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拓展专题6 数列的奇、偶项问题
探究1：等差或等比奇偶项问题
【典例剖析】
例1.(2022·江苏省南京市联考) 已知等比数列的首项为，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，这个等比数列前项的积为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
【变式训练】
练1-1(2021·山东省济南市模拟) 已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为( )
A. B. C. D.
练1-2(2022·广东省深圳市期中·多选) 己知数列的前项和为，则下列说法正确的是( )
A. 若，则是等差数列
B. 若是等差数列，且，，则数列的前项和有最大值
C. 若等差数列的前项和为，前项中，偶数项的和与奇数项的和之比为，则公差为
D. 若是等差数列，则三点、、共线
【规律方法】
常用结论：
1.等差数列的奇数项、偶数项各自组成一个新的等差数列；等比数列的奇数项、偶数项各自组成一个新的等比数列，公比都是；
2.①在项数为奇数的等差数列中：，；
②在项数为奇数的等比数列中：；
3.①在项数为偶数的等差数列中：，，；
②在项数为偶数的等差数列中：.
探究2：数列中连续两项和或积的问题
【典例剖析】
例2.(2022·广东省联考) 已知数列的前项和为，且满足，，．
求的通项公式；
设数列满足，，，按照如下规律构造新数列，，，，，， ，求的前项和．
【变式训练】
练2-1(2022·江苏省泰州市月考) 设数列的前项和为，，且，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
练2-2(2022·广东省广州市模拟) 已知数列满足，，，，且是，的等比中项．
求的值；
求数列的前项和．
【规律方法】
递推公式为或的形式，通常考查求通项公式或数列求和.
①求通项公式：寻找的关系
如，可构造隔项等差数列：两式相减得；
如，可构造隔项等比数列：两式相除得
②求前项和：求出通项公式，则；或者利用，可直接并项求和.
探究3：正负项交替类型
【典例剖析】
例3.( 2022·青海省西宁市一模) 已知数列，满足，，．
证明：是等比数列；
求数列的前项和．
【变式训练】
练3-1(2022·重庆市月考·多选) 已知数列满足：，则下列说法中正确的是( )
A. B.
C. 数列的前项和为定值 D. 数列的前项和为定值
练3-2(2022·湖北省鄂东南三校联考) 已知数列的前项和为，对任意，有，且
，数列满足．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
【规律方法】
数列的递推公式和通项公式中会含有，需要讨论的奇偶，使转化为1或-1.
1.通项公式中含有：
①等差数列的通项公式乘以，可用并项求和法求数列前项的和；
②等比数列的通项公式中含有，其前项和可写成分段的形式，考查最值问题；
如等比数列的通项公式为，则其前项和为，求的取值范围：分奇偶，讨论求出取值范围.
③裂项相消法求和
如，求和时通过实现正负交替.
2.递推公式中有：寻找间隔两项之间的关系
如为奇数时，；为偶数时，得到相邻两个奇数项或偶数项的关系.
探究4：奇数项偶数项分段类型
【典例剖析】
例4.( 2022·天津市月考) 已知等比数列的公比，且满足，，数列的前项和，．
Ⅰ求数列和的通项公式；
Ⅱ设，求数列的前项和．
【变式训练】
练4-1(2022·湖北省黄石市联考·多选) 已知数列满足，，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
练4-2(2022·江苏省徐州市联考) 已知数列是等差数列，它的前项和为，数列是等比数列，，，，，．
Ⅰ求数列和的通项公式；
Ⅱ若，设数列的前项和为，求．
【规律方法】
形如的结构，可分为两种情况：
1.邻项等差、等比数列：
如已知将用或替代：当时，；当时，构造出以为首项、2为公比的等比数列，求出的通项公式，再求出.
另一种是数列与其他数列的关系，如,求出其他数列的通项公式，再求出的通项公式.
共5页/第5页拓展专题6 数列的奇、偶项问题
探究1：等差或等比奇偶项问题
【典例剖析】
例1.(2022·江苏省南京市联考) 已知等比数列的首项为，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，这个等比数列前项的积为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
【解析】设共有项，由题意：
，，
，
．
因为，所以当或时，的最大值为．
故选：．
【变式训练】
练1-1(2021·山东省济南市模拟) 已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为( )
A. B. C. D.
【解析】设该数列为，共有项，其中间项为第项，
依题意，①
，②
①-②可得，
即中间项的值为．
故选：．
练1-2(2022·广东省深圳市期中·多选) 己知数列的前项和为，则下列说法正确的是( )
A. 若，则是等差数列
B. 若是等差数列，且，，则数列的前项和有最大值
C. 若等差数列的前项和为，前项中，偶数项的和与奇数项的和之比为，则公差为
D. 若是等差数列，则三点、、共线
【解析】项，时，，时，，
当时，，所以，不是等差数列；所以不正确；
项，由已知可得，，又，所以，，所以，有最大值；所以B正确；
项，由已知可得，偶数项和为，奇数项和为，两者作差为，所以；所以C正确；
项，设三点分别为，，，，则，，．
则，，，所以三点共线．所以D正确；
故选：．
【规律方法】
常用结论：
1.等差数列的奇数项、偶数项各自组成一个新的等差数列；等比数列的奇数项、偶数项各自组成一个新的等比数列，公比都是；
2.①在项数为奇数的等差数列中：，；
②在项数为奇数的等比数列中：；
3.①在项数为偶数的等差数列中：，，；
②在项数为偶数的等差数列中：.
探究2：数列中连续两项和或积的问题
【典例剖析】
例2.(2022·广东省联考) 已知数列的前项和为，且满足，，．
求的通项公式；
设数列满足，，，按照如下规律构造新数列，，，，，， ，求的前项和．
【解析】由，得，
两式相减得，即，
所以
因为，所以，
所以，，
又当时，，适合上式．
所以，；
因为，，
所以，
又，所以，
所以数列的偶数项构成以为首项、为公比的等比数列，
故数列的前项的和
，
，
所以数列的前项和为
【变式训练】
练2-1(2022·江苏省泰州市月考) 设数列的前项和为，，且，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
【解析】，
，
是以为公比的等比数列，
，
，
当为偶数时，无解，
当为奇数时，，
，又，
，即，
即，又为奇数，故的最大值为．
故选：．
练2-2(2022·广东省广州市模拟) 已知数列满足，，，，且是，的等比中项．
求的值；
求数列的前项和．
【解析】由，可得，，，，
所以，，，．
因为是，的等比中项，所以，
即，则，
又，所以．
由知．
当为偶数时，
当为奇数时，
．
综上所述，，．
【规律方法】
递推公式为或的形式，通常考查求通项公式或数列求和.
①求通项公式：寻找的关系
如，可构造隔项等差数列：两式相减得；
如，可构造隔项等比数列：两式相除得
②求前项和：求出通项公式，则；或者利用，可直接并项求和.
探究3：正负项交替类型
【典例剖析】
例3.( 2022·青海省西宁市一模) 已知数列，满足，，．
证明：是等比数列；
求数列的前项和．
【解析】证明：由题意，可知，
即，
，
数列是以为首项，为公比的等比数列．
解：由知，，
则，
，
①当为奇数时，
，
②当为偶数时，
，
．
【变式训练】
练3-1(2022·重庆市月考·多选) 已知数列满足：，则下列说法中正确的是( )
A. B.
C. 数列的前项和为定值 D. 数列的前项和为定值
【解析】数列满足：，
取，得，，故A正确；
取，得，又，
两式相减，得，故B错误；
由题知，①
，②
，③
②-①，得，
②+③，得，
为定值，题中条件只限制，
的值不确定，前项和无法确定，故C错误；
前项中奇数项有项，相邻两项的和确定，故这项的和确定，
同理个偶数项的和确定，故前项的和确定，故D正确．
故选：．
练3-2(2022·湖北省鄂东南三校联考) 已知数列的前项和为，对任意，有，且
，数列满足．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
【解析】由题意得，，①
时，，得到．
时，，②
①-②，得到，整理得，，
，所以，即
数列是以为首项，公差为的等差数列．
即，
，，即．
，
问题可以看成是数列和数列的前项的和
为偶数时，数列的前项的和是
，
为奇数时，数列的前项的和是
，
数列的前项的和是
所以，．
【规律方法】
数列的递推公式和通项公式中会含有，需要讨论的奇偶，使转化为1或-1.
1.通项公式中含有：
①等差数列的通项公式乘以，可用并项求和法求数列前项的和；
②等比数列的通项公式中含有，其前项和可写成分段的形式，考查最值问题；
如等比数列的通项公式为，则其前项和为，求的取值范围：分奇偶，讨论求出取值范围.
③裂项相消法求和
如，求和时通过实现正负交替.
2.递推公式中有：寻找间隔两项之间的关系
如为奇数时，；为偶数时，得到相邻两个奇数项或偶数项的关系.
探究4：奇数项偶数项分段类型
【典例剖析】
例4.( 2022·天津市月考) 已知等比数列的公比，且满足，，数列的前项和，．
Ⅰ求数列和的通项公式；
Ⅱ设，求数列的前项和．
【解析】Ⅰ依题意，由，，可得
，
解得，，
，，
对于数列：当时，，
当时，，
当时，也满足上式，
，．
Ⅱ由题意及Ⅰ，可知
当为奇数时，，
当为偶数时，，
令，，则
，
，
，
两式相减，可得
，
，
，
，
，
．
【变式训练】
练4-1(2022·湖北省黄石市联考·多选) 已知数列满足，，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
【解析】对于，由题意，
，故A正确；
对于，当为奇数，，
当为偶数，，
当为奇数，则为偶数，可得，
，
，
，即当为偶数时，
，故B错误；
对于，有，
两式相加可得：，即，故C正确；
，故D正确．
故答案选：．
练4-2(2022·江苏省徐州市联考) 已知数列是等差数列，它的前项和为，数列是等比数列，，，，，．
Ⅰ求数列和的通项公式；
Ⅱ若，设数列的前项和为，求．
【解析】Ⅰ设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则由得
解得
所以，．
Ⅱ由，得，
则
即
．
【规律方法】
形如的结构，可分为两种情况：
1.邻项等差、等比数列：
如已知将用或替代：当时，；当时，构造出以为首项、2为公比的等比数列，求出的通项公式，再求出.
另一种是数列与其他数列的关系，如,求出其他数列的通项公式，再求出的通项公式.
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