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拓展专题4 必要性探路在解题中的应用
探究1：必要性探路
【典例剖析】
例1.(2021·江苏省南京市模拟) 已知函数．
讨论的单调性
设，若恒成立，求的取值范围．
【解析】的定义域为，．
当时，，则在上单调递增
当时，令得到，
当时，，单调递增当时，，单调递减
综上：当时，在上单调递增
当时，在上单调递增，在上单调递减
，
令，则，故，
以下证明：时符合题意，
当时，，
以下证明：，
构造函数，
则，
令，
则，
由可得，
由可得，
于是在上单调递减，在上单调递增，于是．
于是当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，故G，符合题意．
综上可知
【变式训练】
练1-1(2020·浙江省温州市月考) 已知函数，．
若，证明：对任意，存在，使得
若恒成立，求实数的取值范围．
【解析】当，函数，，
，则函数在上单调递增，
，即，
的值域为．
又，，则函数在上单调递增，
，即，
的值域为
，
，
对任意，存在，使得
解法一：由，得，
，，整理得．
令，则，
在上，；在上，，
在上单调递增，在上单调递减，
，故．
令，，
则．
令，，则，
在上，，在上，，
在上单调递增，在上单调递减，
，
在上，，在上，，
在上单调递增，在上单调递减，
，，
即实数的取值范围为
解法二：由得，
设，则，
根据，得
下面证明当时，
记，，则，
在上是单调递增，在上单调递减，
，
，即．
于是，
故实数的取值范围为
【规律方法】
函数不等式恒成立问题是高考考查的热点、难点，常用分离参数、分类讨论的方法解决，部分试题也可以尝试利用必要条件探路的思想方法解决：即通过取自变量的一个特殊值使不等式恒成立，得到参数的取值范围,随后验证其充分性.
基本步骤：
1.探究必要条件，缩小参数范围：在给定的范围内取特殊值，然后由不等式成立求出参数的取值范围，该取值范围即为不等式恒成立的一个必要条件，接下来探究其充分性. 选择的特殊值可以为端点值、极值点、不等式公共取等条件、常见特殊数（如等）.
2.证明充分性，求结果：利用第一步中的参数的范围去判定函数是否单调；
⑴如果函数单调，则由端点得到的范围就是最终答案；
⑵如果函数不单调，则利用端点确定的范围进一步确定函数的最值.
探究2：端点效应
【典例剖析】
例2.(2021·河南省联考) 已知函数，，．
求函数的单调区间；
若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【解析】由题知，，，
当，即时，，在上单调递增，
当，即时，
令，即，，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为；
对任意的，恒成立，
即，
令，且，
，且，
令，
，且，
由题意得，，即，
下面证明，对于任意的恒成立，
当时，，
当时，，，
，即，
即在上单调递增，
，
在上单调递增，
即得证，故满足条件，
的取值范围为．
【变式训练】
练2-1(2022·广东省联考) 已知函数．
若函数与的图象恰好相切于点，求实数的值；
当时，恒成立，求实数的取值范围；
求证：．
【解析】由题意可得，，，所以；
方法一：分参，
当时，恒成立，即时，，
时，显然成立；时，即，
令，则，令，
则，令，，
则，所以，
所以在上单调递减，所以，即，
所以在上单调递减，
所以，要使当时，恒成立，
只需，故；
方法二：先找必要条件注意到时，恰有，
令，则，
在恒成立的必要条件为，即，则，
下面证明充分条件：当时，
，则，
令，
，即，
所以在单调递减，恒成立，即也是充分条件，
故有；
证明：不妨设为的前项和，且，
要证原不等式，只需证，
由知：当且时恒有，即，
当且仅当时取等号，取，
则，即，
即，即成立，
从而原不等式获证．
【规律方法】
端点效应是必要条件探路法的一种特例，利用端点处函数值的特殊性，先得到必要条件，再证明其充分性，思路简捷.端点效应的使用原理：
1.若函数 (其中为参数)在区间(均为常数)上恒成立,且或,则或.此法应用于区间端点函数值为零的情况.
2.若函数 (其中为参数)在区间(均为常数)上恒成立,且或，则
或.此法应用于区间端点函数为零和端点一阶导数为零的情况.
补充说明：
⑴当函数是单调函数,且函数仅有的一个零点在区间端点处取到时,必要条件就是充分条件.
⑵端点效应是一种必要性探路,再证明充分性的一种方法,虽然它求出的参数并不一定就是所求的实际范围,但是可以限定问题成立的大前提,缩小参数的讨论范围,在一定程度上可以减少分类讨论的类别,降低思维的成本.
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