资源简介

一年级数学上册 1-8 单元知识点
第一单元 准备课
1、数一数
数数：数数时，按一定的顺序数，从 1 开始，数到最后一个物体所对应的那个数，即最后数到几，就是这种物体的总个数。
2、比多少
同样多：当两种物体一一对应后，都没有剩余时，就说这两种物体的数量同样多。
比多少：当两种物体一一对应后，其中一种物体有剩余，有剩余的那种物体多，没有剩余的那种物体少。
比较两种物体的多或少时，可以用一一对应的方法。
第二单元 位置
1、认识上、下
体会上、下的含义：从两个物体的位置理解：上是指在高处的物体，下是指在低处的物体。
2、认识前、后
体会前、后的含义：一般指面对的方向就是前，背对的方向就是后。
同一物体，相对于不同的参照物，前后位置关系也会发生变化
从而得出：确定两个以上物体的前后位置关系时，要找准参照物，选择的参照物不同，相对的前后位置关系也会发生变化。
3、 认识左、右
以自己的左手、右手所在的位置为标准，确定左边和右边。右手所在的一边为右边，左手所在的一边为左边。
要点提示：在确定左右时，除特殊要求，一般以观察者的左右为准。
第三单元 1-5 的认识和加减法
一、 1--5 的认识
1、1—5 各数的含义：每个数都可以表示不同物体的数量。有几个物体就用几来表示。
2、1—5 各数的数序
从前往后数：1、2、3、4、5.
从后往前数：5、4、3、2、1.
3、1—5 各数的写法：根据每个数字的形状，按数字在田字格中的位置，认真、工整地进行书写。
二、比大小
1、前面的数等于后面的数，用“=”表示，即 3=3，读作 3 等于 3。前面的数大于后面的数，用“＞”表示，即 3＞2，读作 3 大于 2。前面的数小于后面的数，用“＜”表示，即 3＜4，读作 3 小于 4。
2、填“＞”或“＜”时，开口对大数，尖角对小数。
三、第几
1、确定物体的排列顺序时，先确定数数的方向，然后从 1 开始点数，数到几，它的顺序就是“第几”。第几指的是其中的某一个。
2、区分“几个”和“第几”
“几个”表示物体的多少，而“第几”只表示其中的一个物体。
四、分与合
数的组成：一个数（1 除外）分成几和几，先把这个数分成 1 和几，依次分到几和 1 为止。例如：5 的组成有 1 和 4,2 和 3,3 和 2,4 和 1.
把一个数分成几和几时，要有序地进行分解，防止重复或遗漏。
五、加法
1、加法的含义：把两部分合在一起，求一共有多少，用加法计算。
2、加法的计算方法：计算 5 以内数的加法，可以采用点数、接着数、数的组成等方法。
其中用数的组成计算是最常用的方法。
六、减法
1、减法的含义：从总数里去掉（减掉）一部分，求还剩多少用减法计算。
2、减法的计算方法：计算减法时，可以用倒着数、数的分成、想加算减的方法来计算。
七、0
1、0 的意义：0 表示一个物体也没有，也表示起点。
2、0 的读法：0 读作：零
3、0 的写法：写 0 时，要从上到下，从左到右，起笔处和收笔处要相连，并且要写圆滑，不能有棱角。
4、0 的加、减法：任何数与 0 相加都得这个数，任何数与 0 相减都得这个数，相同的两个数相减等于 0.
如：0+8=8 9-0=9 4-4=0
第四单元 认识图形
1、长方体的特征：长长方方的，有 6 个平平的面，面有大有小。
如图：
2、正方体的特征：四四方方的，有 6 个平平的面，面的大小一样。如图：
3、圆柱的特征：直直的，上下一样粗，上下两个圆面大小一样。
放在桌子上能滚动。
立在桌子上不能滚动。
如图：
4、球的特征：圆圆的，很光滑，它的表面是曲面。放在桌子上能向任意方向滚动。
5、立体图形的拼摆：用长方体或正方体能拼组出不同形状的立体图形，在拼好的立体图形中，有一些部位从一个角度是看不到的，要从多个角度去观察。用小圆柱可以拼成更大的圆柱。
第五单元 6-10 的认识和加减法
一、6—10 的认识：
1、数数：根据物体的个数，可以用 6—10 各数来表示。数数时，从前往后数也就是从小往大数。
2、10 以内数的顺序：
（1）从前往后数：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。
（2）从后往前数：10、9、8、7、6、5、4、3、2、1、0。
3、比较大小：按照数的顺序，后面的数总是比前面的数大。
4、序数含义：用来表示物体的次序，即第几个。
5、数的组成：一个数（0、1 除外）可以由两个比它小的数组成。如：10 由 9 和 1 组成。
记忆数的组成时，可由一组数想到调换位置的另一组。
二、6—10 的加减法
1、10 以内加减法的计算方法：根据数的组成来计算。
2、一图四式：根据一副图的思考角度不同，可写出两道加法算式和两道减法算式。
3、“大括号”下面有问号是求把两部分合在一起，用加法计算。“大括号 ”上面的一侧有问号是求从总数中去掉一部分，还剩多少，用减法计算。
三、连加连减
1、连加的计算方法：计算连加时，按从左到右的顺序进行，先算前两个数的和，再与第三个数相加。
2、连减的计算方法：计算连减时，按从左到右的顺序进行，先算前两个数的差，再用所得的数减去第三个数。
四、加减混合
加减混合的计算方法：计算时，按从左到右的顺序进行，先把前两个数相加（或相减），再用得数与第三个数相减（或相加）。
第六单元 11-20 各数的认识
1、数数：根据物体的个数，可以用 11—20 各数来表示。
2、数的顺序：11—20 各数的顺序是：11、12、13、14、15、16、17、18、19、20
3、比较大小：可以根据数的顺序比较，后面的数总比前面的数大，或者利用数的组成进行比较。
4、11—20 各数的组成：都是由 1 个十和几个一组成的，20 由 2 个十组成的。如：1个十和 5 个一组成 15。
5、数位：从右边起第一位是个位，第二位是十位。
6、11—20 各数的读法：从高位读起，十位上是几就读几十，个位上是几就读几。20的读法，20 读作：二十。
7、写数：写数时，对照数位写，有 1 个十就在十位上写 1，有 2 个十就在十位上写 2. 有几个一，就在个位上写几，个位上一个单位也没有，就写 0 占位。
8、十加几、十几加几与相应的减法
（1）、10 加几和相应的减法的计算方法：10 加几得十几，十几减几得十，十几减十得几。
如：10+5=15 17-7=10 18-10=8
（2）、十几加几和相应的减法的计算方法：计算十几加几和相应的减法时，可以利用数的组成来计算，也可以把个位上的数相加或相减，再加整十数。
（3）、加减法的各部分名称：
在加法算式中，加号前面和后面的数叫加数，等号后面的数叫和。
在减法算式中，减号前面的数叫被减数，减号后面的数叫减数，等号后面的数叫差。
9、解决问题
求两个数之间有几个数，可以用数数法，也可以用画图法。还可以用计算法（用大数减小数再减 1 的方法来计算）。
第七单元 认识钟表
1、认识钟面
钟面：钟面上有 12 个数，有时针和分针。
分针：钟面上又细又长的指针叫分针。
时针：钟面上又粗又短的指针叫时针。
2、钟表的种类：日常生活中的钟表一般分两种，一种：挂钟，钟面上有 12 个数，分针和时针。另一种：电子表，表面上有两个点“：”，“：”的左边和右边都有数。
3、认识整时：分针指向 12，时针指向几就是几时；电子表上，“：”的右边是“00”时
表示整时，“：”的左边是几就是几时。
4、整时的写法：整时的写法有两种：写成几时或电子表数字的形式。如：8 时或 8:00
第八单元 20 以内的进位加法
1、9 加几计算方法：计算 9 加几的进位加法，可以采用“点数”“接着数”“凑十法”等方法进行计算，其中“凑十法”比较简便。
利用“凑十法”计算 9 加几时，把 9 凑成 10 需要 1，就把较小数拆成 1 和几，10 加几就得十几。
2、8、7、6 加几的计算方法：（1）点数；（2）接着数；（3）凑十法。可以“拆大数、凑小数”，也可以“拆小数、凑大数”。
3、5、4、3、2 加几的计算方法：（1）“拆大数、凑小数”。（2）“拆小数、凑大数”。
4、解决问题
（1）解决问题时，可以从不同的角度观察、分析、从而找到不同的解题方法。
（2）求总数的实际问题，用加法计算。三年级数学上册1~9单元知识点
第一单元 时 分 秒
1、钟面的认识：三根针，时针、分针和秒针。
钟面上有12个数字，12个大格，60个小格。
计量很短的时间，常用秒。秒是比分更小的时间单位。
2、秒针走1小格是1秒，走1大格是5秒，走1圈（60小格）是60秒；
分针走1小格是1分，走1大格是5分，走1圈（60小格）是60分，也就是1时；
时针走1大格是1时，走1圈是12时。
3、1时=60分 1分=60秒 （相邻时间单位之间的进率是60）
半时=30分 一刻=15分
3时=（ 180 ）分
想：1时=60分，3时就是（3）个60分，也就是（3）个60分相加，即（180）分。
300分=( 5 )时
想：1时=60分，300分里面有（5）个60分，也就是（5）时。
4、单位的应用（根据平时的经验来填空，教师利用情境教学让学生体会1秒钟、1分钟、1小时的长短。 ）
一节课45（ ） 眨眼一次大约1（ ） 小明睡了9（ ）
5、经过时间的计算方法：
（1）数格法：可以看钟面，数格后再计算。
（2）计算法：经过时间=结束时间-开始时间
拓展：开始时间=结束时间-经过时间
结束时间=开始时间+经过时间
“时刻”表示一个特定的时间点，没有长短，只有先后。
“时间”表示两个日期或两个时刻的间隔。
终止时刻：如果时间拖后，要用加法；如果时间提前，要用减法。
易错点：
比较大小：3时○300分 （没有掌握时间单位的进率）
经过时间：一列火车晚上8:30从甲地开出，第二天早上6:30到达乙地。这列火车行驶了多长时间？
终止时刻：一辆汽车3:20开出，5:25分到达终点。由于天气原因，现在晚点13分，这辆汽车今天何时到达终点？
第二单元 万以内的加法和减法（一）
一、两位数加减两位数的口算
重点：掌握两位数加减两位数的口算方法。
难点：在计算的过程中体会算法的多样性。
知识点一：两位数加两位数的口算
方法1： 把其中一个两位数拆成整十数和一个一位数，用另一个两位数先加 整十数，最后加一位数。
例如：35+34=69 把34分成30和4，先算35+30=65；再算65+4=69
方法2： 把两个两位数分别拆成整十数和一位数，先算整十数加整十数，再 算一位数加一位数，最后把两次所得的和加起来。
例如：35+34=69，先算30+30=60，再算5+4=9，最后60+9=69
易错点：个位加个位满十时不向十位进一。
知识点二：两位数减两位数的口算
方法1：把减数拆成整十数和一位数，先用被减数减整十数，再用所得的差减一 位数。
方法2：把两位数拆成整十数和一位数，整十数减整十数，一位数减一位数（够减时），再把两个差相加。
要点 ：方法2只适合用于个位够减时，个位不够减时不适用。
易错点：口算两位数加减两位数时，忘记加进位数或退位数。
二、几百几十加减几百几十的笔算
重点：掌握几百几十加减几百几十的笔算方法。
难点：选择适当的方法进行估算。
　（1）几百几十加几百几十的笔算方法：相同数位对齐，从个位加起，每个数位上相加的结果就写在相应的数位下面，哪一位上的数相加满十，要向前一位进1.
　（2）几百几十减几百几十的笔算方法：相同数位对齐，从个位减起，减到哪一位，就把结果写在哪一位下面，哪一位不够减时，从前一位借1再减。
注意：相同数位对齐，都从个位算起。
易错点：笔算几百几十的加法时，数位对齐错误。
例如：40+590=（ ）笔算时把40的个位与590的十位对齐，40的十位与 590的百位对齐。
三、用估算解决问题
重点：掌握三位数加减法的估算。
难点：选择适当的方法进行估算。
估算方法：要根据问题和生活实际，适当采用不同的估算方法。可以把每个三
看成与它接近的整百数再进行计算，也可以先看成与它接近的几百几十数，再进行计算。
例如：403+571=（ ）把403看作400,571看作570。
易错点：选择估算方法时，没有考虑实际情况
例如：裙子145元，上衣287，求总价。
145+140=（ ）错解：把145看作140，把287看作280。
正解：把145看作150，把287看作290。
错解错在没有根据实际情况选择估算方法。解决有关购物问题时，应把钱数多估一些，不能估少了。
第三单元 测量
毫米、分米的认识。
重点：毫米、分米的认识，能正确进行单位换算。
难点：记住毫米、厘米、分米和米之间的关系，会恰当地选择单位。
知识点一：毫米产生的实际意义
定义：量比较短的物体的长度或者要求量的比较精确时，可以用毫米（mm）作单位。如数学书厚6（毫米）
注意：测量时，物体的左边与0刻度对齐，物体的右边对准刻度几，物体的 长度就是几。
知识点二：认识毫米，理解毫米与厘米之间的关系
⑴当测量长度不是整厘米时，可以用毫米作单位，在直尺上1厘米的长度里 有10个小格，每个小格的长度是1毫米。
⑵1厘米=10毫米
⑶生活中，1分硬币、银行卡、乘车卡、身份证等物品的厚度大约是1毫米。
注意：测量时，先数出整厘米数，再数出有几个小格就是几毫米。
知识点三：认识分米及分米与厘米、分米与米之间的关系
⑴把10厘米的长度用一个比厘米大的单位来表示，那就是分米（dm）。分米是比厘米大，比米小的长度单位。
⑵1米=100厘米，1分米=10厘米，100厘米里有10个10厘米，也就是10个1分米，即100厘米=10分米，所以1米=10分米。
⑶我们的一拃长约1（分米），课桌高约7（分米），小红身高13（分米）
知识点四：长度单位间的换算
2厘米=（20）毫米
想：1厘米是10毫米，2厘米是2个10毫米，即（20）毫米。
80厘米=（8）分米
想：10厘米是1分米，80厘米里面有8个10厘米，也就是（8）个1分米， 即（8）分米。
注意：每两个相邻单位间的进率是10。
二、千米的认识
重点：掌握千米和米之间的单位换算。
难点：感受1千米的实际长度以及估算路程。
知识点一：千米的认识
定义：测量比较长的路程一般用千米（km）作单位。千米也叫公里。
（1千米=1公里）
运动场的跑道通常1圈是400米，半圈是200米，2圈半就是
400+400+200=1000（米），1000米也可以记作1千米，即1千米=1000米
知识点二：感受“1千米”有多长
量一量：在操场上确定起点，选定一条直线，量出100米，10个100米就是 1000米，在起点和终点处设一个明显的标志。
走一走：用平时走路的步长走完100米，确定走的时间和步数。推算1千米所用的时间和步数，从而推算1千米大约有多远。
知识点三：千米与米之间的换算
3千米=（3000）米
想：1千米是1000米，3千米是3个1000米，即（3000）米。
5000米=（5）千米
想：1000米是1千米，5000米里面有5个1000米，也就是（5）个1千米，即（5）分米。
常考题：4000米—2000米=（ ）千米 1千米+800米=（ ）米
13千米-6千米=（ ）米 600米+400米=（ ）千米
易错点：100米+1千米=（ ）米
错解：101 正解：1100
没有统一单位就直接计算。应先把1千米化成1000米再计算。所以
100米+1千米=100米+1000米=1100米
知识点四：路程的估算
估一估，从你家到学校大约有多远？
方法一：先数出自己走100米要走几步，再数出从家到学校走了多少步，估算家到学校大约有多远。
方法二：数出公共汽车从自己家到学校有几站，根据每站的距离估算家到学校大约有多远。
方法三：测出自己走100米的大约时间，再测出家到学校大约用多长时间，估算家到学校大约有多远。
三、吨的认识
重点：建立质量单位“吨”的概念，掌握吨和千克之间的单位换算。
难点：会用列表法解决生活中的问题。
知识点一：吨的认识
生活中计量较重或大宗物品通常用吨(t)作单位，如在计量钢材、水泥、化肥等大宗物品的质量或汽车、轮船、火车、货车等的载质量时，一般都用吨作单位。
知识点二：吨与千克之间的换算
4吨=（4000）千克
想：1吨是1000千克，4吨是（4）个1000千克，即（4）个1吨，也就是（4000）千克。
3000千克=（3）吨
想：1000千克是1吨，3000千克里面有（3）个1000千克，即（3）个1吨，也 就是（3）吨。
知识点三：用列表法解决问题
先确定一种方案成立，再根据条件求出另几种合适的方案。
如：用载质量分别为2吨和3吨的两辆车运煤，怎样派车才能恰好运完8吨煤？
派车方案 2吨 3吨 运煤吨数
① 4次 0次 4×2=8（吨）
② 3次 1次 3×2+1×3=9（吨）
③ 2次 2次 2×2+2×3=10（吨）
④ 1次 2次 1×2+2×3=8（吨）
⑤ 0次 3次 3×3=9（吨）
第四单元 万以内的加法和减法（二）
一、三位数加法
重点：掌握加法的计笔算方法。
难点：理解进位加法的算理。
知识点一：三位数加法（不进位）的笔算
三位数加法（不进位）的笔算方法：相同数位对齐，从个位加起，加到哪一位，就把结果写在哪一位的下面。
书写格式：列竖式计算三位数加法时，相同数位要上下对齐。
知识点二 ：三位数加法（不连续进位）的笔算
三位数加法（不连续进位）的笔算方法： 哪一位上的数相加满十，要向前一位进1。无论计算哪一位，只要有进位就要加上进位的数。
　　　例如：271+31的竖式计算方法。
注意：计算时，十位相加满十，一定要向百位进1。同时，计算百位时注意不要忘记加上十位进上来的1。
知识点三：三位数加法（连续进位）的笔算
　　 例如：445+298的计算方法。
　　方法1： 估算 445接近450但不到450,298接近300但不到300,
450+300=750，因此445与298的和小于750
方法2：口算 298接近300，可以看作300来口算，即445+33-2=
745-2=743
　　方法３：竖式计算
要点：利用估算的结果大致判断计算结果是否正确。
易错点：把三位数看作整百或几百几十来口算，最后结果减去多加的数（或加上多减的数）。
知识点四：加法的验算
加法的验算方法：
　　方法１：验算加法可以交换加数的位置再计算一遍，看两次计算的结果是否相同。
方法２：根据“和－加数＝另一个加数”，用减法来计算。
二、三位数减法
重点：掌握三位数减法的计算方法以及减法的验算方法。
难点：连续退位减法的算理。
知识点一：三位数减法（不退位）的笔算
　　三位数减法（不退位）的笔算方法：相同数位对齐，从个位减起。
要点：计算万以内的减法要注意①书写格式②计算顺序，按照先算低位再算高位的顺序③退位规则：哪一位上的数不够减，要从前一位退１当１０，加上本位上的数再减。
知识点二：三位数减法（连续退位）的笔算
　　三位数减法（连续退位）的笔算方法：
①相同数位对齐，从个位减起；
②哪一位上的数不够减，要从前一位退１，在本位上加１０再减。
知识点三：被减数中间有0的连续退位减法的笔算
要点：被减数中间有0的连续退位减法的笔算方法：若个位不够减，要从十位退1当10继续算；十位上的数字是0时，要从百位退1当10继续算，但不要忘记减去个位上不够减时退下去的1。
例如：探究403-158的笔算方法。
被减数中间有0的减法，如果“0”上面有退位点，这个“0”要当作“9”来计算。
易错点：计算被减数中间有0的退位减法时，忘记减掉退位的1
例如：用竖式计算：305-138
错解易在被减数十位上的0计算时忘记减掉退位的1。十位上应为10-1-3=6
知识点四：减法的验算
方法1：用被减数减差，看结果是否等于减数。
方法2：用差加减数（或减数加差），看结果是否等于被减数。
要点回顾：被减数、减数和差三者之间的关系为：
被减数-减数=差
减数=被减数-差
被减数=差+减数
三、解决问题
重点 ：掌握三位数连加的计算方法，运用所学的知识解决实际问题。
难点：选择合适的解题策略解决实际问题。
知识点：解决实际问题
例如：166+225+558
（把166看作170,225看作230,558看作560。）
要点：1、用加减法解决实际问题时，要审清题意，弄清数量关系，明确所求问题，逐步分析并解答。结合实际，把题中的数看作几百几十。2、估算钱的问题时，尽量估大不估小。
易错点：解决实际问题时，不能正确的把数值估大或估小。
例如：一张桌子142元，一个台灯60元，如果购买这两样需准备多少元？
错解： 把142看作140。 正解： 把142看作150。
140+60=200（元） 150+60=210（元）
答：大约准备200元。 答：大约准备210元。
第五单元 倍的认识
重点：建立倍的概念，掌握“求一个数是另一个数的几倍”“求一个数的几倍是 多少”的计算方法。
难点：理解倍与除数的关系。
一个数里面有几个相同的另一个数，这个数就是另一个数的几倍。
知识点一:倍的意义
定义：倍是两个数进行比较的一种关系。一个数里面有几个另一个数，就可以说一个数是另一个数的几倍。
例如：白萝卜10根，红萝卜2根，白萝卜是红萝卜的几倍？
想：白萝卜总数里有（ ）个2根，白萝卜根数是红萝卜的（ ）倍。
要点1：一个数里面有几个相同的另一个数，这个数就是另一个数的几倍
要点2：“几个几”就是“几倍”。“倍”表示的是两个数量之间的关系，因此“倍”不是计量单位，不能作为单位名称。
知识点二：求一个数是另一个数的几倍
归纳总结：解决“求一个数是另一个数的几倍”的问题，就是求这个数里面包含几个另 一个数，应用除法计算，商的后面不带单位，即一个数÷另一个数=倍数
易错点：混淆谁是谁的多少倍
例如：河里有许多动物在游泳，小鹅有4只，小鸭的只数是小鹅的2倍，小鹅的只数是河马的2倍，小鸭和河马各有多少只？
错解 正解
4÷2=2（只） 4×2=8（只）
4÷2=2（只） 4÷2=2（只）
答：小鸭有2只 ，河马有2只。 答：小鸭有8只 ，河马有2只。
分析错误：错解错在没有分清谁是谁的多少倍，导致列式错误。小鸭的只数
是小鹅的2倍，求小鸭的只数应用乘法。在解决有关“倍”的实际问题时，一
定要分清谁是谁的多少倍，根据实际情况选择乘法或除法解答。
知识点三：求一个数的几倍是多少
要点： 求一个数的几倍是多少，实际上就是求几个这样的数相加的和是多少，用乘法计算。
例如：用画图方法理解题意。
军棋每副8元，象棋的价钱是军棋的4倍，象棋多少钱一副？
军棋： 8 元 提示：（是几倍就画几个第一条线段的长度）
象棋：______ ______ ______ ______是军旗的4倍
？元
从图形中可以看出 一条线段表示8元，象棋表示（ 4 ）个8元，就是求（ 4 ）个8是多少，用乘法计算。
列式： 8×4=32（元）答：象棋32元一副。
思考后验证：象棋的价钱是（ 32 ）元，军棋的价钱是（8 ）元，32里面有（ 4 ）个8 ，说明32是8的（ 4 ）倍
考点：和倍问题
(
共计36岁
)例如：小雨和妈妈的年龄和是36岁，妈妈的年龄是小雨的8倍，他们的年龄分别是多少岁
综合法：从题目的条件入手推出结论。
小雨：——
妈妈：—— —— —— —— —— —— —— ——
是小雨年龄的8倍 （36岁相当于小雨年龄的9倍）
规范解答：
8+1=9
小雨的年龄：36÷9=4（岁）
妈妈的年龄：4×8=32（岁)
答：小雨的年龄是4岁，妈妈的年龄是32岁。
（解决“和倍问题”的关键是找准把哪个量看作1份的数，把哪个量看作几份的数，可以采用画线段图的方法来表示两个量之间的关系。）
第六单元 多位数乘一位数
重点：掌握整十、整百数乘一位数和两位数乘一位数的口算方法。
难点：理解整十、整百数乘一位数和两位数乘一位数的口算算理。
一、口算乘法
知识点一：整十、整百数乘一位数的口算
例如1：坐碰碰车每人20元，3人需要多少钱？
（就是求3个20是多少，用乘法计算，列式为20×3）
例如2:探究200×3的口算方法。
方法1：把200×3看作3个200相加，200+200+200=600,所以200×3=600
方法2：想200里面有2个百，2个百乘3是6个百，也就是600，即
200×3=600。
易错点：口算整百数乘一位数，得数末尾漏掉0
例如:口算500×4
错解 500×4=200 正解500×4=2000
错解错在根据口算方法转换成表内乘法计算为5×4=20时，在积的末尾只添了1个0。
总结方法：先把整十、整百数末尾的0前面的数和一位数相乘，计算出积后，再看因数末尾一共有几个0，就在积的末尾添几个0。
知识点二：两位数乘一位数的口算
例如：坐过山车每人12人，3人需要多少人
想：(就是求3个12是多少，用乘法计算，列式为12×3）
方法1：通过摆小棒，利用拆分法计算。
列式：10×3=30 2×3=6 30+6=36
方法2：根据乘法的意义用加法计算。
列式：12+12+12=36,即12×3=36
总结两位数乘一位数的口算方法：
一拆：把两位数拆成整十数和一位数的和；
二乘：用拆得两个数，分别和原来的一位数相乘得积；
三加：把两个积相加得结果。
二、笔算乘法（不进位）
重点：掌握多位乘一位数（不进位）的笔算方法及乘法竖式的书写格式，能正确计算。
难点：多位乘一位数（不进位）的笔算算理。
知识点:多位乘一位数（不进位）的笔算乘法
例如：有3个人，每人有一盒彩笔，一共有3盒彩笔。每盒彩笔有12支，3盒彩笔一共有多少支？
方法1：用加法计算
12 ×3＝12＋12＋12＝36
方法2：用竖式计算
方法总结：相同数位对齐，从个位乘起，竖式计算时通常要把数位多的放在上面，数位少的放在下面。）
易错点：竖式计算时，书写格式不正确
例如：用竖式计算：43×2
错解：43 × 2 =86 正解 43 × 2=86
4 3 4 3
× 2 × 2
________ _________
8 6 8 6
错误原因：错解错在列式时，把乘数2写在了十位上。用竖式计算时，不仅要看结果是否正确，还要保证书写格式规范。
三、笔算乘法（进位）
重点：掌握多位数乘一位数(进位)的笔算方法。
难点：理解多位数乘一位数(进位)的笔算算理。
知识点一：多位数乘一位数(不连续进位)的笔算乘法
多位数乘一位数的笔算方法：
第一步：相同数位对齐，从个位乘起，用一位数依次去乘多位数每一位上的
数。
第二步：乘得的积满几十就向前一位进几。
第三步：每一位计算时所得的积都要加上进位数。
要点：十位上计算时不要忘记加进上来的数。
例如:
4 6 3 9
× 2 × 2
_________ _________
8 2 6 8
知识点二：多位数乘一位数(连续进位)的笔算乘法
知识记忆---口诀记忆法
多位乘法进位忙，连续进位不要慌，
都从个位先乘起，数位对齐要领强，
进位数字别忘记，细心才能做妥当。
要点点拨：连续进位时，哪一位上满几十，就向它的前一位进几，进上来的数字写在竖式相应数位的右下角。
要点提示：在乘法算式里，乘数也叫因数。
四、一个因数中间（末尾）有0的乘法
重点：1、0和任何数相乘都得0。
2、掌握一个因数中间（末尾）有0的乘法的计算方法。
难点:理解一个因数中间（末尾）有0的乘法的计算算理。
知识点一：关于0的乘法
例如：7个盘子里一个桃子也没有，都用“0”表示，也就是求7个0是多少。
加法:0+0+0+0+0+0+0=0
乘法：0×7=0或7×0=0
（知识回顾：0和任何数相加都得原数。例如 0+2=2 0+0=0）
总结：0和任何数相乘都得0
知识点二：一个因数中间有0的乘法
计算因数中间有0的乘法计算方法：
第一步：相同数位对齐，从个位乘起，用一位数依次去乘另一个因数每一位上的数。
第二步：哪一位上的乘积是0，并且没有进上来的数，就在那哪一位上写0占位；如果有进上来的数，则必须加上进上来的数。
考点:一个因数中间有0的简便计算
例如:204×4=816 509×6=3054 708×5=3540
发现：中间有0的三位数乘一位数，可以直接用百位上的数字与一位数相乘的积作为积的最高位上的数字；用个位上的数字与一位数相乘的积作为积的十位和个位上的数字，如果积不满十的，十位上用0占位。
知识点三：一个因数末尾有0的乘法
因数末尾有0的乘法竖式的简便算法：
第一步：把一位数与多位数末尾的0前面的数对齐。
第二步：用一位数乘多位数末尾的0前面的数。
第三步：看因数的末尾有一共几个0，就在乘得的积的末尾添几个0.
拓展：多位数的末尾有几个0，积的末尾至少有几个0.
易错点：计算因数末尾有0的乘法时，积中漏掉因数末尾的0。
例如：用竖式计算250×4=
错解： 250 × 4 250 × 4
2 5 0 2 5 0
× 4 × 4
1 0 0 1 0 0 0
错解错在积中漏加了250末尾的0。先计算25×4=100，再在积的末尾加上一个0，即结果是1000。
五、用估算解决问题
重点:掌握多位数乘一位数估算解决问题的方法。
难点：灵活运用乘法估算解决实际生活中的具体问题。
知识点一 ：运用多位数乘一位数估算解决问题：
要点：把多位数看作与它接近的整十、整百数……再与一位数相乘，估算出近似的积，中间一“≈”连接。
例如：三（1）班有29人参观，每人8元，带250元够吗？
列式29×8≈240（元）( 240 )<( 250 )，所以带250元买门票（ 够 ）。
注意事项：在购物问题上，我们尽量估大不估小，避免实际用钱时不够。
易错点：“≈”和“=”应用不准确
例如：估算：198×8
错解 198×8=1600 正解 198×8≈1600
错解错在198×8的 准确结果不等于1600，却用“=”连接。估算时，把198看成200，与8相乘，得到是估计值，应用“≈”连接。
六、用乘、除法解决问题
重点：画图分析题中的数量关系，掌握乘 、除法混合运算的计算方法。
难点：掌握用乘除两步计算解决问题策略。
知识点：归一应用
总结方法：
运用画示意图法解决问题：
2、归一应用题方法：先求出一份是多少，再求出几份是多少。
3、归总应用题方法：先求出总量是多少，再求出部分量是多少。
易错点：没有分清题中的数量关系，导致错误
例如:小明5分钟走了40米，照这样的速度，他从家到学校要走15分钟，
他家离学校多少米？
错解 40×5×15 正解 40÷5×15
应根据“路程÷时间=速度”用除法计算，即40÷5。要求15分钟走多少米，即40÷5×15
第七单元 长方形和正方形
重点：掌握四边形、长方形和正方形的特征。
难点：能准确地画出长方形和正方形。
一、四边形
知识点一：四边形的特点
四边形的特点：①有4条直的边，②有4个角，③是封闭图形。
知识点二：长方形和正方形的特点
长方形 正方形
不同点 只有对边相等 4条边都相等
相同点 都有4条边，4个角，并且对边相等，4个角都是直角
拓展：
名称 长方形 正方形 平行四边形 四边形
图形
特点 对边相等 4条边相等 对边相等 4条直的边
4个角都是直角 4个角都是直角 对角相等 4个角
注意：由四条线段围成的封闭图形才是四边形。
四边形包括：平行四边形、长方形和正方形等。
二、周长
知识点：周长的认识
1、定义：封闭图形一周的长度就是这个图形的周长。
2、图形按形状可以分为两类：
a、规则图形，如长方形、正方形、平行四边形等
b、不规则图形，如树叶形状的图形、月牙形状的图形等
3、周长的测量：
a、不规则图形的周长可用绕绳法测量
b、规则图形（圆形除外）的周长采用直尺测量
c、圆形的周长课用滚动法或绕绳法来测量
三、长方形和正方形的周长
知识点一：长方形和正方形周长的计算方法
长方形的周长计算方法：
方法一：长方形周长=长+宽+长+宽
方法二：长方形周长=长×2+长×2
方法三：长方形周长=（长+宽）×2
例：一个长方形的长是5厘米，宽是3厘米，这个长方形的周长是多少？
正方形的周长计算方法：
方法一：正方形周长=边长+边长+边长+边长
方法二：正方形周长=边长×4
例：一个正方形的边长是2分米，这个正方形的周长是多少？
拓展：长方形长=周长÷2-宽
长方形宽=周长÷2-长
正方形边长=周长÷4
例：一个长方形的周长是20分米，它的长是7分米，那么，它的宽是多少？
一个长方形的周长是16米，它的长是6米，那么，它的宽是多少？
一个正方形的周长是20厘米，那么，这个正方形的边长多少？
第八单元 分数的初步认识
重点：认识几分之一，会读、写几分之一。
难点：理解几分之一的含义，会比较几分之一的大小。
一、几分之一
知识点一：几分之一
⑴意义：把一个物体或图形平均分成若干份，其中的1份就用几分之一来表示。“平均分”是得到一个分数的必要前提。
⑵分数各部分的名称：
1······分子
—······分数线 读作：二分之一
2······分母
⑶几分之一的读法：先读分母，再读分数线（读作：分之），最后读分子，如，读作：二分之一
⑷几分之一的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子。
知识点二：体验几分之一
明确表示的意义。
方法一：把正方形纸横、纵方向各对折一次，即折成“田”字，每份是它的。
方法二：将正方形沿同一方向对折两次，每份是它的。
方法三：将正方形沿两条对角的连线各对折一次，每份是它的。
方法四：将正方形纸先对折成两个长方形，再沿对折成的长方形的对角连线对折一次每份是它的。
知识点三：比较几分之一的大小
看图比较：画两个同样大小的图形，分别表示出它的几分之一，再比较大小。
根据分数意义比较：把一个图形或物体平均分成的份数越少，每一份越大，这个分数就越大。
归纳总结：分子是1的两个分数，分母越大，分数越小；分母越小，分数越大。
易错点：和比较大小
错解：因为8＞4，所以＞
误认为，平均分的份数越多，表示每份的分数就越大。
正解： 表示把一个物体或图形平均分成4份，取其中的一份； 表示把一个物体或图形平均分成8份，取其中的一份。把单位“1”分的份数越多，每一份就越小，所以＞
三、几分之几
重点：理解几分之几的含义，会读、写几分之几。
难点：掌握同分母分数的大小比较。
知识点一：认识几分之几
定义:把一个物体或图形平均分成几份，取其中的几份就是它的几分之几。
几分之几个各部分的名称及意义：分母表示把一个物体或图形平均分成几份，分子表示所取的份数，分数线表示平均分。
几分之几可以看成几个几分之一，如可以看成3个
知识点二：同分母分数的大小比较
⑴一个分数的分子与分母相同时，可用1表示，也就是把一个物体或图形平均分成几份，取的份数与分的份数同样多。
⑵两个同样大小的物体或图形平均分的份数相同，取的份数越多，表示的分数就越大。即同分母分数比较大小，分子大的分数较大。
例：比较大小
三、分数的简单计算
重点：掌握同分母分数加、减法的计算方法。
难点：掌握1减几分之几的计算方法。
知识点一：同分母分数的简单加法
①分数加法与整数加法的意义相同，都是把两个数合并成一个数的运算。
②计算同分母分数加法时，因为平均分的份数没有变，所以分母没有变化。
③同分母分数相加，分母不变，分子相加。
知识点二：同分母分数的简单减法
①计算同分母分数减法时，因为平均分的份数没有变，所以分母没有变化。
②同分母分数相减，分母不变，分子相减。
知识点三：1减几分之几
①计算1减几分之几时，减数的分母是几，1就变成分母和分子都是几的分数，再根据分数的意义相减。
②当两个分数相加的和是分子和分母相同的分数时，可以把这个分数写成1，如+=1
四、分数的简单应用
知识点一：用分数表示由多个个体组成的整体中的若干份
在分数中，可以把一个物体或图形看作一个整体，也可以把多个个体的组合看作一个整体。
例：▲△△△ （▲占整体的）
知识点二：求一个数的几分之几是多少
方法：①明确几分之几表示的意义，找出整体对应的量。
②用除法求出一份是多少。
③用乘法求出几份是多少。
例：12名学生，其中是女生，是男生，男女生各有多少人？
女生：12÷3=4（人）
男生：12÷3=4（人） 4×2=8（人）
答：女生有4人，男生有8人。
第九单元 数学广角——集合
重点：用集合思想解决简单的实际问题。
难点：理解集合图的意义。
知识点：运用集合思想解决重叠问题
①把一些事物进行归纳分类后，有些事物是重复出现的，像这样是问题称为重叠问题。
②填写集合图时，先将重复的找出去填在中间重合的部分，然后将各部分剩余的依次填在剩下的集合图中。
例：把下列动物的序号填在合适的位置上。
①小狗 ②鸡 ③鱼 ④青蛙 ⑤壁虎
⑥虾 ⑦乌龟 ⑧老虎 ⑨小猫
能在陆地上生活的 能在水里生活的
2二年级数学上册1~8单元知识点
第一单元 长度单位
一、米和厘米
1、测量物体的长度时，要用统一的标准去测量；常用的长度单位有：米和厘米。
2、测量较短物体通常用厘米作单位，用字母（cm）表示；测量较长物体通常用米作单位，用字母（m）表示。
3、测量时：一般是把尺子的“0”刻度对准物体的左端，再看物体的右端对着几，对着几就是几厘米。
例：画一条4厘米长的线段，一般应从尺的（ ）刻度画起，画到（ ）厘米的地方；还可以从尺的（ ）刻度画起，画到（ ）厘米的地方。
（ ）厘米 （ ）厘米
4、1米=100厘米 100厘米=1米。
5、拉紧的一段线，可以看成一条线段
线段的特点：①线段是直的，可以量出长度。②线段有两个端点。
6、图钉的长大约1厘米；食指的宽大约1厘米；田字格宽大约1厘米；
7、课桌宽60厘米 黑板长4米
教室长8米 跑道长400米
铅笔长20厘米 跳绳长2米
数学书长26厘米 灯管长50厘米
房间高3米 字典厚4厘米
大树高8米 旗杆高15米
爸爸的身高 1米75厘米或175厘米 小朋友的身高 120厘米或1米20厘米
第二单元 100以内的加法和减法
1、用竖式计算两位数加法时： ①（相同数位）要对齐。
② 从（个位）加起。
③（个位上的数字相加满10），要（向十位进1）。
用竖式计算两位数减法时： ①（相同数位）要对齐。
②从（个位）减起。
③（个位不够减），要（从十位退1）；
在原来的个位数字上加10再减，
计算时十位要记得减去退掉的1。
2、连加、连减、加减混合运算顺序；
从左往右依次计算，有括号的要先算括号里的。
3、求比一个数多几的数是多少，用加法计算。
求比一个数少几的数是多少，用减法计算。
4、连续两问的解决问题的解决方法：
先根据已知的数学信息，解决一个问题，再把答案作为已知的数学信息，解决第二个问题。
第三单元 角的初步认识
1、角的特征：一个顶点，两条边（直的）
【练一练】标出角的各部分名称
（ ）
（ ）
（ ）
2、角的画法：先画顶点（定顶点）后画边
从一个点起，用尺子向不同的方向画两条边，就画成一个角。
3、认识锐角和钝角
4、用三角尺可以画出直角。
要知道一个角是不是直角，可以用三角尺上的直角比一比。
（点对点，边对边，边重合，是直角）
4、三角尺上有3个角，其中最大的那1个是直角，其余2个都是锐角。
正方形、长方形都有4个角，4个角都是直角。
5、角的大小与两条边的长短无关，只和两条边张开的大小有关。
【用放大镜看一个角，这个角的大小不改变。】
直角 比直角大的角叫做钝角 比直角小的角叫锐角
6、用三角尺画直角的方法：
三角尺的直角边，沿着一画是直角（一点、二线、三标记。）
7、会用三角尺来判断直角、锐角和钝角：把三角尺上直角的顶点与被比较角的顶点重叠在一起，再将三角尺上直角的一条边与被比角的一条边重合，最后比较三角尺上直角的另一条边与被比角的另一条边，线上为直角，内为锐角，外为钝角。
8、所有的直角大小都一样。
拿一张纸，先上下对折，再左右对折可以得到直角。
数学书的封面上有4个角，4个都是直角。
红领巾上有3个角，2个锐角和1个钝角。
9、数角的个数时，可以先数单个的角，再数由两个单个的角组成的角，再数由三个单个的角组成的角，依次这样数下去，加在一起就是一共有多少个角。
10、画直角、锐角和钝角。
11、拼角：一直（角）一锐(角)拼钝角
第四、第六单元 表内乘法
1、求几个相同加数的和，除了用加法表示外，还可以用乘法表示更加简洁。
乘法是求几个相同加数的和的简便算法。
2、求几个相同加数的和改写成乘法算式：
相同加数×相同加数的个数或相同加数的个数×相同加数。
如：5+5+5+5 表示：4个5相加得20，
可以列成乘法算式计算： 5×4=20 或 4×5=20
5 × 4 = 20 读作：5乘4等于20 口诀：（四五二十）
4 × 5 = 20 读作：4乘5等于20 口诀：（四五二十）
乘数 × 乘数 = 积
其中4和5都是乘数，积是20
3、加法写成乘法时，加法的和与乘法的积相同。
4、乘法算式中，两个乘数交换位置，积不变。
5、
6、在9的乘法口诀里，几乘9或9乘几，都可看作几十减几，其中“几”是指相同的数。
如：1×9=10—1 9×5=50—5
7、 看图，写乘加、乘减算式时：
乘加：先把相同的部分用乘法表示，再加上不相同的部分。
乘减：先把每一份都算成相同的，写成乘法，然后再把多算进去的减去。
【计算时，先算乘，再算加减。】
例：
加法算式：3+3+3+3+2=14
乘加算式：3×4+2=14
乘减算式：3×5－1=14
8、 相同得数，不同口诀
只能列一道乘法算式的口诀有9句：一一得一，二二得四，三三得九，四四十六，五五二十五，六六三十六，七七四十九，八八六十四，九九八十一。
9、几个几相加可以写出两个乘法算式，
“5+5+5”写成乘法算式是（3×5=15）或（5×3=15），
都可以用口诀（三五十五）来计算，表示（3）个（5）相加
10、“几和几相加”与“几个几相加”有区别
求几和几相加，用几加几；
求几个几相加，用几乘几
求4和3相加是多少？ 用加法（4+3=7）
求4个3相加是多少？ （3+3+3+3=12或3×4=12或4×3=12）
补充：几和几相乘，求积 ？ 用 几×几
2个乘数都是几，求积 ？ 用 几×几。
11、一个乘法算式可以表示两个意义，如“4×2”既可以表示“4个2相加”，也可以表示“2个4相加”。
2个几相乘的积就是几乘几。 例如：2个6相乘的积就是6×6=36.
第五单元 观察物体
从不同角度观察同一物体，观察到的物体形状可能是不同的。
正方体从正面、侧面、上面看，看到的都是正方形。
长方体从不同方向看，看到的会是不同大小的长方形。
圆柱从正面、侧面看，看到的是长方形或正方形，从上面看是圆形。
球从不同方向看，看到的都是圆。
第七单元 认识时间
钟面上有12个大格，60个小格，
分针细长跑的快，时针粗短跑的慢。
分针指12，就是几时整（ ：00）
分针走1小格是1分，分针走1大格是5分，
时针走1大格是1时，
分针走一圈是60分，也是1时。
时针走1大格=分针走60小格（一圈），
所以 1时 = 60分。
比大小：3时（ ）300分
一刻钟是15分，半小时是30分，1小时是60分。
时针从12走到1，走了（1）时，分针从12走到1，走了（5）分。
时针从12走到3，走了（3）时，分针从12走到3，走了（15）分。
时针从 1 走到4，走了（3）时，分针从 1 走到4，走了（15）分。
时针从12开始绕了一圈又走回12，走了（12）时。
分针从12开始绕了一圈又走回12，走了（60）分或（1）时。
写时间：两种
几时几分和电子表数字的形式来表示
【补充】分针从1开始绕了一圈又走回到1，走了（60）分或（ 1 ）时。
时间：时针走过数字几，分针从12起走了多少小格，就是几时多少分。
例：
时针指在8和9之间，分针指着7，这个时刻是（ 8 ）时（ 35 ）分。
8时少5分是（7:55）
7时过10分是（7：10）
时间的顺序：1时，1时多，2时，2时多，3时，2时多，4时，4时多，
5时，5时多，6时，6时多，7时，7时多，8时，8时多，9时，9时多，
10时，10时多，11时，11时多，12时，12时多。
画分针时针需要注意：
①分针时针用一长一短（长短区分要明显）的直线表示即可，不用加箭头；
②时针的位置，不是整时钟面，在时针指在相邻两个数的中间，当小于半时时，指针指向接近较小的数，当大于半时时，时针指向接近较大的数。以7:35为例，因为35分大于半时，所以时针指向更接近数字8，分针指向数字7.
第八单元 数学广角
在排列和组合中，要有序思考，不重复、不遗漏。
排列问题（和顺序有关）
组合问题（和顺序无关）
1、用1,2,3组成两位数，个数和十位数字不一样，能组成 6 个两位数。
分别是12、13、21、23、31、32。
2、用4,0,7组成两位数，个数和十位数字不一样，能组成 4 个两位数。
分别是40、47、70、74。
3、3个小朋友排队或者坐成一排，都是有6种坐法。
（用1,2,3表示这3个人，可以写成123、132、213、231、312、321）
4、3个人握手，每两个握一次，一共握3次。4个人就要握6次手。可以用连线法。
5、3个数5、7、9，任意选取其中2个求和，得数有3种可能。也可以连线。
分别是5+7=12、5+9=14、7+9=16。
6、衣服和裤子的搭配问题也可以连线。
减法： 被减数 — 减数 = 差
减数 = 差 + 减数
减数 = 被减数 — 差
加法： 加数 + 加数 = 和
和 — 加数 = 加数
乘法： 乘数 × 乘数 = 积
一共有多少个？
4×9=36
6×6=36
2×6=12
3×4=12
3×8=24
4×6=24
2×9=18
3×6=18
2×8=16
4×4=16
1×8=8
2×4=8
1×9=9
3×3=9
1×6=6
2×3=6
1×4=4
2×2=4
4个
PAGE
4数学五年级（上册）1~7单元【知识点】
第一单元《小数乘法》
小数乘整数的计算方法：
1、先将小数转化成整数 2、再按照整数乘法的计算方法算出积 3、最后确定积的小数点的位置。4、如果积的小数部分末尾若出现0，要去掉小数末尾的0，使小数成为最简形式。
二、小数乘小数的算理及计算方法：
（1）按照整数乘法算出积，再点小数点；（2）点小数点时，看因数中一共有几位小数，有几位小数就从积的右边起数出几位，点上小数点；（3）积的小数位数如果不够，在前面用0补足，再点小数点；（4）积的小数部分末尾有0的要把0去掉。
三、积与因数的关系
一个因数（0除外）乘大于1的数，积比原来的因数大；
一个因数（0除外）乘小于1的数，积比原来的因数小。
四、求一个数的小数倍数是多少的问题的解题方法：用乘法计算，即用这个数乘小数倍数。
五、小数乘法的常用验算方法：
（1）根据因数与积的大小关系检验；（2）交换两个因数的位置，重新计算；（3）用计算器验算。
六、用“四舍五入”法求积的近似数：
1、先算出积,然后看要保留数位的下一位,再按“四舍五入法”求出结果,用“≈”表示；
2、用四舍五入法保留一定的小数位数。
四舍五入法：小于5，把它和右边的数全舍去，改写成0
大于5，向前进1，再把它和右面的数全舍去，改写成0
由于小数的末尾去掉0和加上0，小数的大小不变，所以取小数的近似数时不用把数改写成0，直接去掉。
2.205≈2 (保留整数)
2.205≈2.2 (保留一位小数)
2.205≈2.21 (保留两位小数)
如果求得的近似数要保留数位的数字是9而后一位数字又大于5需要进1,这时就要依次进一用0占位。如6.597 保留两位小数为6.60。
特别注意：在保留整数、（一位、两位、三位）小数、省略（亿···万···十分位、百分位···）后面的尾数、精确到（亿···万···十分位、百分位···）这类题目，都可以用划圆圈的方法来完成。
七、乘除法运算定律
1、乘法交换律：两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。
用字母表示为：a×b=b×a 例如：85×18=18×85 23×88=88×23
乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。
用字母表示为：(a×b)×c=a×(b×c)
注意：乘法结合律的应用基于要熟练掌握一些相乘后积为整十、整百、整千的数。
例如：25×4=100； 250×4=1000； 125×8=1000； 125×80=10000
3、乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。
用字母表示：(a+b)×c=a×c+b×c ，或者是：a×c+b×c=(a+b)×c
注意：简便计算中乘法分配律及其逆运算是运用最广泛的一个，一定要掌握它和它的逆运算。
4、个数相乘，如果有接近整十、整百、整千……的数，可以将其转化成整十、整百、整千数……加（或减）一个数的形式，再用乘法分配律进行计算。
八、整数乘法运算定律在小数乘法中的应用：
1.整数乘法的交换律、结合律和分配律,对于小数乘法也适用。
2.计算连乘时可应用乘法交换律、结合律将乘积是整数的两个数先乘,再乘另一个数；计算一步乘法时,可将接近整十、整百的数拆成整十整百的数和一位数相加减的算式,再应用乘法分配律简算。
3.对于不符合运算定律的算式,可通过变形再进行应用。
错点警示:小数乘整数的积的末尾有0时，一定要先点积中的小数点，再去掉积中小数部分末尾的0。
规避策略:牢记计算方法和解题过程，先按整数乘法计算，再数小数位数，确定小数点的置，最后去掉小数部分末尾的0。
第二单元《位置》
一、对行和列的认识。
1、横排叫做行，竖排叫做列。确定第几列一般是从左往右数，确定第几行一般是从前往后数。
二、对数列的认识和表示方法。
1、用有顺序的两个数表示出一个确定的位置就是数对，确定一个物体的位置需要两个数据。
2、用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行，不要把列和行弄颠倒。
3、写数对时，用括号把列数和行数括起来，并在列数和行数之间写个逗号把它们隔开。写作：（列，行）。
4、数对的读法：（2，3）可以直接读（2，3）,也可以读作数对（2，3）。
5、一组数对只能表示一个位置。
6、表示同一列物体位置的数对，它们的第一个数相同；表示同一行物体位置的数对，它们的第二个数相同。
8、表示位置有绝招，一组数据把它标。 竖线为列横为行，列先行后不可调。
一列一行一括号，逗号分隔标明了。
三、物体移动引起数对的变化。
1、在方格纸或田字格上，物体左、右移动（向左或向右平移），行数不变，列数等于减去或加上平移的格数；物体上、下移动（向上或向下平移），列数不变，行数等于加上或减去平移的格数。
第三单元《小数除法》
知识框架：
一、小数除以整数
1、小数除法的意义：已知两个因数的（积）与其中的一个因数，求另一个因数的运算。
如：0.6÷0.3表示已知两个因数的积0.6与其中的一个因数0.3，求另一个因数的运算。
2、小数除以整数的计算方法：
小数除以整数，先安按整数除法的方法计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐。
3、除到被除数的末尾有余数的小数除法：
（1）计算除数是整数的小数除法时，除到被除数的末尾仍有余数，根据小数的性质（小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变）在商的个位后点上小数点，在余数后面添0继续除。
小数除以整数如果整数部分不够除，商写上0，点上小数点再除。0在个位起占位作用。
二、一个数除以小数
1、除数是小数的除法的计算方法：
（1）、先移动除数的小数点，使它变成整数。
（2）除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足。
（3）然后按照除数是整数的小数除法进行计算。
易错点：如果被除数的位数不够，在被除数的末尾用0补足。
2、除法中的变化规律：
（1）商不变性质：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。
（2）除数不变，被除数扩大，商随着扩大。
（3）被除数不变，除数缩小，商扩大。
3、商和被除数的大小关系：被除数除以一个小于1的除数时，商会比被除数大；被除数除以一个大于1的除数时，商会比被除数小。
三、商的近似数
1、准确数与近似数
准确数：在日常生活和生产实际所遇到的数中，有时可以得到完全准确的数，他们精确，没有误差。如：五（1）班有学生46人，这里的46是准确数。
近似数：由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量，或不可能得到精确的数。如：中国约有13亿人，这里的13就是近似数。
2、有效数字：一个近似数精确到哪一位，从左边第一个不是零的数算起，到这一位数字上，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。例如：0.6166≈0.62，有两个有效数字：6、2。
3、求商的近似数时，一般先除到比需要保留的小数位数多一位，在按照“四舍五入”法取商的近似值。
易错点：求近似数时，其中小数末尾的“0”不能去掉。
循环小数&用计算器探索规律
1、循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 注意：循环小数必须满足两个条件
2、循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字。如6.3232……的循环节是32。
3、循环小数的表示方法：写循环小数时，可以只写第一个循环节。并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。
例如：5.33333… 写作： ；6.965986598… 写作：
3、小数： 小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。
小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。
解决问题
先审题，要明白题目中已知什么？要求什么？再根据其关系式进行列出算式，（列算式时多问自己为什么要这样列式）接着进行计算，在计算的过程中，要细心、细心、再细心，最后根据实际情况决定用“进一法”还是“去尾法”。
第四单元《可能性》
一、事件发生的可能性有三种情况：可能、不可能和一定。其中，在一定的条件下，一些事情的结果是可以预知或确定的，就可以用“一定”或“不可能”来描述，表示确定现象。而在一定的条件下，一些事情的结果是不可以预知的或不可以确定的，这时就可以用“可能”来描述，表示不确定现象。
二、事件发生的可能性大小：当事件的可能性的大小与物体数量相关时，在总数或总体中物体数量越多，出现对应结果的可能性越大；物体数量越少，出现对应结果的可能性就越小。
三、根据事件发生的可能性大小判断物体数量的多少：当可能性的大小与物体数量相关时，某事件发生的可能性越大，则该事件对应的物体在总数中所占数量就越多；可能性越小，所占数量就越少。
考点：（1）、可能性的大小可以用分数或小数来表示。 例如：从标有1，2，3，4的四张卡片中任抽一张，抽到卡片“1”的可能性是多少？
（2）、设计公平的游戏规则。例如：指针停在斜线、白、黑三种区域的可能性是多少？
（3）、数的排列规律。 例如：桌子有三张卡片，分别写着7、8、9。如果摆出的三位数是单数小强赢，如果提出的三位数是双数，小丽赢，想一想，谁赢的可能性大些？这样公平吗？
第五单元《简易方程》
一、对于乘号的书写形式：
（1）在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。
如：
（2）数字和字母相乘，省略乘号时要把数字写在前面。（如b×4写作4b ）
（3）数与数之间的乘号不能省略。
注意：a×a可以写作：a·a (或) ，读作：a的平方或a的2次方，表示两个a相乘。
2a表示：a+a
二、等式的性质：
（1）在等式左右两边同时加、减、乘、除相同的数（0除外），等式依然成立。
（2）在方程左右两边同时加、减、乘、除一个不等于0的数，左右两边仍然相等。
三、方程和等式的关系：
含有未知数的等式叫做方程， （所有的方程都是等式，但等式不一定都是方程。）
如：2+3=5是等式，但不是方程。 注意：X=3此类也是方程。
四、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
五、解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 解方程原理：天平平衡。
六、解方程需要注意什么？（每天坚持练习）
（1）一定要写‘解’字。
（2）等号要对齐，同时运算前左右两边要照抄，解的未知数写在左边。
（3）两边乘、除相同数的时候，这个数一定不能为0。
七、10个数量关系式：
加法：和=加数+加数 一个加数=和-另一个加数
减法：差=被减数-减数 被减数=差+减数 减数=被减数-差
乘法：积=因数×因数 一个因数=积÷另一个因数
除法：商=被除数÷除数 被除数=商×除数 除数=被除数÷商
八、用S表示面积，用C表示周长。
（1） 如果用a表示正方形的边长 ， 那么 ：
这个正方形的周长：C =a·4=4a（省略乘号时，一般把数写在字母前面）
这个正方形的面积：S =a·a=（读作：a的平方，表示2个a相乘）
（2） 如果用a表示长方形的长， b表示宽，那么：
这个长方形的周长：C =（a+b）·2
这个长方形的面积：S = a·b=ab
九、方程的检验过程：方程左边=....... =方程右边
所以，X=..... 是方程的解。
十、列方程解应用题 总结几种情况：
（1）比字句。（如：根据比字句找出关系式，列方程）
（2）找总量。（如：根据总量找关系式，列方程）
（3）相遇问题（如：根据总路程列方程）。
（4）根据公式列方程（如：根据公式列方程）。
（5）根据不变量列方程。（如：如果每个房间住6人，有20人没床位；如果每房间住8人，正好住满。有多少房间？根据两种方案的不变量“总人数”列方程）。 请根据几种情况，找题练习。
注意：问题为两个未知量时，一般根据有关倍数的句子，写设。
十一、方程解的值的问题：
方程的解是一个数值，如x=3，不加单位名称。解方程是一个过程。
注意事项：
以下内容除了标明的外，全都是正确的方程习题示例，且没有跳步，请仔细观看其中每步的解题意图。带“*”号的题目不会考查，但了解它们有助于掌握解复杂方程的一般方法，对简单的方程也就自然游刃有余了。
一、一步方程
只有一步计算的方程，直接逆运算除未知数外的部分。
难点：当未知数出现在减数和除数时，要先逆运算含未知数的部分。
二、两步方程
两步方程中，若是只有同级运算，也可以先计算，后当做一步方程求解。注意要“带符号移动”，增添括号时还要注意符号的变化。
如果含有两级运算，就“逆着运算顺序”同时变化，如含有未知数的一边是“先乘后减”，则先逆运算减法（即两边同加），再逆运算乘法（即两边同时除以），依此类推。
难点：当未知数出现在减数和除数时，要先把含有未知数的部分看作一个整体（可以看成是一个新的未知数），就相当于简化成了一步方程。
例题中，“64÷x”、“7.2－x”和“6÷x”被看成新的未知数（y），
因此原方程就可以看成是6＋y＝10，5y＝6和10－y＝8的形式。
三、三步方程
应用乘法分配律，共同因数是已知数的
具有乘法分配律的形式，即两个有共同因数的乘积（或具有相同除数的除法式子）相加或相减，而共同因数（或除数）是已知数的，既可以逆用乘法分配律提取共同因数而将其简化为两步方程，也可以直接算出已知部分而化简。
通过比较可以看出，一般来说提取共同因数的方法确实计算量要少一些，不容易算错。
应用乘法分配律，共同因数是未知数的
具有乘法分配律的形式，即两个有共同因数的乘积（或具有相同除数的除法式子）相加或相减，而共同因数（或除数）是未知数的，只能逆用乘法分配律提取共同因数而将其简化为两步方程。
难点：隐藏的因数或错看的未知数容易成为此类问题的难点和易错点。
三、其它方程（方程两边都出现未知数的情况）
要解决两边都出现未知数的方程，就必须通过“等式的基本性质”，消去一边的未知数，成为我们熟悉的一般形式。因此，常常要将若干个未知数看成整体，共同加上或者减去。
方程两边都出现未知数的复杂情况（不作要求）
难点：方程两边都有未知数，且未知数是除数（即非0），则可以同时乘以未知数（这时方程的两边都各看作一个整体，里面的每一项都要乘以未知数），再消去一边的未知数。
四、总结
既然“解方程”是要得到形如“x＝9”这样的“方程的解”，因此就应当将方程中多余的、不想要的部分去掉（通过同时同样的逆运算），而其关键就在于运用“等式的基本性质”——只要保证方程两边的同时同样的变化，哪怕绕了大弯，“方程”最终也一定能被解决！
附：方程的检验
方程的检验作为一种格式存在，只需要记忆即可，平时一般口算代入检验。
第六单元《多边形面积》
一、长方形面积、周长关系式：
长方形面积=长×宽 字母公式：s=ab
长方形周长=(长＋宽)×2 字母公式：c=(a＋b)×2 （长=周长÷2-宽；宽=周长÷2-长）
二、长方形中面积、周长与长和宽之间的变化关系：
（1）长方形的长加宽等于长方形周长的一半。即 a + b = c ÷ 2
（2）当长方形的周长不变时，长与宽的差越大，这个长方形的面积就越小；反之，长与宽的差越小，这个长方形的面积就越大。
（3）当长方形的面积不变时，长与宽的差越大，这个长方形的周长就越长；长与宽的差越小，这个长方形的周长就越短。
（4）长方形框架拉成平行四边形，周长不变，面积变小。
三、正方形面积、周长关系式：
1、正方形面积=边长×边长 字母公式：s= a 或者s=a×a
2、正方形周长=边长×4 字母公式：c=4a 或者c= a×4
四、平行四边形
1、认识平行四边形和梯形
①四边形分类：一类是两组对边分别平行；另一类是只有一组对边平行
平行四边形 长方形 正方形
四边形
梯形
②平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。长方形和正方形是特殊的平行四边形。正方形是特殊的长方形。
2、平行四边形的特征：平行四边形容易变形，具有不稳定性；三角形具有稳定性。
3、平行四边形面积的计算公式
（1）沿着平行四边形任意一条边上的高，将平行四边形分成两部分，再经过平移或者剪拼，可以将平行四边形转化成长方形。通过观察发现，长方形的长是原平行四边形的底，长方形的宽是原平行四边形的高。　
（2）通过长方形的面积公式，长方形的面积=长×宽，我们可以得到平行四边形的面积公式，如果用S表示平行四边形的面积，用a和h分别表示平行四边形的底和高，可以得到平行四边形的面积==底×高；字母公式为：S=a×h。　　
4、平行四边形面积公式的应用
　　平行四边形的面积公式：S=a×h，经过变形得到：a=S÷h，h=S÷a。在已知平行四边形的底、高和面积中任意两个量时，可求出第三个量。
注意：等底等高的平行四边形面积相等。
五、三角形部分
　1. 三角形面积的计算公式
　　（1）用两个完全相同的三角形，经过旋转、平移，可以拼成一个平行四边形。拼成的平行四边形的面积是三角形面积的2倍，也可以说成三角形的面积等于拼成的平行四边形的一半。观察可以发现，平行四边形的底和三角形的底相同，平行四边形的高和三角形的高相同。　
（2）通过平行四边形的面积公式，可以推导出三角形的面积公式。如果S表示三角形的面积，用a和h分别表示三角形的底和高，三角形的面积=底×高÷2；字母公式为：S=a×h÷2。
2、三角形面积公式的应用
三角形的面积公式：S=a×h÷2，经过变形得到：a=2S÷h，h=2S÷a。在已知三角形的底、高和面积三个量中任意两个量，都可以求出第三个量。 注意：等底等高的三角形面积相等。
六、梯形
1、梯形：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 生活中的梯形：梯子、堤坝的横截面等
④平行四边形和梯形的相同点和不同点：
相同点：都是四边形；都有平行的对边
不同点：平行四边形的两组对边平行且相等；梯形有且只有一组对边平行，且平行的这组对边不相等
2、平行四边形和梯形各部分名称及高的画法。
①为平行四边形和梯形各条边命名
平行四边形的底和高：从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。
②梯形中互相平行的一组对边，较短的边叫做梯形的上底，较长的边叫做梯形的下底，不平行的那组对边，分别叫做梯形的腰。
③等腰梯形：两腰相等的梯形。
④直角梯形：当一条腰与上底、下底垂直时，这个梯形叫直角梯形。
⑤画高时注意：所画的高要用虚线表示；一定要画垂足符号。
3、梯形面积的计算公式
　　（1）梯形面积公式的推导过程： 旋转、平移，将两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形，梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半。通过观察可以发现，拼成的平行四边形的底等于梯形的上底、下底之和，平行四边形的高等于梯形的高。　　
　　（2）根据平行四边形面积公式，可以推导出梯形的面积公式。因为平行四边形的面积=底×高，所以梯形的面积=（上底＋下底）×高÷2，用S表示梯形的面积，a、b和h分别表示梯形的上底、下底和高，梯形的面积公式为：S=(a+b)×h÷2。　　
4、梯形面积公式的应用
梯形的面积公式：S=(a+b)×h÷2，经过变形得到：h=2S÷(a+b)，a=2S÷h-b，b=2S÷h-a。在已知梯形的面积、上底、下底和高四个量中任意三个时，都可以求出第四个量。
七、有关规律：
在平行四边形里画一个最大的三角形，这个三角形的面积等于这个平行四边形面积的一半。 2、用细木条钉成一个长方形框架，如果把他拉成一个平行四边形，则它的周长不变，面积变小
了，因为底不变，高变小了；如果将平行四边形框架拉成一个长方形，则他们的周长不变，面积变大了。
当三角形和平行四边形面积相等时，若高相等，则三角形的底是平行四边形的2倍，平行四边形的底是三角形的一半。
三角形和平行四边形的面积相等时，若底相等，则三角形的高是平行四边形的2倍，平行四边形的高是三角形的一半。
三角形和平行四边形等底等高时，则三角形的面积是平行四边形的一半，平行四边形的面积是三角形的2倍。
第七单元《植树问题》

一、两端要栽：间隔数＝总长÷间距； 总长＝间距×间隔数；
棵数＝间隔数＋1； 间隔数＝棵数－1
例题：1、计划在长600米的一条堤上，从头到尾每隔5米栽一棵树，那么需要准备多少棵树苗？
2、在一条大道的一侧从头到尾每隔15米竖一根电线杆，共用电线杆86根，这条大道全长是多少米？
3、一块菜地的一边长是800米，要沿边做一道栅栏，需从头到尾等距离栽41个木杆，每两个木杆之间相距多少米？
二、两端不栽：间隔数＝总长÷间距； 总长＝间距×间隔数；
棵数＝间隔数－1； 间隔数＝棵数＋1
例题：1、在相距50米的两楼之间栽一排树，每隔5米栽一棵树，共可栽多少棵树？
2、某大学从校门的门柱到公路有一条1000米的小路，每边相隔8米栽一棵白杨，一共可以栽白杨多少棵？
3、在一条长2500米的公路两侧架设电线杆，每隔50米架设一根，若公路两头不架，共需多少根电线杆？
三、锯木问题： 段数＝次数＋1 次数＝段数－1 总时间＝每次时间×次数（两端不栽）
例题：1、一根木材，截成3段要10分钟，如果每截一段的时间相等，那么截成9段需要多少分钟？
2、锯一条4米长的圆柱形的钢条，锯5段耗时1小时20分。如果把这条钢条锯成半米长的小段，需要多少分钟？
3、截一根18米长的木材，每隔3米截一段，共需截多少次。若共用了30分钟，每截一次需多少分。
四、方阵问题：最外层的数目是：边长×4—4或者是（边长－1）×4
整个方阵的总数目是：边长×边长
例题：1、在一块正方形地四周种树，每边都种了15棵，并且四个顶点都种有一棵树。问这个场地四周共种树多少棵？
2、某校五年级学生排成一个实心方阵，最外一层的人数为60人，问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有学生多少人？
3、有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数共48人，最内层人数共24人，这队学生共有多少人？
五、封闭的图形钟点问题（例如围成一个圆形、椭圆形）：总长÷间距＝间隔数；棵数＝间隔数
例题：1、时钟6点钟敲6下，10秒钟敲完，敲8下需要多少秒？
六、上楼问题： 楼层数=间隔数+1 间隔数= 楼层数-1
总台阶数=间隔数×每层台阶数
例题：1、小芳爬楼梯时速度保持不变，从一层到三层用了36秒，若从3层到6层需用多少秒？
1、小数除以整数 *计算法则：按整数除法的法则进行计算，商的小数点要和被 除数的小数点对齐。如果有余数，要添0再除。（整数部分不够除，商0，点上小数点。（一位一位落数，不够商1就用0占位。）
2、一个数除以小数
3、商的近似数。四舍五入法(结合生活实际，具体问题具体分析)
有限小数 如：3.126589 0.1568974123647
4、循环小数：小数 无限不循环小数
无限小数
无限循环小数
5、用计算器探索规律
6、解决问题
小数除法
x＋5＝14
解：x＋5－5＝14－5
x＝9
x－6＝7
解：x－6＋6＝7＋6
x＝13
3x＝18
解：3x÷3＝18÷3
x＝6
x÷4＝5
解：x÷4×4＝5×4
x＝20
16－x＝9
解：16－x＋x＝9＋x
x＋9＝16
x＋9－9＝16－9
x＝7
24÷x＝4
解：24÷x×x＝4×x
4x＝24
4x÷4＝24÷4
x＝6
x÷4×8＝9.6
解： x×（8÷4）＝9.6
2x＝9.6
2x÷2＝9.6÷2
x＝4.8
10＋x－6＝20
解：x＋（10－6）＝20
x＋4＝20
x＋4－4＝20－4
x＝16
或 x÷4×8＝9.6
解： x÷（4÷8）＝9.6
x÷0.5＝9.6
x÷0.5×0.5＝9.6×0.5
x＝4.8
x÷4＋6＝7.8
解： x÷4＋6－6＝7.8－6
x÷4＝1.8
x÷4×4＝1.8×4
x＝7.2
2.4x－6＝18
解：2.4x－6＋6＝18＋6
2.4x＝24
2.4x÷2.4＝24÷2.4
x＝10
3（x－6）＝6.6
解：3（x－6）÷3＝6.6÷3
x－6＝2.2
x－6＋6＝2.2＋6
x＝8.2
5（7.2－x）＝6
解： 5（7.2－x）÷5＝6÷5
7.2－x＝1.2
7.2－x＋x＝1.2＋x
x＋1.2＝7.2
x＋1.2－1.2＝7.2－1.2
x＝6
6＋64÷x＝10
解：6＋64÷x－6＝10－6
64÷x＝4
64÷x×x＝4×x
4x＝64
4x÷4＝64÷4
x＝16
* 10－6÷x＝8
解：10－6÷x＋6÷x＝8＋6÷x
10＝8＋6÷x
6÷x＋8－8＝10－8
6÷x＝2
6÷x×x＝2×x
6＝2x
2x÷2＝6÷2
x＝3
2.4x＋2.4×8＝36
解： 2.4（x＋8）＝36
2.4（x＋8）÷2.4＝36÷2.4
x＋8＝15
x＋8－8＝15－8
x＝7
或 2.4x＋2.4×8＝36
解： 2.4x＋19.2＝36
2.4x＋19.2－19.2＝36－19.2
2.4x＝16.8
2.4x÷2.4＝16.8÷2.4
x＝7
x÷4－4.8÷4＝2
解： （x－4.8）÷4＝2
（x－4.8）÷4×4＝2×4
x－4.8＝8
x－4.8＋4.8＝8＋4.8
x＝12.8
或 x÷4－4.8÷4＝2
解： x÷4－1.2＝2
x÷4－1.2＋1.2＝2＋1.2
x÷4＝3.2
x÷4×4＝3.2×4
x＝12.8
2.4x＋3.6x＝36
解： （2.4＋3.6）x＝36
6x＝36
6x÷6＝36÷6
x＝6
* 8÷x＋12÷x＝4
解： （8＋12）÷x＝4
20÷x＝4
20÷x×x＝4×x
4x＝20
4x÷4＝20÷4
x＝5
用交换律改变位置便于观察！
2.4x－x＝7
解： 2.4x－1x＝7
（2.4－1）x＝7
1.4x＝7
1.4x÷1.4＝7÷1.4
x＝5
注意，此为正确解法！！！
解： 3.6＋2.4x＝15
2.4x＋3.6－3.6＝15－3.6
2.4x＝11.4
2.4x÷2.4＝11.4÷2.4
x＝4.75
2.4x÷2.4＝16.8÷2.4
x＝7
注意，此为典型错题！！！
解： 3.6＋2.4x＝15
（3.6＋2.4）x＝15
6x＝15
6x÷6＝15÷6
x＝2.5
2.4x÷2.4＝16.8÷2.4
x＝7
此步爱跳过的更容易错！
此步可以不写
3.2x＋8＝4.8x
解： 3.2x＋8－3.2x＝4.8x－3.2x
（4.8－3.2）x＝8
1.6x＝8
1.6x÷1.6＝8÷1.6
x＝5
9－5x＝15－10x
解： 9－5x＋10x＝15－10x＋10x
9＋5x＝15
5x＋9－9＝15－9
5x＝6
5x÷5＝6÷5
x＝1.2
* 10－8÷x＝13－14÷x
解： （10－8÷x）x＝（13－14÷x）x
10×x－8÷x×x＝13×x－14÷x×x
10x－8＝13x－14
10x－8－10x＝13x－14－10x
3x－14＝－8
3x－14＋14＝－8＋14
3x＝6
3x÷3＝6÷3
x＝2
* 4＋6÷x＝9÷x
解： （4＋6÷x）x＝（9÷x）x
4×x＋6÷x×x＝9÷x×x
4x＋6＝9
4x＋6－6＝9－6
4x＝3
4x÷4＝3÷4
x＝0.75
检验：
方程左边＝6＋64÷x
＝6＋64÷16
＝6＋4
＝10
＝方程右边
所以，x＝16是原方程的解。
6＋64÷x＝10
解：6＋64÷x－6＝10－6
64÷x＝4
64÷x×x＝4×x
4x＝64
4x÷4＝64÷4
x＝16
格式：
“检验：”
从“方程左边＝”写起，先写方程左边的表达式
代入方程的解，逐步计算
算出答案后，与方程右边的结果比较，得出结论。四年级数学上册1~8单元知识点
第一单元 大数的认识
具体内容 重点知识
亿以内数的认识 1.数位：在用数字表示数的时候，这些计数单位要按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。 数级：按照我国的计数习惯，每四个数位是一级。个位、十位、百位、千位是个级；万位、十万位、百万位、千万位是万级；亿位、十亿位、百亿位、千亿位是亿级。2.亿以内数的读法：(1)先读万级，再读个级； (2)万级的数都要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“万”字；(3)每级末尾不管有几个0，都不读，其他数位有一个0或连续几个0，都只读一个“零”。例：780 6009 读作：七百八十万 六千零九3.亿以内数的写法：(1)先写万级，再写个级；(2)哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。例：三百零二万 六千 写作：302 60004.亿以内数的大小比较：位数不同时，位数多的数大；位数相同时，从最高位比起，最高位的数大的那个数就大，如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数，直到比较出大小为止。 例：50 6012＞5 0601 50 6012＜50 60225.整万的数改写成用“万”作单位的数：去掉末尾的4个0，再加上一个“万”字；例：32 0000=32万 (目的是为了读写方便)6.不是整万的数改写成“万”作单位的近似数：要将“千位”上的数四舍五人，然后再加上“万”字。 例：5 3850≈5 0000=5万 5 7220≈6 0000=6万★四舍五入法：求一个数的近似数，要先看省略的尾数部分的最高位是小于5，还是等于或大于5；如果小于5就把它和后面的尾数全部舍去，改写成0；如果等于或大于5就先向前一位进1，再把它和后面的尾数全部舍去，改写成0。这种求近似数的方法叫做四舍五入法。
数的产生 数是应人们生产生活的需要而产生的。最初有实物记数、结绳记数、刻道记数。后出现了记数符号，即数字。阿拉伯数字是现今世界通用的数字，它是印度人发明的。1.自然数：表示物体个数的0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11…… 都是自然数。2.最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。
十进制计数法 1.计数单位：个(一)、十、百、千、万……亿、十亿、百亿、千亿都是计数单位。每相邻两个计数单位间的进率都是102.十进制计数法：每相邻两个计数单位之间的进率都是十的计数方法叫做十进制计数法。
亿以上数的认识 1.亿以上数的读法：(1)先分级，再从最高级读起；(2)读完亿级或万级的数，要加“亿”字或“万”字；(3)每级末尾不管有几个0，都不读，其他数位有一个0或连续几个0，都只读一个“零”。例：2080 0780 6003 读作：二千零八十亿 零七百八十万 六千零三2.亿以上数的写法：(1)先看这个数有几级，再从最高级写起；(2)哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。3.整亿数改写成用“亿”作单位的数：先分级，找到亿位，去掉末尾的8个0，再加上一个“亿”字。 例：982 0000 0000=982亿4.不是整亿的数改写成用“亿”作单位的数：要将“千万位”上的数四舍五人，然后再加上“亿”字。 例：5 3220 7500≈5亿 7 5329 3850≈8亿
计算工具的认识和应用 1.计算工具的认识 二千多年前，中国人用算筹计算。一千多年前，中国人又发明了算盘。 17世纪初，英国人发明了计算尺。17世纪中期，欧洲人发明了机械计算器。20世纪，出现了电子计算器。20世纪40年代，诞生了第一台电子计算机。2.算盘的认识： 【算盘各部分的名称】算盘的主要作用是计算和计数。算盘的每一个档代表一个数位，计数前要先选定一个档作为个位，然后向左依次是十位、百位……。一个下珠表示1，一个上珠表示5；拨数时，要把珠子拨到靠梁时，才表示算盘上有数，如上图：算盘计数表示的是960。根据计算的需要，有的算盘没有顶珠和底珠，如下图：3.计算器的认识：
【活动课】 《1亿有多大？》活动：实验1亿粒米大约有多少？(2000千克) 1亿张纸大约有多厚？(10000米)▲实验过程中，合适方法的采用是实验成功与否的关键。
【 数 位 表 】
数级 … 亿级 万级 个级
数位 … 千亿位 百亿位 十亿位 亿位 千万位 百万位 十万位 万位 千位 百位 十位 个位
计数单位 … 千亿 百亿 十亿 亿 千万 百万 十万 万 千 百 十 一(个)
相邻两个计数单位之间的进率是“十”
第二单元 公顷和平方千米
具体内容 重点知识
公顷和平方千米 1.公顷：测量土地的面积可以用“公顷”(ha)作单位。 边长是100米的正方形面积是1公顷。 1公顷=10000平方米 2.平方千米：计量比较大的土地面积，常用“平方千米”(km2)作单位。边长是1千米的正方形面积是l平方千米。 1平方千米=1000000平方米=100公顷 ▲拓展：测量土地面积常用的单位还有公亩、亩和平方公里。 1公顷=100公亩 1公顷=15亩 1平方千米=1平方公里
第三单元 角的度量
具体内容 重点知识
线段、直线、射线 1.特点和区别：线段有两个端点，不能延伸，有一定的长度，可以测量；射线只有一个端点，可以向一端无限延伸，是无限长的，无法测量；直线没有端点，可以向两端无限延伸，是无限长的，无法测量。2.为了表达方便，线段、直线、射线都可以用字母表示。 如下图 把线段AB，向一端无限延伸，就得到射线BA或射线AB。注：读射线时，先读端点！ 把线段AB，向两端无限延伸，就得到直线AB；还可以用小写字母表示。如，直线a▲ 拓展：1.过一点能画无数条直线，过两点只能画一条直线。 2.线段、直线、射线都是直的，线段和射线是直线上的一部分。
角 从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。这个点叫做角顶点的顶点，这两条射线叫做角的两条边。角由一个顶点和两条边组成。角通常用符号“∠”表示。如图中角可以记作“∠1”
角的度量 1.角的度量单位是度。人们将圆平均分成360份，将其中1份所对的角作为度量角的单位，它的大小就是l度，记作1°2.角的度量工具——量角器。量角器是把半个圆分成180等份制成的。拓展：角的单位有度、分、秒 1°=60′1′=60″
角的分类 1.一直角=90° 一平角=180° 一周角=360°平角=2个直角， 周角=2个平角=4个直角锐角＜90°， 90°＜钝角＜180°， 2.角的大小关系： 锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角角的大小与角的两边画出的长短没关系。角的大小要看两条边叉开的大小，叉开得越大，角越大。
画角 测量角要“两重一看”：量角器的中心和射线的端点重合；0°刻度线与所画的射线重合；还要看准刻度。画角的具体步骤：①画一条射线，使量角器的中心和封线的端点重合，0 刻度线和射线重合。②在量角器上看（找），65°刻度线的地方点一个点。③以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 第一步 第二步 第三步
第四单元 三位数乘两位数
具体内容 重点知识
笔算乘法 1.多位数乘两位数的笔算：a.从低位到高位，用两位数每一位上的数去乘多位数；b.用两位数哪一位上的数去乘，乘得的积的末位要和两位数的那一位对齐；c.把两次乘得的积加起来。 2.因数末尾有0的乘法：可以先把0前面的数相乘，再看因数末尾一共有几个0，就在乘得的积的末尾添几个0。 3.因数中间有0的乘法：计算时应注意用两位数去乘三位数时，三位数中间的0也要乘，然后再加上进上来的数。
积的变化规律 积的变化规律：两数相乘，一个因数不变，另一个因数乘(或除以)几(0除外)，积也乘(或除以)几。
数量关系 1.每件商品的价钱叫做单价。买了多少叫做数量。一共用的钱数叫做总价。数量关系式：单价×数量=总价, 总价÷单价=数量, 总价÷数量=单价2.一共行了多长的路叫做路程。每小时(或每分钟等)行的路程叫做速度。行了几小时(或分钟等)叫做时间。数量关系式：速度×时间=路程, 路程÷时间=速度, 路程÷速度=时间
第五单元 平行四边形和梯形
具体内容 重点知识
平行与垂直 1.在同一个平面内，两条直线的位置关系：平行或相交。2.在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 如图：直线a平行于直线b，可记作a∥b，读作: a平行于b。3.两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。 如图：直线a垂直于直线b，记作a⊥b，读作：a垂直于b。点A就是垂足。4.画垂线① 过直线上一点画这条直线的垂线方法？答：把三角尺的一条直角边靠近直线， 三角尺上的直角顶点靠近直线上的点，然后用笔沿另一条直角边画出直线(射线)，在垂足处标出垂直符号。② 过直线外一点画这条直线的垂线方法？答：把三角尺的一条直角边靠近直线，三角尺上的另一条边靠近直线外的点，然后用笔沿这条边画直线(射线)，在垂足处标出垂直符号。 ③利用三角尺或量角器画垂线：5.距离：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。 如图，点A到直线所画的垂直线段最短，10厘米。6.画长方形：可以用画垂线的方法来画！
平行四边形的认识 平行四边形：(1)两组对边分别互相平行的四边形叫做平行四边形。(2)从平行四边形一条边上向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。平行四边形有无数条高，一个平行四边形能画出两组不同的高。(3)平行四边形有容易变形的特点。可以做伸缩门等。
梯形的认识 梯形：(1)只有一组对边互相平行的四边形叫做梯形。(2)平行的一组对边中较短的边是上底，较长的边是下底，不平行的一组对边叫腰。梯形上、下底间的垂直线段叫梯形的高。(3)特殊的梯形：两个腰相等的梯形叫做等腰梯形。 有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 等腰梯形 直角梯形
四边形的集合 四边形之间的关系：平行四边形、长方形、正方形、梯形都是特殊的四边形； 长方形、正方形是特殊的平行四边形；正方形是特殊的长方形。
数学游戏：【神奇的莫比乌斯带】
第六单元 除数是两位数的除法
具体内容 重点知识
口算除法 1.整十数除整十数或几百几十数的口算，1)可以想乘法做除法，2)也可以去掉被除数和除数末尾相同个数的0，再计算。 例：1)80÷20= ，想20×4=80，所以80÷20=4 2)150÷50= ，先150和50同时去掉1个0，变成15÷5=3，所以150÷50=32.除法估算：根据被除数和除数的特点，把不是整十数或不是几百几十的数看成与它接近的整十数或几百几十的数，再计算。例：83÷20≈ ，把83≈80，80÷20=4，所以83÷20≈4 150÷28≈ ，把28≈30，150÷30=4，所以150÷28≈5 61÷21≈ ，把61≈60，21≈20，60÷20=3，所以61÷21≈3
笔算除法 1.除数是整十数的笔算除法分为五步：一“看”，确定商的位置；二“试”，确定首先商几；三“乘减”，先乘后减确定再商几；四“比”，比除数和余数的大小；五“落”，把被除数的个位落下来。2.试商的方法：除数接近整十数的除法，一般按“四舍五入”法把除数看作和它接近的整十数来试商。除数不接近整十数的除法，可以采取除数乘10法，把除数看作几十五等方法来试商。3.除数是两位数的除法法则：(1)从被除数的高位起，先用除数试除被除数的前两位，如果比除数小，再试除前三位；(2)除到被除数的哪一位，就在那一位上面写商；(3)每次除得的余数必须比除数小。4.商的变化规律：(1)除数不变，被除数乘几商也乘几。被除数除以几，商也除以几。(2)被除数不变，除数乘几，商反而除以几。除数除以几，商反而乘几。(3)被除数和除数都乘一个相同的数，商不变。(同乘或同除以的数不能为0)
第七单元 条形统计图
具体内容 重点知识
条形统计图 1.条形统计图是有标题、时间、纵轴（单位）、横轴（类别）、直条组成。2.条形统计图特点：从条形统计图中很容易看出数量的多少。3.根据统计数据的大小和特点来确定1格代表几。统计表数据很详细，但是不利于直观地分析问题。条形统计图能够直观的反应各个量的变化差异，有利于对数据进行分析。
第八单元 数学广角——优化
具体内容 重点知识
规划论问题 1.沏茶问题：怎样才能尽快让客人喝上茶？ 在生活中我们要学会合理安排做事的顺序，明白先做什么，后做什么，哪些事情可以同时去做，这样就可以优化做事时间，让我们在规定时间内做更多的事情。2．烙饼问题：每次只能烙2张饼，两面都要烙，每次3分钟。怎样才能尽快吃上饼？无论烙几张饼，要想做到最大限度地节省时间，不要让锅里出现空闲！烙3张饼的时间：如上图，共烙3次，3分钟×3=9分钟烙4张饼的时间：每次烙2张，需2×3分钟=6分钟，4张共需6分钟×2=12分钟烙5张饼的时间：先烙2张，需6分钟；再烙3张，需9分钟；共需6+9=15分钟总结：一锅最多烙2张饼，用时最少的方法烙2,4,6，8……双张数饼时，两张两张地烙，算好时间即可。烙3张饼时，两张两张交替烙，不让锅出现空闲。烙5,7,9,11……大于3的单数张饼时，先两张两张烙，最后3张交替烙。
应对策略问题 “田忌赛马”策略表赛次齐王的马田忌的马本场胜者第一场上等马下等马齐王第二场中等马上等马田忌第三场下等马中等马田忌1.解决同一个问题可以有不同的策略，要学会寻找解决问题的最优方案。2.在与对方进行比赛时：a.要知己知彼，详细分析双方的情况； b.想到所有可能的对策； c.选择一个利多弊少的最优方案。
第九单元 总复习
一、数与代数
具体内容 重点知识
大数的认识 1.计数单位：一(个)、十、百、千、万……亿都是计数单位。2.每相邻两个计数单位问的进率都是10。2.数的读法：(1)含有两级数的渎法：①先读万级，再读个级；②万级的数要按照个级数的读法来读，再在后面加读一个“万”字；③每级末尾不管有几个0，都不读，其他数位有一个0或连续几个0，都只读一个“零”。(2)含有三级数的读法：先读亿级，再读万级，最后读个级。3.数的写法：(1)含有两级数的写法：①先写万级，再写个级；②哪一位上一个计数单位也没有，就在那一位上写0；(2)含有三级数的写法：先写亿级，再写万级，最后写个级。4.比较数的大小：位数不同时，位数多的数大；位数相同时，从最高位起，最高位的数大的那个数就大，如果高位上的数相同，就比较下一个数位上的数。5.改写和求近似数：(1)整万和整亿的数改写成用“万”或“亿”作单位的数，去掉末尾的4个0或8个0，再加上“万”或“亿”字；(2)不是整万和整亿的数改写成用“万”或“亿”作单位的数，要将“千位”或“千万位”上的数四舍五入，然后再加上“万”或“亿”字。6.自然数：表示物体个数的l，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，…都是自然数。最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。7.十进制计数法：每相邻两个计数单位之间的进率都是十，这种计数方法叫做十进制计数法。8.计算工具的认识：算盘和电子计算器。
三位数乘两位数 1.笔算乘法：(1)多位数乘两位数的笔算：①从低位到高位，用两位数每一位上的数去乘多位数；②用两位数哪一位上的数去乘，乘得的积的末位就和两位数的那一位对齐；③把两次乘得的积加起来。(2)因数末尾有0的乘法：可以先把0前面的数相乘，再看因数末尾一共有几个0，就在乘得的积的末尾添几个0。(3)因数中间有0的乘法：计算时应注意用两位数去乘三位数时，三位数中间的0也要乘，然后再加上进上来的数。2.因数和积的变化规律：两数相乘，如果一个因数不变，另一个因数乘(或除以)几(0除外)，积也乘(或除以)几。3.数量关系式：单价×数量=总价 速度×时间=路程
除数是两位数的除法 1.整十数除整十数或几百几十数的口算，可以想乘法做除法，也可以去掉被除数和除数末尾相同个数的0，再计算。2.除法估算：根据被除数和除数的特点，把不是整十数或几百几十的数看成与它接近的整十数或几百几十的数，再计算。3.笔算除法：(1)除数是整十数的笔算除法分为五步：一“看”，确定商的位置；二“试”，确定首先商几；三“乘减”，先乘后减确定再商几；四“比”，比除数和余数的大小；五“落”，把被除数的个位落下来。(2)试商的方法：除数接近整十数的除法，一般按“四舍五人”法把除数看作和它接近的整十数来试商。除数不接近整十数的除法，可以采取除数积10法、把除数看作几十五等方法来试商。(3)除数是两位数的除法法则：①从被除数的高位起，先用除数试除被除数的前两位，如果它比除数小，再试除前三位；②除到被除数的哪一位，就在那一位上面写商；③每次除得的余数必须比除数小。(4)商的变化规律：①除数不变，被除数乘几商也乘几。被除数除以几，商也除以几。②被除数不变，除数乘几，商反而除以几。除数除以几，商反而乘几。③被除数和除数都乘一个相同的数，商不变。(同乘或同除以的数不能为0)
公顷和平方千米 1.公顷。测量土地的面积可以用“公顷”作单位。边长是100米的正方形面积是l公顷。1公顷=10000平方米2.平方千米。计量比较大的土地面积，常用“平方千米”(km2)作单位。边长是1千米的正方形面积是1平方千米。1平方千米=1000000平方米=100公顷
二、图形与几何
具体内容 重点知识
角的度量 1.线段、直线、射线：(1)线段有两个端点，有一定的长度，可以测量。(2)直线没有端点，是无限长的。(3)射线只有一个端点，是无限长的。2.角：(1)从一点引出两条射线所形成的图形叫做角；(2)角由一个顶点和两条边组成；(3)角通常用符号“∠”表示。3.角的度量：(1)角的度量单位是度。人们将圆平均分成360份，将其中1份所对的角作为度量角的单位，它的大小就是1度，记作1°(2)认识量角器，并能用量角器正确量出角的度数。4.角的分类：(1)1直角=90° 一平角=180° 一周角=360°(2)锐角<直角<钝角<平角<周角5.画角：画角要做到“两重一看”。量角器的中心和射线的端点重合；0°刻度线与所画的射线重合；还要看准刻度。
平行四边形和梯形 1.平行与垂直：(1)在同一个平面内，两条直线的位置关系：平行或相交。(2)在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。直线a平行于直线b，可记作a∥b。(3)两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。直线a垂直于直线b，记作a⊥b。(4)会画垂线和长方形。(5)距离：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。2.平行四边形和梯形：(1)平行四边形。①两组对边分别互相平行的四边形叫做平行四边形。②从平行四边形一条边上向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。平行四边形有无数条高，一个平行四边形能画出两组不同的高。③平行四边形有容易变形的特征。(2)梯形。①只有一组对边互相平行的四边形叫做梯形。②平行的一组对边中较短的边是上底，较长的边是下底，不平行的一组对边叫腰。梯形上、下底间的垂直线段叫梯形的高。③特殊的梯形有等腰梯形和直角梯形。3．四边形的分类，集合
先算个位上的2乘以145等于290，290和个位对齐；
再算十位上的1乘以145等145，145和十位对齐；
最后，两得数相加等于1740
先计算16×3=48，再在积的末尾填两个0，等于4800。

展开更多......

收起↑