资源简介

黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学2022年中考数学调研试卷（二）解析版
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．的倒数是（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．
2．下列运算正确的是（　　）
A．a2 a3＝a4 B．（a2）3＝a5 C．a2+a3＝a5 D．（﹣a）4＝a4
3．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
4．已知反比例函数的图象经过点P（﹣1，﹣2），则这个函数的图象位于（　　）
A．第二、三象限 B．第一、三象限
C．第三、四象限 D．第二、四象限
5．如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
6．一辆汽车沿坡角为α的斜坡前进500米，则它上升的最大高度为（　　）
A．500sinα B． C．500cosα D．
7．某水果园2013年水果产量为50吨，2015年水果产量为75吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（　　）
A．75（1﹣x）2＝50 B．50（1﹣x）2＝75
C．50（1+x）2＝75 D．75（1+x）2＝50
8．如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝35°，则∠OAC的度数是（　　）
A．35° B．55° C．65° D．70°
9．如图，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则下列结论中错误的是（　　）
A． B． C． D．
10．小明和小强两名同学同时进行800米耐力跑，小明和小强所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，下列说法正确的是（　　）
A．小明的速度随时间的增大而增大
B．小强的平均速度比小明的平均速度大
C．在起跑后180秒后，小强的速度为5米/秒
D．在起跑后50秒时．小明在小强的前面
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．根据Worldometer实时统计数据，截至北京时间2022年5月16日，美国累计确诊新冠肺炎病例约为84000000例，令人触目惊心，同时也为我们伟大的祖国在抗疫上取得的成就而骄傲．把84000000用科学记数法表示为 　 　．
12．在函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
13．多项式ab2﹣2ab+a分解因式的结果是　 　．
14．计算的结果是 　 　．
15．不等式组的解集为 　 　．
16．抛物线y＝2（x﹣1）2﹣3的顶点坐标为 　 　．
17．在围棋盒中有x颗白色棋子和6颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋的概率是，则盒中有白色棋子 　 　颗．
18．圆心角为60°的扇形的面积为π，则扇形的半径为 　 　．
19．如图，已知矩形ABCD中，点E为AD的中点，F为CD中点，AB＝4，AD＝6，点H为BC上一点且EH为，则线段FH的长为 　 　．
20．如图，四边形ABCD，连接AC、BD，AB＝AD，∠CAD＝3∠BAC，∠CBD＝90°，若AB：BD＝5：8，若，则CD的长为 　 　．
三.解答题（21、22每题7分，23、24每题8分，25、26、27每题10分）
21．（7分）先化简，再求代数式：（﹣）÷的值，其中x＝2+tan60°，y＝4sin30°．
22．（7分）图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各画一个三角形，满足以下要求：
（1）在图1中，画直角三角形ABC，点C在小正方形的顶点上，使其面积为5；
（2）在图2中，画平行四边形ABEF，点E、F在小正方形的顶点上，且使其面积为7．并直接写出AE的长．
23．（8分）2022年3月中旬起，哈尔滨市又一次经历了疫情的考验，同学们不得不在线上进行了很长一段时间的学习，在线上上课期间，学校提倡同学们在空余时间多读书来充实自己．某学校为了解学生的疫情期间的课外阅读情况，张老师随机抽查部分学生，并对其疫情期间的课外阅读量进行统计分析，绘制成如图所示但不完整的统计图．已知抽查的学生在疫情期间阅读量为2本的人数占抽查总人数的20%，根据所给出信息，解答下列问题：
（1）求被抽查学生人数；
（2）通过计算，将条形统计图补充完整；
（3）若规定：疫情阅读3本及3本以上课外书者为良好，据此估计该校1500名学生中，达到良好程度的有多少名学生？
24．（8分）如图，四边形ABCD为平行四边形，点O为BD的中点，过点O作EF⊥BD，交AD于点F，交BC于点E．
（1）如图1，求证：四边形FBED为菱形；
（2）如图2，当∠A＝90°，∠ABF＝∠BDE时，请直接写出图中所有等于OF长的所有线段．
25．（10分）某商店购进A、B两种商品，B商品每件进价比A商品每件进价多1元，若60元购进A商品的件数与72元购进B商品的件数相同．
（1）求A、B商品每件进价分别是多少元？
（2）若该商店购进A、B两种商品共140件，A种商品每件售价8元，B种商品每件售价10元，全部商品售出后，获利不少于460元，求最多购进A商品多少件？
26．（10分）已知，BF为⊙O直径，弦AB交弦CD于点E，连接AD、CF、BC，AD＝CF．
（1）如图1，求证：AB⊥CD；
（2）如图2，连接CG，点G为BE上一点，连接CG，若∠CGB﹣∠F＝2∠CBF，求证：AE＝EG；
（3）如图3，连接BD，BD＝CG，过点A作⊙O的切线交CF的延长线于点H，过点B作BK⊥BC，作CK∥BF交BK于点K，连接DK，若tan∠BCG＝，AH＝2，求DK的长．
27．（10分）如图1，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+4交x轴于C，交y轴于A，点B与点C关于y轴对称．
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图2，点E为AC上一点，以BE为斜边作等腰直角三角形BEF，FE＝FB，∠BFE＝90°，连接AF，设AF的长为m，EC的长为d，求d与m之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）
（3）如图3，点G为y轴负半轴上一点，连接EG交x轴于点H，EG＝BF，连接FH交BE于点Q，点I为FQ上一点，且BF＝BI，若，求IQ的长．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．的倒数是（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．
【解答】解：的倒数是﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2．下列运算正确的是（　　）
A．a2 a3＝a4 B．（a2）3＝a5 C．a2+a3＝a5 D．（﹣a）4＝a4
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；乘方的意义，对各选项计算后利用排除法求解．
【解答】解：A、应为a2 a3＝a2+3＝a5，故本选项错误；
B、应为（a2）3＝a2×3＝a6，故本选项错误；
C、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
D、（﹣a）4＝a4，正确．
故选：D．
【点评】本题综合考查整式的运算，有同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方的意义，熟练掌握运算性质和运算法则是解题的关键．
3．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．已知反比例函数的图象经过点P（﹣1，﹣2），则这个函数的图象位于（　　）
A．第二、三象限 B．第一、三象限
C．第三、四象限 D．第二、四象限
【分析】先根据反比例函数的图象经过点P（﹣1，﹣2）求出k的值，再根据反比例函数的性质进行解答．
【解答】解：∵反比例函数的图象经过点P（﹣1，﹣2），
∴k＝（﹣1）×（﹣2）＝2＞0，
∴此函数的图象位于一、三象限．
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k＝xy的特点是解答此题的关键．
5．如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据俯视图有3列，2行，每行小正方形数目分别为3，2，从而画出图形．
【解答】解：根据题意它的俯视图是：
故选：D．
【点评】本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的俯视图时应注意小正方形的数目及位置．
6．一辆汽车沿坡角为α的斜坡前进500米，则它上升的最大高度为（　　）
A．500sinα B． C．500cosα D．
【分析】在三角函数中，根据坡度角的正弦值＝垂直高度：坡面距离即可解答．
【解答】解：如图，∠A＝α，AE＝500．
则EF＝500sinα．
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度角问题，通过构造直角三角形，利用锐角三角函数求解．
7．某水果园2013年水果产量为50吨，2015年水果产量为75吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（　　）
A．75（1﹣x）2＝50 B．50（1﹣x）2＝75
C．50（1+x）2＝75 D．75（1+x）2＝50
【分析】2015年的产量＝2013年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【解答】解：2014年的产量为50（1+x），
2015年的产量为50（1+x）（1+x）＝50（1+x）2，
即所列的方程为50（1+x）2＝75．
故选：C．
【点评】考查列一元二次方程；得到2015年产量的等量关系是解决本题的关键．
8．如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝35°，则∠OAC的度数是（　　）
A．35° B．55° C．65° D．70°
【分析】在同圆和等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，所以∠AOC＝2∠D＝70°，而△AOC中，AO＝CO，所以∠OAC＝∠OCA，而180°﹣∠AOC＝110°，所以∠OAC＝55°．
【解答】解：∵∠D＝35°，
∴∠AOC＝2∠D＝70°，
∴∠OAC＝（180°﹣∠AOC）÷2＝110°÷2＝55°．
故选：B．
【点评】本题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系．规律总结：解决与圆有关的角度的相关计算时，一般先判断角是圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，利用同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解，特别地，当有一直径这一条件时，往往要用到直径所对的圆周角是直角这一条件．
9．如图，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则下列结论中错误的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再变形，即可判断各个选项．
【解答】解：A、∵AB∥CD，
∴＝，故本选项不符合题目要求；
B、∵AE∥DF，
∴△CEG∞△CDH，
∴＝，
∴＝，
∵AB∥CD，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝，故本选项不符合题目要求；
∵AB∥CD，AE∥DF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AF＝DE，
∵AE∥DF，
∴，
∴＝，故本选项不符合题目要求；
D、∵AE∥DF，
∴△BFH∞△BAG，
∴，故本选项符合题目要求；
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键．
10．小明和小强两名同学同时进行800米耐力跑，小明和小强所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，下列说法正确的是（　　）
A．小明的速度随时间的增大而增大
B．小强的平均速度比小明的平均速度大
C．在起跑后180秒后，小强的速度为5米/秒
D．在起跑后50秒时．小明在小强的前面
【分析】根据函数图象可以判断各个选项中语句是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得：
小明对应的函数图象是线段OA，由图象可知小明在匀速跑步，故选项A错误，不符合题意；
由图象可知，小明先跑完800米，则小明的平均速度比小强的平均速度大，故选项B错误，不符合题意；
在起跑后180秒时，小强用220﹣180＝40（秒），跑的路程是800﹣600＝200（米），速度是200÷40＝5（米/秒），故选项C正确，符合题意；
在起跑后50秒时，小强在小明的前面，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．根据Worldometer实时统计数据，截至北京时间2022年5月16日，美国累计确诊新冠肺炎病例约为84000000例，令人触目惊心，同时也为我们伟大的祖国在抗疫上取得的成就而骄傲．把84000000用科学记数法表示为 　8.4×107　．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：84000000＝8.4×107．
故答案是：8.4×107．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
12．在函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≠﹣3　．
【分析】根据分母不等于0解答即可．
【解答】解：由题意得，x+3≠0，
解得x≠﹣3．
故答案为：x≠﹣3．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13．多项式ab2﹣2ab+a分解因式的结果是　a（b﹣1）2　．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：ab2﹣2ab+a
＝a（b2﹣2b+1）
＝a（b﹣1）2．
故答案为：a（b﹣1）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14．计算的结果是 　﹣　．
【分析】先分母有理化，再合并同类二次根式．
【解答】解：2﹣
＝2﹣3
＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握分母有理化及合并同类二次根式的法则．
15．不等式组的解集为 　﹣1＜x≤1　．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：，
由①得：x≤1，
由②得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
故答案为：﹣1＜x≤1．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
16．抛物线y＝2（x﹣1）2﹣3的顶点坐标为 　（1，﹣3）　．
【分析】由抛物线解析式求解．
【解答】解：∵y＝2（x﹣1）2﹣3，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣3），
故答案为：（1，﹣3）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
17．在围棋盒中有x颗白色棋子和6颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋的概率是，则盒中有白色棋子 　4　颗．
【分析】由从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是，可得方程＝，依此解方程即可求得x的值．
【解答】解：依题意有：＝，
解得x＝4，
经检验，x＝4是方程的解．
故盒中有白色棋子4颗．
故答案为：4．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．注意方程思想的应用是解此题的关键．
18．圆心角为60°的扇形的面积为π，则扇形的半径为 　3　．
【分析】根据扇形面积计算公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
S＝，
即＝，
解得：r＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键．
19．如图，已知矩形ABCD中，点E为AD的中点，F为CD中点，AB＝4，AD＝6，点H为BC上一点且EH为，则线段FH的长为 　或2　．
【分析】根据题意画出图形，结合矩形的性质和勾股定理解答即可．
【解答】解：由题意可知，H点的位置分两种情况：
①如图1，过点E作EG⊥BC，
∵EH＝2，EG＝AB＝4，
∴GH＝2，
∵GC＝ED＝AD＝3，
∴CH＝1，
∴FH＝＝；
②如图2，
由①可知，GH＝2，
∵GC＝3，
∴CH＝5，
∴FH＝＝，
综上所述：FH的长为或，
故答案为：或．
【点评】本题主要考查了矩形的性质和勾股定理，熟练掌握相关的性质定理是解答本题的关键．
20．如图，四边形ABCD，连接AC、BD，AB＝AD，∠CAD＝3∠BAC，∠CBD＝90°，若AB：BD＝5：8，若，则CD的长为 　　．
【分析】作AE⊥BD于点E，设AC、BD交于点F，可证明∠EAC＝∠BCA，△AEF∽△CBF，由AB＝AD得∠BAE＝∠DAE，可推导出∠BAC＝∠EAC＝∠BCA，得AB＝CB，设AB＝CB＝5m，由AB：BD＝5：8得BD＝8m，则BE＝DE＝4m，根据勾股定理得AE＝3m，则＝＝，所以CF＝×4＝，作FG⊥AB于点G，证明AG＝AE＝3m，则BG＝2m，所以＝＝，得GF＝m，由勾股定理求得BF＝m，可列方程（5m）2+（m）2＝（）2，求得m＝1，则CB＝5，BE＝DE＝4，BD＝8，再由勾股定理求得CD＝．
【解答】解：如图，作AE⊥BD于点E，设AC、BD交于点F，
∴∠AEB＝∠CBD＝90°，
∴AE∥CB，
∴∠EAC＝∠BCA，△AEF∽△CBF，
∵AB＝AD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠CAD＝∠EAC+∠DAE＝∠EAC+∠BAE＝2∠EAC+∠BAC，
∵∠CAD＝3∠BAC，
∴3∠BAC＝2∠EAC+∠BAC，
∴∠BAC＝∠EAC＝∠BCA，
∴AB＝CB，
设AB＝CB＝5m，
∵AB：BD＝5：8，
∴BD＝8m，
∴BE＝DE＝BD＝4m，
∴AE＝＝＝3m，
∴＝＝＝，
∵，
∴CF＝AC＝×4＝，
作FG⊥AB于点G，则∠BGF＝∠AGF＝∠AEF＝90°，GF＝EF，
∵AF＝AF，
∴Rt△AGF≌Rt△AEF（HL），
∴AG＝AE＝3m，
∴BG＝2m，
∵＝＝tan∠ABE＝＝，
∴GF＝BG＝×2m＝m，
∴BF＝＝＝m，
∵CB2+BF2＝CF2，
∴（5m）2+（m）2＝（）2，
∴解得m＝1或m＝﹣1（不符合题意，舍去），
∵CB＝5，BE＝DE＝4，
∴BD＝BE+DE＝8，
∴CD＝＝＝，
故答案为：．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
三.解答题（21、22每题7分，23、24每题8分，25、26、27每题10分）
21．（7分）先化简，再求代数式：（﹣）÷的值，其中x＝2+tan60°，y＝4sin30°．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝ ＝，
当x＝2+，y＝4×＝2时，原式＝．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（7分）图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各画一个三角形，满足以下要求：
（1）在图1中，画直角三角形ABC，点C在小正方形的顶点上，使其面积为5；
（2）在图2中，画平行四边形ABEF，点E、F在小正方形的顶点上，且使其面积为7．并直接写出AE的长．
【分析】（1）作一个直角边分别为，2的直角三角形即可；
（2）利用数形结合的思想画出图形即可．
【解答】解：（1）如图1中，△ABC即为所求；
（2）如图2中，平行四边形ABEF即为所求．AE＝＝．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
23．（8分）2022年3月中旬起，哈尔滨市又一次经历了疫情的考验，同学们不得不在线上进行了很长一段时间的学习，在线上上课期间，学校提倡同学们在空余时间多读书来充实自己．某学校为了解学生的疫情期间的课外阅读情况，张老师随机抽查部分学生，并对其疫情期间的课外阅读量进行统计分析，绘制成如图所示但不完整的统计图．已知抽查的学生在疫情期间阅读量为2本的人数占抽查总人数的20%，根据所给出信息，解答下列问题：
（1）求被抽查学生人数；
（2）通过计算，将条形统计图补充完整；
（3）若规定：疫情阅读3本及3本以上课外书者为良好，据此估计该校1500名学生中，达到良好程度的有多少名学生？
【分析】（1）从统计图中可得调查人数中读2本的学生有10人，占调查人数的20%，可求出被调查人数；
（2）求出读4本的学生人数，即可补全条形统计图；
（3）样本估计总体，样本中读3本及以上的学生占，估计总体中读3本以及以上的学生也占，进而求出1500人的即可．
【解答】解：（1）10÷20%＝50（名），
答：被抽查学生人数为50名；
（2）50﹣4﹣10﹣15﹣6＝15（名），
补全条形统计图如图所示：
（3）1500×＝1080（名），
答：估计该校1500名学生中，达到良好程度的有1080名学生．
【点评】本题考查条形统计图的意义和制作方法，理解各个数据之间的关系式正确解答的关键，样本估计总体是统计中常用方法．
24．（8分）如图，四边形ABCD为平行四边形，点O为BD的中点，过点O作EF⊥BD，交AD于点F，交BC于点E．
（1）如图1，求证：四边形FBED为菱形；
（2）如图2，当∠A＝90°，∠ABF＝∠BDE时，请直接写出图中所有等于OF长的所有线段．
【分析】（1）根据平行四边形的性质，易证△BOE≌△DOF（ASA），可得OE＝OF，即可得证；
（2）根据已知条件可得∠ABF＝∠FBO＝∠OBE＝30°，可知OB＝OF，再证明△ABF≌△OBF（AAS），可知AB＝OB，再根据AB＝DC，OB＝OD，即可求出所有满足条件的线段．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
又∵O是BD的中点，
∴BO＝DO，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴OE＝OF，
∵OB＝OD，且EF⊥BD，
∴四边形FBED是菱形；
（2）解：∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵四边形FBED是菱形，
∴∠FBD＝∠EBD＝∠BDE，
∵∠ABF＝∠BDE，
∴∠ABF＝∠FBO＝∠DBE＝30°，
∵EF⊥BD，
∴∠BOF＝90°，BO＝OF，
在△ABF和△OBF中，
，
∴△ABF≌△OBF（AAS），
∴AB＝OB＝OF，
∵AB＝DC，OB＝OD，
∴等于OF长的线段有：OB，OD，AB，DC．
【点评】本题考查了菱形的性质和判定，涉及全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，矩形的性质和判定，熟练掌握这些知识是解题的关键．
25．（10分）某商店购进A、B两种商品，B商品每件进价比A商品每件进价多1元，若60元购进A商品的件数与72元购进B商品的件数相同．
（1）求A、B商品每件进价分别是多少元？
（2）若该商店购进A、B两种商品共140件，A种商品每件售价8元，B种商品每件售价10元，全部商品售出后，获利不少于460元，求最多购进A商品多少件？
【分析】（1）设购进A商品每件进价x元，则B商品每件进价为（x+1）元，由题意：60元购进A商品的件数与72元购进B商品的件数相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进A商品a件，则购进B种商品（140﹣a）件，由题意：全部商品售出后，获利不少于460元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设购进A商品每件进价x元，则B商品每件进价为（x+1）元，
由题意得：＝，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
答：A商品每件进价5元，B商品每件进价6元；
（2）设购进A商品a件，则购进B种商品（140﹣a）件，
由题意得：（8﹣5）a+（10﹣6）×（140﹣a）≥460，
解得：a≤100，
答：最多购进A商品100件．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
26．（10分）已知，BF为⊙O直径，弦AB交弦CD于点E，连接AD、CF、BC，AD＝CF．
（1）如图1，求证：AB⊥CD；
（2）如图2，连接CG，点G为BE上一点，连接CG，若∠CGB﹣∠F＝2∠CBF，求证：AE＝EG；
（3）如图3，连接BD，BD＝CG，过点A作⊙O的切线交CF的延长线于点H，过点B作BK⊥BC，作CK∥BF交BK于点K，连接DK，若tan∠BCG＝，AH＝2，求DK的长．
【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理得到∠CFB＝∠EDB，再由∠ABD＝∠CBF，∠CFB+∠CBF＝90°，推导出∠EBD+∠EDB＝90°，即可证明；
（2）连接AC，根据（1）的推导，结合三角形外角性质，得到∠CBF＝∠ECG，根据据圆周角定理得到∠ACD＝∠CBF，则有∠ACD＝∠GCE，可证明△ACG是等腰三角形，由此可证；
（3）连接AC、AF、BD、AO，过点H作HM⊥AF交于点M，过点G作GN⊥BC交于点N，过点D作DL⊥BK交延长线于点L，先证明△BED≌△CEG（AAS），得到BE＝CE，推导出NG＝NB，再由tan∠BCG＝＝，设BN＝x，则GN＝x，CN＝2x，分别求出BG＝x，BC＝3x，CE＝BE＝x，EG＝x，AE＝EG＝x，推导出∠GCB＝∠FBA，可得tan∠FBA＝＝，则AF＝x，利用切线的性质，直径所对的圆周角是直角，再推导出∠HAF＝∠FBA，得到tan∠HAF＝＝，由已知AH＝2，分别求出HM＝2，AM＝4，即可求出AB＝12，AG＝BG＝6，AE＝EG＝3，BE＝GE＝9，由相交弦定理得到CD ED＝AE BE，求出ED＝3，即可得到AD＝3，BD＝3，再证明四边形CFBK是平行四边形，得到FC＝BK＝AD＝3，进一步推导出∠DBL＝∠FBA，则tan∠DBL＝＝，能够求出DL＝3，BL＝6，KL＝9，在Rt△DKL中，用勾股定理求得DK＝＝6．
【解答】（1）证明：∵连接BD，
∵BF为⊙O直径，
∴∠BCF＝90°，
∴∠CFB+∠CBF＝90°，
∵AD＝CF，
∴∠ABD＝∠CBF，
∵＝，
∴∠CFB＝∠EDB，
∴∠EBD+∠EDB＝90°，
∴AB⊥CD；
（2）证明：连接AC，
由（1）知，∠CEG＝90°，∠BCF＝90°，
∵∠CGB﹣∠F＝2∠CBF，
∴∠CGB＝∠F+∠CBF+∠CBF，
∵∠F+∠CBF＝90°，
∴∠CGB＝90°+∠CBF，
∵∠CGB＝90°+∠ECG，
∴∠CBF＝∠ECG，
∵AD＝CF，
∴∠ACD＝∠CBF，
∴∠ACD＝∠GCE，
∵CD⊥AG，
∴AE＝EG；
（3）解：连接AC、AF、BD、AO，过点H作HM⊥AF交于点M，过点G作GN⊥BC交于点N，过点D作DL⊥BK交延长线于点L，
由（2）知，∠CAG＝∠CGA，
∵＝，
∴∠CDB＝∠CAB，
∴∠CGA＝∠CDB，
∵CG＝BD，∠BED＝∠CEG＝90°，
∴△BED≌△CEG（AAS），
∴BE＝CE，
∵CD⊥AB，
∴∠EBC＝∠ECB＝45°，
∵GN⊥BC，
∴∠NGB＝45°，
∴NG＝NB，
∵tan∠BCG＝＝，
设BN＝x，则GN＝x，CN＝2x，
∴BG＝x，BC＝3x，
∴CE＝BE＝x，
∴EG＝x，
∵AE＝EG，
∴AE＝EG＝x，
∵CF＝AD，
∴∠CBF＝∠ACD，
∵∠ACD＝∠DCG，
∴∠CBF＝∠ECG，
∵∠ECG+∠GCB＝∠CBF+∠FBA＝45°，
∴∠GCB＝∠FBA，
∴tan∠FBA＝＝，
∴AF＝x，
∵OA是圆O的切线，
∴∠HAO＝90°，
∵BF是圆O的直径，
∴∠FAB＝90°，
∴∠HAF＝∠FBA，
∴tan∠HAF＝＝，
∴AM＝2HM，
∵AH＝2，
∴HM＝2，AM＝4，
∴x＝6，
∴AB＝12，AG＝BG＝6，AE＝EG＝3，
∴BE＝GE＝9，
∵CD⊥AB，
∴CD ED＝AE BE，
∴ED＝3，
∵∠AED＝90°，
∴AD＝3，BD＝3，
∵BK⊥BC，BC⊥CF，
∴CF∥BK，
∵CK∥BF，
∴四边形CFBK是平行四边形，
∴FC＝BK＝AD＝3，
∵FC＝AD，
∴∠FBC＝∠ABD，
∵∠FBC+∠FBA＝45°，∠ABD+∠DBL＝45°，
∴∠DBL＝∠FBA，
∴tan∠DBL＝＝，
∴DL＝3，BL＝6，
∴KL＝9，
在Rt△DKL中，DK＝＝6．
【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，相交弦定理，三角形全等的判定及性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定及性质，三角形函数，切线的性质是解题的关键．
27．（10分）如图1，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+4交x轴于C，交y轴于A，点B与点C关于y轴对称．
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图2，点E为AC上一点，以BE为斜边作等腰直角三角形BEF，FE＝FB，∠BFE＝90°，连接AF，设AF的长为m，EC的长为d，求d与m之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）
（3）如图3，点G为y轴负半轴上一点，连接EG交x轴于点H，EG＝BF，连接FH交BE于点Q，点I为FQ上一点，且BF＝BI，若，求IQ的长．
【分析】（1）先求出A点和B点的坐标，然后用待定系数法求解析式即可；
（2）过点F作FH⊥FA交AB于点H，记AB、EF的交点为P，证明△FAE≌△FHB（ASA），可得BH＝AE，FH＝AF，从而可得结论；
（3）过点E作EL⊥y轴于点L，过点B作BK⊥FH于点K，过点E作EN⊥x轴于点N，交FA的延长线于点M，根据，设AF＝EN＝4m，EM＝EL＝a＝AM，利用三角函数得出a＝12m，进而求出m得值，利用勾股定理求出FK的值，最后求出IQ的长即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+4交x轴于C，交y轴于A，
当y＝0时，x＝4，当x＝0时，y＝4，
∴C（4，0），A（0，4），
∵点B与点C关于y轴对称，
∴B（﹣4，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+4；
（2）过点F作FH⊥FA交AB于点H，记AB、EF的交点为P，
∵A（0，4），B（﹣4，0），C（4，0），
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠OAC＝∠OCA＝45°，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠BFE＝90°，
∵∠FPB＝∠APE，
∴∠FBP＝∠FEA，
∵∠BAC＝∠BFE＝90°，
∴∠BFH+∠HFE＝90°＝∠HFE+∠AFE，
∴∠BFH＝∠EFA，
又BF＝EF，
∴△FAE≌△FHB（ASA），
∴BH＝AE，FH＝AF，
∴AB﹣BH＝AC﹣AE，AH＝AF，
∴AH＝CE，
即CE＝AF，
∴d＝m；
（3）过点E作EL⊥y轴于点L，过点B作BK⊥FH于点K，过点E作EN⊥x轴于点N，交FA的延长线于点M，
由（2）问可知∠BAF＝∠BAO＝45°，则AF⊥y轴，
∴FA∥BC，FA⊥EN，
则∠CAO＝∠MAE＝45°，
∴EL＝EM＝AM，
而EG＝BF，BF＝EF，则EF＝EG，
∵∠M＝∠GLE＝90°，
∴Rt△FME≌Rt△GLE（HL），
∴∠FEM＝∠GEL，
∵∠FEL+∠FEM＝90°，
∴∠GEL+∠FEL＝90°，
∴∠FEG＝90°，
∴∠HEN+∠FEM＝90°，
∵∠EFM+∠FEM＝90°，
∴∠MFE＝∠HEN，
由（2）可知，EC＝AF，又CE＝EN，
∴AF＝EN，
∵＝，
∴，
∴sin∠EHN＝，
∴tan∠EHN＝，
∴tan∠FEM＝，
设AF＝EN＝4m，EM＝EL＝a＝AM，
∴tan∠FEM＝＝，
∴a＝12m，
∴FM＝16m＝MN＝4，
∴m＝，
∴AF＝1，EM＝3，
∴FE＝5，
过点Q作QR⊥EF于R，
∵AF＝1，AO＝4，EN＝1，HN＝，ON＝AM＝3，
∴F（﹣1，4），E（3，1），H（，0），
待定系数法可得：直线BE的解析式为y＝x+，直线FH的解析式为y＝﹣+，
∴，
解得，
∴Q（，），
∴FQ＝＝，BI＝BF＝＝5，FH＝＝，
由勾股定理可得：FB2﹣FK2＝BH2﹣KH2，
即52﹣FK2＝（4+）2﹣（）2，
∴FK＝，
∵BF＝BI，BK⊥FH，
∴FK＝IK＝，
∴IQ＝﹣2×＝．
【点评】本题主要考查一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的性质，待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数等知识是解题的关键，本题综合程度高属于中考压轴题．

展开更多......

收起↑