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拓展专题1 大小比较
探究1：指数式、对数式背景下的大小比较
【典例剖析】
例1.(2022·福建省三明市联考) 已知，则，，的大小关系为( )
A. B.
C. D.
【解析】由题意知 ，，，
设，则，
当时，，单调递增，
时，，单调递减，
，
又，故，即，
又在上单调递增，故，
故选D．
【变式训练】
练1-1(2022·山东省临沂市期中) 定义在上的偶函数满足，当时，
，则( )
A. B.
C. D.
【解析】，
的图象关于点对称，
为偶函数，
，
则，
的周期为，
当时，，，
在上单调递增，
的图象关于点对称，在上单调递增，
为偶函数，在上单调递减，
，，
，，即，
故选：A.
练1-2(2022·辽宁省沈阳市模拟) 若实数，则下列不等式中一定成立的是( )
A. B.
C. D.
【解析】令，则，
易得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
因为，，所以，
所以，故A错误；
同理，所以，
所以，故B错误；
令，，则，
令，则，当时，即单调递增，
则，即得，
故在上单调递减，，
所以，故，故D正确；
对于选项中，
结合选项A的讨论，与的大小不确定，故C错误．
故答案选D．
练1-3(2022·浙江省联考) 已知，则( )
A. B. C. D.
【解析】当时，令，则，
是增函数，且，，
，，，
设，，
单调递减，，
，
，
．
故选：．
【规律方法】
1.根据指数、对数的结构判断：底数不同，指数相同，可考虑幂函数的单调性；底数相同，指数或对数不同，可考虑指数函数或对数函数的单调性；底数不同、指数或对数都不同，可借助中间数，或者利用对数运算、基本不等式、不等式的性质综合判断.
2.构造函数：⑴通过对原式进行等价转换,使得要比较的两式或三式在形式上具有一致性,然后构造符合这种形式的函数,最后利用函数的单调性来解决；⑵要比较的两式在形式上不一致,若两式中具有相同的量,则不妨将这些量看成变量,构造相关函数,利用函数单调性来解决问题,如比较,, 不妨将看成变量,考虑构造函数,利用单调性比较大小.
构造“同变量”函数,难点在于需要根据式子特点,通过等价变换,找出它们是哪个函数的函数值.此类问题配凑、构造比较烦琐,有时配凑可能不合理,还需要进行适当的调整并进行再次构造.
探究2：与函数交汇下的大小比较
【典例剖析】
例2.(2022·江苏省南通市模拟) 已知为坐标原点，点为函数图象上一动点，当点的横坐标分别为，，时，对应的点分别为，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
【解析】设，则，
令，，则，
设，，则，
所以在上为增函数，
故，
所以在上为增函数，
因为，
所以，即，
故选D．
【变式训练】
练2-1(2022·广东省广州市月考) 设，，，则( )
A. B. C. D.
【解析】根据题意，构造函数，
则，
令，
又，
则在上单调递减，
故当时，，
即得时，，则在上单调递减，
所以，
即，
则有，
故，
故，
故选B．
练2-2(2020·河北省张家口市期中) 已知定义在上的函数满足；函数的图象关于直线对称，且当时，其中是函数的导函数恒成立，
若，则的大小关系是( )
A. B. C. D.
【解析】函数的图象关于直线对称，
关于轴对称，函数为奇函数．
，
当时，，函数单调递减，
当时，函数单调递减．
，，，，
，
故选．
练2-3(2022·江苏省月考) 若，则下列选项中不正确的是( )
A. B. C. D.
【解析】因为，所以，又，所以，则，故A正确；
构造函数，则，
因为，，所以，
则在上为增函数，且，
所以，即，故B错误；
构造函数，则，
令，则，
则在上为减函数，
且，所以在上为减函数，
则，则，所以，故C正确；
构造函数，则，
令，则，则在上为减函数，
且，所以在上为减函数，
则，则，所以，故D正确；
故选B．
【规律方法】
1.函数的单调性：利用导数确定构造函数的单调性,从而比较大小,为解决该类问题的通性通法,根据题目构造出合适的函数,熟练运用导数工具.
2.放缩法：根据比较的数的代数结构，建构熟悉的切线不等式模型，比较大小，常见的切线不等式有：
.如，利用,则，
，即.
探究3：基本不等式下的大小比较
【典例剖析】
例3.( 2022·青海省西宁市一模·多选) 已知正实数，满足，则下列不等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
【解析】因为正实数，满足，
所以：，当且仅当时取等号，故A正确；
，
当且仅当时取等号，故B错误；
，当且仅当即时取等号，故C正确；
，
其中，
令，
当且仅当时取得最小值．
故D正确，故选ACD．
【变式训练】
练3-1(2022·山东省淄博市期末) 三元均值不等式：“当，，均为正实数时，，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当时等号成立．”利用上面结论，判断下列不等式成立的有( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【解析】对于：，
，
当且仅当时取等号，故A正确，
对于：，，
，
当且仅当时取等号，故B错误，
对于：，，
当且仅当时取等号，故C正确，
对于：，，
，
当且仅当时取等号，故D错误．
故本题选AC．
练3-2(2022·福建省莆田市质检) 已知直线：与圆：相切，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
【解析】直线与圆相切，
，即，，
则，故A错误．
，则，故B正确．
，，，则，故C正确．
，，，则，故D错误．
故选：．
【规律方法】
基本不等式背景下比较大小,考查基本不等式的运用,单独命题考查利用基本不等式比较大小的试题较少，大部分的试题是与其他的策略方法综合考查.
2拓展专题1 大小比较
探究1：指数式、对数式背景下的大小比较
【典例剖析】
例1.(2022·福建省三明市联考) 已知，则，，的大小关系为( )
A. B.
C. D.
【变式训练】
练1-1(2022·山东省临沂市期中) 定义在上的偶函数满足，当时，
，则( )
A. B.
C. D.
练1-2(2022·辽宁省沈阳市模拟) 若实数，则下列不等式中一定成立的是( )
A. B.
C. D.
练1-3(2022·浙江省联考) 已知，则( )
A. B. C. D.
【规律方法】
1.根据指数、对数的结构判断：底数不同，指数相同，可考虑幂函数的单调性；底数相同，指数或对数不同，可考虑指数函数或对数函数的单调性；底数不同、指数或对数都不同，可借助中间数，或者利用对数运算、基本不等式、不等式的性质综合判断.
2.构造函数：⑴通过对原式进行等价转换,使得要比较的两式或三式在形式上具有一致性,然后构造符合这种形式的函数,最后利用函数的单调性来解决；⑵要比较的两式在形式上不一致,若两式中具有相同的量,则不妨将这些量看成变量,构造相关函数,利用函数单调性来解决问题,如比较,, 不妨将看成变量,考虑构造函数,利用单调性比较大小.
构造“同变量”函数,难点在于需要根据式子特点,通过等价变换,找出它们是哪个函数的函数值.此类问题配凑、构造比较烦琐,有时配凑可能不合理,还需要进行适当的调整并进行再次构造.
探究2：与函数交汇下的大小比较
【典例剖析】
例2.(2022·江苏省南通市模拟) 已知为坐标原点，点为函数图象上一动点，当点的横坐标分别为，，时，对应的点分别为，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
【变式训练】
练2-1(2022·广东省广州市月考) 设，，，则( )
A. B. C. D.
练2-2(2020·河北省张家口市期中) 已知定义在上的函数满足；函数的图象关于直线对称，且当时，其中是函数的导函数恒成立，
若，则的大小关系是( )
A. B. C. D.
练2-3(2022·江苏省月考) 若，则下列选项中不正确的是( )
A. B. C. D.
【规律方法】
1.函数的单调性：利用导数确定构造函数的单调性,从而比较大小,为解决该类问题的通性通法,根据题目构造出合适的函数,熟练运用导数工具.
2.放缩法：根据比较的数的代数结构，建构熟悉的切线不等式模型，比较大小，常见的切线不等式有：
.如，利用,则，
，即.
探究3：基本不等式下的大小比较
【典例剖析】
例3.( 2022·青海省西宁市一模·多选) 已知正实数，满足，则下列不等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
【变式训练】
练3-1(2022·山东省淄博市期末) 三元均值不等式：“当，，均为正实数时，，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当时等号成立．”利用上面结论，判断下列不等式成立的有( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
练3-2(2022·福建省莆田市质检) 已知直线：与圆：相切，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
【规律方法】
基本不等式背景下比较大小,考查基本不等式的运用,单独命题考查利用基本不等式比较大小的试题较少，大部分的试题是与其他的策略方法综合考查.
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