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专题15 空间角与空间距离
探究1：异面直线所成的角
【典例剖析】
例1. (2022浙江省杭州市·月考)棱锥中，底面，，，，若，是的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值 .
【变式训练】
练1-1. (2022·天津市辖区·月考) 直三棱柱中，，，为的中点，异面直线与所成角的余弦值是( )
A. B.
C. D.
练1-2. (2021·福建·模拟)中，是棱的中点，是底面内包括边界的一个动点，若平面，则异面直线与所成角的取值范围是( )
A. B. C. D.
【规律方法】
1.几何法求异面直线成角的方法
① 平移：平移已有的平行线，或选择适当的点（线段的中点或端点），做平线性平移，或补形平移；
② 证明：证明所作的角是异面直线所成的角或是其补角；
③ 寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，解三角形；
④ 取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，若所作的角为钝角时，应取其补角作为异面直线所成的角．
2.利用空间向量求空间角的思路：
寻找从同一点出发的三条两两相互垂直的直线（条件不足需证明垂直）建立空间直角坐标系
确定点的坐标求出向量（方向向量或法向量）坐标带入空间向量求角或距离的公式，求解.
探究2：线面角
【典例剖析】
例2. (2022·全国·联考) 如图，在直三棱柱中，，，为的中点，则直线与平面所成的角为( )
A. B. C. D.
【变式训练】
练2-1.(2022·全国·模拟) 如图，在五面体中，正三角形的边长为，平面，，且设与平面所成的角为，，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
练2-2. (2022·全国·联考) 设圆锥的轴截面为等边三角形，为圆锥顶点，为底面圆圆心，是底面圆的一条直径，是底面圆上一点，且，为的中点，则直线和平面所成角的正弦值为 ．
【规律方法】
（I）定义法求线面角：
① 先确定斜线与平面，找到线面的交点为斜足；找线在面外的一点，过点向平面做垂线，确定垂足；
② 连结斜足与垂足,为斜线在面内的投影；投影与斜线之间的夹角为线面角；
③ 把投影与斜线归到三角形中进行求解.
（2）间接法求线面角：
设斜线与平面所成角为，则（为点到平面的距离），转化为求点到平面的距离，可利用等积转化或借助其他点求距离.
（3）向量法：平面，直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为.
探究3：二面角
【典例剖析】
例3. (2022·全国·联考) 如图，在几何体中，四边形是矩形，平面，，，，分别是线段，的中点．
求证：平面
求平面与平面所成角的余弦值．
【变式训练】
练3-1.(2022·江苏省·模拟) 底面为正三角形的直棱柱侧棱垂直于底面的棱柱中，，，点为棱的中点，点为上的点，且满足，当二面角的余弦值为时，实数的值为( )
A. B. C. D.
练3-2. (2022·湖北省黄冈市·月考) 如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是，的中点．
Ⅰ记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明；
Ⅱ设，求二面角大小的取值范围．
【规律方法】
求二面角的方法：
几何法：先找出或利用添加辅助线的方法作出二面角，然后将空间问题转化为平面问题进行求解；
向量法：设平面平面，平面，平面的法向量分别为，则法向量夹角的余弦值为.注意二面角的范围和两个平面夹角的范围不能等同.
向量法解决问题的前提是合理建系（条件不足时，有必要的证明）,写出点的坐标，求解二面角前提是准确求出两个面的法向量.向量法本质是几何问题代数化，准确计算是保障.
探究4：空间中的距离
【典例剖析】
例4. (2022·河南省洛阳市·月考) 如图在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，，为上两个动点，且的长为定值，则点到平面的距离( )
A. 等于 B. 和的长度有关 C. 等于 D. 和点的位置有关
【变式训练】
练4-1. (2022·北京市·模拟) 在棱长为的正方体中，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
练4-2. (2022·辽宁省·模拟) 在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，，分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
【规律方法】
综合法求解空间距离的思路：
空间中的距离：平行平面间的距离、平行平面的直线到平面的距离、点到平面的距离
转化为点到平面的距离
求点到平面距离的方法：
（1）直接法：
① 求证过点的直线平面于点，则线段的长即为点到平面的距离；
② 利用求三棱锥体积的等积转化思想进行求解；
（2）间接法：转化为其他点到平面的距离
① 直线AB∥平面，转化为求点到平面的距离；
② 平面，平面∥平面，转化为求点到平面的距离.
向量法求点到平面的距离：
点平面，点平面，平面的法向量为，则点到平面的距离为.
共7页/第6页专题15 空间角与空间距离
探究1：异面直线所成的角
【典例剖析】
例1. (2022浙江省杭州市·月考)棱锥中，底面，，，，若，是的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值 .
【解析】解：在三棱锥中，底面，，
以为原点，为轴，为轴，过作的平行线为轴，建立空间直角坐标系，如图，
，，，，是的三等分点，
，，，，
设，则，即，
则，，，，
，，
设异面直线与所成角为，
则．
异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为．
【变式训练】
练1-1. (2020·天津市市辖区·月考) 直三棱柱中，，，为的中点，异面直线与所成角的余弦值是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：直三棱柱中，
，，E为的中点．
以为原点，CA为x轴，CB为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
设，
则C(0，，0)，E(0，，1)，，，2)，A(2，，0)，
所以，，1)，，，-2)，
设异面直线CE与所成角为，
则．
故异面直线CE与所成角的余弦值为．
故选．
练1-2. (2021·福建·模拟)中，是棱的中点，是底面内包括边界的一个动点，若平面，则异面直线与所成角的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：设正方体的棱长为，以为原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，， ， ， 设，
则，根据正方体的性质易知是平面的法向量，
平面，，
于是，，即．
又，设异面直线与所成角为，
则
，
，
而，且，，
，，
于是．
，余弦函数在单调递减，
．
故选C．
【规律方法】
1.几何法求异面直线成角的方法
① 平移：平移已有的平行线，或选择适当的点（线段的中点或端点），做平线性平移，或补形平移；
② 证明：证明所作的角是异面直线所成的角或是其补角；
③ 寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，解三角形；
④ 取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，若所作的角为钝角时，应取其补角作为异面直线所成的角．
2.利用空间向量求空间角的思路：
寻找从同一点出发的三条两两相互垂直的直线（条件不足需证明垂直）建立空间直角坐标系
确定点的坐标求出向量（方向向量或法向量）坐标带入空间向量求角或距离的公式，求解.
探究2：线面角
【典例剖析】
例2. (2022·全国·联考) 如图，在直三棱柱中，，，为的中点，则直线与平面所成的角为( )
A. B. C. D.
【解析】法一：以为原点，所在直线为轴，在平面中过作的垂线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
设，
则，，，，
，
易知平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
则，
且，，
即直线与平面所成的角为．
故选B．
法二：设，已知，
则，，
在平面中过点作的垂线，垂足为，连接，
因为在直三棱柱中，平面平面，
平面平面，平面，，
所以平面，
所以为直线与平面所成的角．
在中，，
所以，同理可得，
在中，，
在中，，
所以，即直线与平面所成的角为，
故选B．
【变式训练】
练2-1.(2022·全国·模拟) 如图，在五面体中，正三角形的边长为，平面，，且设与平面所成的角为，，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：如图，建立空间直角坐标系，则，，，则，
取的中点，则，连接，则，又平面，所以，所以平面，则平面的一个法向量为
由题意知，又由，
得，所以，
所以的最大值为，故选C．
练2-2. (2022·全国·联考) 设圆锥的轴截面为等边三角形，为圆锥顶点，为底面圆圆心，是底面圆的一条直径，是底面圆上一点，且，为的中点，则直线和平面所成角的正弦值为 ．
【答案】
解：在底面内作垂直于，交于点，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图．
设圆锥底面圆半径为，则，，，，，，，
设平面的法向量为，则即，解得
令，则，，所以，
所以直线和平面所成角的正弦值为故答案为．
一题多解 设圆锥底面圆半径为，则，设点到平面的距离为，直线和平面所成的角为，易知，即，
所以，
所以故答案为．
【规律方法】
（I）定义法求线面角：
① 先确定斜线与平面，找到线面的交点为斜足；找线在面外的一点，过点向平面做垂线，确定垂足；
② 连结斜足与垂足,为斜线在面内的投影；投影与斜线之间的夹角为线面角；
③ 把投影与斜线归到三角形中进行求解.
（2）间接法求线面角：
设斜线与平面所成角为，则（为点到平面的距离），转化为求点到平面的距离，可利用等积转化或借助其他点求距离.
（3）向量法：平面，直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为.
探究3：二面角
【典例剖析】
例3. (2022·全国·联考) 如图，在几何体中，四边形是矩形，平面，，，，分别是线段，的中点．
求证：平面
求平面与平面所成角的余弦值．
【解析】方法一:证明 如图，取的中点，连接，，
因为是的中点，所以，且．
又是的中点，所以．
由四边形是矩形，得，，
所以，且，
从而四边形是平行四边形，所以．
又平面，平面，
所以平面．
解：如图，
在平面内，过点作因为，所以又因为平面，所以，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，．
因为平面，所以为平面的法向量设为平面的法向量．
又，，
由得，
取，得．
从而，，
所以平面与平面所成角的余弦值为．
方法二如图，
取的中点，连接，由是的中点，可知
又平面， 平面，所以平面
在矩形中，由，分别是，的中点得
又平面，平面,所以平面．
又因为，平面，平面，
所以平面平面．因为平面，
所以平面．
同方法一.
【变式训练】
练3-1.(2022·江苏省·模拟) 底面为正三角形的直棱柱侧棱垂直于底面的棱柱中，，，点为棱的中点，点为上的点，且满足，当二面角的余弦值为时，实数的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：由题意知以为坐标原点，过点在平面内作垂直于的直线为轴，分别以，所在直线为，轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
则，，，，
则， ，，，
设平面的法向量为，
则
令，则，，
取平面的一个法向量为
由二面角的余弦值为，得 ，
所以，即，解得故选A．
练3-2. (2022·湖北省黄冈市·月考) 如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是，的中点．
Ⅰ记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明；
Ⅱ设，求二面角大小的取值范围．
【解析】解：Ⅰ平面．证明过程如下:
，分别是，的中点，
，平面，平面，
平面，又平面，平面与平面的交线为，
，而平面，平面，
平面；
Ⅱ解法一：设直线与圆的另一个交点为，连结，，，
由Ⅰ知，，而，
，平面，平面，
，而，，平面，
平面，又平面，
，
是二面角的平面角，，
注意到，，
，，
，
即二面角的取值范围是．
解法二：设直线与圆的另一个交点为，连结，，，
由Ⅰ知，，而，
，过点，
、互相平分，四边形为矩形，
，
由题意得，，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
设，，则，，，，．
设平面的法向量为，
则由得，取得．
易知平面的法向量，
设二面角的大小为，易知为锐角，
，
，即二面角的取值范围是．
【规律方法】
求二面角的方法：
几何法：先找出或利用添加辅助线的方法作出二面角，然后将空间问题转化为平面问题进行求解；
向量法：设平面平面，平面，平面的法向量分别为，则法向量夹角的余弦值为.注意二面角的范围和两个平面夹角的范围不能等同.
向量法解决问题的前提是合理建系（条件不足时，有必要的证明）,写出点的坐标，求解二面角前提是准确求出两个面的法向量.向量法本质是几何问题代数化，准确计算是保障.
探究4：空间中的距离
【典例剖析】
例4. (2022·河南省洛阳市·月考) 如图在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，，为上两个动点，且的长为定值，则点到平面的距离( )
A. 等于 B. 和的长度有关 C. 等于 D. 和点的位置有关
【答案】A
【解析】解：取的中点，连接，则，
所以点到平面的距离，即点到平面的距离，与的长度无关，
故B错
又平面，所以点到平面的距离即点到平面的距离，
即点到平面的距离与点的位置无关，故D错
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
，，，
设是平面的法向量，
则由得
令，则，，所以是平面的一个法向量．
设点到平面的距离为，
则，
即对，错．
故选：．
【变式训练】
练4-1. (2022·北京市·模拟) 在棱长为的正方体中，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图：
则，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
点到平面的距离为：
．
故选：．
练4-2. (2022·辽宁省·模拟) 在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，，分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：由直三棱柱，所以，
又，所以，
故如图所示，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
可得，，，，
因为点在平面上的射影是的重心，所以平面，所以，
即，解得，即，
则点到平面的距离为，是的中点，
所以．
故选：．
【规律方法】
综合法求解空间距离的思路：
空间中的距离：平行平面间的距离、平行平面的直线到平面的距离、点到平面的距离
转化为点到平面的距离
求点到平面距离的方法：
（1）直接法：
① 求证过点的直线平面于点，则线段的长即为点到平面的距离；
② 利用求三棱锥体积的等积转化思想进行求解；
（2）间接法：转化为其他点到平面的距离
① 直线AB∥平面，转化为求点到平面的距离；
② 平面，平面∥平面，转化为求点到平面的距离.
向量法求点到平面的距离：
点平面，点平面，平面的法向量为，则点到平面的距离为.
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