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专题19 圆锥曲线的综合问题
探究1：中点弦问题
【典例剖析】
例1.(2022·新高考2卷)已知直线与椭圆在第一象限交于，两点，与轴轴分别相交于，两点，且，，则直线的方程为 ．
【变式训练】
练1-1(2022·浙江省联考)阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积已知椭圆的右焦点为，过作直线交椭圆于、两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为( )
A. B. C. D.
练1-2(2022·江苏省徐州市模拟·多选)已知双曲线：，若圆与双曲线的渐近线相切，则( )
A. 双曲线的实轴长为
B. 双曲线的离心率
C. 点为双曲线上任意一点，若点到的两条渐近线的距离分别为，，则
D. 直线与交于，两点，点为弦的中点，若为坐标原点的斜率为，则
【规律方法】
1.椭圆中点弦结论（以焦点在轴的椭圆方程为例）
如图，在椭圆中，为弦的中点，则;（证明：用点差法）
注：若焦点在轴上的椭圆，则.
2.双曲线中点弦结论（以焦点在轴的双曲线为例）
如图所示，为弦的中点，则;
注：若焦点在轴上的双曲线，则.
3.抛物线中点弦结论
如图，在抛物线中，若直线与抛物线相交于两点，
点是弦的中点，弦所在的直线的斜率为，则. 即：
注：在抛物线中，若直线与抛物线相交于两点，
点是弦的中点，弦所在的直线的斜率为，则.即：.
答题模板：点差法解题思路（以给定椭圆和直线斜率为例，双曲线抛物线同理）
第一步: 设直线与椭圆交点为,，AB中点,则,
第二步: 两式相减得，
第三步: 利用求出直线的斜率，线段的中点为,
化简可得.
探究2：抛物线的焦点弦问题
【典例剖析】
例2.(2022·全国甲卷理科)设抛物线的焦点为，点，过的直线交于，两点．当直线垂直于轴时，．
求的方程；
设直线与的另一个交点分别为，，记直线的倾斜角分别为当取得最大值时，求直线的方程．
【变式训练】
练2-1(2022·湖北省武汉市联考) 过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，设抛物线的准线与轴的交点为，当时， ．
练2-2(2022·江苏省南京市模拟)设抛物线：的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
求的方程；
求过点，且与的准线相切的圆的方程．
【规律方法】
1. 过抛物线焦点的弦，若点,，过A、B的直线倾斜角为,则①弦长，，，②.
2.解决抛物线的焦点弦问题时，要注意一下几点：
(1)设抛物线上有两点，则有，.
(2)利用可以整体得到或
(3)利用抛物线的定义把过焦点的弦分成两个焦半径的和，转化为到准线的距离，再求解.
(4)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用求弦长，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
探究3：圆锥曲线中的面积问题
【典例剖析】
例3.(2022·新高考1卷)已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为．
求的斜率若，求的面积．
【变式训练】
练3-1(2021·全国甲卷理科)已知为椭圆两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ．
练3-2(2021·全国乙卷理科)已知抛物线：的焦点为，且与圆：上点的距离的最小值为．
求；
若点在上，，为的两条切线，，是切点，求面积的最大值．
【规律方法】
1.面积问题的解决策略：
(1)求三角形的面积需要寻底找高,需要两条线段的长度,为了简化运算,优先选择能用坐标直接表示的底(或高)
(2)对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，其中对角线用弦长公式求解
(3)不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则可以考拆分成若干个易于计算的三角形.
2.多个图形面积的关系的转化
关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化.
3.面积的最值问题
通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析.
共5页/第1页专题19 圆锥曲线的综合问题
探究1：中点弦问题
【典例剖析】
例1.(2022·新高考2卷)已知直线与椭圆在第一象限交于，两点，与轴轴分别相交于，两点，且，，则直线的方程为 ．
【解析】取的中点为，因为，所以，
设，可得，即．
设直线，，，令，，令，，所以，
所以，，，，
所以直线，即．
故答案为．
【变式训练】
练1-1(2022·浙江省联考)阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积已知椭圆的右焦点为，过作直线交椭圆于、两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为( )
A. B. C. D.
【解析】设，，则有，两式作差得，
即，即，
，，，又，，故椭圆的面积为：．
故选：．
练1-2(2022·江苏省徐州市模拟·多选)已知双曲线：，若圆与双曲线的渐近线相切，则( )
A. 双曲线的实轴长为
B. 双曲线的离心率
C. 点为双曲线上任意一点，若点到的两条渐近线的距离分别为，，则
D. 直线与交于，两点，点为弦的中点，若为坐标原点的斜率为，则
【解析】由题意知的渐近线方程为，而圆的圆心为，所以，解得，
所以双曲线实轴长为，故A错误，
所以半焦距，所以，故B正确，
设，所以，，所以，故C正确，
对于选项D：设，，所以，，
两式相减，得，
所以，，
所以，所以，
所以，所以，所以故D正确，
故选．
【规律方法】
1.椭圆中点弦结论（以焦点在轴的椭圆方程为例）
如图，在椭圆中，为弦的中点，则;（证明：用点差法）
注：若焦点在轴上的椭圆，则.
2.双曲线中点弦结论（以焦点在轴的双曲线为例）
如图所示，为弦的中点，则;
注：若焦点在轴上的双曲线，则.
3.抛物线中点弦结论
如图，在抛物线中，若直线与抛物线相交于两点，
点是弦的中点，弦所在的直线的斜率为，则. 即：
注：在抛物线中，若直线与抛物线相交于两点，
点是弦的中点，弦所在的直线的斜率为，则.即：.
答题模板：点差法解题思路（以给定椭圆和直线斜率为例，双曲线抛物线同理）
第一步: 设直线与椭圆交点为,，AB中点,则,
第二步: 两式相减得，
第三步: 利用求出直线的斜率，线段的中点为,
化简可得.
探究2：抛物线的焦点弦问题
【典例剖析】
例2.(2022·全国甲卷理科)设抛物线的焦点为，点，过的直线交于，两点．当直线垂直于轴时，．
求的方程；
设直线与的另一个交点分别为，，记直线的倾斜角分别为当取得最大值时，求直线的方程．
【解析】抛物线的准线为，当与轴垂直时，点的横坐标为，
此时，所以，
所以抛物线的方程为；
设，直线，
由可得，，
由斜率公式可得，，
直线，代入抛物线方程可得，
，所以，同理可得，所以
又因为直线、的倾斜角分别为，所以，
若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，，所以，
所以直线．
【变式训练】
练2-1(2022·湖北省武汉市联考) 过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，设抛物线的准线与轴的交点为，当时， ．
【解析】抛物线的焦点为，准线为，则，
设，，
，，又，，
，
当直线斜率不存在时，不妨取，，
，，则，符合题意，此时，
当直线斜率存在时，由题意可设直线的方程为，
则由消去可得，得，
则
，即，不符合题意，
因此，．
故答案为8．
练2-2(2022·江苏省南京市模拟)设抛物线：的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
求的方程；
求过点，且与的准线相切的圆的方程．
【解析】 抛物线：的焦点为，
由题意可知直线的方程为：，设，，
则，整理得：，则，，
由，得：，，则，
直线的方程；
由可得的中点坐标为，
则直线的垂直平分线方程为，即，
设所求圆的圆心坐标为，
则，解得：或
因此，所求圆的方程为或．
【规律方法】
1. 过抛物线焦点的弦，若点,，过A、B的直线倾斜角为,则①弦长，，，②.
2.解决抛物线的焦点弦问题时，要注意一下几点：
(1)设抛物线上有两点，则有，.
(2)利用可以整体得到或
(3)利用抛物线的定义把过焦点的弦分成两个焦半径的和，转化为到准线的距离，再求解.
(4)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用求弦长，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
探究3：圆锥曲线中的面积问题
【典例剖析】
例3.(2022·新高考1卷)已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为．
求的斜率若，求的面积．
【解析】 将点代入双曲线方程得，化简得得：
，故双曲线方程为
由题显然直线的斜率存在，设，设，，
则联立直线与双曲线得：，，
故，，，
化简得：，
故，
即，而直线不过点，
故的斜率．
设直线的倾斜角为，由，得，
由，得，即，
联立，及得，，
同理，，，故，，
而，，
由，得，
故．
【变式训练】
练3-1(2021·全国甲卷理科)已知为椭圆两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ．
【解析】因为，为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，
设，，
由椭圆的定义可得，所以，
因为，即，
所以，
所以四边形的面积为．
故答案为．
练3-2(2021·全国乙卷理科)已知抛物线：的焦点为，且与圆：上点的距离的最小值为．
求；
若点在上，，为的两条切线，，是切点，求面积的最大值．
【解析】 点到圆上的点的距离的最小值为，解得；
由知，抛物线的方程为，即，则，
设切点，，
则易得，
从而得到，
设：，联立抛物线方程，消去并整理可得，
，即，且，，
，
，
点到直线的距离，
，
又点在圆：上，
故，代入得，，
而，
当时，．
【规律方法】
1.面积问题的解决策略：
(1)求三角形的面积需要寻底找高,需要两条线段的长度,为了简化运算,优先选择能用坐标直接表示的底(或高)
(2)对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，其中对角线用弦长公式求解
(3)不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则可以考拆分成若干个易于计算的三角形.
2.多个图形面积的关系的转化
关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化.
3.面积的最值问题
通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析.
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