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拓展专题5 指、对跨阶同构的运用
探究1：积型
【典例剖析】
例1.(2021·湖北省八市联考) 设实数，若不等式对恒成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【变式训练】
练1-1(2022·福建省莆田市月考) 对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是 ．
练1-2(2022·云南省昆明市模拟) 已知函数．
求函数的极值
若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
【规律方法】
解决指对混合不等式时,常规的方法计算复杂将不等式变形为的结构,即为外层函数,其单调性易于研究.常见变形方式: .
积型同构,三种同构途径:
①同左:,构造函数;
②同右:,构造函数;
③取对数:,构造函数.
探究2：商型
【典例剖析】
例2.(2022·辽宁省朝阳市联考) 已知函数，，．
讨论函数的单调性
设函数，若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【变式训练】
练2-1(2022·广东省联考) 已知函数其中是自然对数的底数，．
当时，讨论函数的单调性；
设函数，若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【规律方法】
商型 (或)同构,三种同构途径:
①同左: (或),构造函数(或);
②同右: (或),构造函数(或);
③取对数: (或),构造函数(或).
探究3：和差型
【典例剖析】
例3.( 2021·黑龙江省哈尔滨市模拟) 已知关于的不等式在恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【变式训练】
练3-1(2022·江苏省盐城市高三期中) 设函数，
当时，求在点处的切线与两坐标轴围成三角形的面积
当时，恒成立，求的最大值．
练3-2(2022·湖南省联考) 已知函数．
当，讨论函数的单调性
若不等式，对恒成立，求实数的取值范围．
【规律方法】
1.和差型同构,两种同构途径:
①同左:,构造函数;
②同右:,构造函数.
补充：
1.先凑再变形
若式子无法直接进行变形同构,往往需要凑常数、凑参数或凑变量,如两边同乘以,同加上等,再用上述方式变形.常见的变形有:
①;
②
③
2.同构放缩或同构换元共存
有些更复杂的指对不等式,利用常见的变形方法先进行同构变形再换元,使构造的函数较为简单,或者不等式本身的结构不特殊,可以先结合常用不等结论放缩.常见的放缩模型:
①利用放缩:,;
②利用放缩:,;
③利用放缩:;
④利用放缩:.
共4页/第4页拓展专题5 指、对跨阶同构的运用
探究1：积型
【典例剖析】
例1.(2021·湖北省八市联考) 设实数，若不等式对恒成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【解析】不等式对恒成立，
即不等式对恒成立，
即不等式对恒成立，
令，
则即为，
，
当时，，在上单调递增，
，，
对于函数，，
由得，由得，
则在上单调递增，在上单调递减，
，，即．
故选：．
【变式训练】
练1-1(2022·福建省莆田市月考) 对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是 ．
【解析】不等式恒成立等价于，
即，
即，
当时，上述不等式恒成立，
当时，可得，
设，易得在上单调递增，
即，
得，即在上恒成立，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
易得，
当时，只需即可，即；
当时，只需，整理可得，显然恒成立，
所以；
综上可得，所以的取值范围是．
故答案为．
练1-2(2022·云南省昆明市模拟) 已知函数．
求函数的极值
若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
【解析】由题意得：，，
所以，
令，解得，
当时，当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以有极小值，为， 无极大值．
由已知得，对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，则对任意恒成立，
下证：对任意恒成立，
令，
则在上恒成立，且仅当时取“=”．
所以在上单调递减，，
即，
所以对任意恒成立，只需在上单调递增，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
所以，即的取值范围为．
【规律方法】
解决指对混合不等式时,常规的方法计算复杂将不等式变形为的结构,即为外层函数,其单调性易于研究.常见变形方式: .
积型同构,三种同构途径:
①同左:,构造函数;
②同右:,构造函数;
③取对数:,构造函数.
探究2：商型
【典例剖析】
例2.(2022·辽宁省朝阳市联考) 已知函数，，．
讨论函数的单调性
设函数，若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【解析】因为，所以，
令，则，
当时，，函数单调递减
当时，，函数单调递增，
所以．
又因为，，所以，则在定义域上单调递增．
由，得，即，
所以，即对任意恒成立．
设，则．
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
且当时，当时，，
若，则，
若，因为，且在上单调递增，则可得．
综上可知，对任意恒成立，即对任意恒成立．
设，，
则，所以在上单调递增，则，
所以对任意恒成立，
即实数的取值范围为
【变式训练】
练2-1(2022·广东省联考) 已知函数其中是自然对数的底数，．
当时，讨论函数的单调性；
设函数，若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【解析】当时，，
所以，，
令，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以，又，
所以，
则在定义域上单调递增
由，得，
即，
所以，
即对任意恒成立，
设，则，
所以，当时，，函数单调递增，且，
故当时，，当时，，
若，则，
若，因为，且在上单调递增，所以，
综上可知，对任意恒成立，
即对任意恒成立．
设，，
则，
所以在单调递增，
所以，所以，
故的取值范围为．
【规律方法】
商型 (或)同构,三种同构途径:
①同左: (或),构造函数(或);
②同右: (或),构造函数(或);
③取对数: (或),构造函数(或).
探究3：和差型
【典例剖析】
例3.( 2021·黑龙江省哈尔滨市模拟) 已知关于的不等式在恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【解析】由得，
即，
令，，则，故在单调递增，
若，则在恒成立，
记，则在上恒成立，即，
因为，则当时，当时，
故在上单调递减，在上单调递增，
故
所以，即，解得，
所以的取值范围是．
故选：．
【变式训练】
练3-1(2022·江苏省盐城市高三期中) 设函数，
当时，求在点处的切线与两坐标轴围成三角形的面积
当时，恒成立，求的最大值．
【解析】时，，，切点
，切线方程为
令，令，
切线与两坐标轴围成的三角形的面积为．
由
令，显然在上单调递增，且由
，当且仅当时取“”
综上：的最大值为．
练3-2(2022·湖南省联考) 已知函数．
当，讨论函数的单调性
若不等式，对恒成立，求实数的取值范围．
【解析】的定义域为，，
令则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
时，取得极小值即最小值，
在恒成立，在单调递增
不等式等价于，
设，即，①
，
当，，在是减函数，，，在是增函数，
，，
当时，，且在上是减函数，
则①式，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，
又，．
【规律方法】
1.和差型同构,两种同构途径:
①同左:,构造函数;
②同右:,构造函数.
补充：
1.先凑再变形
若式子无法直接进行变形同构,往往需要凑常数、凑参数或凑变量,如两边同乘以,同加上等,再用上述方式变形.常见的变形有:
①;
②
③
2.同构放缩或同构换元共存
有些更复杂的指对不等式,利用常见的变形方法先进行同构变形再换元,使构造的函数较为简单,或者不等式本身的结构不特殊,可以先结合常用不等结论放缩.常见的放缩模型:
①利用放缩:,;
②利用放缩:,;
③利用放缩:;
④利用放缩:.
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