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2.2.3 专题 电磁感应
———动力学和能量综合问题
1.题型简述：感应电流在磁场中受到安培力的作用，因此电磁感应问题往往跟力学问题联系在一起.解决这类问题需要综合应用电磁感应规律(法拉第电磁感应定律、楞次定律)及力学中的有关规律(共点力的平衡条件、牛顿运动定律、动能定理等).
2.处理方法：
状态 特征 处理方法
平衡态 加速度为零 根据平衡条件列式分析
非平衡态 加速度不为零 根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系进行分析
一、电磁感应中的动力学问题
3.基本思路：（先电后力）
解决这类问题的关键是通过运动状态的分析，寻找过程中的临界状态，如速度、加速度的最大值或最小值的条件.具体思路如下：
导体受力
切割磁感线
E=BLv
F合变化
v变化
a变化
a、v出现极值
【例题1】如图，竖直放置的足够长平行导轨之间连接阻值为R的电阻，导轨电阻可忽略，电阻为r的水平放置的导体棒ab，质量为m，棒的两端分别与导轨保持良好接触，又能沿竖直导轨无摩擦下滑，整个装置放在与导轨垂直的匀强磁场B中，当导体棒从静止下滑经一段时间后闭合开关S，请分析S闭合后导体棒 的运动情况。
作a减小的加速运动
(1)若F安设闭合开关时导体棒速度为v：
当a=0时，
最后以vmax作匀速运动
F安
mg
(2)若F安=mg,则作匀速运动，
(3)若F安>mg,则立即作减速运动，
作a减小的减速运动
当a=0时，
最后以vmin作匀速运动
F安
mg
F安
mg
【变式训练】(多选)如图所示,MN和PQ是两根互相平行、竖直放置的光滑金属导轨,已知导轨足够长,且电阻不计.ab是一根与导轨垂直而且始终与导轨接触良好的金属杆.开始时,将开关S断开,让杆ab由静止开始自由下落,过段时间后,再将S闭合,若从S闭合开始计时,则金属杆ab的速度v随时间t变化的图像可能是图中的(　　 )
ACD
【变式训练】如图所示,两根平行金属导轨置于水平面内,导轨之间接有电阻R.导体棒ab与两导轨垂直并保持良好接触,整个装置放在匀强磁场中,磁场方向垂直于导轨平面向下.现使磁感应强度随时间均匀减小,ab始终保持静止,下列说法正确的是(　 　)
A.ab中的感应电流方向由b到aB.ab中的感应电流逐渐减小C.ab所受的安培力保持不变D.ab所受的静摩擦力逐渐减小
D
【变式训练】如图所示,光滑固定平行金属导轨MN、PQ所在平面与水平面成θ角,两端点M、P间接有阻值为R的定值电阻。阻值为r的金属棒ab垂直导轨放置,其他部分电阻不计,整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中,磁场方向垂直导轨平面向上。从t=0时刻开始,棒受到一个平行于导轨向上的外力F作用,由静止开始沿导轨向上运动,运动中棒始终与导轨垂直,且接触良好,通过R的感应电流I随时间t变化的图像如图乙所示,选项中给出了外力F大小随时间t变化的图像,其中正确的是(　　 )
B
1.题型简述
电磁感应过程的实质是不同形式的能量转化的过程，而能量的转化是通过安培力做功来实现的.安培力做多少负功，有多少其他形式的能转化为电能.
在闭合回路中，电能最终通过电流做功转化为内能或其它形式能量。
二、电磁感应中的能量问题
其他形式的能量
如机械能
电流做功
焦耳热或
其他形式的能量
电
能
克服安培力做功
2.电磁感应现象中的能量分析
（1）电流恒定时，根据W＝UIt或焦耳定律 求解。
（2）电流变化时，用以下方法分析
①利用动能定理，求出安培力做的功 ，
产生的焦耳热等于克服安培力所做的功，即
②利用能量守恒，焦耳热与其他形式能量的总和保持不变。
3、电磁感应中焦耳热的计算思路
4.解题步骤
(1)确定研究对象(导体棒或回路)；
(2)弄清电磁感应过程中，哪些力做功，哪些形式的能量相互转化；
(3)根据能量守恒定律或功能关系列式求解.
【例题1】如图所示，水平面上有两根相距为L的足够长光滑平行金属导轨 ，它们之间接有阻值为 R的定值电阻，导轨的电阻可忽略不计。导体棒 ab 垂直导轨放置与导轨接触良好，其质量为m、电阻为 r。整个装置处于方向竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度 B。开始时，给ab棒一个向右的初速度v。
（1）请分析ab棒的运动情况；
（2）求整个过程电阻R上产生的热量是多少？
ab棒做加速度减小
的减速运动，直至停止。
（1）
（2）
【变式训练1】在上例中如果对ab棒施加一水平向右的恒力F，使其从静止开始向右运动
（1）请分析ab棒的运动情况；
（2）求ab棒可以达到的速度最大值；
（3）整个过程中，ab棒位移为x，求此过程回路中产生的热量。
ab棒做加速度减小
的加速运动，达到最大速度后作匀速运动。
（1）
（2）
（3）
【变式训练2】如图所示，水平放置的U形导轨足够长，置于方向竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B＝5 T，导轨宽度L＝0.4 m，左侧与R＝0.5 Ω的定值电阻连接，右侧有导体棒ab垂直导轨跨放在导轨上，导体棒ab质量m＝2.0 kg，电阻r＝0.5 Ω，与导轨间的动摩擦因数μ＝0.2，其余电阻可忽略不计.导体棒ab在大小为10 N的水平外力F作用下，由静止开始运动了x＝40 cm后，速度达到最大，取g＝10 m/s2.求：
(1)导体棒ab运动的最大速度的大小；
答案　1.5 m/s　
(2)当导体棒ab的速度v＝1 m/s时，导体棒ab的加速度的大小；
答案　1 m/s2　
(3)导体棒ab由静止运动到刚达到最大速度的过程中，电阻R上产生的热量.
答案　0.075 J
【例题3】如图所示，两根足够长的金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L，M、P两点间接有阻值为R的电阻，一根质量为m的均匀直金属棒ab放在两导轨上，并与导轨垂直。整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下，导轨和金属棒的电阻可忽略。让ab棒沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属棒接触良好，不计它们之间的摩擦，重力加速度为g。
（1）请分析ab棒的运动情况；
（1）求在运动过程中，ab棒可以达到的速度最大值；
（2）从静止到速度达到最大的过程，ab棒沿斜面下
滑距离为x，求回路产生的热量。
（1）
ab棒做加速度减小的加速运动，
达到最大速度后做匀速直线运动。
（2）
（3）
方法一：从功能关系的角度求解
方法二：从能量守恒的角度求解
【例题2】如图所示，两根足够长、电阻不计且相距L＝0.2m的平行金属导轨固定在倾角θ＝37°的绝缘斜面上，顶端接有一个额定电压U＝4V的小灯泡，两导轨间有一磁感应强度大小B＝5T、方向垂直于斜面向上的匀强磁场．今将一根长为2L、质量m＝0.2kg、电阻r＝1.0Ω的均匀金属棒垂直于导轨放置在顶端附近无初速度释放，金属棒与导轨接触良好，金属棒与导轨间的动摩擦因数μ＝0.25，已知金属棒下滑到速度稳定时，小灯泡恰能正常发光，重力加速度g取10m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：(1)金属棒刚开始运动时的加速度大小；
(2)金属棒稳定下滑时的速度大小．
(1)4m/s2　(2)4.4m/s
(1)金属棒刚开始运动时初速度为零，不受安培力作用，由牛顿第二定律得mgsinθ－μmgcosθ＝ma，
代入数据解得a＝4m/s2.
(2)设金属棒稳定下滑时的速度为v，感应电动势为E(金属棒的有效长度为L)，回路中的电流为I，
由平衡条件得mgsinθ＝BIL＋μmgcosθ ①
由闭合电路欧姆定律得 I=2(E-U)/r ②
由法拉第电磁感应定律得E＝BLv ③
联立①②③解得v＝4.4 m/s.
【变式训练】(多选)如图所示，倾角为α的光滑导轨上端接入一定值电阻，Ⅰ和Ⅱ是边长都为L的两正方形磁场区域，其区域内的磁场方向都垂直于导轨平面向上，区域Ⅰ中磁场的磁感应强度为B1，恒定不变，区域Ⅱ中磁感应强度随时间按B2＝kt(k＞0)变化，一质量为m、电阻为r的金属杆穿过区域Ⅰ垂直地跨放在两导轨上，并恰能保持静止，不计导轨电阻，则下列说法正确的是(　 　)
A．通过金属杆的电流大小为
B．通过金属杆的电流方向是从a到b
C．定值电阻的阻值为
D．定值电阻的阻值为
AC
【例题3】两根电阻不计的光滑平行金属导轨，竖直放置，导轨的下端接有电阻R，导轨平面处在匀强磁场中，磁场方向如图所示，电阻为r的金属棒ab，在与棒垂直的恒力F作用下，沿导轨匀速上滑了h高度，在这个过程中（ ）
A．作用于金属棒上的各力的合力所做的功等于零
B．恒力F与安培力的合力所做的功等于金属棒机械能的增加量
C．金属棒克服安培力做的功等于电阻R上产生的焦耳热
D．恒力F与重力的合力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热
AB
【变式训练】如图所示,有一边长为L的正方形导线框abcd,其质量为m,从匀强磁场上方由静止下落,此时底边ab与磁场上边界的距离为H(H>L)。导线框底边ab进入匀强磁场区域后,线框开始匀速运动,匀强磁场的上、下边界均水平且宽度也为L,重力加速度大小为g,不计空气阻力,则线框在穿越匀强磁场的过程中产生的焦耳热Q为(　　)
A.mg(H-L)　　　B.mg(H+L)C.2mgL　　　 D.3mgL
C
【例题4】两条平行导轨所在平面与水平地面间的夹角为θ，两导轨的间距为L.导轨上端接有一平行板电容器，电容为C.导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面向下.在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触.已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g.忽略所有电阻，让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：
(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；
(2)金属棒的速度大小随时间变化的关系.
解(1)感应电动势为E＝BLv ①
极板电势差U＝E ②
Q＝CU ③
联立①②③式得Q＝CBLv ④
(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；
(2)金属棒的速度大小随时间变化的关系.
即安培力F安＝CB2L2a(恒力作用下的含容充电电路安培力与加速度关系）
摩擦力Ff＝μFN ⑨
弹力FN＝mgcos θ ⑩
合力 F合=mgsin θ－F安－Ff＝ma
所以：
(2)安培力为F安＝BIL ⑤
充电电流I=ΔQ/Δt ⑥
增加的电荷量ΔQ＝CBLΔv ⑦
导体棒速度变化Δv =aΔt ⑧
【变式训练】如图所示,甲图中的电容器C原来不带电,除电阻R外,其余部分电阻均不计,光滑且足够长的导轨水平放置,磁场方向垂直于导轨平面.现给垂直放置于导轨上的导体棒ab水平向右的初速度v,则甲、乙、丙三种情形下,ab棒最终的运动状态是(　　)
A.三种情形下导体棒ab最终均做匀速运动
B.甲、丙图中导体棒ab最终可能以不同的
速度做匀速运动,乙中导体棒ab最终静止
C.甲、丙图中导体棒ab最终将以相同的速度做匀速运动,乙中导体棒ab最终静止
D.三种情形下导体棒ab最终均静止
B
初始状态 v0≠0 v0=0 情景图
运动 分析
稳定条件
能量分析
V=0
E=E感=BLv
F=F安=B2L2v/R
电磁感应中的单杆模型总结
a=(F-F安)/m恒定
F-BIL=F-(CB2L2v)/t=F-CB2L2a=ma
I=Q/t
Q=CU=CBLv
a=F/(m+CB2L2)
电磁感应现象中的
受力与运动分析
电磁感应现象中的
电路分析
法拉第电磁感应定律的应用
小结
电磁感应现象中的
能量分析
谢谢 再见！

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