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专题14 空间位置关系的判断与证明
探究1：平行关系的证明
【典例剖析】
例1.(2022·广东省·模拟) 已知四棱锥中，底面为平行四边形，点,,分别在,,上．
如下左图，若，求证：平面平面．
如上右图，若满足，则点满足什么条件时，平面．
【解析】，，
四边形是平行四边形，，，
平面，平面，平面，
又，，
平面，平面，平面，
，、平面，平面平面；
当M点为PA的中点时，平面．证明如下:
设、于点，连接，取中点，连结、，
且为的中点，，为的中点，
又点为的中点，，
平面，平面，平面，
同理，平面．
，、平面，平面平面，
平面，平面．
【变式训练】
练1-1. (2022·山东省·联考) 如图所示，已知四边形是正方形，四边形是矩形，是线段的中点．
求证：平面
若平面平面，平面平面，试分析与的位置关系，并证明你的结论．
【解析】证明：如图，记与的交点为，连接．
因为，分别是，的中点，四边形是矩形，
所以四边形是平行四边形，所以．
又因为平面，平面，
所以平面．
，证明如下：
由知平面，
又平面，平面平面，
所以，
同理，平面，
又平面，平面平面，
所以，所以．
练1-2. (2022·广东省广州市·月考) 如图，已知棱柱的底面是平行四边形，且侧面均为正方形，为棱的中点，为线段的中点．
作出面与面的交线并证明．
求证：面．
【解析】解：设中点为，中点为，连接，，，如图所示，
则为所求交线，证明如下：
，，为，，中点，
，
四边形，为平行四边形，
，且，，
四边形为平行四边形，，
，即，，，四点共面，
面面；
证明：延长交于，连接，如图所示，
由题可得，且为棱的中点，
则在中，为的中位线，
为的中点，且为线段的中点，
在中，为的中位线，
，
面，面，
面．
【规律方法】
1.平行关系的基础是线线平行，证明线线平行的方法如下：
(1)利用平行公理，即证明两条直线同时和第三条直线平行；
(2)利用平行四边形进行平行转换；
(3)利用三角形的相似比(特例:中位线定理)证明线线平行；
(4)利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换；
(5)利用空间向量解决平行问题.
2.掌握平行关系之间的转化，如图：
探究2：垂直关系的证明
【典例剖析】
例2.(2022·山西省运城市·月考试卷) 如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，，，．
证明：平面平面；
在线段上是否存在点，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
证明：因为四边形是边长为的正方形，
知，，又，，，故，
由已知，，，
可得平面，平面，
可知，，又，平面，
所以平面，平面，
所以，平面平面．
在线段上存在点，且=,使得.理由如下：
以点为坐标原点，直线为轴，直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系，
可得，，，，，
假设在线段上存在点，使得，
设，点在线段上，，，
，故，
，，，
解得，
所以，在线段上存在点，使得，此时的值为．
【变式训练】
练2-1.(2022·全国·月考) 如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由矩形及其内部以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点，是的中点，与交于点．
求证：平面
求证：．
【解析】解：连接，因为是的中点，与交于点，
所以为的中点又是的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面．
由题意知，，，，又平面，平面，
所以平面，因此．
又由可知，，因为平面，平面，，所以平面，
因为平面，所以．
练2-2. (2022·全国·联考题) 如图，平面平面，四边形为矩形，和均为等腰直角三角形，且．
求证：平面平面；
若点为线段上任意一点，求证：平面．
【解析】证明：因为是矩形，所以．
又因为，，．
所以．
又因为，所以．
因为，即，且，．
所以．
又因为，所以．
因为，，，所以．
因为和均为等腰直角三角形，且．
所以，所以．
又，，
所以．
因为，，
所以．
又因为，所以．
【规律方法】
1.垂直关系之间的转化
2.几何法证明垂直关系的思路
3．向量法证明垂直关系的步骤
(1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系；
(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面等要素；
(3)通过空间向量的运算求出方向向量或法向量，再研究平行、垂直关系；
(4)根据运算结果解释相关问题．
探究3：点、线、面位置关系判断
【典例剖析】
例3.(2021·全国·历年真题) 如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是( )
A. B. C. D.
【解答】解：设正方体的棱长为，
对于，如图所示，连接，易知，且、、在同一平面内，
由图可知直线与相交且不垂直，故不成立，故A错误．
对于，如图所示，取的中点为，连接，，则，，
由正方体可得平面，而平面，
故，而，，平面，故平面，
又平面，所以，而，，
所以平面，而平面，故，故B正确．
对于，如图，连接，则，由的判断可得，
故，故C正确．
对于，如图，取的中点，连接，，，
则，，，，
则，可得，
根据三角形的性质可知与不垂直，故不垂直，故D错误．
故选BC．
【变式训练】
练3-1. (2022·山东省威海市·模拟) 已知，是两个不同的平面，，是平面及外两条不同的直线，给出四个论断：
，，，，则
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】对于，若，，则，又，，故A正确；
对于，若，，则 ，有，与平行或相交，故B错误；
对于，若，，则，又，， ，故C正确；
对于，若，，则 ，又，则与平行或相交，故D错误．
故选AC．
练3-2. (2022·江苏省·模拟) 如图，在四棱锥中，已知底面，底面为等腰梯形，，，，记四棱锥的外接球为球，平面与平面的交线为，的中点为，则( )
A. B.
C. 平面平面 D. 被球截得的弦长为
【答案】ABD
【解析】对于，因为，平面，平面，故BC平面，
又因为平面，平面平面，故，故A正确；
对于，因为底面，底面，故，
连接，，因为四边形是菱形，所以，
又因为四边形也是菱形，所以，所以可得，
又因为，，平面，故AB平面，
因为平面，故AB，故B正确；
对于设中点为，则等腰梯形中，，
由于底面，在底面内，故EF，
，且，平面，
故EF平面，
如果平面平面，由平面与平面垂直的性质可得，平面内，
点不在平面内，故EF平面内不可能成立，故C错误；
对于，设与球的两个交点为，即在球上，
四边形是一个平面，其所在的外接圆是以为直径的圆，
，为矩形，，对．
故选：．
【规律方法】
判断与空间位置关系有关命题真假的方法
1.借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断．
2.借助空间几何模型(如从长方体、四面体等模型)中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定．
3.借助反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断．
2专题14 空间位置关系的判断与证明
探究1：平行关系的证明
【典例剖析】
例1.(2022·广东省·模拟) 已知四棱锥中，底面为平行四边形，点,,分别在,,上．
如下左图，若，求证：平面平面．
如上右图，若满足，则点满足什么条件时，平面．
【变式训练】
练1-1. (2022·山东省·联考) 如图所示，已知四边形是正方形，四边形是矩形，是线段的中点．
求证：平面
若平面平面，平面平面，试分析与的位置关系，并证明你的结论．
练1-2. (2022·广东省广州市·月考) 如图，已知棱柱的底面是平行四边形，且侧面均为正方形，为棱的中点，为线段的中点．
作出面与面的交线并证明．
求证：面．
【规律方法】
1.平行关系的基础是线线平行，证明线线平行的方法如下：
(1)利用平行公理，即证明两条直线同时和第三条直线平行；
(2)利用平行四边形进行平行转换；
(3)利用三角形的相似比(特例:中位线定理)证明线线平行；
(4)利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换；
(5)利用空间向量解决平行问题.
2.掌握平行关系之间的转化，如图：
探究2：垂直关系的证明
【典例剖析】
例2.(2022·山西省运城市·月考试卷) 如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，，，．
证明：平面平面；
在线段上是否存在点，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【变式训练】
练2-1.(2022·全国·月考) 如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由矩形及其内部以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点，是的中点，与交于点．
求证：平面
求证：．
练2-2. (2022·全国·联考题) 如图，平面平面，四边形为矩形，和均为等腰直角三角形，且．
求证：平面平面；
若点为线段上任意一点，求证：平面．
【规律方法】
1.垂直关系之间的转化
2.几何法证明垂直关系的思路
3．向量法证明垂直关系的步骤
(1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系；
(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面等要素；
(3)通过空间向量的运算求出方向向量或法向量，再研究平行、垂直关系；
(4)根据运算结果解释相关问题．
探究3：点、线、面位置关系判断
【典例剖析】
例3.(2021·全国·历年真题) 如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是( )
A. B. C. D.
【变式训练】
练3-1. (2022·山东省威海市·模拟) 已知，是两个不同的平面，，是平面及外两条不同的直线，给出四个论断：
，，，，则
A. B. C. D.
练3-2. (2022·江苏省·模拟) 如图，在四棱锥中，已知底面，底面为等腰梯形，，，，记四棱锥的外接球为球，平面与平面的交线为，的中点为，则( )
A. B.
C. 平面平面 D. 被球截得的弦长为
【规律方法】
判断与空间位置关系有关命题真假的方法
1.借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断．
2.借助空间几何模型(如从长方体、四面体等模型)中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定．
3.借助反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断．
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