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一、数列求和（倒序相加法、分组求和法）
必备秘籍
1、倒序相加法
即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和.
2、分组求和法
2.1如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
2.2如果一个数列可写成的形式，在求和时可以使用分组求和法.
，注意到奇偶项通项不同，直接考虑分组求和.
（注意到本例求解的为偶数项和，最后一项一定是代入偶数
的通项公式，否则，若是求，最后一项是代入奇数项通项，还是代入偶数项通项，则需要讨论）
二、典型例题
类型1：倒序相加法
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（ ）
A．100 B．105 C．110 D．115
【答案】D
因为函数满足，
①，
②，
由①②可得，，
所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为.
故选：D.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）设函数，求得的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
，，
设，
则，
两式相加得，因此，.
故选：B.
例题5．（2022·江西·新余四中模拟预测（理））在数列中，
(1)求，，； (2)求数列的前项和．
感悟升华（核心秘籍）
（1）对比例题4，例题5，通项都是分段式，在求和时都使用分组求和法；不同的是，例题4求前项和；例题5求前项和； （2）对于例题4求，其中奇数项，偶数项各项，可直接分组求和，无需讨论； （3）对于例题5求，注意到最后一项是代入哪个表达式，不确定，故需要讨论，在讨论时，作为核心技巧，先讨论为偶数，再利用为偶数的结论，快速求为奇数的和； （4）当为偶数时:，其中奇数项，偶数项各为项；可直接利用分组求和； （5）当为奇数时，，其中可利用上述结论代入，然后再快速求解.
【答案】(1)，，(2)
(1)因为
所以，，，
(2)因为 所以，，，是以1为首项，4为公差的等差数列，
，，，是以4为首项，4为公比的等比数列．
当n为奇数时，数列的前n项中有个奇数项，有个偶数项．
所以
；
当n为偶数时，数列{的前n项中有个奇数项，有个偶数项．
所以
．
所以
8．（2022·广东·二模）已知递增等比数列的前n项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式．
(2)若数列满足，求数列的前15项和．
【答案】(1)(2)92
(1)设的公比为q，则由，得．
整理得．
又，得．
联立得，消去，得．
解得或．
又因为为递增等比数列，
所以，．
所以．
(2)（方法一）当时，，则，，同理，列举得，，，，，，，．
记的前n项和为，则
．
所以数列的前15项和为92．
（方法二）由，
得，
记的前n项和为，则
．
所以数列的前15项和为92．
二、 数列求和（裂项相消法）(典型例题+题型归类练)
一、必备秘籍
常见的裂项技巧
类型一：等差型
①
特别注意
②
如：（尤其要注意不能丢前边的）
类型二：无理型
①
如：
注意裂项相消的过程中，是连续相消，还是隔项相消，计算注意细节.
类型三：指数型
①
如：
类型四：通项裂项为“”型
如：①
②
本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式
.
二、典型例题
类型一：等差型
例题1．已知数列的前n项和为，，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前项和．
【答案】(1) (2)
(1)解：由题意得：
由题意知，则
又，所以是公差为2的等差数列，则；
感悟升华（核心秘籍） 本例是裂项相消法的等差型，注意裂项，是裂通项，裂项的过程中注意前面的系数不要忽略了.
(2)由题知
则
类型二：无理型
例题3．（2022·重庆八中模拟预测）已知各项均为正数的等差数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
【答案】(1)(2)
(1)解：各项均为正数的等差数列满足，，
整理得，由于， 所以，
故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．所以．
(2)解：由（1）可得，
所以．
例题4．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和为.
【答案】(1)；(2)证明见解析﹒
(1)由题可知，，解得，∴；
(2)，
感悟升华（核心秘籍） 本例是裂项相消法的无理型，具有明显的特征，其技巧在于分母有理化，注意裂项相消的过程中，是连续相消，还是隔项相消，计算注意细节.
类型三：指数型
例题5．（2022·全国·模拟预测）已知等差数列满足，且，，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)(2)
(1)解：设等差数列的公差为d，
因为，，成等比数列，所以，
整理得，又因为，所以，，又，即15d＝15，
所以，所以；
感悟升华（核心秘籍）
（1）本例通项符合裂项的特征，但是裂项是难点； （2）在裂项的过程中，对于指数型，裂项过程可以采用待定系数法检验；如本例： （3）疑问：裂项过程中，分子如何裂项出一个，一个；（在裂项过程中，分母裂开后结构上形似：，注意到第一个分母比大，所以分子也是大的在前，小的在后，而已知中，分子只有一个，所以在裂项的时候裂出一个和，注意此类型裂项结构的特征，可作为一个裂项技巧记忆） （4）对于指数型，还可细分指数式在分子和指数式在分母（注意比较细节）； ①若分子中含有指数式，如则在裂项中，比大，分母大的写前面，分母小的写后面 ②若分母中含有指数式，如例题6，裂项时，分母和，较小的写前面，较大的写后面.
(2)解：由（1）知，，
所以，
．
例题6．（2022·江西·临川一中模拟预测（理））已知数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2).
(1)因为，当时，，解得，当时，，
所以，即，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列.故.
(2)，
于是
类型四：通项裂项为“”型
例题7．（2022·吉林辽源·高二期末）已知等差数列的前n项和，数列的前项和，.
(1)求数列和的通项公式； (2)令，求数列的前项和.
【答案】(1)， (2)
感悟升华（核心秘籍）
（1）对于本例通项：具有裂项的特征，但注意到同时又含有“”，此时是通项裂项为“”型的重要标志，此标志作为核心技巧记忆，裂项时，裂项为“”型 （2）在裂项的过程中，对于比较复杂的通项，都可以通过待定系数法，逆向通分和原式比较，来检验裂项的正确性.
(1)设等差数列的公差为d，则，
所以所以，所以数列的通项公式为. 因为，当时，， 所以， 所以，即.
所以.
(2)，
当n为奇数时，.
当n为偶数时，.
综上所述，数列的前n项和.
练习：
3．（2022·河南·模拟预测（理））已知正项数列的前项和为，且．
(1)求的值和数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)；；(2).
(1)由得：；
为正项数列，，；
当时，；
当时，；
经检验：满足；.
(2)由（1）得：，
.
6．（2022·江苏盐城·三模）已知正项等比数列满足，请在①，②，③，，中选择一个填在横线上并完成下面问题：
(1)求的通项公式；
(2)设，的前和为，求证：．
【答案】(1)选择见解析；(2)证明见解析
(1)设正项等比数列公比为q，又，
选①，，所以；
选②，，所以；
选③，，所以，∴；
又，
∴，则．
(2)因为，
所以
．
7．（2022·浙江金华·模拟预测）已知数列，其中为等差数列，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求证：
【答案】(1)，(2)证明见解析
(1)解：由数列为等差数列，且满足，，
当时，可得，即，解得；
因为是等差数列，所以，
所以，所以，
所以
所以.
(2)解：由（1）得，
所以
.
例题8．（2022·陕西·长安一中高二期中（文））已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
（1）∵等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1、S2、S4成等比数列．
∴Sn＝na1+n（n﹣1）
（2a1+2）2＝a1（4a1+12），a1＝1，∴an＝2n﹣1；
（2）∵由（1）可得，
当n为偶数时，Tn＝
．
当n为奇数时，
．
．
7．（2022·浙江金华·模拟预测）已知数列，其中为等差数列，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求证：
【答案】(1)，(2)证明见解析
(1)解：由数列为等差数列，且满足，，
当时，可得，即，解得；
因为是等差数列，所以，
所以，所以，
所以
所以.
(2)解：由（1）得，
所以
.
三、 数列求和（错位相减法）(典型例题+题型归类练)
一、必备秘籍
错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法．
温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合.
2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留.
类型一：乘型
（其中是等差数列，是等比数列）
例：，求的值
类型二：除型
（其中是等差数列，是等比数列）
例题3．（2022·湖南·模拟预测）设数列的前项和为，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
练习：
4．（2022·全国·模拟预测）已知公差为整数的等差数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)；(2).
(1)解：设等差数列的公差为，
因为，，所以，解得，
又，所以， 所以．
(2)解：因为，所以，
所以，①
，②
①-②得，
，
所以．
例题4．（2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测（文））已知数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
【答案】(1)(2)
(1)因为，
所以，
，
…
，
所以．
又，所以，所以．
又，也符合上式，
所以．
(2)结合（1）得，所以
，①
，②
①②，得
，
所以．
5．（2022·江西南昌·三模（理））已知数列为等比数列，且，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)因为，所以，
两式相除可得，即，
因为，所以，
可得，所以，
所以.
(2)，
则 ①
②
①-②可得：，
故.
四、数列求和（奇偶项讨论求和）(典型例题+题型归类练)
一、必备秘籍
有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等．本专题主要研究与数列奇偶项有关的问题，并在解决问题中让学生感悟分类讨论等思想在解题中的有效运用.因此，在数列综合问题中有许多可通过构造函数来解决．
类型一：
通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：
角度1：求的前项和
角度2：求的前项和
类型二：
通项含有的类型；例如：
类型三：
已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题
例：，可化简为：
常用三角函数等价转化：
① ②
类型二：通项含有(－1)n的类型
通项含有的类型；例如：
例题3．（2022·河南·开封高中模拟预测（理））在数列中，，数列的前项和满足．
(1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)(2)
(1)因为，所以．
所以当时，．
两式相减，得，
即．
所以．
相减得，
即．
所以数列是等差数列．
当n＝1时，，解得．
所以公差．
所以．
(2)，
当n为奇数时，；
当n为偶数时，．
综上所述，
类型三：已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题
例题5．（2022·江西赣州·二模（文））已知数列的前项和为，且满足
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前项和．
感悟升华（核心秘籍）
（1）已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题，如本例：，含有三角函数，需等价转化（2）常用三角函数等价转化： ① ② （3）将含有三角函数问题的通项，等价转化，再求和.
【答案】(1)(2)
(1)当时，，即
当时，，即
所以得
即以为首相，公比为2的等比数列
所以数列的通项公式为
(2)
①当为偶数时，
②当为奇数时，
综上：
练习
7．（2022·全国·模拟预测）已知数列中，.
（1）求证：数列是常数数列；
（2）令为数列的前项和，求使得的的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为.
（1）由得：，即
，即有数列是常数数列；
（2）由（1）知：
即，
当为偶数时，，显然无解；
当为奇数时，，令，解得：，
结合为奇数得：的最小值为
所以的最小值为
8．（2022·重庆八中模拟预测）已知{}是各项都为正数的数列，其前n项和为，且满足.
(1)求证:数列{}为等差数列；
(2)设，求{}的前64项和.
【答案】(1)证明见解析；(2)的前64项和.
(1)∵ ，所以
当时，有，代入上式得
整理得.
又当时， 解得；
数列是首项为1，公差为1的等差数列.
(2)由（1）可得，
∵是各项都为正数，∴，
∴，
又，
∴，
则，
，
即：.
∴的前64项和．
12．（2022·江苏·南京市第一中学三模）数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前20项和．
【答案】(1)(2)
(1)，两式相除得：，
当时，
，
当时，
，
综上所述，的通项公式为：
(2)由（1）知：
数列的前20项和：
10．（2022·山东济宁·三模）已知等差数列的前项和为，且，，数列满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【答案】(1)，(2)
(1)解：设等差数列的公差为，则，解得，
所以，，
当时，，
当时，，可得，
上述两个等式作差可得，
也满足，故对任意的，.
(2)解：由（1）可得，
设，
所以，，所以，数列是等比数列，且首项为，公比为，
因此，数列的前项和为.
13．（2022·广东茂名·模拟预测）已知数列的前n项和为，满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前100项的和.
【答案】(1)，(2)
(1)当时，，
整理得，
又，得
则数列是以-2为首项，-2为公比的等比数列.
则，
(2)当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
则
五、数列求和（通项含绝对值数列求和）(典型例题+题型归类练)
一、必备秘籍
类型一：通项含绝对值
如：求的前项和
对于通项含绝对值问题，如本例求的前项和，其核心技巧是考虑当取何值时，，
此时的就是讨论的临界值,找到临界值后再进行讨论.
类型二：通项含取整函数
如：求的前项和
类型三：通项含自定义符号
如：记表示x的个位数字，如
求的前项和
二、典型例题
类型一：通项含绝对值
例题1．（2022·全国·高二）已知是数列的前项和，且．
（1）求；
（2）求数列的前项和为．
感悟升华（核心秘籍）
对于通项含绝对值问题，如本例求的前项和，其核心技巧是考虑当取何值时，， 此时的就是讨论的临界值,找到临界值后再进行讨论.
【答案】（1）；（2）.
（1）由，可得，时，，
对也成立，可得；
（2）当时，，即有．
当时，，，
即有．
类型二：通项含取整函数
例题2．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知数列是递增的等差数列，是各项均为正数的等比数列，，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前9项的和．（注：表示不超过的最大整数）
【答案】(1)，(2)
(1)设的公差为，的公比为，由 得 ，
而，，解得，，于是得，，
所以数列和的通项公式分别为，；
(2)由（1）知，，则有，
依题意，=2926，
综上，，， .
类型三：通项含自定义符号
例题3．（2022·广东汕头·高二阶段练习）已知数列是以2为公差的等差数列，成等比数列，数列前项和为，且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记表示的个位数字，如， 求数列的前20项的和.
感悟升华（核心秘籍）
特殊值探路：通过例题2，例题3，对于数列通项含有特殊符号，比如取整，取小数，或其他自定义符号，在求解时，可通过列举法，列出数列的一部分，通过观察，寻找规律. 如例题2：，则有 如例题3：通过列举数列发现：，均为周期数列，且周期为5 135791113151719212313579135791335791113151719212325357913579135
【答案】(1)，；(2).
(1)由成等比数列可得，即，解得，
所以，又，
则有，
当n≥2时，，
所以，又满足此式
综上，.
(2)因为，分别表示，的个位数，
所以，均为周期数列，且周期为5，
将数列中每5个一组，前20项和可分为4组，
其前20项的和为
练习：
2．（2022·全国·高三专题练习）数列的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1) (2)
(1)当时，，
当时，.
综上所述.
(2)当时，，所以
，
当时，，
.
综上所述.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是公差不为零的等差数列，是各项均为正数的等比数列，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前10项的和．
注．表示不超过x的最大整数．
【答案】(1)，；(2).
(1)设的公差为d，的公比为q，由得：，
而，，解得，，于是得，，
所以数列和的通项公式分别为，.
(2)由（1）知，，则有，
依题意，
，
令，
则，
两式相减得：，
所以，即．
4．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知各项均为正数的数列的前项和为.
(1)求证；数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)若表示不超过的最大整数，如，求的值.
【答案】(1)证明见解析，(2)
(1)因为，所以当时，，即，而，有，所以
所以数列是以为首项，公差为1的等差数列；
，则
当时，，又满足上式，
所以的通项公式为.
(2)，当时，，
故，
当时，，所以对任意的，都有，
又，所以.所以.
6．（2022·全国·高三阶段练习）已知公差不为零的等差数列和等比数列，满足，，．
(1)求数列、的通项公式：
(2)记数列的前n项和为．若表示不大于m的正整数的个数，求．
【答案】(1)，
(2)
(1)设的公差为d，的公比为q，，，
由题意可得：整理可得：，
解得：或（舍）
所以，；
(2)因为，则，
∴
两式相减得
所以
显然，且，即为递增数列，
，，，，
所以，，时，，
所以.
六、数列求和（插入新数列混合求和）(典型例题+题型归类练)
一、必备秘籍
类型一：插入新数列构成等差
类型二：插入新数列构成等比
类型三：插入新数混合
二、典型例题
类型一：插入新数列构成等差
例题1．（2022·湖北十堰·三模）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
(1)解：因为，①
当时，
当时，，②
①②得.
所以.
又因为当时，上式也成立，所以的通项公式为.
(2)解：由题可知，得，
则，③
，④
③④得
，
解得.
类型二：插入新数列构成等比
例题2．（2022·山东聊城·高二期末）已知数列的前项和满足，，.
(1)求的通项公式；
(2)在与之间插入一项，使，，成等比数列，且公比为，求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
(1)数列的前项和满足：
则有：
可得：
又，
则有：
故是首项为1，公差为2的等差数列
则有：
即的通项公式为：
(2)因为，，成等比数列，且公比为，所以
因为，所以，即
因为，则有：
可得：
化简可得：
所以数列的前项和：
类型三：插入新数混合
例题4．（2022·广东汕头·三模）已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前项和为，满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)若在与之间依次插入数列中的项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前50项的和．
【答案】(1)，(2)11522
(1)由
得：
∵
是首项，公差为2的等差数列
∴
又当时，得
当，由…①
…②
由①－②整理得：，
∵，
∴，
∴，
∴数列是首项为1，公比为3的等比数列，故；
(2)依题意知：新数列中，（含）前面共有：项．
由，（）得：，
∴新数列中含有数列的前9项：，，……，，含有数列的前41项：，，，……，；
∴．
练习
1．（2021·重庆市第十一中学校高三阶段练习（理））已知数列的前n项和，且.
（1）求证：是等比数列；
（2）在和之间插入n个数，使这个数成等差数列，记插入的n个数的和为，求.
【答案】(1)证明见解析；(2)
解：(1) 当时，，，
——①，——②
由②①得：，，
是一个以公比为，首项为的等比数列.
(2)由(1)可得且，
记在和之间插入的这个数为：，
又成等差数列，
3．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））已知数列的前项和为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，，数列中第，，，…，…项构成新的数列，且数列为等比数列，求数列前项和.
【答案】(1)(2)
(1)∵，∴，∴.
∴，
∴当时，.
即.
又，∴，∴，∴.
(2)由（1）知数列中第，项为，，
即等比数列为首项为3，公比为3的等比数列，
∴，而，∴.
∴.
5．（2022·全国·高三专题练习）为数列的前项和，已知，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列依次为：，2、，，，，，，，，，，，，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以2为首项，2为公比的等比数列，求数列的前50项的和.
【答案】(1)；(2)
(1)，解得（舍去），
由得时，，
两式相减得，，
因为，所以，是等差数列，公差为2，
所以；
(2)由于，，，
因此数列的前50项中含有的前9项，含有中的前41项，
所求和为．一、数列求和（倒序相加法、分组求和法）
必备秘籍
1、倒序相加法
即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和.
2、分组求和法
2.1如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
2.2如果一个数列可写成的形式，在求和时可以使用分组求和法.
，注意到奇偶项通项不同，直接考虑分组求和.
（注意到本例求解的为偶数项和，最后一项一定是代入偶数
的通项公式，否则，若是求，最后一项是代入奇数项通项，还是代入偶数项通项，则需要讨论）
二、典型例题
类型1：倒序相加法
例题1．已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（ ）
A．100 B．105 C．110 D．115
例题2．设函数，求得的值为（ ）
A． B． C． D．
例题3．在数列中，
(1)求，，； (2)求数列的前项和．
感悟升华（核心秘籍）
（1）对于求前项和和求前项和，在求和时都使用分组求和法 （2）求，其中奇数项，偶数项各项，可直接分组求和，无需讨论； （3）求，注意到最后一项是代入哪个表达式，不确定，故需要讨论，在讨论时，作为核心技巧，先讨论为偶数，再利用为偶数的结论，快速求为奇数的和； （4）当为偶数时:，其中奇数项，偶数项各为项；可直接利用分组求和； （5）当为奇数时，，其中可利用上述结论代入，然后再快速求解.
练习
1．已知递增等比数列的前n项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式．
(2)若数列满足，求数列的前15项和．
二、 数列求和（裂项相消法）(典型例题+题型归类练)
一、必备秘籍
常见的裂项技巧
类型一：等差型
①
特别注意
②
如：（尤其要注意不能丢前边的）
类型二：无理型
①
如：
注意裂项相消的过程中，是连续相消，还是隔项相消，计算注意细节.
类型三：指数型
①
如：
类型四：通项裂项为“”型
如：①
②
本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式
对数型裂项
二、典型例题
类型一：等差型
例题1．已知数列的前n项和为，，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前项和．
类型二：无理型
例题2．已知等差数列的前项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和为.
注意裂项相消的过程中，是连续相消，还是隔项相消，计算注意细节.
类型三：指数型
例题3．已知等差数列满足，且，，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
感悟升华（核心秘籍）
（1）本例通项符合裂项的特征，但是裂项是难点； （2）在裂项的过程中，对于指数型，裂项过程可以采用待定系数法检验；如本例： （3）疑问：裂项过程中，分子如何裂项出一个，一个；（在裂项过程中，分母裂开后结构上形似：，注意到第一个分母比大，所以分子也是大的在前，小的在后，而已知中，分子只有一个，所以在裂项的时候裂出一个和，注意此类型裂项结构的特征，可作为一个裂项技巧记忆） （4）对于指数型，还可细分指数式在分子和指数式在分母（注意比较细节）； ①若分子中含有指数式，如则在裂项中，比大，分母大的写前面，分母小的写后面 ②若分母中含有指数式，如，裂项时，分母和，较小的写前面，较大的写后面.
例题4．已知数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和.
类型四：通项裂项为“”型
例题5．已知等差数列的前n项和，数列的前项和，.
(1)求数列和的通项公式； (2)令，求数列的前项和.
感悟升华（核心秘籍）
（1）对于本例通项：具有裂项的特征，但注意到同时又含有“”，此时是通项裂项为“”型的重要标志，此标志作为核心技巧记忆，裂项时，裂项为“”型 （2）在裂项的过程中，对于比较复杂的通项，都可以通过待定系数法，逆向通分和原式比较，来检验裂项的正确性.
练习：
1．已知正项数列的前项和为，且．
(1)求的值和数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
2．已知正项等比数列满足，请在①，②，③，，中选择一个填在横线上并完成下面问题：
(1)求的通项公式；
(2)设，的前和为，求证：．
3．已知数列，其中为等差数列，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求证：
4．已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
5．已知数列，其中为等差数列，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求证：
三、 数列求和（错位相减法）(典型例题+题型归类练)
一、必备秘籍
错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法．
温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合.
2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留.
类型一：乘型
（其中是等差数列，是等比数列）
例：，求的值
类型二：除型
（其中是等差数列，是等比数列）
例题1.设数列的前项和为，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
练习：
1．已知公差为整数的等差数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
2．已知数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
3．已知数列为等比数列，且，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
四、数列求和（奇偶项讨论求和）(典型例题+题型归类练)
一、必备秘籍
有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等．本专题主要研究与数列奇偶项有关的问题，并在解决问题中让学生感悟分类讨论等思想在解题中的有效运用.因此，在数列综合问题中有许多可通过构造函数来解决．
类型一：
通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：
角度1：求的前项和
角度2：求的前项和
类型二：
通项含有的类型；例如：
类型三：
已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题
例：，可化简为：
常用三角函数等价转化：
① ②
类型二：通项含有(－1)n的类型
通项含有的类型；例如：
例题1．在数列中，，数列的前项和满足．
(1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和．
类型三：已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题
例题2．已知数列的前项和为，且满足
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前项和．
感悟升华（核心秘籍）
（1）已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题，如本例：，含有三角函数，需等价转化（2）常用三角函数等价转化： ① ② （3）将含有三角函数问题的通项，等价转化，再求和.
练习
1．已知数列中，.
（1）求证：数列是常数数列；
（2）令为数列的前项和，求使得的的最小值.
2．已知{}是各项都为正数的数列，其前n项和为，且满足.
(1)求证:数列{}为等差数列；
(2)设，求{}的前64项和.
3．数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前20项和．
4．已知等差数列的前项和为，且，，数列满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
5．已知数列的前n项和为，满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前100项的和.
五、数列求和（通项含绝对值数列求和）
一、必备秘籍
类型一：通项含绝对值
如：求的前项和
对于通项含绝对值问题，如本例求的前项和，其核心技巧是考虑当取何值时，，
此时的就是讨论的临界值,找到临界值后再进行讨论.
类型二：通项含取整函数
如：求的前项和
类型三：通项含自定义符号
如：记表示x的个位数字，如
求的前项和
二、典型例题
类型一：通项含绝对值
例题1．已知是数列的前项和，且．
（1）求；
（2）求数列的前项和为．
感悟升华（核心秘籍）
对于通项含绝对值问题，如本例求的前项和，其核心技巧是考虑当取何值时，， 此时的就是讨论的临界值,找到临界值后再进行讨论.
类型二：通项含取整函数
例题2．已知数列是递增的等差数列，是各项均为正数的等比数列，，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前9项的和．（注：表示不超过的最大整数）
类型三：通项含自定义符号
例题3．已知数列是以2为公差的等差数列，成等比数列，数列前项和为，且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记表示的个位数字，如， 求数列的前20项的和.
感悟升华（核心秘籍）
特殊值探路：通过例题2，例题3，对于数列通项含有特殊符号，比如取整，取小数，或其他自定义符号，在求解时，可通过列举法，列出数列的一部分，通过观察，寻找规律. 如例题2：，则有 如例题3：通过列举数列发现：，均为周期数列，且周期为5 135791113151719212313579135791335791113151719212325357913579135
练习：
1．数列的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
2．已知数列是公差不为零的等差数列，是各项均为正数的等比数列，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前10项的和．
注．表示不超过x的最大整数．
3．已知各项均为正数的数列的前项和为.
(1)求证；数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)若表示不超过的最大整数，如，求的值.
4．已知公差不为零的等差数列和等比数列，满足，，．
(1)求数列、的通项公式：
(2)记数列的前n项和为．若表示不大于m的正整数的个数，求．
六、数列求和（插入新数列混合求和）
一、必备秘籍
类型一：插入新数列构成等差
类型二：插入新数列构成等比
类型三：插入新数混合
二、典型例题
类型一：插入新数列构成等差
例题1．已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和.
类型二：插入新数列构成等比
例题2．已知数列的前项和满足，，.
(1)求的通项公式；
(2)在与之间插入一项，使，，成等比数列，且公比为，求数列的前项和.
类型三：插入新数混合
例题3．已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前项和为，满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)若在与之间依次插入数列中的项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前50项的和．
练习
1．已知数列的前n项和，且.
（1）求证：是等比数列；
（2）在和之间插入n个数，使这个数成等差数列，记插入的n个数的和为，求.
2．已知数列的前项和为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，，数列中第，，，…，…项构成新的数列，且数列为等比数列，求数列前项和.
3．（2022·全国·高三专题练习）为数列的前项和，已知，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列依次为：，2、，，，，，，，，，，，，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以2为首项，2为公比的等比数列，求数列的前50项的和.

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