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专题16 直线与圆的综合性问题
探究1：直线、圆的位置关系
【典例剖析】
例1.(2022·新高考2卷)设点，，直线关于直线的对称直线为，已知与圆
有公共点，则的取值范围为 ．
【变式训练】
练1-1(2022·江西省抚州市联考)已知圆与圆交于，两点，则直线与圆的位置关系是( )
A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 不能确定
练1-2(2021·新高考2卷·多选)已知直线与圆，点，则下列说法正确的是( )
A. 若点在圆上，则直线与圆相切 B. 若点在圆内，则直线与圆相离
C. 若点在圆外，则直线与圆相离 D. 若点在直线上，则直线与圆相切
练1-3(2022·重庆市联考)已知点，，圆与线段包含端点有公共点，则的取值范围是 ．
【规律方法】
1.直线与圆的位置关系的判断
直线（不全为0）与圆的位置关系的判断方法有：
（1）几何法：圆心到直线的距离为，
直线与圆相交；直线与圆相切；直线与圆相离.
（2）代数法：由消元，得到的一元二次方程的判别式为，则
直线与圆相交；直线与圆相切；直线与圆相离.
2.圆与圆的位置关系的判断（圆，圆的半径分别为）
两圆外离，
两圆外切，
两圆相交，
两圆内切，
两圆内含.
探究2：圆中的弦长与切线问题
【典例剖析】
例2.(2022·新高考1卷)写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
【变式训练】
练2-1(2022·广东省深圳市联考)写出一个与直线和都相切的圆的方程________.
答案不唯一
练2-2(2022·天津卷)若直线与圆相交所得的弦长为，则 ．
练2-3(2022·福建省百校联考)已知抛物线与抛物线在第一象限内的交点为，若点在圆上，且直线与圆相切，则 ．
【规律方法】
1.有关弦长问题的两种求法
设直线被圆C截得的弦长为AB，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则弦长公式：.
若斜率为的直线与圆交于两点，
则（其中），
特别地，当时，；当斜率不存在时，.
2.直线与圆相切问题的解题策略
直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．
3.圆的切线方程常用结论
(1)过圆上一点的圆的切线方程为.
(2)过圆上一点的圆的切线方程为.
(3)过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为.
4.圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．
(2)当两圆相交时，两圆方程(，项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．
探究3：与圆有关的最值问题
【典例剖析】
例3.(2021·新高考1卷·多选)已知点在圆上，点，，则( )
A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于
C. 当最小时， D. 当最大时，
【变式训练】
练3-1(2022·广东省汕头市一模)点在圆上运动，直线分别与轴，轴交于，两点，则面积的最大值是( )
A. B. C. D.
练3-2(2022·浙江省名校联考)设直线与圆:
交于，两点，当面积的最大值为时，的值为 ．
练3-3(2022·北京市一模)在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，，若，则当，变化时，点到点的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
练3-4(2022·湖北省武汉市联考·多选)画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔蒙日发现:椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上,称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆
的离心率为,，分别为椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,直线，则( )
A. 直线与蒙日圆相切
B. 的蒙日圆的方程为
C. 记点到直线的距离为，则的最小值为
D. 若矩形的四条边均与相切，则矩形的面积的最大值为
【规律方法】
1.借助几何性质求最值：根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解.
①最小圆问题，转化为求半径最小值问题；
②求圆上点到圆外点距离最值，转化为求圆外点到圆心的距离，加上半径即为最大值，减去半径即为最小值；
③形如的最值，转化为点与圆上点连线斜率的最值；
④形如的最值，转化为直线与圆有交点，或者用三角代换求解；
⑤形如的最值，转化为点到圆上点的距离的平方的最值.
2.代数法求最值：显化函数关系，利用函数求最值或用基本不等式求最值.
3.利用对称求最值：形如的最值
①化动为定：与圆上点的距离转化为到圆心的距离；
②化曲为直：找对称点，最终将转化为3点共线，即得最值.
2专题16 直线与圆的综合性问题
探究1：直线、圆的位置关系
【典例剖析】
例1.(2022·新高考2卷)设点，，直线关于直线的对称直线为，已知与圆
有公共点，则的取值范围为 ．
【解析】因为，所以关于直线的对称直线为，
所以，整理可得解得．
故答案为.
【变式训练】
练1-1(2022·江西省抚州市联考)已知圆与圆交于，两点，则直线与圆的位置关系是( )
A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 不能确定
【解析】圆：，圆：，
两式相减可得的方程为，即，
点到直线的距离为，
又因为圆：的半径为，所以直线与圆：相切．
故选C．
练1-2(2021·新高考2卷·多选)已知直线与圆，点，则下列说法正确的是( )
A. 若点在圆上，则直线与圆相切 B. 若点在圆内，则直线与圆相离
C. 若点在圆外，则直线与圆相离 D. 若点在直线上，则直线与圆相切
【解析】圆心到直线的距离，
若点在圆上，则，所以，则直线与圆相切，故A正确；
若点在圆内，则，所以，则直线与圆相离，故B正确；
若点在圆外，则，所以，则直线与圆相交，故C错误；
若点在直线上，则即，所以，直线与圆相切，故D正确．
故选ABD．
练1-3(2022·重庆市联考)已知点，，圆与线段包含端点有公共点，则的取值范围是 ．
【解析】由题意知：线段的斜率为，
则的方程为，
即，代入圆的方程，整理得：，
则原题等价于该方程在内有实根，
由二次函数的性质可得：，即．
故答案为．
【规律方法】
1.直线与圆的位置关系的判断
直线（不全为0）与圆的位置关系的判断方法有：
（1）几何法：圆心到直线的距离为，
直线与圆相交；直线与圆相切；直线与圆相离.
（2）代数法：由消元，得到的一元二次方程的判别式为，则
直线与圆相交；直线与圆相切；直线与圆相离.
2.圆与圆的位置关系的判断（圆，圆的半径分别为）
两圆外离，
两圆外切，
两圆相交，
两圆内切，
两圆内含.
探究2：圆中的弦长与切线问题
【典例剖析】
例2.(2022·新高考1卷)写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
【解析】方法显然直线的斜率不为，不妨设直线方程为，
于是，．故，，于是或，
再结合解得或或，
所以直线方程有三条，分别为，，．填一条即可
方法设圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径，
则，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；
又由方程和相减可得方程，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线的方程为，直线与直线的交点为，
设过该点的直线为，则，解得，
从而该切线的方程为填一条即可
【变式训练】
练2-1(2022·广东省深圳市联考)写出一个与直线和都相切的圆的方程________.
答案不唯一
【解析】因为，所以直线和关于直线，对称，
所以与直线和都相切的圆的圆心在直线或直线上，
设圆心，则半径
所以圆的方程为答案不唯一．
练2-2(2022·天津卷)若直线与圆相交所得的弦长为，则 ．
【解析】由题知，圆心为，半径为，圆心到直线的距离，
又直线与圆相交所得的弦长为，，解得或舍．
故答案为．
练2-3(2022·福建省百校联考)已知抛物线与抛物线在第一象限内的交点为，若点在圆上，且直线与圆相切，则 ．
【解析】因为，所以
因为，，所以，
当与圆相切时，，带入得，
所以，所以．
故答案为：．
【规律方法】
1.有关弦长问题的两种求法
设直线被圆C截得的弦长为AB，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则弦长公式：.
若斜率为的直线与圆交于两点，
则（其中），
特别地，当时，；当斜率不存在时，.
2.直线与圆相切问题的解题策略
直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．
3.圆的切线方程常用结论
(1)过圆上一点的圆的切线方程为.
(2)过圆上一点的圆的切线方程为.
(3)过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为.
4.圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．
(2)当两圆相交时，两圆方程(，项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．
探究3：与圆有关的最值问题
【典例剖析】
例3.(2021·新高考1卷·多选)已知点在圆上，点，，则( )
A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于
C. 当最小时， D. 当最大时，
【解析】由点，，可得直线的方程为．
则圆心到直线的距离为，
故到直线的最大距离为，最小距离，所以A正确，B错误．
由题意可知，当直线与圆相切时，最大或最小，
由于圆心到的距离为，此时，故C，都正确．
故选ACD．
【变式训练】
练3-1(2022·广东省汕头市一模)点在圆上运动，直线分别与轴，轴交于，两点，则面积的最大值是( )
A. B. C. D.
【解析】直线分别与轴，轴交于，两点，，，则，
圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
则点到直线的距离的最大值为，
故面积的最大值是．
故选D．
练3-2(2022·浙江省名校联考)设直线与圆:
交于，两点，当面积的最大值为时，的值为 ．
【解析】直线，
圆的圆心，半径为，
圆心到直线的距离为：，
所以的面积为，则，解得，
则当面积最大为时，是等腰直角三角形，此时．
所以，即，解得．
故答案为．
练3-3(2022·北京市一模)在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，，若，则当，变化时，点到点的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
【解析】由得 ，故由得，
由得，设 ，则 ，
即，即点轨迹为一动圆，
设该动圆圆心为 ，则，
整理得 ，代入到中，得： ，即轨迹的圆心在圆上，
故点与该圆上的点的连线的距离加上圆的半径即为点到点的距离的最大值，
最大值为 ，
故选B．
练3-4(2022·湖北省武汉市联考·多选)画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔蒙日发现:椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上,称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆
的离心率为,，分别为椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,直线，则( )
A. 直线与蒙日圆相切
B. 的蒙日圆的方程为
C. 记点到直线的距离为，则的最小值为
D. 若矩形的四条边均与相切，则矩形的面积的最大值为
【解析】因为椭圆的离心率为，
所以，即．所以椭圆方程即为，
对于，由题意可得椭圆的蒙日圆上的任意点到坐标原点的距离相等，
又因为过点作椭圆的两条切线相互垂直，不妨取，
则该圆的半径为，
即椭圆的蒙日圆方程为，故B错误；
对于，由可得直线的方程即为，
由可得原点到直线的距离为，
所以直线与椭圆的蒙日圆相切，故A正确；
对于，因为在椭圆上，，，
当，即为过作的垂线与椭圆的交点时有最小值，
即为到的垂直距离为，
所以，故C正确；
对于，当矩形四边都与相切时，矩形为蒙日圆的内接矩形且矩形两对角线为直径，
设矩形长为，宽为，则，
当且仅当取等号，故D错误．
故答案选：．
【规律方法】
1.借助几何性质求最值：根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解.
①最小圆问题，转化为求半径最小值问题；
②求圆上点到圆外点距离最值，转化为求圆外点到圆心的距离，加上半径即为最大值，减去半径即为最小值；
③形如的最值，转化为点与圆上点连线斜率的最值；
④形如的最值，转化为直线与圆有交点，或者用三角代换求解；
⑤形如的最值，转化为点到圆上点的距离的平方的最值.
2.代数法求最值：显化函数关系，利用函数求最值或用基本不等式求最值.
3.利用对称求最值：形如的最值
①化动为定：与圆上点的距离转化为到圆心的距离；
②化曲为直：找对称点，最终将转化为3点共线，即得最值.
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