就会增加（ ）。
A．0.2dm3 B．20dm3 C．20cm3 D．2000cm3
5．长方体的体积扩大9倍，可能是（ ）。
A．长方体的长、宽、高各扩大3倍
B．长方体的长扩大3倍，宽和高不变
C．长方体的长、宽各扩大3倍，高缩小3倍
D．长方体的长不变，宽和高各扩大3倍
6．小莉看到一袋牛奶的外包装盒上印有“净含量：250（ ）”的字样。
A． B． C．kg D．mL
7．一个长方体密封水箱，竖着放，水面高度如图1，如果横着放如图2，则水面高度是（ ）dm。
A．2 B．3 C．1 D．4
8．公园里有一个长7米、宽4米、高1米的水池，先将水池中注满水，然后把两条长2米、宽1.5米、高2米的石柱竖着放入水池中，水池溢出水的体积是（ ）立方米。
A．3 B．6 C．12 D．14
二、填空题
9．星期天，小东和爸爸一起到游泳馆去游泳，游泳池真大，大约可以装水500( )；小东在浅水区，水面超过胸脯，大约有82( )；游泳完后爸爸给小东买了一瓶饮料，这瓶饮料大约有0.75( )；回到家里，小东称了一下自己的体重是36( )。
10．在括号里填上合适的单位。
(1)火神山医院的占地面积约是50000( )。
(2)六年级学生走一步约55( )。
(3)一个普通冰箱的容积约是350( )。
(4)一辆货车的载重是6( )。
11．0.5平方分米＝( )平方厘米 240立方分米＝( )立方米
500毫升＝( )升＝( )立方分米
12．有一块长40厘米，宽20厘米的长方形铁皮，如果在它的四角分别切掉一个边长为5厘米的正方形，余下部分做一个无盖长方体容器，这个容器的容积是( )立方厘米。
13．把一个长8厘米，宽6厘米，高2厘米的长方体木块平均锯成两个小长方体，表面积至少增加( )平方厘米，每个小长方体的体积是( )平方厘米。
14．如图，在内侧棱长为20厘米的正方体容器内装满水。将这个容器按图倾斜放置在桌面上，流出的水正好装满一个内侧棱长为10厘米的正方体容器。图中线段AB的长度是( )厘米。
三、判断题
15．一个木箱的体积比容积大。( )
16．如果长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，则它的表面积和体积都扩大到原来的8倍。( )
17．一个棱长为6分米的正方体，它的表面积和体积相等。( )
18．保温杯的体积比水壶的体积大，所以保温杯的容积一定比这个水壶大。( )
19．用20个小正方体搭一个长方体，不管怎样搭，体积都相等。( )
四、图形计算
20．计算下面图形的表面积和体积。
五、解答题
21．河南博物院的镇院之宝之一“武则天金简”（如图），是我国发现的唯一金简，1982年出土于中岳嵩山峻极峰。金简长约36厘米，宽约8厘米，高约0.1厘米。金简的体积大约是多少？
22．把120升水倒入长6分米，宽4分米，高7分米的长方体鱼缸中（从里面量），水的高度是多少分米？
23．涵涵将给爸爸准备的生日礼物装在一个长方体礼盒里，并用丝带扎起来（如图所示）。扎蝴蝶结处的丝带有28厘米（接头处长度忽略不计）。
（1）这个长方体礼盒的体积是多少？
（2）那么至少用了多长的丝带？
24．游泳馆新建了一个长方体游泳池，从里面量底面长100米、宽80米、高2米。
（1）如果每立方米的水重1吨，那么在游泳池中注入多少吨水才能使水深1.65米？
（2）在游泳池的底面和侧面贴一层瓷砖，如果每平方米瓷砖的价格是30元，那么购买瓷砖一共需要多少钱？
25．一个长方体水槽，从里面量得长20厘米、宽15厘米、高25厘米，水深9厘米。当把一块棱长6厘米的正方体石块完全浸没在水中后，水面上升到多少厘米？
参考答案：
1．C
【分析】常见的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米，1立方厘米相当于一个手指尖的体积，一个粉笔盒的体积接近1立方分米，棱长为1米的正方体的体积是1立方米；常见的容积单位有升、毫升，1升＝1立方分米，1毫升＝1立方厘米，1升＝1000毫升，据此根据对体积和容积单位大小的认识选择合适的单位即可。
【详解】联系生活实际可知，一个啤酒罐的容量是330毫升。
故答案为：C
【点睛】联系生活实际选择合适的体积或容积单位是解答题目的关键。
2．D
【分析】利用数正方体的数量求出各个容器的长、宽和高的数据，利用长方体的体积公式V＝abh计算解答即可。
【详解】A．4×3×4＝48
B．5×3×4＝60
C．5×4×2＝40
D．4×4×5＝80
因为80＞60＞48＞40，所以的体积最大。
故答案为：D
【点睛】本题考查了长方体体积公式的应用。
3．A
【分析】物体所占空间的大小叫做物体的体积；容器所能容纳物体的体积叫做它们的容积；物体所有面的总面积叫做物体的表面积；物体的底面积叫做占地面积；据此解答。
【详解】根据容积的意义，一个玻璃杯最多能装300mL水，它的容积是300mL。
故答案为：A
【点睛】掌握容积的意义是解题的关键。
4．D
【分析】长方体的高增加10cm时，长方体的底面积不变，利用“长方体的体积＝底面积×高”求出增加部分的体积，据此解答。
【详解】10cm＝1dm
2×1＝2（dm3）
2dm3＝2000cm3
所以，长方体的体积增加2000cm3。
故答案为：D
【点睛】掌握长方体的体积计算公式是解答题目的关键。
5．D
【分析】根据长方体的体积计算方法和积的变化规律，长方体的体积＝长×宽×高，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积；由此解答。
【详解】A．长方体的长、宽、高各扩大3倍，它的体积扩大3×3×3＝27倍，故选项错误；
B．长方体的长扩大3倍，宽和高不变，它的体积扩大3×1×1＝3倍，故选项错误；
C．长方体的长、宽各扩大3倍，高缩小3倍，它的体积扩大3×3÷3＝3倍，故选项错误；
D．长方体的长不变，宽和高各扩大3倍，它的体积扩大1×3×3＝9倍，故选项正确。
故答案为：D
【点睛】此题主要考查长方体的体积计算方法和积的变化规律。
6．D
【分析】根据生活经验以及对容积单位和数据大小的认识，结合实际情况可知：计量一袋牛奶的容积用“mL”作单位，据此解题即可。
【详解】根据分析可知，
小莉看到一袋牛奶的外包装盒上印有“净含量:250 mL”的字样。
故答案为：D
【点睛】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择。
7．A
【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高求出图1长方体容器中水的体积，再利用高＝长方体的体积÷（长×宽）求出图2长方体容器中水面的高度。
【详解】3×2×4
＝6×4
＝24（dm3）
24÷（6×2）
＝24÷12
＝2（dm）
故答案为：A
【点睛】熟练运用长方体的体积计算公式是解答题目的关键。
8．B
【分析】因为石柱的高＞水池的高，且水池一开始是满水的，所以将石柱放进水池中，石柱只被淹没了一部分，而水溢出的部分就等于石柱被淹没的部分，已知两条石柱长2米、宽1.5米、高2米，被淹没的部分的高等于水池的高，根据长方体的体积公式，用2×1.5×1×2即可求解两条石柱被淹没的部分，也就是水池溢出水的体积。
【详解】2×1.5×1×2
＝3×2
＝6（立方米）
水池溢出水的体积是6立方米。
故答案为：B
【点睛】本题考查了长方体体积公式的灵活应用，注意水溢出的部分等于石柱被淹没的部分。
9． 立方米##m3 厘米##cm 升##L 千克##kg
【分析】根据生活实际，以及对容积单位、长度单位以及质量单位的认识，填空即可。
【详解】星期天，小东和爸爸一起到游泳馆去游泳，游泳池真大，大约可以装水500立方米；小东在浅水区，水面超过胸脯，大约有82厘米；游泳完后爸爸给小东买了一瓶饮料，这瓶饮料大约有0.75升；回到家里，小东称了一下自己的体重是36千克。
【点睛】本题考查了单位的选择，对常见的体积（容积）单位、长度单位以及质量单位有一定认识是解题的关键。
10．(1)平方米##m2
(2)厘米##cm
(3)升##L
(4)吨##t
【分析】结合生活实际，以及对各面积单位、长度单位、容积单位以及质量单位的认识，直接填空即可。
【详解】（1）火神山医院的占地面积约是50000平方米。
（2）六年级学生走一步约55厘米。
（3）一个普通冰箱的容积约是350升。
（4）一辆货车的载重是6吨。
【点睛】本题考查了单位的选择，对常见的各面积单位、长度单位、容积单位以及质量单位有一定认识是解题的关键。
11． 50 0.24 0.5 0.5
【分析】根据1平方分米＝100平方厘米，1立方米＝1000立方分米，1立方米＝1升＝1000毫升，进行换算即可。
【详解】0.5平方分米×100＝50平方厘米；240立方分米÷1000＝0.24立方米
500毫升÷1000＝0.5升＝0.5立方分米
【点睛】关键是熟记进率，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率。
12．1500
【分析】四角分别切掉一个边长为5厘米的正方形，用长方形铁皮的长减去两个5厘米的边长求出长方体容器的长，用长方形铁皮的宽减去两个5厘米的边长求出长方体容器的宽，长方体容器高为5厘米，用长×宽×高求出长方体容器的容积。
【详解】（40－5×2）×（20－5×2）×5
＝（40－10）×（20－10）×5
＝30×10×5
＝1500（立方厘米）
所以这个容器的容积是1500立方厘米。
【点睛】本题重点考查长方体的容积，熟悉无盖长方体容器的表面展开图是解答本题的关键。
13． 24 48
【分析】长方体木块平均锯成两个小长方体，会增加两个横截面的面积，要使增加的表面积最少，可以平行于这个长方体的最小面2×6面切割，则表面积就增加2个2×6面的面积；不管如何切割，每个小长方体的体积都等于原来长方体木块体积的一半，所以利用长方体的体积公式求出原来长方体木块的体积，再除以2，即可求出每个小长方体的体积。
【详解】2×6×2＝24（平方厘米）
8×6×2÷2
＝48×2÷2
＝48（立方厘米）
即表面积至少增加24平方厘米，每个小长方体的体积是48立方厘米。
【点睛】根据长方体切割小长方体的方法，明确每锯一次表面积增加2个面是解决本题的关键。同时还要熟悉长方体的体积计算方法。
14．15
【分析】如图所示，把内侧棱长为20厘米的正方体容器看作上下两个长方体，流出水的体积等于上面长方体体积的一半，根据“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出倒出水的体积，下面长方体的体积＝内侧棱长为20厘米的正方体的体积－倒出水的体积×2，AB相当于下面长方体的高，下面长方体的底面积为（20×20）厘米，最后根据“高＝长方体的体积÷底面积”求出线段AB的长度，据此解答。
【详解】
倒出水的体积：10×10×10＝1000（立方厘米）
下面长方体的体积：20×20×20－1000×2
＝8000－2000
＝6000（立方厘米）
线段AB的长度：6000÷（20×20）
＝6000÷400
＝15（厘米）
所以，图中线段AB的长度是15厘米。
【点睛】把大正方体分为两个小长方体，把上面长方体的体积转化为倒出水的体积的2倍，并掌握正方体和长方体的体积计算公式是解答题目的关键。
15．√
【分析】长方体体积和容积的计算公式都是长×宽×高，但计算容积要测内壁的长、宽、高，而计算体积要测外面的长、宽、高，所以测量方法不同，意义当然也不同。容积测的是可容纳物体的体积，不包括木箱的厚度，而体积测的是木箱的体积，包括木箱的厚度。据此即可进行判断。
【详解】由分析可知：
一个木箱的体积比容积大。原题干说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题主要考查体积与容积的定义，熟练掌握定义与计算方法是解答本题的关键。
16．×
【分析】假设出原来长方体的长、宽、高，根据“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”“长方体的体积＝长×宽×高”表示出原来和现在长方体的表面积和体积，最后用除法求出表面积和体积扩大的倍数，据此解答。
【详解】假设原来长方体的长为a，宽为b，高为h，则现在长方体的长为2a，宽为2b，高为2h。
原来的表面积：（ab＋ah＋bh）×2
＝2（ab＋ah＋bh）
现在的表面积：（2a×2b＋2a×2h＋2b×2h）×2
＝（4ab＋4ah＋4bh）×2
＝（ab＋ah＋bh）×4×2
＝8（ab＋ah＋bh）
8（ab＋ah＋bh）÷2（ab＋ah＋bh）＝4
所以，长方体的表面积扩大到原来的4倍。
原来的体积：abh
现在的体积：2a×2b×2h
＝8abh
8abh÷abh＝8
所以，长方体的体积扩大到原来的8倍。
故答案为：×
【点睛】长方体的长、宽、高同时扩大到原来的a倍，长方体的表面积扩大到原来的a2倍，体积扩大到原来的a3倍。
17．×
【分析】正方体六个面的总面积叫做它的表面积，正方体所占空间的大小叫做它的体积，表面积和体积计量单位不相同，二者不能比较大小。
【详解】表面积：6×6×6＝216（平方分米）
体积：6×6×6＝216（立方分米）
因为表面积和体积不是同类量，所以它们不能比较大小。
故答案为：×
【点睛】掌握表面积和体积的意义，理解不同单位的数量不能比较大小是解答题目的关键。
18．×
【分析】容积是指容器所能容纳液体的体积，容积是从里面量长、宽、高；由此判断即可。
【详解】保温杯的体积比水壶的体积大，并不能说明保温杯的容积一定比这个水壶大，因为容积是容器所能容纳物体的体积，容积是从里面量长、宽、高，所以题干的说法是错误的。
故答案为：×
【点睛】本题考查容积，明确容积是从里面测量长、宽、高是解题的关键。
19．√
【分析】由于长方体都是由20个小正方体搭成的，所以体积不变，由此求解。
【详解】无论怎么搭，搭成的长方体都是20个小正方体的体积和，所以体积不变。故题干说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题考查了对体积的认识，明确小正方体的个数不变，搭成的体积不变。
20．258平方厘米；270立方厘米；平方分米；立方分米
【分析】根据“长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2、正方体表面积＝棱长×棱长×6、长方体体积＝长×宽×高、正方体体积＝棱长×棱长×棱长”，分别计算即可。
【详解】第一幅图：
（9×5＋9×6＋6×5）×2
＝（45＋54＋30）×2
＝129×2
＝258（平方厘米）
9×5×6＝270（立方厘米）
所以，这个长方体的表面积是258平方厘米，体积是270立方厘米。
第二幅图：
××6
＝×6
＝（平方分米）
××＝（立方分米）
所以，这个正方体的表面积是平方分米，体积是立方分米。
21．28.8立方厘米
【分析】根据题意，金简是一个长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可求出金简的体积。
【详解】36×8×0.1
＝288×0.1
＝28.8（立方厘米）
答：金简的体积大约是28.8立方厘米。
【点睛】掌握长方体的体积公式是解题的关键。
22．5分米
【分析】已知长方体从里面量长6分米，宽4分米，且要把120升水倒入这个长方体，因为120升＝120立方分米，要求得倒入后水面的高度，就是有这样一个长方体，长和宽分别是6分米、4分米，体积是120立方分米，求它的高是多少，可利用长方体体积公式来计算，V长方体＝长×宽×高，则高＝V长方体÷（长×宽）＝120÷（6×4）。
【详解】120升＝120立方分米
120÷（6×4）
＝120÷24
＝5（分米）
答：水面的高度是5分米。
【点睛】能够熟练应用长方体体积公式，熟悉体积、容积单位的转化，是解题关键；7分米只是一个干扰数据。
23．（1）1215立方厘米
（2）124厘米
【分析】（1）根据正方形的周长＝边长×4，据此求出正方形的边长，再根据正方形的面积＝边长×边长，据此求出长方体的底面积，最后根据长方体的体积公式：V＝Sh，代入数值即可求解；
（2）观察图形可知，用了4条相当于高的丝带、4条相当于底面边长的丝带、还有扎蝴蝶结的丝带，分别计算再相加即可。
【详解】（1）36÷4＝9（厘米）
9×9×15
＝81×15
＝1215（立方厘米）
答：这个长方体礼盒的体积是1215立方厘米。
（2）15×4＝60（厘米）
36÷4×4
＝9×4
＝36（厘米）
60＋36＋28
＝96＋28
＝124（厘米）
答：那么至少用了124厘米的丝带。
【点睛】本题考查长方体的体积和棱长的计算及应用，熟记公式是解题的关键。
24．（1）13200吨；（2）261600元
【分析】（1）已知水的体积是长100米、宽80米、高1.65米的长方体体积，根据长方体体积公式求解即可，已知每立方米的水重1吨，用水的体积乘1即可求出水的吨数；
（2）游泳池贴砖的表面积只有底面、左面、右面、前面和后面的表面积，则游泳池的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，已知每平方米瓷砖的价格是30元，则用游泳池的表面积乘30即可求出购买瓷砖需要的钱数。
【详解】（1）100×80×1.65×1
＝13200×1
＝13200（吨）
答：在游泳池中注入13200吨水才能使水深1.65米。
（2）100×80＋100×2×2＋80×2×2
＝8000＋400＋320
＝8720（平方米）
8720×30＝261600（元）
答：购买瓷砖一共需要261600元。
【点睛】本题主要考查了长方体的表面积公式和体积公式的灵活应用，注意游泳池的表面积只有5个面。
25．9.72厘米
【分析】根据题意，首先利用棱长×棱长×棱长求出正方体石块的体积，再利用石块的体积除以长方体水槽的底面积即可求出水面上升的高度，再利用原来水水深加上上升的高度即可。
【详解】6×6×6÷（20×15）
＝216÷300
＝0.72（厘米）
9＋0.72＝9.72（厘米）
答：水面上升到9.72厘米。
【点睛】此题主要考查某些实物体积的测量方法。
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