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拓展专题7 求数列的通项公式
探究1：前n项和法
【典例剖析】
例1.(2022·江苏省无锡市模拟) 已知数列的首项，且．
求证：数列是等差数列，并求其公差；
求数列的通项公式．
【变式训练】
练1-1(2022·山西省运城市模拟) 已知数列的前项和为，，，则数列的通项公式为 ．
练1-2(2022·辽宁省丹东市月考) 数列的前项和为，已知，．
设，证明：当时，；
求的通项公式．
【规律方法】
数列是高考中的重要考查内容,求通项公式往往会作为解答题的第(1)问,难度不会太大.求通项的方法较
多,但是每一类求法对应的条件的区别较为明显,重点掌握几种常用的求通项公式的思路方法.
1.由求：
①已知，则；
第一步：当时，；第二步：当时，；第三步：验证是否符合，若符合，则合并.
②已知：可先求出数列的通项公式，再求出的通项公式；
③已知：两式相减得到与的关系式；或将带入
得到与的关系式，求出数列的通项公式，再求出的通项公式.
探究2：累加法
【典例剖析】
例2.(2022·湖北省联考) 已知数列中，，，则 ．
【变式训练】
练2-1(2022·浙江省模拟) 已知数列满足，，则
A. B. C. D.
练2-2(2022·江苏省模拟) 已知正项数列的前项和为，给出以下三个条件：
，；
；
，．
从这三个条件中任选一个解答下面的问题．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
【规律方法】
2.累加法：
第一步：将已知条件中的递推关系,经过整理变形得到后一项与前一项的差为一个关于项数的函数,即
的形式；
第二步：写出，，……，，并将它们累加起来；
第三步：得到的值，求出；
第四步：检验是否满足所求通项公式，若满足，则合并；若不满足，则写出分段形式.
探究3：累乘法
【典例剖析】
例3.( 2022·江苏省南通市月考) 已知数列，，且，则 ， ．
【变式训练】
练3-1(2022·江西省联考) 已知则数列的通项公式是 ( )
A. B.
C. D.
练3-2(2022·河南省重点高中顶尖计划模拟) 已知数列中，，，则满足的的最大值为( )
A. B. C. D.
【规律方法】
3.累乘法：
第一步：将已知条件中的递推关系,经过整理变形得到后一项与前一项的差为一个关于项数的函数,即
的形式；
第二步：写出，，……，，并将它们累乘起来；
第三步：得到的值，求出；
第四步：检验是否满足所求通项公式，若满足，则合并；若不满足，则写出分段形式.
探究4：构造法
【典例剖析】
例4.( 2021·广东省佛山市月考) 已知在数列中，，且，则 ；的最小值为 ．
【变式训练】
练4-1(2022·江苏省盐城市月考) 已知数列满足，若，，且数列是递增数列，则实数的取值范围为 ．
练4-2(2021·安徽省合肥市联考) 已知数列满足，，若
，则数列的通项 ( )
A. B. C. D.
练4-3(2022·江苏省南京市模拟) 已知数列满足，，且
，则数列的通项公式为 ．
练4-4(2021·湖南省永州市模拟) 已知数列，，则( )
A. B. C. D.
【规律方法】
4.构造法：
①（其中为常数，且）：构造等比数列
第一步：先将递推公式改写为；
第二步：由待定系数法，解得；
第三步：求出数列的通项公式，得到的通项公式.
②（其中为常数，且）
第一步：先将递推公式改写为；
第二步：由待定系数法，求出的值；
第三步：求出数列的通项公式，得到的通项公式.
③（其中为常数，且）
思路一：
第一步：两边同除以，得；
第二步：若，利用①中方法求出数列的通项公式，得到的通项公式；若，数列为等差数列.
思路二：
第一步：或先将递推公式改写为；
第二步：由待定系数法，求出的值；
第三步：求出数列的通项公式，得到的通项公式.
④（其中为常数）
第一步：把递推关系式转化为；
第二步：设，则；若，则利用①中方法求出数列的通项公式，得到的通项公式；
第三步：通过数列的通项公式，即数列的递推公式，选择合适的方法构造数列，求出的通项公式.
⑤（其中为常数）
第一步：将递推公式两边取倒数得；
第二步：若，利用①中方法求出数列的通项公式，得到的通项公式；
⑥
第一步：对递推公式两边取对数；
第二步：利用①中方法求出数列的通项公式，得到的通项公式.
数列通项公式的求法还有很多,如归纳法、迭代法、换元法和不动点法等,做题时要根据递推关系式的特征,选择合适的求解思路与解题方法.
共6页/第6页拓展专题7 求数列的通项公式
探究1：前n项和法
【典例剖析】
例1.(2022·江苏省无锡市模拟) 已知数列的首项，且．
求证：数列是等差数列，并求其公差；
求数列的通项公式．
【解析】，
，
由题知，
两边同时除以，得，
，
是等差数列，公差为
，
由知是等差数列，公差为，首项为，
， ，
当时，，
此式对时不成立，
．
【变式训练】
练1-1(2022·山西省运城市模拟) 已知数列的前项和为，，，则数列的通项公式为 ．
【解析】因为，
所以当时，，
故，整理可得，
故，
当时，也适合上式，
故数列的通项公式为．
故答案为：．
练1-2(2022·辽宁省丹东市月考) 数列的前项和为，已知，．
设，证明：当时，；
求的通项公式．
【解析】证明：由，
可知时，．
可得．
所以
．
因为，所以，
当时，
．
当，，所以．
所以，从而．
由，可得．
【规律方法】
数列是高考中的重要考查内容,求通项公式往往会作为解答题的第(1)问,难度不会太大.求通项的方法较
多,但是每一类求法对应的条件的区别较为明显,重点掌握几种常用的求通项公式的思路方法.
1.由求：
①已知，则；
第一步：当时，；第二步：当时，；第三步：验证是否符合，若符合，则合并.
②已知：可先求出数列的通项公式，再求出的通项公式；
③已知：两式相减得到与的关系式；或将带入
得到与的关系式，求出数列的通项公式，再求出的通项公式.
探究2：累加法
【典例剖析】
例2.(2022·湖北省联考) 已知数列中，，，则 ．
【解析】由，，得，
，
当时，
，
所以，，所以，
当时，也满足，
所以．
故答案为．
【变式训练】
练2-1(2022·浙江省模拟) 已知数列满足，，则
A. B. C. D.
【解析】
，
，
，
，
累加得，
，
．
又，也满足上式．
故．
故答案为．
练2-2(2022·江苏省模拟) 已知正项数列的前项和为，给出以下三个条件：
，；
；
，．
从这三个条件中任选一个解答下面的问题．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
【解析】若选：由，得
令，可得．
当时，，，，，
累加得
又，则，则．
又也适合上式，所以
若选：由，可得
又是正项数列，所以，所以，则．
当时，
又也适合上式，所以
若选：由得，当时，，
两式作差得，整理得
由于，故，即是首项为，公差为的等差数列，所以．
由得，，
则，
所以
．
【规律方法】
2.累加法：
第一步：将已知条件中的递推关系,经过整理变形得到后一项与前一项的差为一个关于项数的函数,即
的形式；
第二步：写出，，……，，并将它们累加起来；
第三步：得到的值，求出；
第四步：检验是否满足所求通项公式，若满足，则合并；若不满足，则写出分段形式.
探究3：累乘法
【典例剖析】
例3.( 2022·江苏省南通市月考) 已知数列，，且，则 ， ．
【解析】因为，
所以；
由，可得，
即有，
由，，，，，，
所以当，，
上式相乘可得，，即为；
当，时，，
可得，
所以，当，时，．
故答案为：，．
【变式训练】
练3-1(2022·江西省联考) 已知则数列的通项公式是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】，
，
故，
，，，
以上式子相乘可得，故．
故选：．
练3-2(2022·河南省重点高中顶尖计划模拟) 已知数列中，，，则满足的的最大值为( )
A. B. C. D.
【解析】因为，
所以化简可得 ，
所以，
即，
所以，
可知关于单调递减，
又，，
所以满足的的最大值为．
故本题选B．
【规律方法】
3.累乘法：
第一步：将已知条件中的递推关系,经过整理变形得到后一项与前一项的差为一个关于项数的函数,即
的形式；
第二步：写出，，……，，并将它们累乘起来；
第三步：得到的值，求出；
第四步：检验是否满足所求通项公式，若满足，则合并；若不满足，则写出分段形式.
探究4：构造法
【典例剖析】
例4.( 2021·广东省佛山市月考) 已知在数列中，，且，则 ；的最小值为 ．
【解析】因为，所以，
两式相减得，所以，
所以数列为等差数列．
当时，由，
得，由，得公差，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立．
故答案为：；.
【变式训练】
练4-1(2022·江苏省盐城市月考) 已知数列满足，若，，且数列是递增数列，则实数的取值范围为 ．
【解析】数列满足：，，，
，化为，
数列是等比数列，首项为，公比为，
，
，
，
又满足上式，．
因为数列是单调递增数列，
，，
化为，
数列为单调递增数列，．
实数的取值范围为．
故答案为：．
练4-2(2021·安徽省合肥市联考) 已知数列满足，，若
，则数列的通项 ( )
A. B. C. D.
【解析】由题意得，，
，
，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，
通过累加法得，
，
．
故选B．
练4-3(2022·江苏省南京市模拟) 已知数列满足，，且
，则数列的通项公式为 ．
【解析】数列满足，，
且，
整理得：，
即：常数，
而，
故数列是以为首项，为公差的等差数列；
所以，
故
．
当时，上式也成立，故．
练4-4(2021·湖南省永州市模拟) 已知数列，，则( )
A. B. C. D.
【解析】由可得，，
根据递推公式可得出，，，进而可知，对任意的，，
在等式两边取对数可得，
令，则，可得，则，
所以，数列是等比数列，且首项为，公比为，
，
即
故选B．
【规律方法】
4.构造法：
①（其中为常数，且）：构造等比数列
第一步：先将递推公式改写为；
第二步：由待定系数法，解得；
第三步：求出数列的通项公式，得到的通项公式.
②（其中为常数，且）
第一步：先将递推公式改写为；
第二步：由待定系数法，求出的值；
第三步：求出数列的通项公式，得到的通项公式.
③（其中为常数，且）
思路一：
第一步：两边同除以，得；
第二步：若，利用①中方法求出数列的通项公式，得到的通项公式；若，数列为等差数列.
思路二：
第一步：或先将递推公式改写为；
第二步：由待定系数法，求出的值；
第三步：求出数列的通项公式，得到的通项公式.
④（其中为常数）
第一步：把递推关系式转化为；
第二步：设，则；若，则利用①中方法求出数列的通项公式，得到的通项公式；
第三步：通过数列的通项公式，即数列的递推公式，选择合适的方法构造数列，求出的通项公式.
⑤（其中为常数）
第一步：将递推公式两边取倒数得；
第二步：若，利用①中方法求出数列的通项公式，得到的通项公式；
⑥
第一步：对递推公式两边取对数；
第二步：利用①中方法求出数列的通项公式，得到的通项公式.
数列通项公式的求法还有很多,如归纳法、迭代法、换元法和不动点法等,做题时要根据递推关系式的特征,选择合适的求解思路与解题方法.
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