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专题17 圆锥曲线的几何性质
探究1：圆锥曲线的离心率
【典例剖析】
例1.(2022·浙江卷)已知双曲线的左焦点为,过且斜率为的直线交双曲线于点,交双曲线的渐近线于点且若,则双曲线的离心率是 ．
【解析】由题意得，渐近线方程，联立方程解得：，所以，
因为，所以，代入方程得，解得，
所以，把点代入得，即，
解得：．
【变式训练】
练1-1(2022·江苏省四校联考)如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，，的渐近线分别交于，和，四点，若多边形为正六边形，则与的离心率之和为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】多边形为正六边形，，，
双曲线的离心率，
连接，则，
又，，
椭圆的离心率，与的离心率之和为，
故本题选C．
练1-2(2022·湖北省高三9月起点考·多选)已知椭圆的左，右焦点分别为，，长轴长为，点在椭圆外，点在椭圆上，则( )
A. 椭圆的离心率的取值范围是
B. 当椭圆的离心率为时，的取值范围是
C. 存在点使得
D. 的最小值为
【解析】由题意得，又点在椭圆外，则，解得，
所以椭圆的离心率，
即椭圆的离心率的取值范围是，故A不正确；
当时，，，所以的取值范围是，即，故B正确；
设椭圆的上定点为，，由于，
所以存在点使得，故C正确；
，当且仅当时，等号成立，
又，所以，故D正确．
故选：BCD.
【规律方法】
求曲线离心率规律总结：
1.利用曲线定义,求曲线离心率.
2.利用三角形相似,求曲线离心率.
3.巧用图形对称,求曲线离心率.
4.构造直角三角形,求曲线离心率.
求解圆锥曲线的离心率,关键在于根据题意,画出相应图形,认真分析图形特征,运用所学的基础知识和基本技巧, 关注基本量中之间的关系及相应的几何意义, 从而使问题得到很好的解决,起到事半功倍的效果,使自己显得很从容、冷静和踏实．
探究2：焦点三角形
【典例剖析】
例2.(2022·湖北省联考)已知，是椭圆的左右焦点，左顶点为，过点的直线交椭圆于，两点，若，则( )
A. B. C. D.
【解析】连接，如图所示：由题意可知，，因为，所以，
令，由椭圆定义可得，所以，
在中，可知，
结合余弦定理得，
整理得，解得，故．
故选A．
【变式训练】
练2-1(2022·广东省联考)已知是椭圆上的一点，，是的两个焦点，若为钝角，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【解析】椭圆：的焦点为，，
，，则，
若为钝角，则，，解得：，
故选A．
练2-2(2022·山东省潍坊市模拟)已知，分别是双曲线的左、右焦点，为左顶点，为双曲线右支上一点若，且的最小内角为，则( )
A. 双曲线的离心率为
B. 双曲线的渐近线方程为
C.
D. 直线与双曲线有两个公共点
【解析】因为，，所以，．
又，，所以，所以，所以，
所以，解得，A正确
因为，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为，B正确
因为，所以，所以，所以．
又，，所以，所以，C错误
联立得方程组，所以，所以，
所以，所以直线与双曲线有两个公共点，D正确．
故选ABD．
【规律方法】
1.椭圆的焦点三角形：椭圆上任意一点与两焦点、构成的三角形:。
秒杀题型一：①周长为定值：。
②，当点靠近短轴端点时增大，
当点靠近长轴端点时减小；与短轴端点重合时最大。
（2）秒杀题型二：,
即与短轴端点重合时面积最大。
（3）秒杀题型三：①当底角为，个数：4个(点为通径端点)；
②当时，个数：.（点为以为直径的圆与椭圆的交点）
2.双曲线的焦点三角形：
（1）焦点直角三角形的个数：一定为八个，顶角为直角与底角为直角的各为四个；
（2）(为焦点三角形的顶角)=。（等面积思想在解题时非常重要）
3.焦点三角形属于圆锥曲线中的重点内容，主要考查利用几何思想解题的基本方法，考查了建立方程、函数、不等式的基本数学思想，体现了理性思维、数学探索等科学素养.
探究3：渐近线
【典例剖析】
例3.(2022·青海省西宁市一模)如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合，该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为，离心率为，则该双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
【解析】双曲线的下焦点坐标为，渐近线方程为，即，
则下焦点到渐近线的距离为，
又离心率，所以，所以该双曲线的标准方程为．
故选：．
【变式训练】
练3-1(2022·全国甲卷文科)记双曲线的离心率为，写出满足条件“直线与无公共点”的的一个值 ．
【解析】因为双曲线的渐近线方程为，要使直线与无公共点，则只需要即可，
由得，所以，解得．
故的值可以取．
练3-2(2022·湖北省鄂东南三校联考)过抛物线的焦点的直线，交抛物线的准线于点，与抛物线的一个交点为，且，若与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线离心率的取值范围是 ．
【解析】如图，，且，，
要使，则应在离点较近的一端，过作准线的垂线，垂足为，
，，，
在中，，，，，
直线的斜率，与双曲线的一条渐近线垂直，
，则，即，解得 ，即双曲线离心率的取值范围为
【规律方法】
1.题型一：由双曲线的方程求渐近线
秒杀思路：①已知双曲线方程求渐近线方程:;
②若焦点在轴上，渐近线为；若焦点在轴上，渐近线为。
题型二：有共同渐近线的双曲线方程的设法
秒杀思路：。
题型三：已知渐近线方程设双曲线方程
秒杀思路：。
题型四：双曲线的焦点到渐近线的距离：
秒杀公式：焦点到渐近线的距离与顶点到渐近线的距离之比等于双曲线的离心率。
2. 渐近线属于双曲线中重要的几何性质，主要考查利用几何思想解题的基本方法，考查了建立方程、函数、不等式的基本数学思想，体现了理性思维、数学探索等科学素养.
探究4：抛物线的几何性质
【典例剖析】
例4.(2022·新高考2卷·多选)已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线与交于，两点，点在第一象限，点，若，则( )
A. 直线的斜率为 B.
C. D.
【解析】选项 A设中点为，则，
所以，所以，故．
选项B.
所以所以．
选项C．选项D由选项A，知，，
所以，所以为钝角
又．，所以为钝角，所以．
故选：．
【变式训练】
练4-1(2022·湖北省黄石市联考)在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，是上位于第一象限内的一点，若在点处的切线与轴交于点，与轴交于点，则与相等的是( )
A. B. C. D.
【解析】如图，设，由，得，所以在点处的切线方程为，
从而，，根据抛物线的定义，得
又，，所以
由，，，得是的中点，则，从而．
故选：B.
练4-2(2022·湖北省联考)已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是( )
A. 点的坐标为 B. 若直线过点，则
C. 若，则的最小值为 D. 若，则线段的中点到轴的距离为
【解析】抛物线的焦点为，所以不正确；
根据抛物线的性质可得：过时，则，所以B正确；
若，则的最小值为抛物线的通径长，为，所以C正确；
抛物线的焦点为，准线方程为，
取中点为，过点、、分别作准线的垂线，，，
则，，，
所以，
所以线段的中的到轴的距离为，所以D正确；
故选：．
【规律方法】
1.抛物线上一点到焦点的距离，也称为抛物线的焦半径.
2．的焦点坐标为，准线方程为.
3.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
共7页/第1页专题17 圆锥曲线的几何性质
探究1：圆锥曲线的离心率
【典例剖析】
例1.(2022·浙江卷)已知双曲线的左焦点为,过且斜率为的直线交双曲线于点,交双曲线的渐近线于点且若,则双曲线的离心率是 ．
【变式训练】
练1-1(2022·江苏省四校联考)如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，，的渐近线分别交于，和，四点，若多边形为正六边形，则与的离心率之和为( )
A.
B.
C.
D.
练1-2(2022·湖北省高三9月起点考·多选)已知椭圆的左，右焦点分别为，，长轴长为，点在椭圆外，点在椭圆上，则( )
A. 椭圆的离心率的取值范围是
B. 当椭圆的离心率为时，的取值范围是
C. 存在点使得
D. 的最小值为
【规律方法】
求曲线离心率规律总结：
1.利用曲线定义,求曲线离心率.
2.利用三角形相似,求曲线离心率.
3.巧用图形对称,求曲线离心率.
4.构造直角三角形,求曲线离心率.
求解圆锥曲线的离心率,关键在于根据题意,画出相应图形,认真分析图形特征,运用所学的基础知识和基本技巧, 关注基本量中之间的关系及相应的几何意义, 从而使问题得到很好的解决,起到事半功倍的效果,使自己显得很从容、冷静和踏实．
探究2：焦点三角形
【典例剖析】
例2.(2022·湖北省联考)已知，是椭圆的左右焦点，左顶点为，过点的直线交椭圆于，两点，若，则( )
A. B. C. D.
【变式训练】
练2-1(2022·广东省联考)已知是椭圆上的一点，，是的两个焦点，若为钝角，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
练2-2(2022·山东省潍坊市模拟)已知，分别是双曲线的左、右焦点，为左顶点，为双曲线右支上一点若，且的最小内角为，则( )
A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线的渐近线方程为
C. D. 直线与双曲线有两个公共点
【规律方法】
1.椭圆的焦点三角形：椭圆上任意一点与两焦点、构成的三角形:。
秒杀题型一：①周长为定值：。
②，当点靠近短轴端点时增大，
当点靠近长轴端点时减小；与短轴端点重合时最大。
（2）秒杀题型二：,
即与短轴端点重合时面积最大。
（3）秒杀题型三：①当底角为，个数：4个(点为通径端点)；
②当时，个数：.（点为以为直径的圆与椭圆的交点）
2.双曲线的焦点三角形：
（1）焦点直角三角形的个数：一定为八个，顶角为直角与底角为直角的各为四个；
（2）(为焦点三角形的顶角)=。（等面积思想在解题时非常重要）
3.焦点三角形属于圆锥曲线中的重点内容，主要考查利用几何思想解题的基本方法，考查了建立方程、函数、不等式的基本数学思想，体现了理性思维、数学探索等科学素养.
探究3：渐近线
【典例剖析】
例3.(2022·青海省西宁市一模)如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合，该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为，离心率为，则该双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
【变式训练】
练3-1(2022·全国甲卷文科)记双曲线的离心率为，写出满足条件“直线与无公共点”的的一个值 ．
练3-2(2022·湖北省鄂东南三校联考)过抛物线的焦点的直线，交抛物线的准线于点，与抛物线的一个交点为，且，若与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线离心率的取值范围是 ．
【规律方法】
1.题型一：由双曲线的方程求渐近线
秒杀思路：①已知双曲线方程求渐近线方程:;
②若焦点在轴上，渐近线为；若焦点在轴上，渐近线为。
题型二：有共同渐近线的双曲线方程的设法
秒杀思路：。
题型三：已知渐近线方程设双曲线方程
秒杀思路：。
题型四：双曲线的焦点到渐近线的距离：
秒杀公式：焦点到渐近线的距离与顶点到渐近线的距离之比等于双曲线的离心率。
2. 渐近线属于双曲线中重要的几何性质，主要考查利用几何思想解题的基本方法，考查了建立方程、函数、不等式的基本数学思想，体现了理性思维、数学探索等科学素养.
探究4：抛物线的几何性质
【典例剖析】
例4.(2022·新高考2卷·多选)已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线与交于，两点，点在第一象限，点，若，则( )
A. 直线的斜率为 B.
C. D.
【变式训练】
练4-1(2022·湖北省黄石市联考)在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，是上位于第一象限内的一点，若在点处的切线与轴交于点，与轴交于点，则与相等的是( )
A. B. C. D.
练4-2(2022·湖北省联考)已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是( )
A. 点的坐标为 B. 若直线过点，则
C. 若，则的最小值为 D. 若，则线段的中点到轴的距离为
【规律方法】
1.抛物线上一点到焦点的距离，也称为抛物线的焦半径.
2．的焦点坐标为，准线方程为.
3.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
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