资源简介

2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（决赛）
第天
2022年12月29日8：00-12：30
1.设正实数序列{an},{bn}满足：对任意正整数n,均有
an+1 an -
凸1，bn+1=bn+
1
1+
1+1
i=1 ai
台b
(1)若a1oob1o0=a101b101,求a1-b1的值.
(2)若a100=bg9,比较a100+b100与a101+b101的大小.
2.给定一个边长为1的正三角形ABC.称（△DEF,△XYZ)是一个好三角形对，如果点D.E.F
分别在线段BC.CA,AB内部，点X.Y,Z分别在直线BC.CA,AB上，满足
201
22=3S·且XY⊥DE.YZ⊥ERZX⊥FD
DE EF FD
当（△DEF,△XYZ)取遍所有好三角形对时，求
1
1
S△DEF
的所有可能值
S△XYZ
3.给定正整数m和n.将正2m+2m边形的2m个顶点染黑色，其余2n个顶点染白色.定义两
个黑点B.C的染色距离d(B.C)为直线BC两侧的白点数目的较小者；定义两个白点W,X的染
色距离d(W.X)为直线WX两侧的黑点数目的较小者.一个黑点配对方案男是指将所有2m个
黑点标记为B1,·.Bm,C,·,Cm,使得m条线段B:C(1≤元≤m)两两不相交.对任一黑点配
对方案男，记
P()=∑dB.C).
=1
一个白点配对方案W是指将所有2n个白点标记为W,·,WnX1·,Xn,使得n条线段W:X:
(1≤i≤)两两不相交.对任一白点配对方案准，记
P()=
∑d(w.X)
证明：无论顶点的染色方式如何，均有
max P()max P().
其中等式两边的最大值分别在所有可能的黑点配对方案男和白点配对方案准中选取，
1
2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（决赛）
第二
2022年12月30日8：00-12：30
4.求最小的正整数n≥3，满足：平面上存在n个点A1,A2,···An,其中任意三点不共线，且对任
意1≤i≤n,存在1≤j≤n()卡)，使得线段AA+1经过线段A:A+1的中点.这里An+1=A1.
5.证明存在正数C,使得如下结论成立：
对任意一个无穷多项的正整数等差数列a1,a2,a3,·,若a1和a2的最大公约数无平方因子，则
存在正整数m≤C·a吃，使得am无平方因子.
注：称正整数N无平方因子，若它不被任何大于1的平方数整除，
6.有n(n≥8)座机场，某些机场之间有单向直达航线.对任意两座机场a.b,从a飞往b的单
向直达航线至多一条（可能同时有从a飞往b和从b飞往α的单向直达航线）.已知对任意由若干
座机场构成的集合A(1≤A≤n-1),都有至少4·min{A,n.-A}条单向直达航线从A中的
机场飞往A之外的机场.
证明：对任意一座机场x,都可以从x出发，经过不超过√2条单向直达航线回到机场x.
22022年中国数学奥林匹克（CMO)试题及解析
1.设正实数序列{an},{bn}满足：对任意正整数n,均有
1
an+1 an-
bn+1 =on+
1+1
i=1 ai
6
(1)若a10ob100=a101b101·求a1-b1的值，
(2)若a100=bgg,比较a100+b100与a101+b101的大小.
解：()设1+公1=6,1+公1=d,因此
台ia,
白16，
1
1
.bn+1=bn+
1
an+l an-
Cn
，cn+1=Cn+—,dn+1=dn+，
an+l
bn+1
由a101b101=a1o0b100,即
C100
d100
a100b100,即a100C100-b100d100=1,
anCn an-1Cn-1 anCn-
cn-1=an(cn-cn-1)-1=0,得到{ancn}为常数
Cn-1
列，ancn=a1C1=a1十1.
ondn -On-1dn-1=ondn
dn-1=bn(dn-dn-1)+1=2.得到{bndn}为首
项b1d1=b1
+)
=b1+1,公差为2的等差数列
因此a100c100-b100d100=(a1+1)-(b1+1)-198=a1-b1-198=1,即a1-b1=199.
(2)由(1)易得anG=anGn-1十1=1+1，因此G=+1以及n-1=4,得到
an
an
c=a1+1=a1
an
an+1
得到1=a:因此an=a1+1可
an al+1'
同理ndn=bndn-1+1=b1十2n-1.因此dn=b+2n-1以及dn-1=+2n-2,得到
On
bn
d=1+2n-1_b1+2n
bn+1
即=得到6=十n2n+
(b+2m-3)(b1+2m-5)…(b1+1)
因为a100+b100-a101-b101=(a100-a101）-(b101-b100）=1-1=40二01m.因此
C100d100
C100d100
只需要比较d1o0和c100即可.
又d1o0=b+199=+199b1t197.G100=2十1，a1o0=b0.因此只需比较+19)6+197
6100
bg9(b1+198)
a100
b1+198
和a1+1即可.
假设6+19+197≤1+a1,即a1≥1+197-6十19s>1+196
1
b1+198
而
99
b1(b1+2)·(b1+196)
a100=bg9→a1
a1+1
(b1+1)(b1+3)…(b1+195)
100
b(b1+2)…(b1+196)(b1+198)
a1+1
(b1+1)(b1+3)…(b1+195)(b1+197)(b+199)
而
2
b1(b1+198)
b1+99
261+199
2b1+199
(b1+1)(b1+199)
b1+100
b(b1+198)(b1+99)2
显然成立
因此
100
01
(b1+2)…(b1+196)
b1+99
01+1
(b1+3).(61+197)
b1+100
此时a1>b1+196.得到a1>+196>…>b,+2
a1+1b1+197
b1+3
+7>
,+99矛盾
b1+100
因此假设不成立，只能位+19)6+197>1+a1·推出a1o0+b100>a101+b101
b1+198
2.给定一个边长为1的正三角形ABC.称（△DEF,△XYZ)是一个好三角形对，如果点D,E,
F分别在线段BC,CA,AB内部.点X,Y,Z分别在直线BC,CA,AB上，满足
DE=EE=ED.且XY⊥DE,YZ⊥EF,ZX⊥FD
20
22
38
当（△DEF△XYZ取遍所有好三角形对时.求3DEp十SY2
。1一的所有可能值
解：如图，过D.E.F分别作BC.CA.AB的垂线，两两交点设为UVW(△UVW为正三角形)，
设⊙(AEF),⊙(BDF).⊙(CDE)交于密克点M.易知U,V.W分别在⊙(AEF).⊙(BDF),⊙(CDE)
上
2

展开更多......

收起↑