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共点力的平衡
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提问：什么是共点力？
甲、丁中所受的力就是共点力，今天我们就来研究物体受共点力平衡的情况。
定义：几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于一点，这几个力叫作共点力。
一、共点力的平衡状态
G
FN
物体受到几个力作用时，如果保持静止或匀速直线运动状态，我们就说这个物体处于平衡状态。
静止状态特征：v=0 , a=0。
匀速直线运动特征：v ≠0 , a＝0。
静态平衡
物理学中有时也出现“缓慢移动"，可以认为物体时刻处于平衡状态。
动态平衡
放在桌面上的书
沿直线公路匀速前进的汽车
A
B
沿碗壁向上缓慢爬行的蜗牛
二、共点力的平衡条件
平衡条件：作用在同一物体上的两个力，如果大小相等，方向相反，并且在同一条直线上。
G
FN
FN=G
F合=0
力的合成
① 二力平衡
在实际生产生活中，很多情况下物体受到三个力的作用而平衡，请根据前面所学知识，思考如何解决三力平衡的问题呢？
等效
三力平衡
二力平衡
力的合成
平衡条件：
F合=0
据平行四边形定则作出其中任意两个力的合力来代替这两个力，从而把三力平衡转化为二力平衡
②三力平衡
三力平衡条件：
任意两个力的合力与第三个力等大、反向、共线。三力的合力为0。
若是四个共点力、五个共点力……其平衡条件又是怎样的呢？
如果也能转换成二力平衡就好了！
多力平衡条件：物体受多个力时，任意一个力与其余各力的合力等大、反向、共线。多个力的合力为0。
三力平衡
F1
F4
F23
等效
F123
F4
二力平衡
等效
四力平衡
F2
F1
F3
F4
F23
F123
F1
F4
F23
F2
F1
F3
F4
两个力等大、反向、共线。物体所受二力的合力为0。
二力平衡条件
任意两个力的合力与第三个力等大、反向、共线。三力的合力为0 。
物体受多个力时，任意一个力与其余各力的合力等大、反向、共线。多个力的合力为0。
在共点力作用下物体平衡的条件是：F合为0
三力平衡条件
多力平衡条件
共点力平衡的条件
平衡条件的理解
共点力合力为0的具体表达形式
F合 = 0
物体受两个力时：
物体受三个力：
任意两个力的合力和第三个力是一对平衡力
正交分解：
Fx = 0
Fy = 0
物体受多个力时：
正交分解：
Fx = 0
Fy = 0
具体问题该如何处理呢？
练 一 练
F
F1
如图所示，物体在五个共点力的作用下保持平衡。如果撤去力F1，而保持其余四个力不变，请在图上画出这四个力的合力的大小和方向。
合力为0
F1
F2
F3
F4
F5
多力平衡
二力平衡
例题1、某幼儿园要在空地上做一个滑梯，根据空地的大小，滑梯的水平跨度确定为6m。设计时，滑板和儿童裤料之间的动摩擦因数取0.4，为使儿童在滑梯游戏时能在滑板上滑下，滑梯至少要多高？
A
B
C
G
Ff
FN
A
B
C
理想模型
抽象
简化
受力
分析
三、共点力平衡实例分析与方法探究
x
y
方法一：正交分解法
FN
G
Ff
A
B
C
θ
θ
沿平行和垂直于斜面两个方向建立直角坐标系，把重力G沿两个坐标轴方向分解为F1和F2。三力平衡转化为四力平衡。
以滑梯上正匀速下滑的小孩为研究对象，受力分析如图：
Ff＝μFN
解得 tanθ =μ
由几何关系可得：tanθ
可得：h=μ·AC=0.4×6m=2.4m
共点力平衡典例分析
方法二：合成法
FN
G
G’
Ff
A
B
C
θ
θ
由平衡条件 FN = Gc
以滑梯上正匀速下滑的小孩为研究对象，受力分析如图所示，
Ff = Gsin
又： Ff =
由①②③④联立解得：h = 2.4 m
故，滑梯至少要 2.4 m高。
t
①
②
③
④
支持力和摩擦力的合力与重力等值反向
共点力平衡典例分析
合成法
把物体所受的力合成为两个力，则这两个力大小相等、方向相反，并且在同一条直线上。
FN
G
G’
Ff
A
B
C
θ
θ
x
y
FN
G
Ff
A
B
C
θ
F2
F1
θ
正交分解法
把物体所受的力在两个互相垂直的方向上分解，每个方向上合力都为0。
两种方法
的特点
共点力平衡典例分析
共点力平衡问题的解题步骤
FN
G
G’
Ff
A
B
C
θ
θ
x
y
FN
G
Ff
A
B
C
θ
F2
F1
θ
1. 确定研究对象；
2. 对研究对象进行受力分析；
3. 根据共点力的平衡条件列方程；
常用方法：正交分解法、合成法
4. 求解平衡方程；
5. 讨论解的合理性和实际意义。
共点力的平衡
解决方法拓展
（1）、处理平衡问题的常用方法
【例题4】如图，半径为R的光滑半球的正上方，离球面顶端距离为h的O点，用一根长为l的细线悬挂质量为m的小球，小球靠在半球面上．试求小球对球面压力的大小。
受力特点：三个力互相不垂直，且夹角（方向）未知。
【例题4】如图，半径为R的光滑半球的正上方，离球面顶端距离为h的O点，用一根长为l的细线悬挂质量为m的小球，小球靠在半球面上．试求小球对球面压力的大小。
F
N
G
相似三角形法：力的三角形与空间三角形相似
T
①相似三角形法：
【例题4】城市中的路灯、无轨电车的供电线路等，经常用三角形的结构悬挂。图为这类结构的一种简化模型。图中硬杆OB可绕通过B点且垂直于纸面的轴转动，钢索和杆的重量都可忽略。如果悬挂物的重量是G，角AOB 等于θ ，钢索AO对O点的拉力和杆OB对O点的支持力各是多大？
方法一：解析法
②解析法：
【例题4】城市中的路灯、无轨电车的供电线路等，经常用三角形的结构悬挂。图为这类结构的一种简化模型。图中硬杆OB可绕通过B点且垂直于纸面的轴转动，钢索和杆的重量都可忽略。如果悬挂物的重量是G，角AOB 等于θ ，钢索AO对O点的拉力和杆OB对O点的支持力各是多大？
方法一：解析法
②解析法：
若杆动θ减小，则F1、F2该如何变化？
解析法应用一般步骤：
①选某一状态对物体进行受力分析；
②将其中两力合成，合力与第三个力等大反向；
③列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式；
④根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况。
(1)“定杆”：若轻杆一端固定而不发生转动，称为固定杆，简称“定杆”如图2，它对物体的弹力方向不一定沿杆的方向，弹力的方向需要结合力的平衡方程或牛顿第二定律求得。
(2)“动杆”：若轻杆一端有铰链或转轴相连，这样的杆称为活动杆，简称“动杆”，如图1，动杆处于平衡时，对物体的弹力方向一般沿杆的方向，否则会引起杆的转动而无法平衡。
(1)“活结”：一般是由轻绳跨过光滑滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳子虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等，两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的角平分线。
(2)“死结”：两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等。
方法 内容
合成法 物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反
分解法 物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的效果分解，则其分力和其他两个力满足平衡条件
正交分 解法 物体受到三个或三个以上力的作用时，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件
力的三角形法 对受三力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力
处理平衡问题的常用方法
（2）、动态平衡的问题模型与解题方法
动态平衡问题是指通过控制某些物理量的变化，使物体的状态发生缓慢改变，“缓慢”指物体的速度很小，可认为速度为零，所以在变化程中可认为物体处于平衡状态，把物体的这种状态称为动态平衡态。
F4
【经典例题】如果悬绳AO与竖直方向的夹角θ 减小，BO仍保持水平，重物仍然静止悬挂，悬绳AO和水平绳BO 所受的拉力将分别如何变化？
F3
F1
F2
θ 减小，cosθ 增大，tanθ 减小
减小
减小
方法一
：解析法
解析法适用于有特殊三角形的时候（直角始终存在）。
是否可以用其他方法解决问题？
解析法应用一般步骤：
（1）选某一状态对物体进行受力分析；
（2）将其中两力合成，合力与第三个力等大反向；
（3）列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式；
（4）根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况。
F3
F1
F2
F4
F3
F1
F2
A′
θ
F4
F3
F1
F2
A′
θ
F4
F1′
F2′
夹角θ 减小，悬绳AO和水平绳BO 所受的拉力都减小。
A
θ =0
F3
F1
F3
F1
F2
F4
方法二
：图解法
图解法适用于三力动态平衡：一力大小方向均不变、一力方向不变、一力大小方向都变。
1.确定恒力、定向力、第三力
2.画出恒力，从恒力末端画出与定向力同方向的虚线，将第三力平移与恒力、定向力构成矢量三角形。
3.根据题中变化条件，比较这些不同形状的矢量三角形，判断各力的大小及变化。
图解法应用一般步骤：
【经典例题】如图所示，质量均可忽略的轻绳与轻杆承受弹力的最大值一定，杆的A端用铰链固定，光滑轻小滑轮在A点正上方，B端吊一重物，现将绳的一端拴在杆的B端，用拉力F将B端缓慢上拉，在AB杆达到竖直前(均未断)，关于绳子的拉力F和杆受的弹力N的变化，判断正确的是(　　)
A．F变大 B．F变小
C．N变大 D．N变小
③相似三角形法
Tg=G
N
F
T=G
TNB ∽ OBA
N
AB
F
OB
T
OA
=
=
相似三角形法适用于：有一恒力，另外两个力大小、方向都变。
相似三角形法:物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，根据合力为零，把三个力画在一个三角形中，看力的三角形与哪个三角形相似，找到力的三角形与空间三角形相似后，根据相似三角形的对应边成比例，列方程求解。
【经典例题】如图所示，装置中两根细绳拴住一球,保持两细绳间的夹角θ=120°不变,若把整个装置顺时针缓慢转过90°,则在转动过程中,CA绳的拉力FT1,CB绳的拉力FT2的大小变化情况是（）A.FT1先变小后变大B.FT1先变大后变小C.FT2先变小后变大D.FT2一直变小，且最终变为零④正弦定理整个装置顺时针缓慢转动90°的过程中θ角和mg保持不变,β角从90°减小到0,α角从30°增大到120°,易知FT1先变大后变小;FT2一直变小,当β=0°时,由图易知FT2=0。【参考答案】BD⑤数学知识的普及巩固提升
【例题1】 在光滑墙壁上用网兜把足球挂在A点，足球与墙壁的接触点为B（如图所示）。足球的质量为m，悬绳与墙壁的夹角为α，网兜的质量不计。求悬绳对球的拉力和墙壁对球的支持力。
G
T
FN
T
G
F
【例题1】 在光滑墙壁上用网兜把足球挂在A点，足球与墙壁的接触点为B（如图所示）。足球的质量为m，悬绳与墙壁的夹角为α，网兜的质量不计。求悬绳对球的拉力和墙壁对球的支持力。
巩固提升
FN
解：
选足球为研究对象，因为足球静止，即处于平衡状态，所以，足球所受的三个共点力的合力为零，F1与G的合力F与F2大小相等、方向相反。由图可得：
【例题2】如图悬吊重物的细绳，其 O 点被一水平绳BO牵引，使悬绳AO段和竖直方向成θ角。若悬吊物所受的重力为G，则悬绳AO和水平绳BO所受的拉力各等于多少？
F3
F2
F1
合成法
F3
F2
F1
F5
F3
F2
F1
F6
乙
丙
F3
F1
F2
F4
甲
对于三力平衡问题，可以选择任意的两个力进行合成。对甲：
巩固提升
正交分解法：如图，以O为原点建立直角坐标系。F2方向为x轴正方向，向上为y轴正方向。F1在两坐标轴方向的分矢量分别为F1x 和F1y 。因x、y两方向的合力都等于0，可列方程：
F2 － F1x ＝0
F1y － F3 ＝0
即 F2 － F1sinθ＝0 （1）
F1cosθ－G ＝0 （2）
由（1）（2）式解得 F1＝G/cosθ，F2＝Gtanθ。
即绳AO和绳BO所受的拉力大小分别为Gcosθ和G tanθ。
F3
F1
F2
x
y
F1y
F1x
巩固提升
条 件
几个力都作用在物体的同一点上，或几个力的作用线相交于同一点，这几个力就称为共点力。
共点力的平衡
物体处于静止或匀速直线运动的状态叫作平衡状态
得出结论
在共点力作用下物体平衡的条件是：合力为0
理论推理
逐次通过力的合成将共点力平衡转化为二力平衡问题
课堂小结
实验验证
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