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拓展专题2 零点问题
探究1：判断函数零点个数
【典例剖析】
例1.( 2022·江苏省四校联考) 已知函数．
若是的极大值，求的取值范围；
若，求零点的个数．
【变式训练】
练1-1(2022·湖南省湖湘名校联考) 已知函数，则函数的零点个数为
练1-2(2022·湖北省高三质检) 已知函数．
讨论的单调性；
若，讨论的零点个数．
【规律方法】
函数零点个数的判定与证明主要通过三种方法进行处理：
⑴直接求解,该方程的解的个数即为零点的个数；
⑵图像法,通过函数的图像,观察图像与轴交点的个数或是转化为两个函数图像,观察两个函数图像的交点个数；⑶利用零点存在定理进行判定,也可结合最值、极值进行处理.
探究2：已知零点个数求参
【典例剖析】
例2.(2021·湖南省常德市月考) 已知函数．
1若，求的单调性和极值；
2若函数至少有个零点，求的取值范围．
【变式训练】
练2-1(2022·广东省联考) 若函数存在两个不同零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
练2-2(2022·广东省东莞市模拟) 已知函数，其中，且．
当时，求的单调区间；
若只有一个零点，求的取值范围．
【规律方法】
1.分离参数法：分离之后函数无参数,则可得到函数的图象,然后上下移动参数的值,观察直线与函数图象交点个数即可.
2.隔离构造函数法：将一个函数分成两个函数，一个为容易求导的不含参函数，另一个为图象是一条直线的含参函数，观察它们图象的变化趋势,找到临界的位置,易求得参数的取值范围,使得运算简化.
如f在上有两个零点，即函数的图象有2个交点问题.
3.直接构造法：若研究的函数均比较复杂,故直接研究函数, 对参数进行分类讨论，判断函数单调性，利用零点存在定理，判断零点个数，从而求出参数的取值范围.
探究3：隐零点问题
【典例剖析】
例3.( 2022·江苏省扬州市模拟) 已知函数其中为自然对数的底数．
讨论函数的单调性；
当时，若恒成立，求实数的取值范围．
【变式训练】
练3-1(2021·浙江省宁波市模拟) 已知函数．
若存在极值，求的取值范围
当时，求证：．
练3-2(2021·吉林省长春市模拟) 设函数，
1若，记函数的极值点个数和的零点个数分别为，，求；
2若函数有两个极值点，求实数的取值范围.
【规律方法】
在利用导数研究函数的性质时,对函数求导后,若是超越形式,我们利用高中知识无法求出函数的零点,但我们由零点存在性定理可判断零点是存在的,我们称之为隐零点.
1.不含参问题： (1)利用零点存在性定理判定零点的存在性；(2)对条件适当变形,整体代入到所研究的题；(3)对所研究问题寻找适当的零点范围,最终解决问题.
2.含参问题： (1)利用零点存在性定理判定零点的存在性；(2)对条件适当变形,整体代入到所研究的题；(3)利用零点满足的不等式(可解或不可解)准确估计零点的范围；(4)在准确的零点范围下,通过参数与零点的关系式,最终解决问题.
共5页/第5页拓展专题2 零点问题
探究1：判断函数零点个数
【典例剖析】
例1.( 2022·江苏省四校联考) 已知函数．
若是的极大值，求的取值范围；
若，求零点的个数．
【解析】因为，所以，
由得或，
当，即时，，没有极值，不满足条件；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，是的极大值，满足条件；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，是的极小值，不满足条件，
综上得的取值范围是．
由可得或，
设，则，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
因为，所以，
又，，
，，
所以在上有个不等于的零点，在上有个零点，
综上所述，所以有个零点．
【变式训练】
练1-1(2022·湖南省湖湘名校联考) 已知函数，则函数的零点个数为
【解析】，令，则．
当时，，则在上单调递增
当时，，则在上单调递减，
且，
当，当，，
所以，使得，，使得，故有两个零点．
练1-2(2022·湖北省高三质检) 已知函数．
讨论的单调性；
若，讨论的零点个数．
【解析】因为，所以，
若，，在上是减函数；
若，当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增．
综上所述，当，在上是减函数；当，在单调递减，在单调递增；
由知：，在单调递减，在单调递增，
所以是函数的极大值，也是函数的最大值，
所以，
当，即时，，没有零点；
当，即时，，有唯一零点；
当，即时，，
时，，，
所以在上有唯一零点．
又，
设，
则，在是减函数，
所以，
所以时，，在上有唯一零点，
综上所述，时，没有零点，时，有个零点，时，有个零点．
【规律方法】
函数零点个数的判定与证明主要通过三种方法进行处理：
⑴直接求解,该方程的解的个数即为零点的个数；
⑵图像法,通过函数的图像,观察图像与轴交点的个数或是转化为两个函数图像,观察两个函数图像的交点个数；⑶利用零点存在定理进行判定,也可结合最值、极值进行处理.
探究2：已知零点个数求参
【典例剖析】
例2.(2021·湖南省常德市月考) 已知函数．
1若，求的单调性和极值；
2若函数至少有个零点，求的取值范围．
【解析】1当时，，
令，则
在定义域上单调递增，
即在定义域上单调递增，
又
当时，，
当时，
在上单调递减，在上单调递增
故在处取得极小值，
极小值为，无极大值
2，
由，得
令，则
由得．
令，
当时，，
在单调递增，
，，
存在，使得
且当时，，即，
当时，，即
，，
当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
在处取得最小值
，
，即，
，即
当时，函数无零点，
当时，，
函数至少有个零点，
故的取值范围是．
【变式训练】
练2-1(2022·广东省联考) 若函数存在两个不同零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【解析】令，则一定是函数的零点．
当时，，
令，则．
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
画出图象如下：
当或时，直线与有一个交点，
故实数的取值范围是，
故选C．
练2-2(2022·广东省东莞市模拟) 已知函数，其中，且．
当时，求的单调区间；
若只有一个零点，求的取值范围．
【解析】当时，，
，
在上单调递增，且．
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
故的单调递减区间为，单调递增区间为
，令．
若
，
当时，，单调递增当时，，单调递减，
故，
则，在上单调递增．
当时，，当，，
故此时在上有一个零点．
若，
易知在上单调递增，，
，，则，
故存在，使得．
当时，，当时，．
当时，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，取极小值．
由得，则．
，
当，等号成立，
由，可得，
结合可知，当时，只有一个零点．
综上，若只有一个零点，则的取值范围为或．
【规律方法】
1.分离参数法：分离之后函数无参数,则可得到函数的图象,然后上下移动参数的值,观察直线与函数图象交点个数即可.
2.隔离构造函数法：将一个函数分成两个函数，一个为容易求导的不含参函数，另一个为图象是一条直线的含参函数，观察它们图象的变化趋势,找到临界的位置,易求得参数的取值范围,使得运算简化.
如f在上有两个零点，即函数的图象有2个交点问题.
3.直接构造法：若研究的函数均比较复杂,故直接研究函数, 对参数进行分类讨论，判断函数单调性，利用零点存在定理，判断零点个数，从而求出参数的取值范围.
探究3：隐零点问题
【典例剖析】
例3.( 2022·江苏省扬州市模拟) 已知函数其中为自然对数的底数．
讨论函数的单调性；
当时，若恒成立，求实数的取值范围．
【解析】函数，，
，在上单调递增；
，令，
当单调递减，
，单调递增；
，，单调递增，
单调递减．
由题意知在上恒成立，
令，
令，
，当时，，单调递增，
而，
故，使，即，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，
，，
令，则，
在上单调递增，
，，
，
．
【变式训练】
练3-1(2021·浙江省宁波市模拟) 已知函数．
若存在极值，求的取值范围
当时，求证：．
【解析】函数的定义域为， ，
当时，对任意的，，
故在上单调递增，无极值
当时，当时，，单调递增
当时，，单调递减．
故在处取得极大值，无极小值．
综上所述，若存在极值，则的取值范围为
当时，．
设，其定义域为，
则证明即可．
，设，
则，
故函数在上单调递增．
，．
有唯一的实根，且 ，
两边取对数得．
当 时，
当时，，
故函数的最小值为
．
．
练3-2(2021·吉林省长春市模拟) 设函数，
1若，记函数的极值点个数和的零点个数分别为，，求；
2若函数有两个极值点，求实数的取值范围.
【解析】1，则，
令，则，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
故，．
因为，，
所以存在唯一的，使，
故存在两个极值点和，所以，
，令，
则，
记，显然在单调递减，且，
时，，即，递增，
时，，即，递减，
故，在单调递减，
因为，所以，．
2，记，
原问题即为有两个“变号”零点，，
当时，，在至多一个零点，不合题意；
当时，记，，
在单调递减，因为，，
所以存在唯一的，使，即，
时，，此时，
时，，此时，
所以在单调递增，在单调递减；
所以，
欲使有两个“变号”零点，必有，解得，
所以，即，
此时时，，时，，
故当时，满足条件．
【规律方法】
在利用导数研究函数的性质时,对函数求导后,若是超越形式,我们利用高中知识无法求出函数的零点,但我们由零点存在性定理可判断零点是存在的,我们称之为隐零点.
1.不含参问题： (1)利用零点存在性定理判定零点的存在性；(2)对条件适当变形,整体代入到所研究的题；(3)对所研究问题寻找适当的零点范围,最终解决问题.
2.含参问题： (1)利用零点存在性定理判定零点的存在性；(2)对条件适当变形,整体代入到所研究的题；(3)利用零点满足的不等式(可解或不可解)准确估计零点的范围；(4)在准确的零点范围下,通过参数与零点的关系式,最终解决问题.
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