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专题13 空间几何体的表面积与体积
探究1：空间几何体的表面积
【典例剖析】
例1. (2022·全国·模拟) 某同学欲为台灯更换一种环保材料的灯罩，如图所示，该灯罩是一个有上底面无下底面的圆台．经测量，灯罩的上底面直径为18 cm，下底面直径为34 cm，灯罩的侧面展开图是一个圆心角为的扇环，则新灯罩所需环保材料的面积为__________结果保置
【答案】
【解析】如图为圆台轴截面：
如图为圆台侧面展开图：
圆台上底面半径为，下底面半径为，
，，
则扇环面积为：
，
则新灯罩所需环保材料的面积为：．
故答案为．
【变式训练】
练1-1.(2022·江苏·联考) 已知三棱台的上、下底面都是等腰直角三角形，面，，，，则这个三棱台的侧面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】三棱台如图所示，
，
在梯形中，，
，，
，
．
练1-2. (2022·全国·月考)为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为，则正六棱锥与正六棱柱的高的比值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设正六棱锥与正六棱柱的高分别是与．
因为正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，所以正六棱柱和正六棱锥的底面边长都是，
因此正六棱柱的侧面积为．又因为正六棱锥的斜高为，
所以正六棱锥的侧面积为，
又因为正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为，
所以，
即，因此，即正六棱锥与正六棱柱的高的比值为．
故选D．
练 1-3. (2022·湖南省·联考) 截角八面体是由正四面体经过适当的截角，即截去正四面体的四个顶点处的小棱锥所得的八面体．如图所示，有一个所有棱长均为的截角八面体石材，现将此石材切削、打磨、加工成球，则加工后球的最大表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：取上下底面的中心分别为，，
因为截角八面体上下底面距离为，
该截角八面体对应的正四面体棱长为，易知正四面体的内切球半径为，
由，知：能打磨出的最大石球即为对应正四面体的内切球．
故：加工后球的最大表面积．
故选B．
练 1-4. (2022·河北衡水·月考) 如图，四面体各个面都是边长为的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解：如图所示，过点作平面，为垂足，点为等边三角形的中心．
，．
．
．
设圆柱底面半径为，则，
圆柱的侧面积，
故选：．
【规律方法】
求解几何体的表面积的技巧
(1) 求表面积：其关键思想是空间问题平面化．
(2) 多面体的表面积是各个面的面积之和,求组合体的表面积时要注意衔接部分的处理.
(3) 求旋转体的表面积时要注意其侧面展开图的应用.
探究2：空间几何体的体积
【典例剖析】
例2. (2022·全国·联考) 如图，正方体的棱长为，若将正方体绕着体对角线旋转，则正方体所经过的区域构成如图所示的几何体，该几何体是由上、下两个圆锥和单叶双曲面构成，则其中一个圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示，
在正方体中，连接，，，则圆锥的底面为等边三角形的外接圆，半径．
圆锥的高为点到平面的距离，利用等体积变换，
则有故，则圆锥的体积．
故选A项．
【变式训练】
练2-1.(2022·江苏·模拟) 某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图所示，该几何体为上、下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】该几何体为上、下底面周长分别为，的正四棱台，
所以可得上、下底面边长分别，，
因为棱台的高为，
所以可得 ，
所以可得该香料收纳罐的容积为．
练2-2. (2022·辽宁·模拟) 玩具制造商设计并投产一种全新的益智玩具”智慧立方”它的形状为正四面体通过大量的人体力学实验得知当”智慧立方系数”时尺寸最适合岁的小朋友把玩，其中是正四面体的体积，是正四面体的表面积则棱长尺寸最合适范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如下图所示：棱长为的正四面体，为底面的外心，底面，
则，则，，
所以，，
由题意得：，
即，又，解得：或．
若，则太小，不适合小朋友把玩，故，
故本题选D．
练 2-3. (2022·浙江嘉兴市·月考) 为庆祝国庆，立德中学将举行全校师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠如图，四个半径都是的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解：由题意，容器对应球的球心即为以四个半径都是的玻璃弹珠的球心组成的正方形为底面底面边长为，高为弹球半径，由此得到正四棱锥侧棱长度为，
所以容器对应球半径为，
所以容器的容积为
故选B．
练 2-4. (2022·河北·联考) 一个球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高球缺的体积公式为，其中为球的半径，为球缺的高北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”如图深受广大市民的喜爱，它寓意着创造非凡、探索未来，体现了追求卓越、引领时代，以及面向未来的无限可能它的外形可近似抽象成一个球缺与一个圆台构成的组合体如图已知该圆台的底面半径分别和，高为，球缺所在球的半径为，则该组合体的体积为 ．
【答案】
【解析】解：圆台的体积为如图可知，由勾股定理可计算球缺的高为，故球缺的体积为所以组合体的体积为．
故答案为．
【规律方法】
求解几何体的体积的技巧
(1) 所所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解.
(2) 求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．
(3) 求不规则几何体的体积：常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体求解．
共8页/第8页专题13 空间几何体的表面积与体积
探究1：空间几何体的表面积
【典例剖析】
例1. (2022·全国·模拟) 某同学欲为台灯更换一种环保材料的灯罩，如图所示，该灯罩是一个有上底面无下底面的圆台．经测量，灯罩的上底面直径为18 cm，下底面直径为34 cm，灯罩的侧面展开图是一个圆心角为的扇环，则新灯罩所需环保材料的面积为__________结果保置
．
【变式训练】
练1-1.(2022·江苏·联考) 已知三棱台的上、下底面都是等腰直角三角形，面，，，，则这个三棱台的侧面积为( )
A. B. C. D.
练1-2. (2022·全国·月考)为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为，则正六棱锥与正六棱柱的高的比值为( )
A. B. C. D.
练 1-3. (2022·湖南·联考) 截角八面体是由正四面体经过适当的截角，即截去正四面体的四个顶点处的小棱锥所得的八面体．如图所示，有一个所有棱长均为的截角八面体石材，现将此石材切削、打磨、加工成球，则加工后球的最大表面积为( )
A. B. C. D.
练 1-4. (2022·河北衡水·月考) 如图，四面体各个面都是边长为的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是( )
A. B.
C. D.
【规律方法】
求解几何体的表面积的技巧
(1) 求表面积：其关键思想是空间问题平面化．
(2) 多面体的表面积是各个面的面积之和,求组合体的表面积时要注意衔接部分的处理.
(3) 求旋转体的表面积时要注意其侧面展开图的应用.
探究2：空间几何体的体积
【典例剖析】
例2. (2022·全国·联考) 如图，正方体的棱长为，若将正方体绕着体对角线旋转，则正方体所经过的区域构成如图所示的几何体，该几何体是由上、下两个圆锥和单叶双曲面构成，则其中一个圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
【变式训练】
练2-1.(2022·江苏·模拟) 某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图所示，该几何体为上、下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为( )
A. B. C. D.
练2-2. (2022·辽宁·模拟) 玩具制造商设计并投产一种全新的益智玩具”智慧立方”它的形状为正四面体通过大量的人体力学实验得知当”智慧立方系数”时尺寸最适合岁的小朋友把玩，其中是正四面体的体积，是正四面体的表面积则棱长尺寸最合适范围是( )
A. B. C. D.
练 2-3. (2022·浙江嘉兴市·月考) 为庆祝国庆，立德中学将举行全校师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠如图，四个半径都是的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是( )
A. B.
C. D.
练 2-4. (2022·河北·联考) 一个球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高球缺的体积公式为，其中为球的半径，为球缺的高北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”如图深受广大市民的喜爱，它寓意着创造非凡、探索未来，体现了追求卓越、引领时代，以及面向未来的无限可能它的外形可近似抽象成一个球缺与一个圆台构成的组合体如图已知该圆台的底面半径分别和，高为，球缺所在球的半径为，则该组合体的体积为 ．
【规律方法】
求解几何体的体积的技巧
(1) 所所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解.
(2) 求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．
(3) 求不规则几何体的体积：常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体求解．
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