资源简介

拓展专题3 极值点偏移问题
探究1：构造极值对称差函数
【典例剖析】
例1.(2022·江苏省连云港市期末) 已知函数．
若，求函数的单调区间；
若函数有两个不相等的零点，，证明：．
【变式训练】
练1-1(2022·江西省联考) 已知函数．
证明：
若函数，若存在使，证明：．
练1-2(2022·山东省模拟) 已知函数．
讨论的单调性
从下列两个选项中任选一个求解：
当时，设函数，若，求证：
当时，若，证明：．
【规律方法】
构造对称差函数是极值点偏移问题的一种通性解法,主要用来解决两数和或者积与极值点相关的不等式证明问题.对于此类问题一般的求解思路是将两个变量分到不等式的两侧,然后根据函数的单调性,通过两个变量之间的关系“减元”,建立新函数,最终将问题转化为函数的单调性来求解.
例：已知函数满足(),求证:
(1)求函数的导数,确定函数的单调区间,求出极值点,确定;
(2)构造函,注意;
(3)求函数的导函数,确定在时的单调性,得出与0的大小关系,进而得到与
的大小关系;
(4)由,得到与的大小关系,由,得到与的大小关系;
(5)由,及在时的单调性得到与的大小关系,进而得到.
探究2：消元构造一元函数
【典例剖析】
例2.(2022·辽宁省沈阳市月考) 已知函数．
讨论函数极值点的个数；
若函数在定义域内有两个不同的零点，
①求的取值范围；
②证明：．
【变式训练】
练2-1(2022·广东省联考) 已知，．
若函数在点处的切线斜率为，求函数的单调区间；
已知的两个零点为，，且为的唯一极值点，求证：．
练2-2(2022·重庆市模拟)和是关于的方程的两个不同的实数根．
求实数的取值范围；
若，求证：．

【规律方法】
消元构造一元函数是解决极值点偏移的另一种简单快捷的方法.利用两数之比(差)作为变量,继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解,将双变量问题转化为单变量问题,从而实现消元的目的.
例：已知函数有两个零点分别为, 若,求证:.
建立方程组:;
定关系：利用方程的结构特点消去参数，建立的联系，即；
换元：引入新变量,证明即证明，将不等式问题转化为关于的函数问题;
构造函数求解：构造关于的函数，，研究函数的单调性求最值.
探究3：利用对数平均不等式
【典例剖析】
例3.( 2021·江西省南昌市联考) 已知函数有两个极值点，
求实数的取值范围
证明：
【变式训练】
练3-1(2021·四川省成都市模拟) 已知函数，．
讨论函数的单调性
令，若存在，且时，，证明：．
练3-2(2021·广东省联考) 已知函数．
求函数的单调区间；
当时，若，满足，求证：．
【规律方法】
对数平均不等式能有效解决含有型不等式问题和极值点偏移问题.
两正数的对数平均定义是, 对数平均与算术平均、几何平均的大小关系是
(当且仅当时取等号).
当时，不等式成立；
当时，不妨令,
⑴,设构造函数；
⑵，
设构造函数.
例：已知函数,若存在两个极值点,证明：.
分析：,要证，
只需证(当时，函数有2个极值点)，只需证,
由的两个极值点可得，,结合对数平均不等式，即证.
构造函数,研究函数单调性求最值，按照分析的思路反推，从而证明不等式.
共7页/第7页拓展专题3 极值点偏移问题
探究1：构造极值对称差函数
【典例剖析】
例1.(2022·江苏省连云港市期末) 已知函数．
若，求函数的单调区间；
若函数有两个不相等的零点，，证明：．
【解析】函数的定义域为，
当时，，则，
令，得，令，得，
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是；
，
当时，在上恒成立，故函数不可能有两个不相等的零点，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
若函数有两个不相等的零点，，则，
不妨设，
设，，
则，
所以，
因为，所以在恒成立，
所以在上单调递减，即，
所以，即，
又，故，
因为，所以，
因为函数在上单调递增，
所以，即．
【变式训练】
练1-1(2022·江西省联考) 已知函数．
证明：
若函数，若存在使，证明：．
【解析】证明：令，，，
令，解得：；令，解得：，
在上递增，在上递减，则，
恒成立，即．
，，
令，解得：；令，解得：；
在上递增，在上递减．
又，，，，且，．
要证，即证．
，，
又，只需证即可．
令，，
恒成立，
在上单调递增．
又，，，
即，
．
练1-2(2022·山东省模拟) 已知函数．
讨论的单调性
从下列两个选项中任选一个求解：
当时，设函数，若，求证：
当时，若，证明：．
【解析】，
当时，，在上单调递增
当时，令，解得，
所以当时，，单调递减
当时，，单调递增．
综上：当时，在上单调递增
当时在上单调递减，在单调递增．
选①:由知，
所以，
所以在上单调递增．
令，
所以
令，
则，当且仅当时取等号，
所以在上单调递增，而，
所以当时，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，于是得，，
由得，于是得，
所以，
所以当时，
选②:因为，
所以，
所以，
令得，
所以当时，单调递减
当时，单调递增，
又因为，由，
设，，
所以要证，即证，
又时，单调递减，
所以即证，即证明，即证，
构造函数，，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以在单调递增，所以，
从而，即，
所以，即，
所以原不等式得证．
【规律方法】
构造对称差函数是极值点偏移问题的一种通性解法,主要用来解决两数和或者积与极值点相关的不等式证明问题.对于此类问题一般的求解思路是将两个变量分到不等式的两侧,然后根据函数的单调性,通过两个变量之间的关系“减元”,建立新函数,最终将问题转化为函数的单调性来求解.
例：已知函数满足(),求证:
(1)求函数的导数,确定函数的单调区间,求出极值点,确定;
(2)构造函,注意;
(3)求函数的导函数,确定在时的单调性,得出与0的大小关系,进而得到与
的大小关系;
(4)由,得到与的大小关系,由,得到与的大小关系;
(5)由,及在时的单调性得到与的大小关系,进而得到.
探究2：消元构造一元函数
【典例剖析】
例2.(2022·辽宁省沈阳市月考) 已知函数．
讨论函数极值点的个数；
若函数在定义域内有两个不同的零点，
①求的取值范围；
②证明：．
【解析】的定义域为，，
当时，，在上单调递减，无极值点：
当时，令，得，
时，，在上单调递减
时，，在上单调递增，
故时，取得极小值，
综上，当时，无极值点当时，有一个极小值点，无极大值点
①由题意，方程在有两个不等实根，
即在有两个不等实根，
设，，过点，则，
令得，，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
且时，时，，时，，
故实数的取值范围为；
②不妨设，
由已知得，，，
两式相减得，，
要证，只需证，只需证，
只需证，即证
令，，
令，，则，
令，
则，
所以在上单调递减，又，所以恒成立，
所以在上单调递增，又因为，故，
即，原不等式得证．
【变式训练】
练2-1(2022·广东省联考) 已知，．
若函数在点处的切线斜率为，求函数的单调区间；
已知的两个零点为，，且为的唯一极值点，求证：．
【解析】由，得，解得，
所以，定义域为，
则，令，则或舍，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为
，定义域为，则，
若时，则，所以单调递减，无极值，不满足题意．
当时，
令，得，
当，，单调递增，
当，，单调递减，
要使有两个零点，需满足，
即，解得，
则，，
令，由，得，
即，所以，
所以要证，只需证，即证，
由，知，只需证，
令，则，
所以在上单调递增，
，即，所以成立．
练2-2(2022·重庆市模拟)和是关于的方程的两个不同的实数根．
求实数的取值范围；
若，求证：．
【解析】当，即，
设，则，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
故时，取得最大值，
又时，，
当时，，且当时，，
所以由关于的方程有两个不同的实数根，可得．
设，则．
，
，设则，
，则，
设，则，
设，则，
时，，即．
在上单调递减，则，
．
【规律方法】
消元构造一元函数是解决极值点偏移的另一种简单快捷的方法.利用两数之比(差)作为变量,继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解,将双变量问题转化为单变量问题,从而实现消元的目的.
例：已知函数有两个零点分别为, 若,求证:.
建立方程组:;
定关系：利用方程的结构特点消去参数，建立的联系，即；
换元：引入新变量,证明即证明，将不等式问题转化为关于的函数问题;
构造函数求解：构造关于的函数，，研究函数的单调性求最值.
探究3：利用对数平均不等式
【典例剖析】
例3.( 2021·江西省南昌市联考) 已知函数有两个极值点，
求实数的取值范围
证明：
【解析】，
函数有两个极值点，就是有两个零点，
令，有两个零点等价于有两个零点，
而，
故在上递增，在上递减，
所以，
所以，又当趋向于或趋向于正无穷时，趋向于负无穷，符合有两个零点，
故实数的取值范围是；
法一：先证：，
不妨令，即证：，
再令，即证：，
令，，
易得为上的减函数，故F，即，
故得证．
由，两式相减，得，即，得证．
法二：由知在上递增，在上递减，
且，不妨设，
则，
令，则，
故在上递减，，
即，又，，故，即．
【变式训练】
练3-1(2021·四川省成都市模拟) 已知函数，．
讨论函数的单调性
令，若存在，且时，，证明：．
【解析】的定义域为，
则，
当时，，
当时，由得， 由得，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在单调递增
，
，，
，
令，则，在上单调递增，
不妨设，，，
，，
，，
下面证明，
即证明，令，只需证，只需证，
设，则，
在递增，
所以，即成立，
即
练3-2(2021·广东省联考) 已知函数．
求函数的单调区间；
当时，若，满足，求证：．
【解析】．
①当时，，由，得；由，得，
的单调减区间为，单调增区间为；
②当时，由，得或；由，得，
的单调减区间为，单调增区间为，
③当时，，
的单调减区间为，无单调增区间；
④当时，由，得或，由，得，
的单调减区间为，单调增区间为．
综上：当时，的单调减区间为，单调增区间为；
当时，的单调减区间为，单调增区间为；
当时，的单调减区间为，无单调增区间；
当时，的单调减区间为，单调增区间为．
证明：不妨设，由知，当且当时，有，．
法一：要证，即证，，
且在单调递减，
即证，
由，
转证：．
，
，，
转证：，
令，
则，在上单调递减，
，从而不等式成立．
同理，要证，即证．
，且在单调递减，
即证，由于，
则即证．，
，，
转证：
令，
则，在上单调递增，
则=，
令，则，
在上单调递减，则，即．
由在上单调递增，则，从而不等式成立．
综合可得成立．
法二：先证明对数平均不等式：．
即证：，
即证．
令，即证
令，则，
令，则，
在上单调递增，，
在上单调递减，，
不等式成立，从而对数平均不等式成立．
由，有，
解得，
由对数平均不等式，有，两边平方，得，
令，则，
即，解得．
因此，不等式成立．
【规律方法】
对数平均不等式能有效解决含有型不等式问题和极值点偏移问题.
两正数的对数平均定义是, 对数平均与算术平均、几何平均的大小关系是
(当且仅当时取等号).
当时，不等式成立；
当时，不妨令,
⑴,设构造函数；
⑵，
设构造函数.
例：已知函数,若存在两个极值点,证明：.
分析：,要证，
只需证(当时，函数有2个极值点)，只需证,
由的两个极值点可得，,结合对数平均不等式，即证.
构造函数,研究函数单调性求最值，按照分析的思路反推，从而证明不等式.
共13页/第13页

展开更多......

收起↑