资源简介

直线的方程
一、知识梳理
1、直线的倾斜角、斜率与两直线的位置关系
(1)直线的倾斜角：当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.直线倾斜角的范围是.
(2)斜率公式：①定义式：直线的倾斜角为，则斜率.
②两点式：、在直线上，且，则的斜率.
注：当时公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直.
(3)两条直线平行的判定
①对于两条不重合的直线、，若其斜率分别为、，则有.
②当直线、不重合且斜率都不存在时，.
(4)两条直线垂直的判定
①如果两条直线、的斜率存在，设为、，则有.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为时，.
(5)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：
斜率 不存在
倾斜角 锐角 钝角
在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数的单调性，如图所示：
当时，由增大到()时，由增大并趋向于正无穷大；
当时，由()增大到()时，由负无穷大增大并趋近于.
（解决此类问题，常采用数形结合思想. ）
例1-1若三点共线，则实数m=_____________.
【解析】由题意得.
∵三点共线，∴， ∴， 解得．
例1-2．若直线经过，两点（），那么l的倾斜角的取值范围是( ).
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由直线经过，两点，可利用斜率公式得.由，则倾斜角的取值范围是.故选B.
例1-3已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直，则实数( )。
A、或 B、或 C、或 D、或
【答案】B
【解析】的斜率，
当时，的斜率，
∵，∴，即，解得，
当时，、，直线为轴，，，直线为轴，显然，
∴实数的值为或，故选B。
例1-4．若直线过点，且与以、为端点的线段恒相交，则直线的斜率的范围是( ).
A、 B、
C、 D、
【答案】A
【解析】如图，，，则，故选A.
2、直线方程的五种形式
形式 几何条件 方程 适用范围及使用情况
一般式 () 平面直角坐标系内所有直线； 写答案用公式；
点斜式 过一点，斜率 与轴不垂直的直线； 给一点及斜率； 与圆或圆锥曲线有关；
斜截式 纵截距，斜率 与轴不垂直的直线； 给与轴的交点及斜率；
两点式 过两点， 与轴、轴均不垂直的直线； 给两点；
截距式 横截距，纵截距 不含垂直于坐标轴和过原点的直线； 给与、轴的交点；
例2-1．求满足下列条件的直线方程
(1)斜率为，经过点； (2)斜率为，在轴上的截距是；
(3)经过两点和； (4)经过两点和.
【参考答案】(1) ；(2) ；(3) ；(4) .
例2-2已知，则过点和线段的中点的直线方程为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知线段的中点坐标为，即.
故所求直线方程为，整理，得.故选B.
例2-3．已知直线过点，且在轴上的截距为轴上的截距的两倍，则直线的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【详解】设直线在轴上的截距为，则直线在轴上的截距为，
当时，直线经过原点，其方程为，即；
当时，设直线的方程为，因为直线过点，
所以，解得，所以直线的方程为，即.
所以直线的方程为或.故选：C
例2-4 △ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2, 3)，求：
（1）BC边所在直线的方程；
（2）BC边上中线AD所在直线的方程；
（3）BC边的垂直平分线DE的方程．
【解析】（1）因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，
所以由两点式得BC的方程为，即x+2y-4=0.
（2）设BC边的中点D的坐标为(x，y)，则.
BC边的中线AD过点A(－3,0)，D(0,2)两点，
由截距式得AD所在直线的方程为，即2x－3y＋6＝0.
（3）由（1）知，直线BC的斜率，则BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.
由（2）知，点D的坐标为(0,2).
由点斜式得直线DE的方程为y－2=2(x－0)，即.
例2-5 已知直线恒过定点．
（1）若直线经过点且与直线垂直，求的方程；
（2）若直线经过点且坐标原点到的距离等于2，求的方程．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）求出直线恒过定点，设与直线垂直的直线方程为，把代入，能求出直线的方程．
（2）直线经过点且坐标原点到直线的距离等于2，当直线的斜率不存在时，直线的方程为；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由原点到直线的距离，能求出直线的方程．
【解析】（1）直线恒过定点．，
由，得，设与直线垂直的直线方程为，
把代入，得，解得，直线的方程为．
（2）直线经过点且坐标原点到直线的距离等于2，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，成立；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
原点到直线的距离，解得，
直线的方程为，即．
综上，直线的方程为或．
3、直线的交点、距离
(1)两条直线的交点
(2)三种距离
类型 条件 距离公式
两点间距离 点、之间的距离
点到直线距离 点到直线：的距离
两平行直线间距离 两平行线： 与：间距离
例3-1．已知直线与直线平行，则的值是( ).
A、 B、或 C、或 D、
【答案】D
【解析】由题设可得，∴或，
当时两直线重合，故应舍去，故选D.
变式：直线与互相垂直，则实数的值是
A． B． C．或 D．以上都不对
【答案】C
【解析】由题意，解得或．故选C．
例3-2．若、分别为直线与上任意一点，则的最小值为( ).
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】∵，∴两直线平行，将直线化为，
由题意可知的最小值为这两条平行直线间的距离，即，
∴的最小值为，故选B.
例3-3．设直线的方程为．
（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的值；
（2）若不经过第三象限，求的取值范围．
【答案】（1）或；（2）．
【解析】（1）由题意知，当时不符合题意；
当时，令得，令得，
若在两坐标轴上的截距相等，则，解得或．
（2）直线的方程可化为，所以，
所以，所以直线过定点，如下图所示：
若不经过第三象限，则，解得，
故实数的取值范围为．
例3-3．已知，和直线：，若在坐标平面内存在一点，使，且点到直线的距离为，则点坐标为( ).
A、或 B、或 C、或 D、或
【答案】C
【解析】设点的坐标为，线段的中点的坐标为，，
∴的垂直平分线方程为，即，
∵点在直线上，∴，
又点到直线：的距离为，∴，即，
联立可得、或、，
∴所求点的坐标为或，故选C.
易错提醒：(1)点到直线的距离，到直线的距离；
(2)利用两平行线间的距离公式要先把两直线方程中、的系数化为相等.
4、与对称问题
(1)点关于点对称：若点及点关于点对称，则由中点坐标公式得，进而求解.
(2)直线关于点对称，主要求解方法是：
①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程.
(3)点关于直线对称：若点与点关于直线：对称，
则由得关于对称的坐标(，).
(4)直线关于直线的对称：
①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解.
②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解.
例4-1．点关于点的对称点为( ).
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】设，则，，∴，，∴点，故选D.
例4-2．点关于直线对称的点的坐标为 .
【答案】
【解析】设点关于直线对称的点坐标为，
可得
例4-3．直线关于直线对称的直线方程是( ).
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】设所求直线上任意一点，则关于的对称点为，
由得，由点在直线上，
∴，即，故选A.
例4-4．已知入射光线经过点，被直线：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为 .
【答案】
【解析】设点关于直线：的对称点为，则反射光线所在直线过点，
∴，∴解得，，又反射光线经过点，
∴所求直线的方程为，即.
方法技巧：解决两类对称问题的关键点：解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解.
例4-5．已知三个顶点的坐标分别为，，，线段的垂直平分线为.
（1）求直线的方程；
（2）点在直线上运动，当最小时，求此时点的坐标.
答案： （1）（2）
试题分析：（1）求出直线的斜率，再求直线的中点，从而利用点斜式方程求得答案；
（2）由（1）得点关于直线的对称点为点，所以直线与直线的交点即为最小的点.
【详解】
（1）直线的斜率为，所以直线的斜率为，
直线的中点为，所以直线的方程为，即.
（2）由（1）得点关于直线的对称点为点，所以直线与直线的交点即为最小的点.
由，得直线的方程为，即，
联立方程，解得，所以点的坐标为.
三、实战精训
【】取任意实数时，直线恒经过定点，则点的坐标为_________.
答案： （1，-1）
解析： 将直线方程整理为，从而得到方程组，解方程组求得，即可得到所求坐标.
【详解】
直线方程可整理为：
令，解得：，即定点的坐标为
故答案为：
【】过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________．
答案　3x－2y＝0或x＋y－5＝0
解析　当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；
当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，
则＋＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.
【】已知点M是直线l：y＝x＋3与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，则所得到的直线l′的方程为________________________．
答案　x＝－或y＝(x＋)
解析　在y＝x＋3中，令y＝0，得x＝－，即M(－，0)．因为直线l的斜率为，所以其倾斜角为60°.若直线l绕点M逆时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为90°，此时直线l′的斜率不存在，故其方程为x＝－；若直线l绕点M顺时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为30°，此时直线l′的斜率为tan 30°＝，故其方程为y＝(x＋)．
【】(2022·汉中模拟)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0(a∈R)，则“ea＝”是“l1∥l2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　当l1∥l2时，解得a＝－1或a＝2.
而由ea＝，解得a＝－1，所以“ea＝”是“l1∥l2”的充分不必要条件．
【】直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　)
A．[－2,2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C．[－2,0)∪(0,2] D．(－∞，＋∞)
答案　C
解析　令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，
所以所求三角形的面积为|－b|＝b2，且b≠0，b2≤1，
所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．
【】已知点，，动点P在y轴上，当取最小值时，点P的坐标为______.
答案：
解析： 作出关于轴的对称点,连接 ,与轴交于 ,即为所求，求出直线的方程，令可得的坐标.
【详解】作出关于轴的对称点,连接 ,与轴交于 ,即为所求，此时取最小值，
由的斜率为，可得方程，
令，可得，
即为，故答案为.
【】当为_________时，三条直线不能组成三角形？
答案： ，，
解析： 当不能构成三角形时，分以下三种情况：直线过直线的交点、直线与直线平行、直线与直线平行，由此分别计算出参数的值.
【详解】
当直线过直线的交点时：因为，所以，所以，所以；
当直线与直线平行时：因为，所以，所以，
当直线与直线平行时：因为，所以，所以.
所以的取值为：，，.
故答案为：，，.
【】已知直线与两坐标轴分别交于两点，如果△的面积为，那么满足要求的直线的条数是．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】按照、分类，求出截距后列方程即可得解．
【解析】当时，直线，不合题意；
当时，若，则，若，则，
所以，
所以或，
解得或或；
所以满足要求的直线的条数是3．故选C．
【】⑴点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　)
A．1 B. C. D．2
答案　B
解析　由y＝k(x＋1)可知直线过定点P(－1,0)，设A(0，－1)，当直线y＝k(x＋1)与AP垂直时，点A到直线y＝k(x＋1)的距离最大，即为|AP|＝.
⑵直线l1经过点(3,0)，直线l2经过点(0,4)，且l1∥l2，d表示l1和l2之间的距离，则d的取值范围是________．
答案　(0,5]
解析　当直线l1，l2都与过(3,0)，(0,4)两点的直线垂直时，
dmax＝＝5；
当直线l1和l2都经过(3,0)，(0,4)两点时，两条直线重合．
所以0【】若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.
答案　
解析　由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的垂直平分线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的垂直平分线，
于是解得故m＋n＝.
【】.在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图所示)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为(　　)
A．2 B．1 C. D.
答案　D
解析　以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知B(4,0)，C(0,4)，A(0,0)，则直线BC的方程为x＋y－4＝0.设P(t,0)(0【】．已知三角形的一个顶点A(4，－1)，它的两条角平分线所在的直线方程分别为l1：x－y－1＝0和l2：x－1＝0，则BC边所在直线的方程为________．
答案　2x－y＋3＝0
解析　易得A不在l1和l2上，因此l1，l2为∠B，∠C的平分线，所以点A关于l1，l2的对称点在BC边所在的直线上，
设点A关于l1的对称点为A1(x1，y1)，点A关于l2的对称点为A2(x2，y2)．
则解得
所以A1(0,3)，又易得点A关于l2的对称点A2的坐标为(－2，－1)，
所以BC边所在直线的方程为＝，
即2x－y＋3＝0.
【】(2022·苏州模拟)已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论不正确的是(　　)
A．不论a为何值时，l1与l2都互相垂直
B．当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0,1)和B(－1,0)
C．不论a为何值，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称
D．如果l1与l2交于点M，O为坐标原点，则|MO|的最大值是
答案　C
解析　对于A，a×1＋(－1)×a＝0恒成立，l1与l2互相垂直恒成立，故A正确；
对于B，直线l1：ax－y＋1＝0，当a变化时，x＝0，y＝1恒成立，
所以l1恒过定点A(0,1)；
l2：x＋ay＋1＝0，当a变化时，x＝－1，y＝0恒成立，所以l2恒过定点B(－1,0)，故B正确；
对于C，在l1上任取点，
其关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为，
代入l2：x＋ay＋1＝0，则左边不恒等于0，故C不正确；
对于D，联立解得即M，
所以|MO|＝＝≤，
所以|MO|的最大值是，故D正确．
【】已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
解　方法一　设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，
则A，B(0,1－2k)，
S△AOB＝(1－2k)·
＝≥×(4＋4)＝4，
当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．
故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，
即x＋2y－4＝0.
方法二　设直线l：＋＝1，
且a>0，b>0，
因为直线l过点M(2,1)，
所以＋＝1，
则1＝＋≥2，故ab≥8，
故S△AOB的最小值为×ab＝×8＝4，
当且仅当＝＝时取等号，
此时a＝4，b＝2，故直线l的方程为＋＝1，
即x＋2y－4＝0.
【】已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
(1)证明　直线l的方程可化为
k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解得
∴无论k取何值，直线l总经过定点(－2,1)．
(2)解　由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k>0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞)．
(3)解　由题意可知k≠0，再由l的方程，
得A，B(0,1＋2k)．
依题意得解得k>0.
∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|＝·＝≥×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k>0且4k＝，即k＝，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
【】、已知等腰直角三角形三个顶点、和，一质点从边上的点出发，经，反射后又回到点（如图）．
（1）若点为边上的中点，求所在的直线方程；
（2）当点在边上运动时（除了两个端点），求周长的取值范围．
答案： (1)(2)
试题分析：（1）由两点式求出，根据反射光线的物理意义，点关于对称点、点关于的对称点，在用三点共线即可求解。
（2）根据对称性可知即三角形周长，再由即可求解。
【详解】
（1）由题意可知，，设点，点，记关于的对称点为，关于的对称点为，由对称性可知：三点共线，三点也共线，即，所以，所以所在的直线方程为：.
（2）记周长为，若点，则关于的对称点为，关于的对称点为，
由对称性知：所以，
又由（1）可知四点共线，所以，
因为，所以.
【点睛】
本题主要考查直线方程以及直线方程对称点的求法，综合性比较强，解出此题要具备较强的平面几何分析能力。
四、参考答案直线的方程
一、知识梳理
1、直线的倾斜角、斜率与两直线的位置关系
(1)直线的倾斜角：当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.直线倾斜角的范围是.
(2)斜率公式：①定义式：直线的倾斜角为，则斜率.
②两点式：、在直线上，且，则的斜率.
注：当时公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直.
(3)两条直线平行的判定
①对于两条不重合的直线、，若其斜率分别为、，则有.
②当直线、不重合且斜率都不存在时，.
(4)两条直线垂直的判定
①如果两条直线、的斜率存在，设为、，则有.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为时，.
(5)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：
斜率 不存在
倾斜角 锐角 钝角
在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数的单调性，如图所示：
当时，由增大到()时，由增大并趋向于正无穷大；
当时，由()增大到()时，由负无穷大增大并趋近于.
（解决此类问题，常采用数形结合思想. ）
例1-1若三点共线，则实数m=_____________.
例1-2．若直线经过，两点（），那么l的倾斜角的取值范围是( ).
A． B． C． D．
例1-3已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直，则实数( )。
A、或 B、或 C、或 D、或
例1-4．若直线过点，且与以、为端点的线段恒相交，则直线的斜率的范围是( ).
A、 B、 C、 D、
2、直线方程的五种形式
形式 几何条件 方程 适用范围及使用情况
一般式 () 平面直角坐标系内所有直线； 写答案用公式；
点斜式 过一点，斜率 与轴不垂直的直线； 给一点及斜率； 与圆或圆锥曲线有关；
斜截式 纵截距，斜率 与轴不垂直的直线； 给与轴的交点及斜率；
两点式 过两点， 与轴、轴均不垂直的直线； 给两点；
截距式 横截距，纵截距 不含垂直于坐标轴和过原点的直线； 给与、轴的交点；
例2-1．求满足下列条件的直线方程
(1)斜率为，经过点； (2)斜率为，在轴上的截距是；
(3)经过两点和； (4)经过两点和.
例2-2已知，则过点和线段的中点的直线方程为
A． B． C． D．
例2-3．已知直线过点，且在轴上的截距为轴上的截距的两倍，则直线的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
例2-4 △ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2, 3)，求：
（1）BC边所在直线的方程； （2）BC边上中线AD所在直线的方程； （3）BC边的垂直平分线DE的方程．
例2-5 已知直线恒过定点．
（1）若直线经过点且与直线垂直，求的方程；
（2）若直线经过点且坐标原点到的距离等于2，求的方程．
3、直线的交点、距离
(1)两条直线的交点
(2)三种距离
类型 条件 距离公式
两点间距离 点、之间的距离
点到直线距离 点到直线：的距离
两平行直线间距离 两平行线： 与：间距离
例3-1．已知直线与直线平行，则的值是( ).
A、 B、或 C、或 D、
变式：直线与互相垂直，则实数的值是
A． B． C．或 D．以上都不对
例3-2．若、分别为直线与上任意一点，则的最小值为( ).
A、 B、 C、 D、
例3-3．设直线的方程为．
（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的值；
（2）若不经过第三象限，求的取值范围．
例3-3．已知，和直线：，若在坐标平面内存在一点，使，且点到直线的距离为，则点坐标为( ).
A、或 B、或 C、或 D、或
易错提醒：(1)点到直线的距离，到直线的距离；
(2)利用两平行线间的距离公式要先把两直线方程中、的系数化为相等.
4、对称问题
(1)点关于点对称：若点及点关于点对称，则由中点坐标公式得，进而求解.
(2)直线关于点对称，主要求解方法是：
①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程.
(3)点关于直线对称：若点与点关于直线：对称，
则由得关于对称的坐标(，).
(4)直线关于直线的对称：
①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解.
②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解.
例4-1．点关于点的对称点为( ).
A、 B、 C、 D、
例4-2．点关于直线对称的点的坐标为 .
例4-3．直线关于直线对称的直线方程是( ).
A、 B、 C、 D、
例4-4．已知入射光线经过点，被直线：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为 .
方法技巧：解决两类对称问题的关键点：解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解.
例4-5．已知三个顶点的坐标分别为，，，线段的垂直平分线为.
（1）求直线的方程；
（2）点在直线上运动，当最小时，求此时点的坐标.
二、实战精训
【】取任意实数时，直线恒经过定点，则点的坐标为_________.
【】过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________．
【】已知点M是直线l：y＝x＋3与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，则所得到的直线l′的方程为________________________．
【】已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0(a∈R)，则“ea＝”是“l1∥l2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【】直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　)
A．[－2,2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C．[－2,0)∪(0,2] D．(－∞，＋∞)
【】已知点，，动点P在y轴上，当取最小值时，点P的坐标为______.
【】当为_________时，三条直线不能组成三角形？
【】已知直线与两坐标轴分别交于两点，如果△的面积为，那么满足要求的直线的条数是(　　)． A．1 B．2 C．3 D．4
【】⑴点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　)
A．1 B. C. D．2
⑵直线l1经过点(3,0)，直线l2经过点(0,4)，且l1∥l2，d表示l1和l2之间的距离，则d的取值范围是________．
【】若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.
【】在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图所示)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为(　　)
A．2 B．1 C. D.
【】已知三角形的一个顶点A(4，－1)，它的两条角平分线所在的直线方程分别为l1：x－y－1＝0和l2：x－1＝0，则BC边所在直线的方程为________．
【】(2022·苏州模拟)已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论不正确的是(　　)
A．不论a为何值时，l1与l2都互相垂直
B．当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0,1)和B(－1,0)
C．不论a为何值，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称
D．如果l1与l2交于点M，O为坐标原点，则|MO|的最大值是
【】已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
【】已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
【】已知等腰直角三角形三个顶点、和，一质点从边上的点出发，经，反射后又回到点（如图）．
（1）若点为边上的中点，求所在的直线方程；
（2）当点在边上运动时（除了两个端点），求周长的取值范围．

展开更多......

收起↑