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拓展专题8 空间几何体的外接球和内切球问题
探究1：补形法求棱锥的外接球半径
【典例剖析】
例1. (2022·河北省·联考)在三棱锥中，侧棱、、两两垂直，、、的面积分别为、、，则三棱锥的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，在三棱锥中，侧棱、、两两垂直，、、的面积分别为、、，
设侧棱、、分别为，，，
则，解得，将此三棱锥补成长方体，
则体对角线即为外接球的直径：，
所以，三棱锥的外接球的体积为：，
故选A．
【变式训练】
练1-1. (2022·全国·月考) 在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，，，可得，
所以．又，，且，平面，
所以平面．
以为底面，为侧棱补成一个直三棱柱，
则三棱锥的外接球即为该三棱柱的外接球．
由正弦定理，可得外接圆的半径为，
则三棱锥外接球的半径为，
故三棱锥外接球的表面积为．
故选B．
练1-2. (2022·湖南省·月考) 在三棱锥中，底面，，底面是边长为的正三角形，为的中点，球是三棱锥的外接球，若是球上一点，则三棱锥的体积的最大值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为底面是边长为的正三角形，为的中点，所以，．
以，，为长方体的长，宽，高构造长方体，
所以长方体的外接球即为三棱锥的外接球，
因为为长方体的体对角线，所以为中点，外接球半径．
因为正三角形边长为，，底面，平面，
所以，，所以，
因为是球上一点，要使三棱锥的体积最大，
则点到平面的距离最大为球的半径与球心到平面距离之和，
因为由题可知，球与平面的截面为长方体的一侧面，
设矩形的中心即中点为，所以，
所以点到平面的距离的最大值为，
故三棱锥的体积的最大值是．
【规律方法】
求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：
1.三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；
2.直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；
3.如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.
探究2：先定外接球球心再求半径
【典例剖析】
例2. (2022·江苏省宿迁市·月考) 已知四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面平面，且为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，在四棱锥中，
取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为，
分别过，作两个平面的垂线交于点，
则由外接球的性质知，点即为该球的球心，
取线段的中点，连，，，，则四边形为矩形，
在等边中，可得，则，即，
在正方形中，因为，可得，
在直角中，可得，即，
所以四棱锥外接球的表面积为．
故本题选B．
【变式训练】
练2-1. (2021·湖南省·模拟) 已知一圆台的上、下底面半径分别为和，高为，且该圆台上、下底面的圆周在同一球面上，则该圆台外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】圆台的上下底半径分别为，，高，设外接球的半径为，
轴截面按圆台，如图所示，
设，为中点，若圆台的两个底面在球心的同一侧，
则，不合题意；
所以可得两个底面在球心的两侧，则，
可得，，
所以球的的表面积；
故选：．
练2-2. (2022·湖南省长沙市·月考) 在三棱锥中，平面，，与的外接圆圆心分别为，，若三棱锥的外接球的表面积为，设，，则的最大值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】平面，平面，
，
则为直角三角形，其外心为的中点，的外心，
，又，
，
设三棱锥的外接球的为，
连接，则平面，又平面，
，
，又三棱锥的外接球的表面积为，
，即，
由可得，
，当且仅当时取等号，
的最大值是．
故选B．
【规律方法】
解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，一般棱锥外接球球心的找法：
第一种：
1.寻找底面多边形的外接圆的圆心，过作底面的垂线，外接圆的半径用正弦定理求出；
2.任选一侧棱，取其中点，过中点作侧棱的垂面，垂面与的交点即为外接圆的圆心，或在垂线上任设一点，利用到各点的距离相等 ，从而确定外接球球心，将转化为求解平面多边形.
第二种：
寻找几何体中两个面的多边形的外接圆的圆心即为，分别过作两个平面的垂线即为，的交点即为外接球的球心.
探究3：内切球球心问题
【典例剖析】
例3. (2022·江苏省南京市·月考) 已知正方形的边长为，点为边的中点，点为边的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点，则三棱锥的外接球与内切球的表面积之比为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，由题意可知，，，且易得，，
可将三棱锥补全成长、宽、高分别为，，的一个长方体，
三棱锥的外接球的直径即为长方体的体对角线长，
，，
，，，，
的面积为，
设三棱锥的内切球的球心为，半径为，
则根据等体积算法可得：
，
，
解得，，
三棱锥的外接球与内切球的表面积之比为．
故选：．
【变式训练】
练3-1.(2022·全国·模拟) 在底面是正方形的四棱锥中，底面，且，，则四棱锥内切球的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设四棱锥内切球的半径为，
因为，
四棱锥的表面积，
由等体积法可知，解得，
故四棱锥内切球的表面积为，
故选B．
练3-2. (2021·江西省上饶市·模拟) 已知棱长为的正四面体的内切球为，且球，，，分别与球外切，与正四面体的另外三个侧面相切，在该几何体内注满水，则应该注入水的体积大约为参考数据：，，( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设球的半径为，由对称性可知球，的半径相等，不妨设为．如图，
设球与底面切于点，与侧面切于点，球与球外切于点，与侧面切于点，
则易知点，，，，在同一直线上，且平面，，，也在同一直线上．
因为正四面体的棱长为，所以正四面体的高，
所以由等体积，，得，
外接球的半径为，
所以．
又设球与球在切点处的平面交正四面体于平面，
所以，即，
所以五个球的体积和为，
正四面体的体积为，
所以注入的水的体积大约为．
故选A．
【规律方法】
1.求解多面体、旋转体与球接、切问题的策略
（1）过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题．
（2）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或通过画外接、内切的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．
2.与内切球有关的重要结论：
（1）正多面体的内切球和外接球的球心重合；
（2）正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合 ；
（3）正棱柱的内切球球心，在上下底面三角形外接圆圆心连线的中点，和外接球的球心重合；
（4）体积分割是求内切球半径的通用做法：设内切球的半径为，则球心到各个面的距离均，则.
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探究1：补形法求棱锥的外接球半径
【典例剖析】
例1. (2022·河北省·联考) 在三棱锥中，侧棱、、两两垂直，、、的面积分别为、、，则三棱锥的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
【变式训练】
练1-1. (2022·全国·联考) 在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
练1-2. (2022·湖南省·月考) 在三棱锥中，底面，，底面是边长为的正三角形，为的中点，球是三棱锥的外接球，若是球上一点，则三棱锥的体积的最大值是( )
A. B. C. D.
【规律方法】
求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：
1.三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；
2.直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；
3.如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.
探究2：先定外接球球心再求半径
【典例剖析】
例2. (2022·江苏省宿迁市·月考) 已知四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面平面，且为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【变式训练】
练2-1. (2021·湖南省·模拟) 已知一圆台的上、下底面半径分别为和，高为，且该圆台上、下底面的圆周在同一球面上，则该圆台外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
练2-2. (2022·湖南省长沙市·月考) 在三棱锥中，平面，，与的外接圆圆心分别为，，若三棱锥的外接球的表面积为，设，，则的最大值是( )
A. B. C. D.
【规律方法】
解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，一般棱锥外接球球心的找法：
第一种：
1.寻找底面多边形的外接圆的圆心，过作底面的垂线，外接圆的半径用正弦定理求出；
2.任选一侧棱，取其中点，过中点作侧棱的垂面，垂面与的交点即为外接圆的圆心，或在垂线上任设一点，利用到各点的距离相等 ，从而确定外接球球心，将转化为求解平面多边形.
第二种：
寻找几何体中两个面的多边形的外接圆的圆心即为，分别过作两个平面的垂线即为，的交点即为外接球的球心.
探究3：内切球球心问题
【典例剖析】
例3. (2022·江苏省南京市·月考) 已知正方形的边长为，点为边的中点，点为边的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点，则三棱锥的外接球与内切球的表面积之比为( )
A. B. C. D.
【变式训练】
练3-1.(2022·全国·模拟) 在底面是正方形的四棱锥中，底面，且，，则四棱锥内切球的表面积为( )
A. B. C. D.
练3-2. (2021·江西省上饶市·模拟) 已知棱长为的正四面体的内切球为，且球，，，分别与球外切，与正四面体的另外三个侧面相切，在该几何体内注满水，则应该注入水的体积大约为参考数据：，，( )
A. B. C. D.
【规律方法】
1.求解多面体、旋转体与球接、切问题的策略
（1）过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题．
（2）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或通过画外接、内切的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．
2.与内切球有关的重要结论：
（1）正多面体的内切球和外接球的球心重合；
（2）正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合 ；
（3）正棱柱的内切球球心，在上下底面三角形外接圆圆心连线的中点，和外接球的球心重合；
（4）体积分割是求内切球半径的通用做法：设内切球的半径为，则球心到各个面的距离均，则.
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