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专题18 圆锥曲线中的轨迹问题
探究1：与椭圆有关的轨迹问题
【典例剖析】
例1.(2022·辽宁省鞍山市模拟)在平面直角坐标系中，满足，，，
，的平分线与点的轨迹相交于点存在非零实数，使得，则顶点的轨迹方程为 ．
【变式训练】
练1-1(2022·浙江省杭州市联考)已知点，，直线，动点到点的距离和它到直线的距离之比为，则的最大值是( )
A. B. C. D.
练1-2(2022·湖南省长沙市模拟)已知，，直线，的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．
求的方程
直线与曲线交于，两点,为坐标原点,若直线，的斜率之积为,证明：的面积为定值．
【规律方法】
1.定义法
如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程.
2.直译法：
如果动点的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点所满足的几何上的等量关系，再用点的坐标表示该等量关系式，即可得到轨迹方程.
3.参数法：
如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点运动的某个几何量，以此量作为参变数，分别建立点坐标与该参数的函数关系，，进而通过消参化为轨迹的普通方程.
4.代入法（相关点法）：
如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出,用表示出相关点的坐标,然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程.
注意：
①在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围.
②一个动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数(不等于)，轨迹即为椭圆.
探究2：与双曲线有关的轨迹问题
【典例剖析】
例2.(2021·浙江卷)已知 ，若函数，且，，成等比数列，则平面上点的轨迹是
A. 直线和圆 B. 直线和椭圆 C. 直线和双曲线 D. 直线和抛物线
【变式训练】
练2-1(2022·河北省唐山市模拟)已知，动点，若以线段为直径的圆与圆外切，则动点的轨迹方程为 ．
练2-2(2022·江苏省南京市联考)在平面直角坐标系中，已知直线，点，动点到点的距离是它到直线的距离的倍，记的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
过点且斜率大于的直线交于、两点，点，连接、交直线于、两点，证明：点在以为直径的圆上．
【规律方法】
1.利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：
（1）建系：建立适当的坐标系
（2）设点：设轨迹上的任一点
（3）列式：列出有限制关系的几何等式
（4）代换：将轨迹所满足的条件用含的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为的方程式化简
（5）检验：对某些特殊值应另外补充检验．
2.交轨法：
在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用.
3.点差法
圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，两式相减可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程．
探究3：与抛物线有关的轨迹问题
【典例剖析】
例3.(2022·湖北省武汉市联考)已知，动点满足以为直径的圆与轴相切，记动点的轨迹为．
求的方程 设过点的直线与交于，两点，若，求直线的方程．
【变式训练】
练3-1(2022·湖南省衡阳市联考·多选)已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，且，，为坐标原点，且，若直线恒过点，则下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线方程为 B. ，
C. 的面积的最小值为 D. 弦中点的轨迹为一条抛物线
练3-2(2022·山东省模拟)在平面直角坐标系中,动点到点的距离比到直线的距离小，
求的轨迹的方程
设动点的轨迹为曲线，过点作斜率为，的两条直线分别交于两点和两点，其中设线段和的中点分别为，，过点作，垂足为试问是否存在定点，使得线段的长度为定值若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，说明理由．
【规律方法】
1.圆锥曲线统一定义(第二定义)
到定点的距离到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线.
当时为椭圆；当时为抛物线；当时为双曲线.
2.常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点的轨迹方程，这时候要注意把动点和满足焦点标志的定点连起来做判断.焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等.当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断.注意:在求解轨迹方程的题中，要注意和的取值范围.
2专题18 圆锥曲线中的轨迹问题
探究1：与椭圆有关的轨迹问题
【典例剖析】
例1.(2022·辽宁省鞍山市模拟)在平面直角坐标系中，满足，，，
，的平分线与点的轨迹相交于点存在非零实数，使得，则顶点的轨迹方程为 ．
【解析】设，因为，所以是的重心，
因为，所以，
所以，所以点在的角平分线上，
因为的平分线与点的轨迹相交于点，所以点为的内心．
设三角形的三个顶点坐标分别为，，，其对边长分别为，，，则
内心坐标为，重心坐标为，
所以点，即，，
又，，所以与轴平行，所以，，
所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，
当是椭圆的长轴的端点时，不能构成三角形，所以不能取到椭圆的长轴的端点
当是椭圆的短轴的端点时，，与已知存在非零实数，使得矛盾，
所以不能取到椭圆的短轴的端点．
又椭圆的焦距为，所以椭圆的方程为．
所以点的轨迹方程为，
故答案为，．
【变式训练】
练1-1(2022·浙江省杭州市联考)已知点，，直线，动点到点的距离和它到直线的距离之比为，则的最大值是( )
A. B. C. D.
【解析】设，则由已知得，化简得，则
，
所以时，．
故选C.
练1-2(2022·湖南省长沙市模拟)已知，，直线，的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．
求的方程
直线与曲线交于，两点,为坐标原点,若直线，的斜率之积为,证明：的面积为定值．
【解析】 解：设，则直线的斜率，直线的斜率
由题意，化简得
证明：当直线的斜率存在时，可设其方程为，
联立化简得．
设，，
则，，．
所以，
化简得，
则，
又到的距离，所以，为定值．
当直线的斜率不存在时，可设，，
则，且，解得，，此时．
综上，的面积为定值．
【规律方法】
1.定义法
如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程.
2.直译法：
如果动点的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点所满足的几何上的等量关系，再用点的坐标表示该等量关系式，即可得到轨迹方程.
3.参数法：
如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点运动的某个几何量，以此量作为参变数，分别建立点坐标与该参数的函数关系，，进而通过消参化为轨迹的普通方程.
4.代入法（相关点法）：
如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出,用表示出相关点的坐标,然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程.
注意：
①在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围.
②一个动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数(不等于)，轨迹即为椭圆.
探究2：与双曲线有关的轨迹问题
【典例剖析】
例2.(2021·浙江卷)已知 ，若函数，且，，成等比数列，则平面上点的轨迹是
A. 直线和圆 B. 直线和椭圆 C. 直线和双曲线 D. 直线和抛物线
【解析】，，成等比数列，
，
，
，
，
当时，点的轨迹是直线，
当 时，，
即 ，此时点的轨迹是双曲线．
故选．
【变式训练】
练2-1(2022·河北省唐山市模拟)已知，动点，若以线段为直径的圆与圆外切，则动点的轨迹方程为 ．
【解析】设的中点为，则为动圆圆心，设切点为，
连则连心线过切点，，，三点共线，则，
取关于轴的对称点，连，则三角形中，是平行于的中位线，
故，，
故，
即，
所以点的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线右支．
其中，，，，则动点的轨迹方程是．
故答案为．
练2-2(2022·江苏省南京市联考)在平面直角坐标系中，已知直线，点，动点到点的距离是它到直线的距离的倍，记的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
过点且斜率大于的直线交于、两点，点，连接、交直线于、两点，证明：点在以为直径的圆上．
【解析】设，由题意得，化简得，
所以曲线的方程为．
证明：设，，，，
设直线，且，
联立得，
检查
由根与系数的关系可得，，
由，解得，
由，解得，
，
，
故点在以为直径的圆上．
【规律方法】
1.利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：
（1）建系：建立适当的坐标系
（2）设点：设轨迹上的任一点
（3）列式：列出有限制关系的几何等式
（4）代换：将轨迹所满足的条件用含的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为的方程式化简
（5）检验：对某些特殊值应另外补充检验．
2.交轨法：
在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用.
3.点差法
圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，两式相减可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程．
探究3：与抛物线有关的轨迹问题
【典例剖析】
例3.(2022·湖北省武汉市联考)已知，动点满足以为直径的圆与轴相切，记动点的轨迹为．
求的方程 设过点的直线与交于，两点，若，求直线的方程．
【解析】 设，又，线段的中点坐标为，
又以为直径的圆与轴相切，，化简得：．
动点的轨迹的方程为．
设，，易知斜率不为，不妨设的方程为：，
联立得：，则，．
，，
，
，即：，
，且，
，
又
，，，
直线的方程为：，即：或．
【变式训练】
练3-1(2022·湖南省衡阳市联考·多选)已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，且，，为坐标原点，且，若直线恒过点，则下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线方程为 B. ，
C. 的面积的最小值为 D. 弦中点的轨迹为一条抛物线
【解析】设直线，联立得，
所以，，，则，
利用代入，解得，所以抛物线方程为．
且，，故A，B正确
当且仅当时取等号，故C错误
设的中点为，则，，
所以即，所以点的轨迹为一条抛物线，故D正确．
故选．
练3-2(2022·山东省模拟)在平面直角坐标系中,动点到点的距离比到直线的距离小，
求的轨迹的方程
设动点的轨迹为曲线，过点作斜率为，的两条直线分别交于两点和两点，其中设线段和的中点分别为，，过点作，垂足为试问是否存在定点，使得线段的长度为定值若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，说明理由．
【解析】 因为动点到点的距离比到直线的距离小，
所以点到点的距离和它到直线的距离相等，
点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线．
设抛物线方程为，由，得．
所以的轨迹的方程为．
由题意，直线的方程为，，，且，
由消去并整理得，
该方程的判别式．
设，，
则，，
所以，同理，
的斜率，
直线的方程为
．
直线的方程为．可见直线过定点．
又，所以点在以为直径的圆上．
故存在定点，使得线段的长度为定值．
【规律方法】
1.圆锥曲线统一定义(第二定义)
到定点的距离到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线.
当时为椭圆；当时为抛物线；当时为双曲线.
2.常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点的轨迹方程，这时候要注意把动点和满足焦点标志的定点连起来做判断.焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等.当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断.注意:在求解轨迹方程的题中，要注意和的取值范围.
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