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拓展专题11 圆锥曲线中的探究性问题
探究1：探究常数值的存在性
【典例剖析】
例1.(2022·浙江省联考)已知圆，直线与轴不重合过点交圆于、两点，过点作直线的平行线交直线于点．
证明：为定值，并求点的轨迹方程
设点的轨迹方程为，直线与曲线交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，是否存在实常数，使得，若存在，求出的值若不存在，请说明理由．
【变式训练】
练1-1(2022·河北省模拟)已知抛物线，点，为抛物线上的动点，直线为抛物线的准线，点到直线的距离为，的最小值为．
求抛物线的方程
直线与抛物线相交于，两点，与轴相交于点，当直线，的斜率存在，设直线，，的斜率分别为，，，是否存在实数，使得，若存在，求出若不存在，说明理由．
练1-2(2022·江苏省盐城市四校联考)已知椭圆：的右焦点在直线上，且离心率为．
求椭圆的方程；
设，，过点的直线与椭圆交于另一点异于点，与直线交于一点，的角平分线与直线交于点，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【规律方法】
解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，如果推出矛盾就不存在，否则就存在。
解题策略：
（1）通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化，其步骤为：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于特定参数的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在，否则（点、直线、曲线或参数）不存在；
（2）反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法．
探究2：探究特殊点的存在性
【典例剖析】
例2.(2022·浙江省杭州市联考)已知双曲线的离心率为，且点在上．
求双曲线的方程
试问：在双曲线的右支上是否存在一点，使得过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，且若存在，求出点若不存在，请说明理由．
【变式训练】
练2-1(2022·江苏省百校大联考)已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．
求椭圆的方程：
若椭圆的左顶点为，右焦点是点是椭圆上的点异于左右顶点，为线段的中点，过作直线的平行线延长交椭圆于，连结交直线于点．
求证：直线过定点．
是否存在定点，，使得为定值若存在，求出，的坐标：若不存在，说明理由．
练2-2(2022·山东省临沂市二模)已知抛物线：的焦点为,抛物线上的一点的横坐标为，为坐标原点，．
求抛物线的方程；
若一直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，点为直线上的动点．
求证：；
是否存在这样的点，使得为正三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
【规律方法】
解决是否存在点的问题时，可依据条件直接探究其结果，也可以举特例，然后再证明。
解题策略：
第一步：假设结论存在；
第二步：结合已知条件进行推理求解；
第三步：若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设；
第四步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范．
探究3：探究直线的存在性
【典例剖析】
例3.(2022·湖北省四校联考)已知椭圆：的焦距为，上顶点为，右焦点为，原点到直线的距离为．
求椭圆的方程；
过点的直线与交于，两点，过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，与交于点，是否存在直线使得的面积等于，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【变式训练】
练3-1(2021·广东省七校联考)已知双曲线的焦距为，坐标原点到直线的距离是，其中，的坐标分别为，．
求双曲线的方程；
是否存在过点的直线与双曲线交于，两点，使得构成以为顶点的等腰三角形？若存在，求出所有直线的方程；若不存在，请说明理由．
练3-2(2022·山东省淄博市二模)已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，
且．
求实数的值及抛物线的标准方程
不过点的直线与抛物线相交于，两点若直线，的斜率之积为，试判断直线能否与圆相切若能，求此时直线的方程若不能，请说明理由．
【规律方法】
解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解。
解题策略：
第一步：设出直线方程；
第二步：联立直线与圆锥曲线，然后消元得一元二次方程；
第三步：根据题设条件用根的判别式、韦达定理、弦长公式、面积公式等进行运算；
第四步：反思解题过程，检查易错点，规范解题步骤．
2拓展专题11 圆锥曲线中的探究性问题
探究1：探究常数值的存在性
【典例剖析】
例1.(2022·浙江省联考)已知圆，直线与轴不重合过点交圆于、两点，过点作直线的平行线交直线于点．
证明：为定值，并求点的轨迹方程
设点的轨迹方程为，直线与曲线交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，是否存在实常数，使得，若存在，求出的值若不存在，请说明理由．
【解析】 圆的标准方程为，
当时，如图所示，
因为，都在圆上，所以，即，
又因为，所以，
所以，，
所以，
当时，如图所示，
同理可得，，
因此，有，
所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线，
故，，即，，
所以，
为定值，且点的轨迹方程为．
由题知，直线的斜率不为，设，
联立消去得，，
于是，
设，，则有，，
故
，
所以线段的中点为，由题意知，
从而线段的中垂线的方程为，
令得，，，
又，
故，于是，
即存在使得．
【变式训练】
练1-1(2022·河北省模拟)已知抛物线，点，为抛物线上的动点，直线为抛物线的准线，点到直线的距离为，的最小值为．
求抛物线的方程
直线与抛物线相交于，两点，与轴相交于点，当直线，的斜率存在，设直线，，的斜率分别为，，，是否存在实数，使得，若存在，求出若不存在，说明理由．
【解析】 设抛物线的焦点为，根据抛物线的定义，
，由于，解得，
则抛物线的方程为．
易知，设，，将代入抛物线的方程，
整理得，，，
，同理，
则，，
又，所以．
练1-2(2022·江苏省盐城市四校联考)已知椭圆：的右焦点在直线
上，且离心率为．
求椭圆的方程；
设，，过点的直线与椭圆交于另一点异于点，与直线交于一点，的角平分线与直线交于点，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解析】 由题意得，解得，，，
所以椭圆方程为；
设点坐标为，，
因为，，所以点的坐标为，则，
直线的方程为，即，
联立，得，
所以，所以，
所以，
因为的角平分线与直线交于点，
所以，
又，所以，
所以，所以，
所以．
【规律方法】
解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，如果推出矛盾就不存在，否则就存在。
解题策略：
（1）通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化，其步骤为：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于特定参数的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在，否则（点、直线、曲线或参数）不存在；
（2）反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法．
探究2：探究特殊点的存在性
【典例剖析】
例2.(2022·浙江省杭州市联考)已知双曲线的离心率为，且点在上．
求双曲线的方程
试问：在双曲线的右支上是否存在一点，使得过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，且若存在，求出点若不存在，请说明理由．
【解析】因为，所以，即，
又点在双曲线图象上，
所以，即，解得，，
所以双曲线．
由已知点，在以为直径的圆上，
又点，在上，则有方程组
解得直线的方程为，
设直线与渐近线，的交点分别为，，
由解得，由解得，
所以，
又点到直线的距离为，
则三角形的面积．，
又因为，所以．，
由已知，解得，即，因为点在双曲线右支上，解得，
即点或
【变式训练】
练2-1(2022·江苏省百校大联考)已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．
求椭圆的方程：
若椭圆的左顶点为，右焦点是点是椭圆上的点异于左右顶点，为线段的中点，过作直线的平行线延长交椭圆于，连结交直线于点．
求证：直线过定点．
是否存在定点，，使得为定值若存在，求出，的坐标：若不存在，说明理由．
【解析】 设椭圆的焦距为，
因为椭圆的离心率为，所以，所以，
因为以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为，
所以，所以，，，
所以的方程为．
证明：由，得，．
设，则
当时，直线的方程为，即，
当时，直线的方程为．
此时，直线过定点．
解法存在定点，满足题意．
当时，直线的方程为．
由得，
因为，所以，
，即
因为，为线段的中点，所以为线段的中点，
所以
因为，，
所以，所以．
记椭圆的左焦点为，
因为，，
所以，所以所以．
当时，由，得，
，，所以．
综上可知存在定点，满足题意．
解法存在定点，满足题意．
由，得．
记椭圆的左焦点为，则的中点为，
又点为的中点，所以，
所以．
综上可知存在定点，满足题意．
练2-2(2022·山东省临沂市二模)已知抛物线：的焦点为,抛物线上的一点的横坐标为，为坐标原点，．
求抛物线的方程；
若一直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，点为直线上的动点．
求证：；
是否存在这样的点，使得为正三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】 的横坐标为，
过作轴于点，，，且，
，得．
抛物线的方程为．
设方程为，．
由得，
，，，
，．
，，
．
假设存在点，使得为正三角形，取中点为，连接，
则，，且，．
当时，斜率不存在，由抛物线对称性知的坐标为，
此时不是正三角形，
当时，，，
由，得，
解得． ．
，
又，
由得，
所以存在点使得为正三角形．
【规律方法】
解决是否存在点的问题时，可依据条件直接探究其结果，也可以举特例，然后再证明。
解题策略：
第一步：假设结论存在；
第二步：结合已知条件进行推理求解；
第三步：若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设；
第四步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范．
探究3：探究直线的存在性
【典例剖析】
例3.(2022·湖北省四校联考)已知椭圆：的焦距为，上顶点为，右焦点为，原点到直线的距离为．
求椭圆的方程；
过点的直线与交于，两点，过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，与交于点，是否存在直线使得的面积等于，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】 由题意知，，
设，则直线的方程，即，
因为点到直线的距离为，所以，
解得，，，所以椭圆的方程为
依题意，当直线斜率不存在或为时，不符合题意；
当直线斜率存在且不为时，设直线方程为，
联立，得，易知．
设，，则，，
因为轴，轴，所以，，
所以直线：，直线：，
联立解得，
因为，与直线平行，
所以，
因为，所以
，
由，得，解得或舍，
故存在直线的方程为，使得的面积等于
【变式训练】
练3-1(2021·广东省七校联考)已知双曲线的焦距为，坐标原点到直线的距离是，其中，的坐标分别为，．
求双曲线的方程；
是否存在过点的直线与双曲线交于，两点，使得构成以为顶点的等腰三角形？若存在，求出所有直线的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】 由题知：，，
因为，的坐标分别为，，直线的方程为，即，
原点到直线的距离，解得，
，所以双曲线的方程为．
由知点坐标为，
设直线为，，，
由得，
因直线与双曲线有两个交点，所以，
所以，，
，
要使得成以为顶点的等腰三角形，则，
取中点，点坐标为，即，
，即，解得或，
所以直线的方程为或．
练3-2(2022·山东省淄博市二模)已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，
且．
求实数的值及抛物线的标准方程
不过点的直线与抛物线相交于，两点若直线，的斜率之积为，试判断直线能否与圆相切若能，求此时直线的方程若不能，请说明理由．
【解析】 由抛物线的方程可知，抛物线的焦点为，
因为点在抛物线上，所以，
又，由抛物线定义可知，
联立解得，，，抛物线的标准方程为．
由知，设直线，与的交点为，，
联立，得，所以，，
因为，且，，
所以，即，所以，
直线的方程为，直线恒过定点，
若直线能与圆相切，则有，即，解得，
所以直线的方程为，即，
故直线能够与圆相切，满足要求的圆的切线只有一条，
此时直线的方程为经检验该直线与抛物线有两个不同交点．
【规律方法】
解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解。
解题策略：
第一步：设出直线方程；
第二步：联立直线与圆锥曲线，然后消元得一元二次方程；
第三步：根据题设条件用根的判别式、韦达定理、弦长公式、面积公式等进行运算；
第四步：反思解题过程，检查易错点，规范解题步骤．
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