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专题11 等差数列、等比数列
探究1：等差、等比数列的判定与证明
【典例剖析】
例1.(2022·安徽省合肥市模拟) 已知数列的前项和为，若，且
，则( )
A. B. C. D.
【解析】因为，
所以当时，有，即．
当时，有，
①-②得：，所以，
即，
所以从第二项起公比为的等比数列．
所以，即．
因为，所以，所以．
所以，解得：．
故本题选B．
【变式训练】
练1-1(2022·湖南省衡阳市一模) 在单调递增数列中，已知，，且，，成等比数列，，，成等差数列，那么 ．
【解析】因为数列单调递增，，故，
由已知条件得，，
化简可得，
在等式左右两边同时除以，化简得，
故数列为等差数列．，
所以数列的首项为，公差为，
故，即，
因为，可得．
故当为偶数时，当为奇数时，．
所以．
练1-2(2021·江苏省南京市模拟) 设非常数数列满足，，其中常数，均为非零实数，且．
证明：数列为等差数列的充要条件是；
已知，，，，求证：数列与数列中没有相同数值的项．
【解析】已知数列，,
①充分性：若，则有，得，
所以为等差数列．
②必要性：若为非常数等差数列，可令，
代入，得．
化简得，即．
因此，数列为等差数列的充要条件是．
由已知得 ．
又因为，可知数列为等比数列，
所以．
从而有时，，．
于是由上述两式，得．
由指数函数的单调性可知，对于任意，．
所以，数列中项均小于等于．
而对于任意的时，，所以数列中项均大于．
因此，数列与数列中没有相同数值的项．
【规律方法】
1．等差数列的四个判定方法
(1)定义法：(常数)() 是等差数列．
(2)等差中项法： 是等差数列．
(3)通项公式法：(为常数，) 是等差数列．
(4)前项和公式法：(为常数，) 是等差数列．
2．等比数列的四个判定方法
(1)定义法(是不为0的常数，) 是等比数列．
(2)等比中项法：(，) 是等比数列．
(3)通项公式法：(均是不为0的常数，) 是等比数列．
(4)前项和公式法：(为常数)，则是等比数列．
注意：(1)定义法和等比中项法主要适合在解答题中使用，通项公式法和前n项和公式法主要适合在选择题或填空题中使用．
(2)若要判定一个数列不是等差（比）数列，则只需判定存在连续三项不成等差（比）数列即可．
探究2：等差、等比数列的性质应用
【典例剖析】
例2.(2022·山东省菏泽市一模) 已知等比数列各项均为正数，且满足：，，记，则使得的最小正整数为( )
A. B. C. D.
【解析】由得，
则或，
又，所以或，
即公比，则，
又，且，则，
所以，
，
，
使得的最小正整数为．
故答案选：．
【变式训练】
练2-1(2021·四川省攀枝花市联考)正项等比数列中的是函数的极值点，则( )
A. B. C. D.
【解析】，
，
，是函数的极值点，
，又，
．
．
故选：．
练2-2(2021·湖北省部分重点中学高三期末) 设等比数列的前项和为，首项，且，已知，，若存在正整数，，使得，，成等差数列，则的最小值为( )
A. B. C. D.
【解析】数列是等比数列，且首项，，
则，
化简得：，
，．
则．
又，，成等差数列，，
上式两边同时除以，得，当且仅当时，取等号，
整理可得，
又，，满足条件，使得，此时，．
故选：．
【规律方法】
3.等差数列的常用性质
已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．
(1)等差数列中，当时， ()．
特别地，若，则()．
(2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即，，，…仍是等差数列，公差为()．
(3)也成等差数列，其首项与首项相同，公差为.
(4)，，…也成等差数列，公差为.
（5）若数列,均为等差数列且其前项和分别为,,则
3.等比数列的性质
设数列是等比数列，是其前项和．
(1)若，则，其中.特别地，若，则，其中.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为()．
(3)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列．
探究3：等差、等比数列与其它知识的综合应用
【典例剖析】
例3.( 2022·安徽省蚌埠市模拟) 已知函数，若函数，则函数的图象的对称中心为 若数列为等差数列，，
．
【解析】因为，
所以，
又，
所以，即，
所以函数为奇函数，关于中心对称，
所以的图象的对称中心为；
因为等差数列中，，所以，得，，
，
因为的图象的对称中心为，
所以，，，
，，
因为，
所以，
故答案为：，．
【变式训练】
练3-1(2022·辽宁省沈阳市联考·多选) 记数列的前项和为，已知，在数集中随机抽取一个数作为，在数集中随机抽取一个数作为在这些不同数列中随机抽取一个数列，下列结论正确的是( )
A. 是等差数列的概率为 B. 是递增数列的概率为
C. 是递减数列的概率为 D. 的概率为
【解析】，当时，，
当时，．
若是等差数列，则，，
因此，只需要在数集中抽到即可，概率为，故A正确．
若是递增数列，则，且，即，解得，
，或，是递增数列的概率为，故B正确
与证结论同理可得C错误．
由已知得，如果，则，满足，概率为
如果，是的最小值，则，概率为，
的概率为，故D错误．
故选：AB.
练3-2(2022·湖北省武汉市联考) 设，圆：与轴正半轴的交点为，与曲线的交点为，直线与轴的交点为，若数列的通项公式为，要使数列成等比数列，则常数 ．
【解析】因为圆：与曲线的交点为，
所以，即，
由题可知，点的坐标为，
由直线方程的截距式可得直线的方程为：．
由点在直线上得：．
将，代入
并化简得：，
即，
所以，
，
令，得：
，
由等式对任意 恒成立得：
即
解得或
故当时，数列成公比为的等比数列，
当时，数列成公比为的等比数列．
故答案为：或．
【规律方法】
等差数列与等比数列作为两种基本的数列,是高考中数列考查的重点，考查的形式主要有等差数列、等比数列的实际应用以及等差数列、等比数列与其他知识的综合，及创新性问题.不管如何考查，都应从最基本的概念的角度出发理解数列问题，从数列问题的本质出发思考问题，从研究数列的一般方法出发解决问题.
1.关注两种基本方法:研究等差数列、等比数列的基本方法就是“基本量法”及活用好它们的“对称性”；
2.领悟等差数列、等比数列的两类本质:等差数列、等比数列是两类特殊数列,又是两类特殊的函数,要从“函数”的角度理解“数列”；
3.分类讨论思想以及函数与方程的思想是解决数列问题所经常使用的两类数学思想.
共8页/第1页专题11 等差数列、等比数列
探究1：等差、等比数列的判定与证明
【典例剖析】
例1.(2022·安徽省合肥市模拟) 已知数列的前项和为，若，且
，则( )
A. B. C. D.
【变式训练】
练1-1(2022·湖南省衡阳市一模) 在单调递增数列中，已知，，且，，成等比数列，，，成等差数列，那么 ．
练1-2(2021·江苏省南京市模拟) 设非常数数列满足，，其中常数，均为非零实数，且．
证明：数列为等差数列的充要条件是；
已知，，，，求证：数列与数列中没有相同数值的项．
【规律方法】
1．等差数列的四个判定方法
(1)定义法：(常数)() 是等差数列．
(2)等差中项法： 是等差数列．
(3)通项公式法：(为常数，) 是等差数列．
(4)前项和公式法：(为常数，) 是等差数列．
2．等比数列的四个判定方法
(1)定义法(是不为0的常数，) 是等比数列．
(2)等比中项法：(，) 是等比数列．
(3)通项公式法：(均是不为0的常数，) 是等比数列．
(4)前项和公式法：(为常数)，则是等比数列．
注意：(1)定义法和等比中项法主要适合在解答题中使用，通项公式法和前n项和公式法主要适合在选择题或填空题中使用．
(2)若要判定一个数列不是等差（比）数列，则只需判定存在连续三项不成等差（比）数列即可．
探究2：等差、等比数列的性质应用
【典例剖析】
例2.(2022·山东省菏泽市一模) 已知等比数列各项均为正数，且满足：，，记，则使得的最小正整数为( )
A. B. C. D.
【变式训练】
练2-1(2021·四川省攀枝花市联考)正项等比数列中的是函数的极值点，则( )
A. B. C. D.
练2-2(2021·湖北省部分重点中学高三期末) 设等比数列的前项和为，首项，且，已知，，若存在正整数，，使得，，成等差数列，则的最小值为( )
A. B. C. D.
【规律方法】
3.等差数列的常用性质
已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．
(1)等差数列中，当时， ()．
特别地，若，则()．
(2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即，，，…仍是等差数列，公差为()．
(3)也成等差数列，其首项与首项相同，公差为.
(4)，，…也成等差数列，公差为.
（5）若数列,均为等差数列且其前项和分别为,,则
3.等比数列的性质
设数列是等比数列，是其前项和．
(1)若，则，其中.特别地，若，则，其中.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为()．
(3)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列．
探究3：等差、等比数列与其它知识的综合应用
【典例剖析】
例3.( 2022·安徽省蚌埠市模拟) 已知函数，若函数，则函数的图象的对称中心为 若数列为等差数列，，
．
【变式训练】
练3-1(2022·辽宁省沈阳市联考·多选) 记数列的前项和为，已知，在数集中随机抽取一个数作为，在数集中随机抽取一个数作为在这些不同数列中随机抽取一个数列，下列结论正确的是( )
A. 是等差数列的概率为 B. 是递增数列的概率为
C. 是递减数列的概率为 D. 的概率为
练3-2(2022·湖北省武汉市联考) 设，圆：与轴正半轴的交点为，与曲线的交点为，直线与轴的交点为，若数列的通项公式为，要使数列成等比数列，则常数 ．
【规律方法】
等差数列与等比数列作为两种基本的数列,是高考中数列考查的重点，考查的形式主要有等差数列、等比数列的实际应用以及等差数列、等比数列与其他知识的综合，及创新性问题.不管如何考查，都应从最基本的概念的角度出发理解数列问题，从数列问题的本质出发思考问题，从研究数列的一般方法出发解决问题.
1.关注两种基本方法:研究等差数列、等比数列的基本方法就是“基本量法”及活用好它们的“对称性”；
2.领悟等差数列、等比数列的两类本质:等差数列、等比数列是两类特殊数列,又是两类特殊的函数,要从“函数”的角度理解“数列”；
3.分类讨论思想以及函数与方程的思想是解决数列问题所经常使用的两类数学思想.
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