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拓展专题9 范围、最值问题
探究1：取值范围问题
【典例剖析】
例1.(2021·浙江卷)如图，已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，且．
求抛物线方程；
设过点的直线交抛物线于两点，若斜率为的直线与直线轴依次交于点，且满足，求直线在轴上截距的取值范围．
【解析】 由题意知，故抛物线方程为；
设直线的方程为，
联立，
，，，
设直线的方程为：，
联立， ， ，，
，
直线的方程：，
联立同理，
，
，，
令，则，
，，解得或且，
故直线在轴上截距的取值范围为：
【变式训练】
练1-1(2022·辽宁省葫芦岛市一模)已知椭圆：过点，，分别为椭圆的左、右焦点．请从下面两个条件中选择一个补充到题中，并完成下列问题．
条件①：；条件②：离心率．
求椭圆的标准方程；
若直线：与圆：相切，且与椭圆交于，两点，求面积的取值范围．
【解析】 选择由题意知：，，
，解得，
又解得椭圆的方程为：
选择，，又，
由两式解得，椭圆的方程为：
圆的圆心坐标为，半径，由直线与圆相切，
得，故，
由消去，得．
由题意可知，所以．
设点，，则，，
所以
．
令，则，，
所以
练1-2(2022·江苏省四市调研)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，准线为，过点且斜率大于的直线交抛物线于，两点，过线段的中点且与轴平行的直线依次交直线，，于点，，．
判断线段与长度的大小关系，并证明你的结论；
若线段上的任意一点均在以点为圆心、线段长为半径的圆内或圆上，求直线斜率的取值范围．
【解析】．
证明：设，，，则，，，
由于，，三点共线，则，整理得，
：，则，同理可得，
则，，
所以，即证；
若线段上的任意一点均在以点为圆心、线段长为半径的圆内或圆上，即，
则，化简得，
又因为，则，，
则直线斜率的取值范围为
【规律方法】
解答圆锥曲线中的取值范围问题的策略
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围,求新参数的范围,核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求值域的方法将待求量表示为其它变量的函数求值域,从而求出参数的取值范围。
探究2：最值问题
【典例剖析】
例2.(2022·浙江卷)如图，已知椭圆设，是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线，分别交直线于，两点．
求点到椭圆上点的距离的最大值
求的最小值．
【解析】 设在椭圆上，则，又，
所以，，
所以，即．
设直线，直线与椭圆联立，得，
设，，故．
，与交于，则，
同理可得，．
则
．．，等号在时取到．
【变式训练】
练2-1(2022·湖南省株洲市模拟)在平面直角坐标系中，已知定点，动点满足：以为直径的圆与轴相切，记动点的轨迹为曲线．
Ⅰ求曲线的方程；
Ⅱ过定点作两条互相垂直的直线、，直线、与曲线分别交于两点、与两点、，求四边形面积的最小值．
【解析】设，则线段的中点坐标为，
因为以为直径的圆与轴相切，所以，
整理得．故曲线的方程为．
Ⅱ可知直线斜率都不为，设直线的方程为，设，，
联立得，则，．
，
设，，同理得，
则四边形的面积
，
，当且仅当，即时取等号，
，，等号同时成立，
，故，
当且仅当时取得最小值．
练2-2(2022·湖南省联考)已知双曲线：的左、右焦点分别为、，双曲线的右顶点在圆：上，且．
求双曲线的标准方程；
动直线与双曲线恰有个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，设为坐标原点，求周长的最小值．
【解析】 设双曲线的半焦距为，
由点在圆上，得，
由，得，
所以，
所以双曲线的标准方程为；
当直线的斜率存在时，设其方程为，显然，
联立方程，消去得，
由直线与轨迹有且只有一个公共点，
且与双曲线的两条渐近线分别相交可知直线与双曲线的渐近线不平行，
所以，且，
于是得，得，
双曲线的渐近线方程为，
设，，
，消去得，
，，
，
当直线的斜率不存在时，，也成立，
又，，
在中，由余弦定理，
的周长为：
，
当且仅当时取等号，
的周长的最小值为．
【规律方法】
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：
几何法:即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；
代数法:即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
利用几何关系求最值的解题策略:
（1）抓住图形中的定点与定长，通常与求最值相关
（2）遇到线段和差的最值，经常在动点与定点共线的时候取到。因为当动点与定点不共线时，便可围成三角形，从而由三角形性质可知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，无法取得最值。所以只有共线时才有可能达到最值。要注意动点与定点相对位置关系。一般的，寻找线段和的最小值，则动点应在定点连成的线段上；若寻找线段差的最小值，则动点应在定点连成的线段延长线上。
（3）若所求线段无法找到最值关系，则可考虑利用几何关系进行线段转移，将其中某些线段用其它线段进行表示，进而找到最值位置
（4）处理多个动点问题时，可考虑先只让一个动点运动，其他动点不动，观察此动点运动时最值选取的规律，再根据规律让其他点动起来，寻找最值位置。
利用代数关系求最值的解题策略:
（1）参数法：根据曲线方程的特点，用适当的参数表示曲线上点的坐标；将目标函数表示成关于参数的函数；把所求的最值归结为求解关于这个参数的函数的最值.
（2）基本不等式法：将所求最值的量用变量表示出来，用基本不等式求这个表达式的最值，并且使用基本不等式求出最值.
（3）函数法：把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数；通过研究这个函数求最值，是求各类最值最为普遍的方法.
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探究1：取值范围问题
【典例剖析】
例1.(2021·浙江卷)如图，已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，且．
求抛物线方程；
设过点的直线交抛物线于两点，若斜率为的直线与直线轴依次交于点，且满足，求直线在轴上截距的取值范围．
【变式训练】
练1-1(2022·辽宁省葫芦岛市一模)已知椭圆：过点，，分别为椭圆的左、右焦点．请从下面两个条件中选择一个补充到题中，并完成下列问题．
条件①：；条件②：离心率．
求椭圆的标准方程；
若直线：与圆：相切，且与椭圆交于，两点，求面积的取值范围．
练1-2(2022·江苏省四市调研)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，准线为，过点且斜率大于的直线交抛物线于，两点，过线段的中点且与轴平行的直线依次交直线，，于点，，．
判断线段与长度的大小关系，并证明你的结论；
若线段上的任意一点均在以点为圆心、线段长为半径的圆内或圆上，求直线斜率的取值范围．
【规律方法】
解答圆锥曲线中的取值范围问题的策略
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围,求新参数的范围,核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求值域的方法将待求量表示为其它变量的函数求值域,从而求出参数的取值范围。
探究2：最值问题
【典例剖析】
例2.(2022·浙江卷)如图，已知椭圆设，是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线，分别交直线于，两点．
求点到椭圆上点的距离的最大值
求的最小值．
【变式训练】
练2-1(2022·湖南省株洲市模拟)在平面直角坐标系中，已知定点，动点满足：以为直径的圆与轴相切，记动点的轨迹为曲线．
Ⅰ求曲线的方程；
Ⅱ过定点作两条互相垂直的直线、，直线、与曲线分别交于两点、与两点、，求四边形面积的最小值．
练2-2(2022·湖南省联考)已知双曲线：的左、右焦点分别为、，双曲线的右顶点在圆：上，且．
求双曲线的标准方程；
动直线与双曲线恰有个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，设为坐标原点，求周长的最小值．
【规律方法】
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：
几何法:即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；
代数法:即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
利用几何关系求最值的解题策略:
（1）抓住图形中的定点与定长，通常与求最值相关
（2）遇到线段和差的最值，经常在动点与定点共线的时候取到。因为当动点与定点不共线时，便可围成三角形，从而由三角形性质可知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，无法取得最值。所以只有共线时才有可能达到最值。要注意动点与定点相对位置关系。一般的，寻找线段和的最小值，则动点应在定点连成的线段上；若寻找线段差的最小值，则动点应在定点连成的线段延长线上。
（3）若所求线段无法找到最值关系，则可考虑利用几何关系进行线段转移，将其中某些线段用其它线段进行表示，进而找到最值位置
（4）处理多个动点问题时，可考虑先只让一个动点运动，其他动点不动，观察此动点运动时最值选取的规律，再根据规律让其他点动起来，寻找最值位置。
利用代数关系求最值的解题策略:
（1）参数法：根据曲线方程的特点，用适当的参数表示曲线上点的坐标；将目标函数表示成关于参数的函数；把所求的最值归结为求解关于这个参数的函数的最值.
（2）基本不等式法：将所求最值的量用变量表示出来，用基本不等式求这个表达式的最值，并且使用基本不等式求出最值.
（3）函数法：把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数；通过研究这个函数求最值，是求各类最值最为普遍的方法.
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