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拓展专题10 定点、定值问题
探究1：定点问题
【典例剖析】
例1.(2022·全国乙卷理科)已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过，两点
求的方程
设过点的直线交于，两点，过且平行于的直线与线段交于点，点满足，证明：直线过定点．
【解析】 设的方程为，将，两点代入得
，解得，，故E的方程为．
由，可得直线
若过的直线的斜率不存在，直线为代入，可得，
，将代入，可得，由，
得易求得此时直线过点；
若过的直线的斜率存在，设，，。
联立，得，
故有，且
联立，可得，，
可求得此时
将代入整理得
将式代入，得，
显然成立．
综上，可得直线过定点．
【变式训练】
练1-1(2022·湖北省联考)设，为双曲线的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形．
求双曲线的离心率；
已知直线，分别交直线于两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【解析】 由轴时， 为等腰直角三角形，可得，
所以，即，故，
结合，解得．故双曲线的离心率为．
因为，所以双曲线，
显然直线的斜率不为，设直线，，，
联立直线与双曲线的方程得化简得，
根据根与系数的关系，得，，
所以，，
，，
设直线，直线，令，可得，
设是以为直径的圆上的任意一点，则，
则以为直径的圆的方程为，
由对称性可得，若存在定点，则一定在轴上，
令，可得，即，
将代入，可得，即，
解得或，所以以为直径的圆过定点，．
练1-2(2022·广东省广州市联考)已知线段是抛物线的弦，且过抛物线焦点．
过点作直线与抛物线对称轴平行，交抛物线的准线于点，求证：、、三点共线为坐标原点；
设是抛物线准线上一点，过作抛物线的切线，切点为、．
求证：两切线互相垂直；直线过定点，请求出该定点坐标
【解析】证明：依题意可知，抛物线焦点，准线方程为，
直线不可能与轴重合，可设为，，，则.
联立直线与抛物线方程得，有，
故斜率，斜率，
故A、、三点共线．
证明：设点，易知过点所作抛物线切线的斜率必存在，
可设切线方程为，与抛物线方程联立得
令，所得关于的二次方程必有两根，
分别记为，，即为切线、的斜率，有,，故切线与互相垂直．
另设切点，，
由中所求，将代入方程，得，则，同理，
当，此时，直线方程恰为，
当，此时，直线方程为
，
，即，
综上，直线直线方程为，必过定点．
练1-3(2022·湖北省武汉市联考)已知椭圆的离心率为，的长轴的左、右端点分别为、，与圆上点的距离的最大值为．
求椭圆的方程
一条不垂直坐标轴的直线交于、两点、位于轴两侧，设直线C、C、D、的斜率分别为、、、，满足，问直线是否经过定点，若过定点，求出该定点，否则说明理由．
【解析】设，由题意知：，
又，椭圆方程为：．
设直线的方程为：联立方程得：
，设、，，，
，，同理：，
，
，即，
,
,
,
，或．
显然直线不过点，所以直线过定点.
【规律方法】
解答圆锥曲线的定点问题的策略
参数法：①动直线过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将用表示为，得，故动直线过定点．
②动曲线过定点问题，
解法：引入参变量建立曲线的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点。
由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。
答题模板：
第一步：把直线或曲线方程中的变量当作常数看待，把方程一端化为零；
第二步：参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于的方程组；
第三步：方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以通过特例探求；
第四步：用一般化方法证明。
探究2：定值问题
【典例剖析】
例2.(2020·新高考1卷)已知椭圆的离心率为，且过点．
求的方程
点，在上，且，，为垂足证明：存在定点，使得为定值．
【解析】解：由题意可知，，，解得，，所以椭圆方程为．
证明：设点，，
因为，所以，所以，
当存在的情况下，设，联立，得，
由，得，由根与系数的关系得，，
所以，，
代入式化简可得，即，
所以或，所以直线方程为或，所以直线过定点或，
又因为和点重合，故舍去，所以直线过定点，
所以为定值，又因为为直角三角形，为斜边，
所以中点满足为定值，此时．
【变式训练】
练2-1(2022·湖北省武汉市联考)如图，已知圆，点，以线段为直径的圆内切于圆，点的集合记为曲线．
求曲线的方程
已知直线，，过点的直线与交于两点，与直线交于点，记斜率分别为，问：是否为定值？若是，给出证明，并求出定值；若不是，说明理由．
【解析】 设的中点为，切点为，连接，
取关于轴的对称点，连接，则，
故
所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆．
其中，则曲线的方程为．
设依题意，直线的斜率必定存在，
设，将其与椭圆方程联立：
由韦达定理得：，
易得点，，同理，
，而，
由得：，代入得：，
所以：．
练2-2(2022·湖南省长沙市联考)已知双曲线：和点
斜率为且过原点的直线与双曲线交于，两点，求最小时的值；
过点的动直线与双曲线交于，两点，若曲线上存在定点，使为定值，求点的坐标及实数的值．
【解析】 由对称性可设，，
则．
因为点在双曲线上，所以，
所以，，所以，
当时，，为直角；
当时，，为钝角，
所以最小时，，
由题意易知过点的动直线的斜率存在，
故设，过点的动直线为．
设，，联立得，
所以
由，且，解得且．
，即，即，
化简，得，
所以，
化简，得，
由于上式对无穷多个不同的实数都成立，所以
将代入，得，从而
如果，那么，此时不在双曲线上，舍去．
因此，从而，代入，解得，．
此时在双曲线上．
综上，，或，
练2-3(2022·湖北省四校联考)已知抛物线：的焦点为，点在上，．
求；
过作两条互相垂直的直线，，与交于，两点，与直线交于点，判断是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由．
【解析】因为点在上，所以，
因为，所以得，
由解得，所以．
由知抛物线的方程为，焦点坐标为，
当直线与轴平行时，此时的方程为，的方程为，
得，，，
此时为等腰直角三角形且，故．
当直线与轴不平行且斜率存在时，
若为定值，则定值必为，下面证明．
要证明，只需证明，
只需证，即，
设直线的斜率为，则直线的方程为，直线的方程为，
联立直线的方程与抛物线方程得，
设，，则，，
所以，，
联立方程得，所以，
所以
，
所以，即，所以．
综上，为定值，．
【规律方法】
圆锥曲线中的定值问题，是指目标几何量（或代数式）在不受题设动曲线（含直线）的影响，总保持固定值的一类问题.其处理方法与定点问题相似。
圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．
(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
求定值问题常见的解题模板有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
(2)引进变量法：其解题流程为：
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探究1：定点问题
【典例剖析】
例1.(2022·全国乙卷理科)已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过，两点
求的方程
设过点的直线交于，两点，过且平行于的直线与线段交于点，点满足，证明：直线过定点．
【变式训练】
练1-1(2022·湖北省联考)设，为双曲线的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形．
求双曲线的离心率；
已知直线，分别交直线于两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
练1-2(2022·广东省广州市联考)已知线段是抛物线的弦，且过抛物线焦点．
过点作直线与抛物线对称轴平行，交抛物线的准线于点，求证：、、三点共线为坐标原点；
设是抛物线准线上一点，过作抛物线的切线，切点为、．
求证：两切线互相垂直；直线过定点，请求出该定点坐标
练1-3(2022·湖北省武汉市联考)已知椭圆的离心率为，的长轴的左、右端点分别为、，与圆上点的距离的最大值为．
求椭圆的方程
一条不垂直坐标轴的直线交于、两点、位于轴两侧，设直线C、C、D、的斜率分别为、、、，满足，问直线是否经过定点，若过定点，求出该定点，否则说明理由．
【规律方法】
解答圆锥曲线的定点问题的策略
参数法：①动直线过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将用表示为，得，故动直线过定点．
②动曲线过定点问题，
解法：引入参变量建立曲线的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点。
由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。
答题模板：
第一步：把直线或曲线方程中的变量当作常数看待，把方程一端化为零；
第二步：参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于的方程组；
第三步：方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以通过特例探求；
第四步：用一般化方法证明。
探究2：定值问题
【典例剖析】
例2.(2020·新高考1卷)已知椭圆的离心率为，且过点．
求的方程
点，在上，且，，为垂足证明：存在定点，使得为定值．
【变式训练】
练2-1(2022·湖北省武汉市联考)如图，已知圆，点，以线段为直径的圆内切于圆，点的集合记为曲线．
求曲线的方程
已知直线，，过点的直线与交于两点，与直线交于点，记斜率分别为，问：是否为定值？若是，给出证明，并求出定值；若不是，说明理由．
练2-2(2022·湖南省长沙市联考)已知双曲线：和点
斜率为且过原点的直线与双曲线交于，两点，求最小时的值；
过点的动直线与双曲线交于，两点，若曲线上存在定点，使为定值，求点的坐标及实数的值．
练2-3(2022·湖北省四校联考)已知抛物线：的焦点为，点在上，．
求；
过作两条互相垂直的直线，，与交于，两点，与直线交于点，判断是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由．
【规律方法】
圆锥曲线中的定值问题，是指目标几何量（或代数式）在不受题设动曲线（含直线）的影响，总保持固定值的一类问题.其处理方法与定点问题相似。
圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．
(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
求定值问题常见的解题模板有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
(2)引进变量法：其解题流程为：
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