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圆的方程与最值问题
知识梳理
1、圆的定义及方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标准方程 () 圆心，半径
一般方程 () 圆心，半径
2、点与圆的位置关系 点，圆的标准方程.
理论依据 点与圆心的距离与半径的大小关系
三种情况 点在圆上
点在圆外
点在圆内
3、与圆有关的对称问题
(1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称.
(2)圆关于点对称：①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置；
②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.
(3)圆关于直线对称：①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置；
②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.
4、圆系方程
(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数；
(2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解).
(4)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
核心题型突破
圆的方程
求圆的方程常见的三种类型：(1)已知不共线的三点．(2)已知两点及圆心所在的直线．(3)已知直线与圆的位置关系.
1.直接法
【例1】．已知圆：，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为( ).
A、 B、 C、 D、
2.几何法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．
【例2】已知圆的圆心在直线上，且过两点，，则圆的方程是___________．
【变式 1】在平面直角坐标系xOy中，以点(0,1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为(　　)
A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2 C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16
3.待定系数法
⑴根据题意，选择标准方程与一般方程；⑵根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程
【例3】已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程．
【变式 2】已知圆C经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的一般方程为________________.
4.相关点法
【例4】已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点M的轨迹方程是___________．
5.圆系方程法
【例5】已知圆：和圆：相交于A，B两点．若圆C的圆心在直线上，且圆C过A，B两点，则圆C的方程为___________．
【变式3】过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是________________．
二、与圆有关的轨迹问题
　
【例6】已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
【变式4】已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.求线段AB的中点M的轨迹C的方程．
三、点与圆的位置
【例7】若点M（m，m﹣1）在圆C：x2+y2﹣2x+4y+1＝0内，则实数m的取值范围为　 　 ．
【变式5】已知点P(1,2)和圆C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，过点P作圆C的切线有两条，则k的取值范围是(　　)
A．R B． C. D．
四、圆中最值问题
类型一：借助几何性质求与圆有关的最值问题.
【例8】已知半径为1的圆经过点（3，4），则其圆心到原点的距离的最小值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式6】圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上的点到直线x+y﹣14＝0距离的最小值为（　　）
A．36 B．18 C．2 D．5
【变式7】已知的△OMN三个顶点为O（0，0），M（6，0），N（8，4），过点（3，5）作其外接圆的弦，若最长弦与最短弦分别为AC，BD，则四边形ABCD的面积为（　　）
A．10 B．20 C．30 D．40
类型二：根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．
1．形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
2．形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
3．形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
【例9】已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值；(3)求y－x的最大值和最小值．
类型三：建立函数关系．
【例10】设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)．则·的最大值为________.
类型四：　利用对称性求最值
【例11】　已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________．
三、实战精训
【】．当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于(　　)
A. B. C. D.
【】．圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，则a的值为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
【】．(多选)以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的标准方程可能为(　　)
A．x2＋(y－4)2＝20 B．(x－4)2＋y2＝20 C．x2＋(y－2)2＝20 D．(x－2)2＋y2＝20
【】．已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝36 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝25 C．(x－2)2＋(y＋3)2＝18 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
【】．设点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0,2)，B(0，－2)，则|＋|的最大值为________.
【】．若点P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，A(－1,0)，B(1,0)为两个定点，则|PA|＋|PB|的最大值为(　　)
A．2 B．2 C．4 D．4
【】．已知直线l：kx+y﹣2＝0（k∈R）是圆C：x2+y2﹣6x+2y+6＝0的一条对称轴，若点A（2，k），B为圆C上任意的一点，则线段AB长度的最小值为（　　）
A．+2 B．2 C． D．﹣2
【】．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，点Q是圆(x－2)2＋(y－3)2＝3上的动点，则|PQ|的最大值为(　　)
A．5－ B．5＋ C．3＋2 D．3－2
【】．圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a＞0，b＞0)对称，则＋的最小值是(　　)
A．2 B． C． D．
【】．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0，1)，B(0，－1)，则d的最大值为________.
【】．已知点P(7，3)，圆M：x2＋y2－2x－10y＋25＝0，点Q为圆M上一点，点S在x轴上，则|SP|＋|SQ|的最小值为(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
【】．等边△ABC的面积为9，且△ABC的内心为M，若平面内的点N满足|MN|＝1，则·的最小值为(　　)
A．－5－2 B．－5－4 C．－6－2 D．－6－4
【】．设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长比为3∶1.在满足上述条件的圆中，求圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小时的圆的标准方程．
【】．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
【】．点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．
【】．在平面直角坐标系Oxy中，长度为2的线段EF的两端点E，F分别在两坐标轴上运动．
(1)求线段EF的中点G的轨迹C的方程；
(2)设轨迹C与x轴交于A1，A2两点，P是轨迹C上异于A1，A2的任意一点，直线PA1交直线l：x＝3于M点，直线PA2交直线l于N点，求证：以MN为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标．圆的方程与最值问题
知识梳理
1、圆的定义及方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标准方程 () 圆心，半径
一般方程 () 圆心，半径
2、点与圆的位置关系 点，圆的标准方程.
理论依据 点与圆心的距离与半径的大小关系
三种情况 点在圆上
点在圆外
点在圆内
3、与圆有关的对称问题
(1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称.
(2)圆关于点对称：①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置；
②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.
(3)圆关于直线对称：①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置；
②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.
4、圆系方程
(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数；
(2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解).
(4)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
、核心题型突破
一、圆的方程
1.直接法
【例1】．已知圆：，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为( ).
A、 B、
C、 D、
【答案】B
【解析】圆的圆心坐标为，半径为，设圆的圆心坐标为，
由题意得，解得，∴圆的圆心坐标为，
又两圆的半径相等，故圆的方程为，故选B.
2.几何法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．
【例2】已知圆的圆心在直线上，且过两点，，则圆的方程是___________．
【答案】
【分析】由已知求出的垂直平分线方程，与已知直线方程联立求得圆心坐标，再求出半径，则圆的方程可求．
【解析】，，，
的中点坐标为，则的垂直平分线方程为，
即．联立，解得，
则圆心坐标为，半径为．
圆的方程是．故答案为．
【变式 1】在平面直角坐标系xOy中，以点(0,1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为(　　)
A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2
C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16
答案　B
解析　由直线x－by＋2b＋1＝0可得该直线过定点A(－1,2)，设圆心为B(0,1)，由题意可知要使所求圆的半径最大，则rmax＝|AB|＝＝，所以半径最大的圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2.
3.待定系数法
⑴根据题意，选择标准方程与一般方程；⑵根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程
【例3】已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程．
解　圆心C，
∵圆心在直线x＋y－1＝0上，∴－－－1＝0，即D＋E＝－2.①
又∵半径长r＝＝，∴D2＋E2＝20.②
由①②可得或
又∵圆心在第二象限，∴－<0，即D>0.则
故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
【变式 2】已知圆C经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的一般方程为________________.
答案　x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0
解析　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
由题意可得
又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③
设x1，x2是方程③的两根，
由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，④
联立①②④得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0.
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.
4.相关点法
【例4】已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点M的轨迹方程是___________．
【答案】
【分析】设出A和M的坐标，由中点坐标公式把A的坐标用M的坐标表示，然后代入圆的方程即可得到答案．
【解析】设，线段的中点M为．则，即①．
因为端点A在圆上运动，所以．
把①代入得．所以线段的中点M的轨迹方程是．故答案为．
5.圆系方程法
【例5】已知圆：和圆：相交于A，B两点．若圆C的圆心在直线上，且圆C过A，B两点，则圆C的方程为___________．
【答案】
【分析】先求直线的方程，由圆C过A，B两点可设圆的方程为
，可知圆心为代入直上，即可得的值，进而得出圆C的方程．
【解析】因为圆：与圆：相交于A，B两点，
所以直线的方程为，因为圆C过A，B两点，所以设圆的方程为
，即
所以圆心为，将代入，
可得，解得，所以圆的方程为.
求圆的方程常见的三种类型：(1)已知不共线的三点．(2)已知两点及圆心所在的直线．(3)已知直线与圆的位置关系．
【变式3】过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是________________．
答案　x2＋y2－3x＋y－1＝0
解析　设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0(λ≠－1)，
则(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2－4x＋(2－2λ)y－4λ＝0，
把圆心代入直线l：2x＋4y－1＝0的方程，
可得λ＝，
所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.
与圆有关的轨迹问题
　
【例6】已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解　(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知点P坐标为(2x－2,2y)．
因为点P在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)．
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON(图略)，
则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2
＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为
x2＋y2－x－y－1＝0.
【变式4】已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.求线段AB的中点M的轨迹C的方程．
解　设点M(x，y)，因为点M为线段AB的中点，所以C1M⊥AB，
所以kC1M·kAB＝－1，当x≠3时，可得·＝－1，整理得2＋y2＝，
又当直线l与x轴重合时，M点坐标为(3,0)，代入上式成立．
设直线l的方程为y＝kx，
与x2＋y2－6x＋5＝0联立，
消去y，得(1＋k2)x2－6x＋5＝0.
令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k2)×5＝0，得k2＝，此时方程为x2－6x＋5＝0，
解上式得x＝，因此点与圆的位置
【例7】若点M（m，m﹣1）在圆C：x2+y2﹣2x+4y+1＝0内，则实数m的取值范围为　 　 ．
【分析】由题意，把M的坐标代入圆的方程的左边，可得m2+（m﹣1）2﹣2m+4（m﹣1）+1＜0，求解得答案．
【解答】解：∵点M（m，m﹣1）在圆C：x2+y2﹣2x+4y+1＝0内，
∴m2+（m﹣1）2﹣2m+4（m﹣1）+1＜0，即m2＜1，则﹣1＜m＜1．
∴m的取值范围是（﹣1，1）．
故答案为：（﹣1，1）．
【变式5】已知点P(1,2)和圆C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，过点P作圆C的切线有两条，则k的取值范围是(　　)
A．R B． C. D．
答案　C
解析　圆C：2＋(y＋1)2＝1－k2，因为过点P有两条切线，所以点P在圆外，从而解得－圆中最值问题
类型一：借助几何性质求与圆有关的最值问题.
【例8】（2020 北京）已知半径为1的圆经过点（3，4），则其圆心到原点的距离的最小值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】结合题意画出满足条件的图象，结合图象求出答案即可．
【解答】解：如图示：
，
半径为1的圆经过点（3，4），可得该圆的圆心轨迹为（3，4）为圆心，1为半径的圆，
故当圆心到原点的距离的最小时，
连结OB，A在OB上且AB＝1，此时距离最小，
由OB＝5，得OA＝4，即圆心到原点的距离的最小值是4，
故选：A．
【变式6】圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上的点到直线x+y﹣14＝0距离的最小值为（　　）
A．36 B．18 C．2 D．5
【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，减去半径得答案．
【解答】解：化圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝18，
得圆心坐标为（2，2），半径为．
圆心到直线x+y﹣14＝0的距离d＝．
∴圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上的点到直线x+y﹣14＝0距离的最小值为．
故选：C．
【变式7】已知的△OMN三个顶点为O（0，0），M（6，0），N（8，4），过点（3，5）作其外接圆的弦，若最长弦与最短弦分别为AC，BD，则四边形ABCD的面积为（　　）
A．10 B．20 C．30 D．40
【分析】设出三角形外接圆的方程，代入已知点的坐标求得待定系数，可得圆的方程，根据题意可知，过（3，5）的最长弦为直径，最短弦为过（3，5）且垂直于该直径的弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可．
【解答】解：设△OMN的外接圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，
由O（0，0），M（6，0），N（8，4），得
，解得．
∴圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝52，
点（3，5）在圆内部，由题意得最长的弦|AC|＝2×5＝10，
点（3，5）到圆心（3，4）的距离为1．
根据勾股定理得最短的弦|BD|＝2＝4，且AC⊥BD，
四边形ABCD的面积S＝|AC| |BD|＝×10×4＝20．
故选：B．
类型二：根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．
1．形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
2．形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
3．形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
【例9】已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值；
(3)求y－x的最大值和最小值．
解　(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，
可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2.
又|QC|＝＝4，
∴|MQ|max＝4＋2＝6，
|MQ|min＝4－2＝2.
(2)可知表示直线MQ的斜率k.
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
∵直线MQ与圆C有交点，
∴≤2，
可得2－≤k≤2＋，
∴的最大值为2＋，最小值为2－.
(3)设y－x＝b，则x－y＋b＝0.
当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最值，∴＝2，
∴b＝9或b＝1.
∴y－x的最大值为9，最小值为1.
类型三：建立函数关系．
【例10】设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)．则·的最大值为________.
答案　12
解析　由题意，得＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12.
类型四：　利用对称性求最值
【例11】　已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________．
[解析]　因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，
故圆C是以C(2,1)为圆心，半径r＝的圆．
设点A(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，
故解得故A′(－4，－2)．
连接A′C交圆C于Q(图略)，由对称性可知|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2.
[答案]　2
三、实战精训
【】．当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化为标准方程为2＋(y＋1)2＝1－k2，所以当k＝0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，故倾斜角为.
【】．圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，则a的值为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
答案　C
解析　由于圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0的圆心为M，圆x2＋y2－4x＋3＝0的圆心为N(2，0)，又两圆关于直线x－y－1＝0对称，故有×1＝－1，解得a＝2.
【】．(多选)以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的标准方程可能为(　　)
A．x2＋(y－4)2＝20 B．(x－4)2＋y2＝20 C．x2＋(y－2)2＝20 D．(x－2)2＋y2＝20
答案　AD
解析　令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝2.
所以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A(0，4)，B(2，0)．|AB|＝＝2，以A为圆心，
过B点的圆的标准方程为x2＋(y－4)2＝20.
以B为圆心，过A点的圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝20.
【】．已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝36 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝25 C．(x－2)2＋(y＋3)2＝18 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
答案　B
解析　由(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0，得(2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0，
则解得即P(－1，1)．
∵圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心坐标是(2，－3)，
∴|PC|＝＝5，
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
【】．设点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0,2)，B(0，－2)，则|＋|的最大值为________.
答案　10
解析　由题意，知＝(－x,2－y)，＝(－x，－2－y)，所以＋＝(－2x，－2y)，所以|＋|＝2.因为点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的点，所以点P的坐标(x，y)满足方程(x－3)2＋y2＝4,1≤x≤5，所以y2＝－(x－3)2＋4，所以|＋|＝2＝2.因为1≤x≤5，所以当x＝5时，|＋|的值最大，最大值为2＝10.
【】．若点P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，A(－1,0)，B(1,0)为两个定点，则|PA|＋|PB|的最大值为(　　)
A．2 B．2 C．4 D．4
答案　B
解析　由已知得线段AB为圆的直径．所以|PA|2＋|PB|2＝4，
由基本不等式得2≤＝2，所以|PA|＋|PB|≤2，
当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立
【】．已知直线l：kx+y﹣2＝0（k∈R）是圆C：x2+y2﹣6x+2y+6＝0的一条对称轴，若点A（2，k），B为圆C上任意的一点，则线段AB长度的最小值为（　　）
A．+2 B．2 C． D．﹣2
【分析】化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，把圆心坐标代入直线l的方程求得k，得到A的坐标，再由A到圆心的距离减去半径得答案．
【解答】解：化圆C：x2+y2﹣6x+2y+6＝0为（x﹣3）2+（y+1）2＝4，
得圆心坐标为C（3，﹣1），半径r＝2
∵直线l：kx+y﹣2＝0（k∈R）是圆C的一条对称轴，∴3k﹣1﹣2＝0，即k＝1．
∴A（2，k）＝（2，1），且A在圆C外部，
又B为圆C上任意的一点，
∴＝．
故选：D．
【】．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，点Q是圆(x－2)2＋(y－3)2＝3上的动点，则|PQ|的最大值为(　　)
A．5－ B．5＋
C．3＋2 D．3－2
答案　B
解析　设点P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得＝2，所以点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4.如图，设P，Q所在圆的圆心分别为C1，C2，半径分别为r1，r2，则|PQ|max＝|C1C2|＋r1＋r2＝3＋2＋＝5＋.故选B.
【】．圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a＞0，b＞0)对称，则＋的最小值是(　　)
A．2 B．
C． D．
答案　C
解析　由圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0知，其标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝39，∵圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a＞0，b＞0)对称，∴该直线经过圆心(－2，6)，即－2a－6b＋6＝0，∴a＋3b＝3(a＞0，b＞0)，∴＋＝(a＋3b)＝≥＝，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，故选C.
【】．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0，1)，B(0，－1)，则d的最大值为________.
答案　74
解析　设P(x0，y0)，则d＝|PB|2＋|PA|2＝x＋(y0＋1)2＋x＋(y0－1)2＝2(x＋y)＋2，x＋y表示圆上任一点到原点距离的平方，∴(x＋y)max＝(5＋1)2＝36，∴dmax＝74.
【】．已知点P(7，3)，圆M：x2＋y2－2x－10y＋25＝0，点Q为圆M上一点，点S在x轴上，则|SP|＋|SQ|的最小值为(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
答案　C
解析　由题意知圆M的方程可化为(x－1)2＋(y－5)2＝1，所以圆心为M(1，5)，半径为1.如图所示，作点P(7，3)关于x轴的对称点P′(7，－3)，
连接MP′，交圆M于点Q，交x轴于点S，此时|SP|＋|SQ|的值最小，否则，在x轴上另取一点S′，连接S′P，S′P′，S′Q，由于P与P′关于x轴对称，所以|SP|＝|SP′|，|S′P|＝|S′P′|，所以|SP|＋|SQ|＝|SP′|＋|SQ|＝|P′Q|<|S′P′|＋|S′Q|＝|S′P|＋|S′Q|.
故(|SP|＋|SQ|)min＝|P′M|－1＝－1＝9.
【】．等边△ABC的面积为9，且△ABC的内心为M，若平面内的点N满足|MN|＝1，则·的最小值为(　　)
A．－5－2 B．－5－4
C．－6－2 D．－6－4
答案　A
解析　设等边△ABC的边长为a，则面积S＝a2＝9，解得a＝6.
以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
由M为△ABC的内心，则M在OC上，且OM＝OC，
则A(－3,0)，B(3,0)，C(0,3)，M(0，)，
由|MN|＝1，则点N在以M为圆心，1为半径的圆上．
设N(x，y)，则x2＋(y－)2＝1，
即x2＋y2－2y＋2＝0，且－1≤y≤1＋，
又＝(－3－x，－y)，＝(3－x，－y)，
所以·＝(x＋3)(x－3)＋y2＝x2＋y2－9＝2y－11≥2×(－1)－11＝－5－2.
【】．设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长比为3∶1.在满足上述条件的圆中，求圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小时的圆的标准方程．
解　设圆心为(a，b)，半径长为r，依题意，得消去r，得2b2－a2＝1，①
圆心到直线l的距离d＝.
设a－2b＝k，则a＝2b＋k，代入①式，整理得2b2＋4bk＋k2＋1＝0.
判别式Δ＝8(k2－1)≥0，解得|k|≥1，
当|k|＝1时，dmin＝.
当k＝1时，a＝b＝－1，圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2；
当k＝－1时，a＝b＝1，圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
【】．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
解　(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.
设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)．
由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)·(2－y)＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程为(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，故l的方程为x＋3y－8＝0.
又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，
【】．点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．
解　(1)设线段AP的中点M(x，y)，
由中点坐标公式，得点P的坐标为(2x－2，2y)．
∵点P在圆x2＋y2＝4上，
∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设线段PQ的中点N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，
∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，
故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
【】．在平面直角坐标系Oxy中，长度为2的线段EF的两端点E，F分别在两坐标轴上运动．
(1)求线段EF的中点G的轨迹C的方程；
(2)设轨迹C与x轴交于A1，A2两点，P是轨迹C上异于A1，A2的任意一点，直线PA1交直线l：x＝3于M点，直线PA2交直线l于N点，求证：以MN为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标．
解　(1)设G(x，y)，由中点坐标公式得E(2x，0)，F(0，2y)，
∴|EF|＝＝2，
整理得x2＋y2＝1，
∴线段EF的中点G的轨迹C的方程为x2＋y2＝1.
(2)由已知得A1(－1，0)，A2(1，0)，
设P(x0，y0)，x0≠±1，x＋y＝1，
直线PA1的方程为y＝(x＋1)，
令x＝3，得y＝，
则M，
同理，可求N，MN的中点坐标为，
|MN|＝＝2，
∴以MN为直径的圆C的方程为
(x－3)2＋2＝.
令y＝0，得(x－3)2＝－2＋＝＝8.
∴x＝3±2，
∴圆C总过定点，定点坐标为(3＋2，0)或(3－2，0)．
四、参考答案

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