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专题12 数列求和及其综合应用
探究1：裂项相消法
【典例剖析】
例1.(2022·浙江省金丽衢十二校联考) 已知递增的等差数列满足：，且，，成等比数列数列满足：，其中为的前项和．
Ⅰ求数列，的通项公式
Ⅱ设，为数列的前项和，是否存在实数，使得不等式对一切恒成立若存在，求出的值若不存在，说明理由．
【变式训练】
练1-1(2022·江苏省南通市月考) 已知等差数列满足，，其中是数列的前项和．
求数列的通项；
令，证明：．
练1-2(2022·山东省潍坊市联考) 已知数列满足，，记为数列的前项和，则( )
A. B. C. D.
【规律方法】
数列求和就是通过观察分析数列的类型,变形得出熟悉的等差、等比数列,或者构建出数列的模型,找到求和的方法. 裂项相消法较为灵活，一方面对数列的通项公式进行裂项求和，故要熟悉常见的裂项的形式；另一方面对于本来无法裂项的数列，进行适当放缩使数列可进行裂项求和.
技巧策略：(1)常见的裂项相消法主要是将数列的通项分解成两个式子(或多个式子)的差的形式,借助裂开的项进行合理抵消,方便运算;
(2)裂项相消中要注意抵消了哪些项,保留了哪些项,不要出现遗漏或增加;
(3)消项规律:对称抵消(消项后前边剩几项(或第几项),后边就剩几项(或倒数第几项)).
常见方法有：
1.常见的裂项形式：要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．
①若为等差数列，则，即分母为同一个等差数列中的两项相乘即可裂项；
②； ③；
④；⑤；
⑥；⑦；
⑧；
2.放缩后裂项
①；②；
③；④.
探究2：并项求和
【典例剖析】
例2.(2022·广东省模拟) 已知数列的各项均不为零，为其前项和，且．
证明：
若，数列为等比数列，，求数列的前项和．
【变式训练】
练2-1(2022·江苏省苏州市联考) 已知数列各项均为正数，且，．
求的通项公式；
设，求．
练2-2(2022·重庆市模拟) 已知函数其中在区间上单调递减．
求出的取值范围
将的图像向左平移个单位就得到函数的图像，记，若恰为偶函数，求数列前项和的表达式．
【规律方法】
并项求和法适用范围：数列不能直接求和, 但是可以将几项进行求和(类似于周期性质),然后再进行整体求和.
①当数列中常含有或者等符号时,则其项常常体现为正负项间隔出现,此时常将相邻的正负两项(或三项等)并成一组,然后求和，或者考虑将数列分组为奇数项数列和偶数项数列,然后采用分组求和法；
②当数列中含有的形式,或者的形式,将两项或三项的和并成一项, 构成一个新的数列再求和, 再由新数列的通项公式选择合适的求和方法.
探究3：数列求和的其他方法
【典例剖析】
例3.( 2022·福建省泉州市期中) 已知数列的前项和为，且是公差为的等差数列．
求证：是等差数列；
用表示，中的最大值，若，，求数列的前项和．
【变式训练】
练3-1(2022·广东省月考) 已知等差数列中，，设函数，
记，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
练3-2(2022·浙江省模拟) 已知数列与满足，
，且．
设，，求，并证明：数列是等比数列；
设为的前项和，求．
【规律方法】
常用的数列求和方法：直接利用两个特殊数列(等差数列或等比数列)的前项和公式、列举法、分组转化法、并项求和法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法.
①列举法：列举法主要应用于数列项数较少的数列求和问题,通过列举出数列中的各项后加以数列求和.而在实际解题过程中,若一直没有想到其他思路,也可以借助列举法来思考,在列举法的基础上进行分析与归纳,再采用合适的方法来处理.
②倒序相加法：若一个数列的首项、尾项能构建出特殊的关系,则可以反向构建关系,先把数列倒着写一遍再和原来的数列相加,从而得到题中所证或所求.
③分组求和法：当所求解的数列本身不是特殊数列,而通过适当拆分并重新组合后,可以分成若干个特殊数列，分别求和.
④错位相减法：对一个由等差数列和等比数列对应项之积组成的数列的前项和问题,常用错位相减法求和.这种
方法主要用于求数列的前项和,其中、分别是等差数列和等比数列,等式两端同时乘以公比后进行错位相减,再利用等比数列的求和公式加以转化即可.
探究4：数列求和的综合问题
【典例剖析】
例4.( 2022·江苏省南京市联考·多选) 已知数列的前项和为，，且
，则
A. B. C. D.
【变式训练】
练4-1(2022·广东省佛山市模拟) 某科技研发公司年全年投入的研发资金为万元，在此基础上，计划每年投入的研发资金比上一年增加，则该公司全年投入的研发资金开始超过万元的年份是( )
参考数据：，，，
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
练4-2(2022·江苏省模拟) 若一个数列的第项等于这个数列的前项的乘积，则称该数列为“积数列”若各项均为正数的等比数列是一个“积数列”，且，则当其前项的乘积取最大值时的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
练4-3(2022·安徽省皖江名校联盟联考) 已知函数．
若，求函数在上的单调区间
求证：．
【规律方法】
将函数、导数、数列、不等式结合的综合问题是近年来高考的热门题型.常见的综合类型有：①数列间的综合；②将问题化归为基本数列的求和问题；③数列与其他知识的综合（函数方程、不等式、导数、解几、新情景问题等）.
考查的思路方法：
1.数列与函数的综合问题：常以基础知识的考查为立足点,以函数关系引入数列中的量,然后转化为方程,最
终归结为等差或等比数列问题.
2.数列是特殊的函数,要多利用函数思想解决数列问题.数列的单调性、最值问题都可以利用把，看作是的函数求解.
3.数列与不等式的综合问题：通常是由等差、等比进行复合变形后得到的新数列的求和问题,解答时需要合理变形,常用到放缩法.
4.数列与三角、解析几何、概率等都可以综合在一起考查,关键是构造数列,而后用数列知识解决即可.
5.数列与实际问题:建立有关等差、等比数列或递推数列的模型,再利用数列的有关知识解决问题.常见的有利息、产量、降升价、繁殖与增长率或降低率,分期付款、期货贸易等等.
共7页/第1页专题12 数列求和及其综合应用
探究1：裂项相消法
【典例剖析】
例1.(2022·浙江省金丽衢十二校联考) 已知递增的等差数列满足：，且，，成等比数列数列满足：，其中为的前项和．
Ⅰ求数列，的通项公式
Ⅱ设，为数列的前项和，是否存在实数，使得不等式对一切恒成立若存在，求出的值若不存在，说明理由．
【解析】Ⅰ设的公差为，
由，，成等比数列得，
则，
所以，．
因为，①
当时，
当时，，②
①-②得，，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
Ⅱ，显然，所以，
由得
，
故
显然恒成立，且当时，，
所以存在唯一实数使得不等式对一切恒成立．
【变式训练】
练1-1(2022·江苏省南通市月考) 已知等差数列满足，，其中是数列的前项和．
求数列的通项；
令，证明：．
【解析】数列为等差数列，依题意有，
解得：，，
所以，所以，
证明：，
．
练1-2(2022·山东省潍坊市联考) 已知数列满足，，记为数列的前项和，则( )
A. B. C. D.
【解析】因为，所以，，
所以，
由
，即
根据累加法可得，，当且仅当时取等号，，
，当且仅当，时取等号，
所以．
故选B．
【规律方法】
数列求和就是通过观察分析数列的类型,变形得出熟悉的等差、等比数列,或者构建出数列的模型,找到求和的方法. 裂项相消法较为灵活，一方面对数列的通项公式进行裂项求和，故要熟悉常见的裂项的形式；另一方面对于本来无法裂项的数列，进行适当放缩使数列可进行裂项求和.
技巧策略：(1)常见的裂项相消法主要是将数列的通项分解成两个式子(或多个式子)的差的形式,借助裂开的项进行合理抵消,方便运算;
(2)裂项相消中要注意抵消了哪些项,保留了哪些项,不要出现遗漏或增加;
(3)消项规律:对称抵消(消项后前边剩几项(或第几项),后边就剩几项(或倒数第几项)).
常见方法有：
1.常见的裂项形式：要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．
①若为等差数列，则，即分母为同一个等差数列中的两项相乘即可裂项；
②； ③；
④；⑤；
⑥；⑦；
⑧；
2.放缩后裂项
①；②；
③；④.
探究2：并项求和
【典例剖析】
例2.(2022·广东省模拟) 已知数列的各项均不为零，为其前项和，且．
证明：
若，数列为等比数列，，求数列的前项和．
【解析】因为，
所以，
②-①得，
因为，所以．
由得，于是，
由得的公比．
所以，．
由得．
由得，
因此
．
【变式训练】
练2-1(2022·江苏省苏州市联考) 已知数列各项均为正数，且，．
求的通项公式；
设，求．
【解析】因为，
所以，
因为是各项均为正数的数列，
所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
则；
方法一：，
则，
所以．
方法二：，
则
．
练2-2(2022·重庆市模拟) 已知函数其中在区间上单调递减．
求出的取值范围
将的图像向左平移个单位就得到函数的图像，记，若恰为偶函数，求数列前项和的表达式．
【解析】由题可得，则，
当时，，，
因为在递减，所以，
解得；
将的图像向左平移个单位就得到函数的图像，
因为为偶函数，
所以关于对称，
所以，得，
又由问可知，所以，
则，
当为偶数时，
；
当为奇数时，为偶数，则
；
则．
【规律方法】
并项求和法适用范围：数列不能直接求和, 但是可以将几项进行求和(类似于周期性质),然后再进行整体求和.
①当数列中常含有或者等符号时,则其项常常体现为正负项间隔出现,此时常将相邻的正负两项(或三项等)并成一组,然后求和，或者考虑将数列分组为奇数项数列和偶数项数列,然后采用分组求和法；
②当数列中含有的形式,或者的形式,将两项或三项的和并成一项, 构成一个新的数列再求和, 再由新数列的通项公式选择合适的求和方法.
探究3：数列求和的其他方法
【典例剖析】
例3.( 2022·福建省泉州市期中) 已知数列的前项和为，且是公差为的等差数列．
求证：是等差数列；
用表示，中的最大值，若，，求数列的前项和．
【解析】证明：因为是公差为的等差数列，
所以，
于是当时，，
所以，
可见数列是首项为，公差为的等差数列，
于是，，
又当时，，
所以对，，
当时，，当时也成立，
因此，则是首项为，公差为的等差数列；
解：，又的公差为，所以，
所以
当时，
令，
，
所以
，
所以，
所以当时，，
当时，，
当时，，或直接分别求，，．
综上，．
【变式训练】
练3-1(2022·广东省月考) 已知等差数列中，，设函数，
记，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
【解析】函数，
记，
所以，，，
，，，
所以数列的前项和，①
又，②
因为等差数列中，，所以，
所以
，
同理，，
由①+②可得，
，
则．
故选D．
练3-2(2022·浙江省模拟) 已知数列与满足，
，且．
设，，求，并证明：数列是等比数列；
设为的前项和，求．
【解析】当时，，得①．
当时，，得．②，
②-①得，即
．
，为首项为，公比为的等比数列．
由知：
，
所以，
．
．
【规律方法】
常用的数列求和方法：直接利用两个特殊数列(等差数列或等比数列)的前项和公式、列举法、分组转化法、并项求和法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法.
①列举法：列举法主要应用于数列项数较少的数列求和问题,通过列举出数列中的各项后加以数列求和.而在实际解题过程中,若一直没有想到其他思路,也可以借助列举法来思考,在列举法的基础上进行分析与归纳,再采用合适的方法来处理.
②倒序相加法：若一个数列的首项、尾项能构建出特殊的关系,则可以反向构建关系,先把数列倒着写一遍再和原来的数列相加,从而得到题中所证或所求.
③分组求和法：当所求解的数列本身不是特殊数列,而通过适当拆分并重新组合后,可以分成若干个特殊数列，分别求和.
④错位相减法：对一个由等差数列和等比数列对应项之积组成的数列的前项和问题,常用错位相减法求和.这种
方法主要用于求数列的前项和,其中、分别是等差数列和等比数列,等式两端同时乘以公比后进行错位相减,再利用等比数列的求和公式加以转化即可.
探究4：数列求和的综合问题
【典例剖析】
例4.( 2022·江苏省南京市联考·多选) 已知数列的前项和为，，且
，则
A. B. C. D.
【解析】由两边同除以得：，
所以，
数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以，所以．
对于选项：因为，
所以，得到：，所以A正确；
对于选项：因为，所以，所以B错误；
对于选项：因为，所以等价于，由极限思想易得：当时，
，所以 C错误；
对于选项：因为，
所以，
又因为显然成立，所以，所以D正确．
故选：．
【变式训练】
练4-1(2022·广东省佛山市模拟) 某科技研发公司年全年投入的研发资金为万元，在此基础上，计划每年投入的研发资金比上一年增加，则该公司全年投入的研发资金开始超过万元的年份是( )
参考数据：，，，
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
【解析】根据题意设年后公司全年投入的研发资金为，
则，
令，
解得，
所以的最小值为，故该公司全年投入的研发资金开始超过万元的年份是年．
故选：．
练4-2(2022·江苏省模拟) 若一个数列的第项等于这个数列的前项的乘积，则称该数列为“积数列”若各项均为正数的等比数列是一个“积数列”，且，则当其前项的乘积取最大值时的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
【解析】各项均为正数的等比数列是一个“积数列”，且，
由题意得，
根据等比数列的性质得到：
，
，，
该数列为递减的等比数列，
，，
当其前项的乘积取最大值时的值为．
故选：．
练4-3(2022·安徽省皖江名校联盟联考) 已知函数．
若，求函数在上的单调区间
求证：．
【解析】依题意，，，
，
令，则，解得或舍去
故当时，，当时，，
故函数在上的单调递增区间为，
单调递减区间为
证明：当时，，
当时，
故函数在上单调递增，故，
即，整理得，
令，则，
累加可得，
下面证明：对任意，，
记函数，则，
令，
则，故当时，，
故在上单调递减，
所以，故函数在上单调递减，则，
令，则，
所以，
故，即．
【规律方法】
将函数、导数、数列、不等式结合的综合问题是近年来高考的热门题型.常见的综合类型有：①数列间的综合；②将问题化归为基本数列的求和问题；③数列与其他知识的综合（函数方程、不等式、导数、解几、新情景问题等）.
考查的思路方法：
1.数列与函数的综合问题：常以基础知识的考查为立足点,以函数关系引入数列中的量,然后转化为方程,最
终归结为等差或等比数列问题.
2.数列是特殊的函数,要多利用函数思想解决数列问题.数列的单调性、最值问题都可以利用把，看作是的函数求解.
3.数列与不等式的综合问题：通常是由等差、等比进行复合变形后得到的新数列的求和问题,解答时需要合理变形,常用到放缩法.
4.数列与三角、解析几何、概率等都可以综合在一起考查,关键是构造数列,而后用数列知识解决即可.
5.数列与实际问题:建立有关等差、等比数列或递推数列的模型,再利用数列的有关知识解决问题.常见的有利息、产量、降升价、繁殖与增长率或降低率,分期付款、期货贸易等等.
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