资源简介

目录
一、初高中衔接 ....................................... 1
二、集合与简易逻辑 ................................... 3
三、函数 ............................................. 5
四、三角函数 ........................................ 14
五、平面向量 ........................................ 26
六、不等式 .......................................... 30
七、数列 ............................................ 35
八、立体几何 ........................................ 41
九、直线与圆 ........................................ 47
十、圆锥曲线 ........................................ 55
十一、导数与积分 .................................... 66
十二、排列组合与二项式定理 .......................... 72
十三、统计与概率 .................................... 76
十四、复数 .......................................... 86
十五、极坐标与参数方程 .............................. 89
十六、平面几何证明 .................................. 92
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高中数学常用公式与结论
一．初高中衔接
1．乘法公式：
（1）平方差公式： a2 b2 a b a b ；
2
（2）完全平方公式： a b a2 2ab b2 ；
（3）立方和公式： a3 b3 a b a2 ab b2 ；
（4）立方差公式： a3 b3 a b a2 ab b2 ；
（5）三数和平方公式：
2
a b c a2 b2 c2 2 ab bc ac ；
3
（6）两数和立方公式： a b a3 3a2b 3ab2 b3；
3
（7）两数差立方公式： a b a3 3a2b 3ab2 b3 ．
2．二次函数：
（1）一般式： f x ax2 bx c a 0 ；
2
（2）顶点式： f x a x h k a 0 ，顶点坐标 h,k ，
b 4ac b2
其中 h ， k ；
2a 4a
（3）两根式： f x a x x1 x x2 a 0 ， x1, x2 分别是抛
物线与 x 轴的两个交点的横坐标．
1
3．韦达定理：
一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 ，当 b2 4ac 0 时，
b c
两实根为 x1, x2 ，于是有 x1 x2 ， x1x2 ．
a a
2
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二．集合与简易逻辑
1．元素与集合的关系： x A x U A， x U A x A．
2．集合的性质：
（1）任何一个集合 A 是它本身的子集，记为 A A；
（2）空集是任意集合的子集；
（3）空集是任意非空集合的真子集；
（4）含 n 个元素的集合的子集个数为 2n ，真子集的个数为
n n
2 1，非空子集的个数为 2 1，非空真子集的个数
为 2n 2 ．
3． 德摩根定律：U A B U A U B ，U A B U A U B ．
4．容斥原理：
card A B cardA cardB card A B ．（ cardA表示集合
A的元素个数）．
5．真值表：
p q p q p q p
真 真 真 真 假
真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
3
6．常见结论的否定形式：
原结论 否定 原结论 否定
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有 n 个 至多有 n 1个
小于 不小于 至多有 n 个 至少有 n 1个
对所有 x ,成立 存在某 x ,不成立 p 或 q p 且 q
对任何 x ,不成立 存在某 x ,成立 p 且 q p 或 q
7．四种命题：
（1）原命题：若 p ，则 q ；
（2）逆命题：若 q ，则 p ；
（3）否命题：若 p ，则 q ；
（4）逆否命题：若 q ，则 p ．
注：原命题与其逆否命题的真假性一致。
8．充分条件：若 p q ，则 p 是 q 的充分条件；
必要条件：若 q p ，则 p 是 q 的必要条件；
充要条件：若 p q ，且 q p ，则 p 是 q 的充要条件．
4
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三．函数
1．函数的单调性：
（1）设 x1, x2 a,b ， x1 x2 ，则
f x f x
1 2

x1 x2 f x1 f x2 0 0 f x 在 a,b x1 x2
上是增函数；
f x1 f x 2

x1 x2 f x1 f x2 0 0 f x 在 a,b x1 x2
上是减函数.
（2）设函数 f (x) （不为常函数）在某个区间内可导，如果
f '(x) 0，则 f x 在该区间内为增函数；如果 f '(x) 0，
则 f x 在该区间内为减函数．
（3）对于复合函数 y f g x 的单调性，必须同时考虑
y f u 与u g x 的单调性，从而得出 y f g x 的
单调性．
y f (u) u g(x) y f [g(x)]
增函数 增函数 增函数
增函数 减函数 减函数
减函数 增函数 减函数
减函数 减函数 增函数
总结：同增异减．
5
2．判断函数奇偶性的方法：
（1）定义法：
第一步：判断函数 f x 的定义域是否关于原点对称；
第二步：计算 f x ；
第三步：若 f x f x ，则 f x 为奇函数；
若 f x f x ， 则 f x 为偶函数．
（2）图象法：
函数图象关于原点对称，则此函数是奇函数；
函数图象关于 y 轴对称，则此函数是偶函数．
3．定义域含零的奇函数必过原点（即有 f 0 0）．
偶函数的特性 f m f m
4．对于复合函数 y f g x 的奇偶性，必须同时考虑 y f u
与u g x 的奇偶性，从而得出 y f g x 的奇偶性．
y f (u) u g(x) y f [g(x)]
偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数
总结：一偶则偶，同奇则奇．
6
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5．函数的单调性和奇偶性综合：奇函数在对称的两个区间上的
单调性相同；偶函数在对称的两个区间上的单调性相反．
6．函数的对称性：
（1）轴对称：
①函数 y f x 的图象关于直线 x a对称
f x f 2a x f a x f a x
y f a x 是偶函数；
②若函数 y f x 满足 f a x f b x ，则
a b
y f x 的图象关于直线 x 对称．
2
（2）中心对称：
①函数 y f x 关于点 a , 0 成中心对称
f a x f a x y f a x 是奇函数；
②函数 f x 的图象关于点 a , b 对称
f a x f a x 2b 2b f x f 2a x ；
③若函数 f x 满足 f a x f b x c ，则 f x 的
a b c
图象关于点 , 中心对称．
2 2
7
7．具有周期性的抽象函数：
函数 y f x 对定义域内任一实数 x 满足（其中 a 为常数）：
（1） f x f x a ，则 y f x 是以T a 为正周期的周期
函数；
（2） f x a f x ，则 y f x 是以T 2 a 为正周期的
周期函数；
1
（3） f x a ，则 y f x 是以T 2 a 为正周期的
f x
周期函数；
（4） f x a f x a ，则 y f x 是以T 2 a 为正周期
的周期函数；
1 f x
（5） f x a ，则 y f x 是以T 2 a 为正周期
1 f x
的周期函数；
1 f x
（6） f x a ，则 y f x 是以T 4 a 为正周期
1 f x
的周期函数；
1 f x
（7） f x a ，则 y f x 是以T 4 a 为正周期
1 f x
的周期函数．
8
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8．指数函数：
一般地，函数 f (x) ax a 0且a 1 叫做指数函数．
指数函数的性质
图象
定义域 R
值域 0 ,
过定点 0，1 ，即 x 0 时， y 1
性质
在 R 上是减函数 在 R 上是增函数
9
9．对数函数的图象和性质：
一般地，对数函数 y loga x(a 0且 a 1）的图象和性质如
下表所示
0 a 1 a 1
图象
定义域 (0， )
值域 R
过定点 (1，0) ，即 x 1时， y 0
性质
在 (0， ) 上是减函数； 在 (0， ) 上是增函数．
10．指数和指数运算：
a0 （1） 1(a 0)；
m
a n n m （2） (n a )m am (a 0, n , m N , 且 n 为既约分数)
；

m
1 m
（3） a n (a 0, n , m N , 且 为既约分数) ； m n
a n
10
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r s r s
（4） a a a (a 0) ；
（5） (a
r )s ars (a 0)；
ar r s
（6） a (a 0) ；
as
（7） (ab)
r arbr (a 0 , b 0)．
11．对数和对数运算（ a 0，且 a 1，M 0，N 0）：
（1） loga 1 0；
（2） loga a 1；
（ ） log N 3 a a N ；
（4） loga M loga N loga (M N)；
M
（5） loga M loga N loga ；
N

（6） loga M loga M ；
1
（7） log M loga M ； a

（8） loga M log M

；
a
log
（9） log N a
N
b （ a，b 0，a，b 1，N 0）．
loga b
11
12．幂函数：一般地，形如 y x R 的函数称为幂函数，其
中 为常数．
（1）几种幂函数的图象：
y
y=x3
y=x2 y=x
1
y=x 2
1
y=x-1
O 1 x
（2）幂函数的性质：

①当 0 时，函数 y x 的图象都经过点 0 , 0 和
1,1 ，且在第一象限内单调递增；
②当 0时，函数 y x

的图象都经过点 1,1 ，且在第
一象限内单调递减．
12
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13．方程的根与函数的零点：
（1）方程 f x 0有实根 函数 y f x 的图象与 x 轴有交
点 函数 y f x 有零点．
（2）零点存在性定理：
如果函数 y f x 在区间 a，b 上的图象是连续不断的
一条曲线，且 f a f b 0，则函数 y f x 在区间
a，b 内有零点，即存在 c a，b ，使得 f c 0 ．
（3）若函数 y f x 在区间 I 上是单调的，则函数 y f x 在
区间 I 上至多有一个零点．
13
四．三角函数
1．弧度与角度的换算：180 π rad，
180
1 rad 57.30 57 18 ．
π
2．扇形中的计算公式： 若扇形的半径为 r ，圆心角为 （ 0）
1 1 2
弧度，弧长为 l ，面积为 S ，则 l r ， S lr r ．
2 2

3．三角函数中的重要不等式：若 x 0, ，则 sin x x tan x．
2
sin
4．同角三角函数的基本关系式： sin2 cos2 1，tan ．
cos
5．诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）：
（1）公式一：终边相同的角的同一三角函数的值相等．
sin( 2kπ) sin k Z ；
cos( 2kπ) cos k Z ；
tan( 2kπ) = tan k Z ．
14
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（2）公式二：角 与 π的三角函数间的关系．
sin π sin ；
cos π cos ；
tan π tan ．
（3）公式三：角 与 的三角函数间的关系．
sin( ) sin ；
cos( ) cos ；
tan( ) tan ．
（4）公式四：角 与 π 的三角函数间的关系．
sin π sin ；
cos π cos ；
tan π tan ．
π
（5）公式五：角 与 的三角函数间的关系．
2
π
sin cos ；
2
π
cos sin ．
2
15
π
（6）公式六：角 与 的三角函数间的关系．
2
π
sin cos ；
2
π
cos sin ．
2
16
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6．正弦函数 y sin x ．
正弦函数 y sin x
图象
定义域 R
值域 [ 1,1]
最小正周期 2π
π
对称轴 直线 x kπ k Z
2
对称性
性质 对称中心 kπ ，0 k Z
奇偶性 奇函数
π π
单调增区间 2kπ , 2kπ k Z
2 2
单调性
π 3π
单调减区间 2kπ , 2kπ k Z
2 2


17
7．余弦函数 y cos x．
余弦函数 y cos x
图象
定义域 R
值域 [ 1,1]
最小正周期 2π
对称轴 直线 x kπ k Z
对称性
π
性质 对称中心 kπ ,0 k Z
2
奇偶性 偶函数
单调增区间 π 2kπ , 2kπ k Z
单调性
单调减区间 2kπ , π 2kπ k Z
18
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8．正切函数 y tan x ．
正切函数 y tan x
图象

定义域 x x k , k Z
2
值域 R
最小正周期 π
性质 k
对称中心 , 0 k Z
2
奇偶性 奇函数

单调性 单调增区间 k , k k Z
2 2
19
9．函数 y Asin x （其中 A , , 为常数，且 A 0， 0 ）
的性质：
2π
（1）周期性：最小正周期为T ．

（2）值域： A , A ．
（3）对称轴方程：
π 2 k
由 x kπ k Z x k Z ．
2 2
（4）对称中心： x0 , 0 其中 x0 kπ k Z ．
（5）奇偶性：当 k k Z 时， y Asin x 为奇函

数；当 k k Z 时， y Asin x 为偶函
2
数．
（6）单调性：根据复合函数“同增异减”来判断单调性．
10．图象变换：
由函数 y sin x 的图象通过变换得到 y Asin x 的图
象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
方法一：先平移后伸缩：
1
向左 横坐标变为原来的 0 或向右 0
y sin x y sin x y sin x 平移 个单位 纵坐标不变
纵 坐 标变 为原 来的 A倍 y Asin x ；横坐标不变
20
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方法二：先伸缩后平移：
1
横坐标变为原来的 向左 0 或向右 0
y sin x y sin x y sin x 纵坐标不变
平移 个单位

纵 坐 标变 为原 来的 A倍 y Asin x ．
横坐标不变
11． y Asin x A 0 , 0 , x 0 , 表示一个振动
2
量时， A 叫做振幅， 叫做角速度，T 叫做周期，

1
f 叫做频率， x 叫做相位， x 0时的相位
T 2
称为初相．
12．和差角公式：
（1）C ∶cos cos cos sin sin ；
（2）C ∶cos cos cos sin sin ；
（3） S ∶sin sin cos cos sin ；
（4） S ∶sin sin cos cos sin ；
tan tan
（5）T ∶tan ；
1 tan tan
tan tan
（6）T ∶tan ．
1 tan tan
21
13．二倍角公式：
（1）二倍角的正弦、余弦、正切：
S2 : sin 2 2sin cos ；
2 2 2 2
C2 : cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin ；
2tan
T2 : tan 2 ．
1 tan2
（2）公式的逆向变换及有关变形：
2
1 sin 2 sin2 cos2 2sin cos sin cos ；
2 1 cos2 1 cos2 cos ； sin2 ．
2 2
14．辅助角公式：
y Asin Bcos A2 B2 sin ，（其中
A B
cos ， tan ）．
2 2 A
A B
15．积化和差与和差化积公式：
（1）积化和差公式：
1
sin Acos B sin A B +sin A B ； 2
1
cos Asin B sin A B sin A B ； 2
1
cos Acos B cos A B cos A B ； 2
1
sin Asin B cos A B cos A B ． 2
22
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（2）和差化积公式：
A B A B
sin A sin B 2sin cos ；
2 2
A B A B
sin A sin B 2cos sin ；
2 2
A B A B
cos A cos B 2cos cos ；
2 2
A B A B
cos A cos B 2sin sin ．
2 2
16．正弦定理及其在解三角形中的应用：
（1）正弦定理：在三角形中，各边与它所对角的正弦的比相
a b c
等，即 2R．
sin A sin B sinC
正弦定理变形有：
① a 2Rsin A，b 2Rsin B ， c 2RsinC ；
a b c
② sin A ， sin B ， sinC ；
2R 2R 2R
③ a :b :c sin A : sin B : sinC ；
1 1 1
④面积公式： S absinC bcsin A acsin B ．
2 2 2
（2）正弦定理用于两类解三角形的问题：
①已知三角形的任意两个角与一边，求其它两边和一
角
②已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边
的对角，进而计算出其它的边与角．
23
17．余弦定理及其在解三角形中的应用：
（1）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边的平方
和减去这两边与它们夹角 的余弦的积的两倍，
a2 b2 c2
cosC
c2 a2 b2 2abcosC 2ab

2 2 2 a
2 c2 b2
即： b a c 2accos B ，变形式为： cos B ．
2 2 2 2ac
a b c 2bccos A b2 c2 a2
cos A
2bc
（2）余弦定理及其变形常用来解决这样两类解三角形的问题：
①已知两边和任意一个内角解三角形；
②已知三角形的三边解三角形．
18．解三角形的常见类型及解法：
已知条件 应用定理 一般解法
一边和两角 由 A B C π ，求角 A ；由正弦定理求出 b 与
正弦定理
（如 a ， B ， C ） c ．
两边和夹角 余弦定理 由余弦定理求第三边 c ；由正弦定理求出小边所对的角
（如 a ， b ， C ） 正弦定理 (此角一定是锐角)；再由 A B C π ．
由余弦定理求出角 A 、 B ；再 A B C π ，
三边（ a ， b ， c ） 余弦定理
求出角 C ．
两边与其中一边的对角 正弦定理 由正弦定理求出角 B ；由 A B C π ，求出角
（如 a ， b ， A ） 余弦定理 C ；再利用正弦定理或余弦定理求 c ．
24
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19．解决三角形的综合问题时，要注意以下关系式的运用
① A B C π；
② sin A B sinC ； cos A B cosC ；
A B C A B C
③ sin cos ； cos sin ；
2 2 2 2
④ a b A B ．
25
五．平面向量
1．向量的数量积与实数的积的相同点：
实数的乘积 向量的数量积
运算的结果是一个实数 运算的结果是一个实数
a b b a a b b a
(a b) c a c b c (a b) c a c b c
(a b)2 a2
2 2
2ab b2 (a b)2 a 2a b b
2 2
(a b)(a b) a2 b2 (a b)(a b) a b
a2 b2 0 a 0且b 0 a2 2 b 0 a 0且b 0
| a | | b | | a b | | a | | b | | a | | b | | a b | | a | | b |
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2．向量的数量积与实数的积的不同点：
实数的乘积 向量的数量积
结合律 (ab)c a(bc) (a b) c a (b c)
a b 0 a 0或b 0 a b 0 a 0或b 0或a b
| ab | | a || b | | a b | | a | | b |
(ab)2 a2b2 2 2 2 (a b) a b
3．平面向量的坐标运算：
已知 a x1 , y1 ，b x2 , y ，则有 2
（1）向量的和： a b x1 x2 , y1 y2 ；
（2）向量的差： a b x1 x2 , y1 y2 ；
（3）数乘向量： a x1 , y1 ；
（4）向量的数量积： a b x1x2 y1y2 ；
（5）向量的长度： a a a x 2 y 2 ； 1 1
a b x x y
（6）向量夹角： cos a , b 1 2 1
y2 ；
a b x 2 y 2 x 2 21 1 2 y2
27
（7）向量平行： a//b x1y2 x2 y1 0；
（8）向量垂直： a b x1x2 y1y2 0．
4．平面向量基本定理：如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线非
零向量．那么对于这一平面内的任意向量 a ，有且只有一对实
数 1、 a e e2 ，使 1 1 2 2 ．
5．设 a x1, y1 ，b x2 , y2 ，则 a b a b cos x1x2 y1y ； 2
其几何意义是 a b等于 a 的长度与 b 在 a 的方向上的投影的
a b x x y y
乘积； a 在 b 的方向上的投影 a cos 1 2 1 2 ．
b x2 22 y2
6．共线向量定理：向量 a （ a 0）与向量 b 共线，当且仅当有
唯一一个实数 ，使 b a ．
7．向量 a,b 满足的不等式为： a b a b a b ．
8．三角形四心的性质：
（1）三角形的外心O ：三边中垂线的交点，满足
OA OB OC ．
（2）三角形的内心 I ：三条内角平分线的交点，满足
aIA bIB cIC 0．
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（3）三角形的重心G ：三边中线的交点，满足
GA GB GC 0．在 ABC 中， P 为平面上任意一点，
1
有 PG PA PB PC G 为 ABC 的重心．
3
（4）三角形的垂心 H ：三边高线的交点，满足
HA HB HB HC HC HA ，
OH OA OB OC 3OG ．
29
六．不等式
1．不等式的性质及推论：
性质 1（对称性）： a b b a；
性质 2（传递性）： a b且b c a c；
性质 3（可加性）： a b a c b c ；
推论 1（移项法则）： a b c a c b ；
推论 2（同向可加性）： a b且 c d a c b d ；
性质 4（可乘性）： a b且 c 0 ac bc ； a b且
c 0 ac bc；
推论（正数同向可相乘）： a b 0且 c d 0 ac bd ．
2．均值不等式：如果 a 、 b R （R 表示正实数），那么
a b
ab ，当且仅当 a b时， 等号成立．此结论又称均
2
a b
值不等式或基本不等式．其中， 叫做 a 、 b 的算术平均
2
值， ab （ ab 0）叫做 a 、 b 的几何平均值．
30
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3．均值不等式推广：
2 a b a2 b2
ab （调和平均数 几何平均数
1 1 2 2

a b
算术平均数 平方平均数）类似的，这个不等式可以推广到 n
个数的情形：
n 1 a1 a2 an a
2
1 a
2 a2
a a a n 2 n
1 1 1 1 2 n n n

a1 a2 an
4．柯西不等式：设 a1 、 a2 、 、 an 及b1、 b2 、 、bn 为任意
A a2 2 2实数，记 n 1 a2 an ， Bn a1b1 a2b2 anbn ，
C 2 2 2 2n b1 b2 bn ，则 Bn An Cn ，当且仅当
a a a1 2 n 时等号成立．
b1 b2 bn
5．柯西不等式的常用形式：
2
a1b1 a2b2 anbn
① a a ； 1 2 an
b1 b2 bn
② 2 2 2 1 1 1 a1 a2 an a1b1 a2b2 anbn 2
b1 b
2 b22 n
31
6．证明不等式的常用方法：
（1）比较法：①设 a 、b 为实数，那么 a b a b 0；
a b a b 0； a b a b 0．
②作商法的原理：设 a 、b 0 ，那么
a
a b 1．
b
（2）分析法：执果索因，通常使用“要证——只要证——只 要
证——即为已知”的格式．
（3）综合法：由因导果．
（4）反证法：正难则反．
（5）换元法：对不等式中的某些部分或者整体进行换元，有
的时候可以达到化简题目、凸显结果的效果，使题目变
得简单明了．
（6）放缩法：将不等式一侧适当放大或缩小，以达到证明目
的．
7．放缩法的常见处理技巧：
（1）添加或舍去一些项，如： a2 1 a ； n n 1 n ．
（2）将分子或分母放大（或缩小）．
n n 1
（3）利用基本不等式，如： n n 1 ．
2
（4）常见结论：
① 1 1 1 1 ；
n2 n 1 n n 1 n
32
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② 1 1 1 1 1 ；
2 2 n n 1 2 n 1 n 1
③ 1 4 4 1 1 2 ；
2 2 2 n 4n 4n 1 2n 1 2n 1
④ 2 1 22 n 1 n 2 n n 1 ；
n n 1 n n n 1
⑤ n 1 1 ．
n 1 ! n! n 1 !
8．不等式成立问题的类型：
（1）恒成立问题：
①若不等式 f x A在区间 D 上恒成立，则等价于函数
f x 在区间 D 上的最小值（或下确界）大于 A ．
②若不等式 f x B在区间 D 上恒成立，则等价于函数
f x 在区间 D 上的最大值（或上确界）小于 B ．
（2）能成立问题：
①若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f x A成立，即
f x A在区间 D 上能成立，则等价于函数 f x 在区
间 D 上的最大值（或上确界）大于 A ．
②若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f x B成立，即
f x B在区间 D 上能成立，则等价于函数 f x 在区
间 D 上的最小值（或下确界）小于 B ．
33
（3）恰成立问题：
①不等式 f x A在区间 D 上恰成立，等价于不等式
f x A的解集为 D ．
②不等式 f x B在区间 D 上恰成立，等价于不等式
f x B的解集为 D ．
9．线性规划中的几个目标函数（方程）的几何意义：
（1） z ax by ，若 b 0 ，直线在 y 轴上的截距越大， z 越
大；若b 0，直线在 y 轴上的截距越大， z 越小．
y n
（2） 表示过两点 x, y , m,n 的直线的斜率．
x m
2 2
（3） t x m y n 表示圆心 m,n 固定，半径变化的
动圆．
2 2
（4） t x m y n 表示点 x, y 到点 m,n 的距离．
Ax0 By0 C
（5） d 表示 x0 , y0 到直线的距离．
A2 B2
34
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七．数列
1．已知等差数列 an ，首项为 a1 ，公差为 d ，通项为 an ，前 n
项和为 Sn ．
等差数列通项公式： an a1 n 1 d am n m d ．
前 n 项和公式： n a1 an n n 1 d d Sn na1 d n
2 ． a1 n
2 2 2 2
2．等差中项：如果三个数 a ， A ， b 组成等差数列，那么 A 叫
做 a ， b 的等差中项；如果 A 是 a 和 b 的等差中项，则
a b 2A．
3．等差数列 an 的常见性质：
（1）p 、q 、m 、n *N ，若 p q m n，则 ap aq am an ；
特别地，若 2m p q ，则有 2am ap aq ；
（2）m 、 p 、n *N ，若 m ， p ，n 成等差数列，则 am ，ap ，
an 也成等差数列；
（3） S a nn 是 n 的前 项和，则 Sm ， S2m Sm ， S3m S2m ，
为等差数列，公差为 m
2d ；
S d S d d
（4） 数列 n 是等差数列，公差为 ，且
n n a1 ；
n 2 n 2 2
35
（5）当 n 为奇数时，则：
① sn n an 1 ; ② s奇 s a偶 n 1 ;
2 2
s奇 n 1
③ ;
s n 1
偶
当 n 为偶数时，则
n
① s .s偶 奇 . d ;
2
n(an an )
n(a a ) 1
② s 1 n 2 2n ;
2 2
an
s奇
③ = 2
s a
偶 n 1
2
4．已知等比数列 an ，首项为 a1 ，公比为 q ，通项为 a nn ，前 项
和为 Sn ．
a a qn 1 a qn m 等比数列通项公式： n 1 m ．
na1 , q 1

前 n 项和公式： sn a1 1 qn a1 q. a n , q 1
1 q 1 q
36
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5．等比中项：若三个数 x ，G ， y 成等比数列，G 叫做 x ， y 的
等比中项．若G 是 x 2和 y 的等比中项，则G xy ．
6．等比数列 an 的常见性质：
（1）p 、q 、m 、n *N ，若 p q m n，则 ap aq am an ；
特别地，若 2m p q ，则有 a2m ap aq ；
（2）m 、 p 、n *N ，若 m ， p ，n 成等差数列，则 a am ， p ，
an 成等比数列；
（3）若 an 是正项的等比数列，则 logb an 是等差数列，公
差为 logb q ；
（4）若 an 是等比数列， S 是 an 的前 nn 项和，则 Sm ，
S2m Sm ， S3m S2m ， 为等比数列（ Sm ， S2m Sm ，
S3m S2m ， 均不为零）．
7．求数列通项公式的方法：
（1）若已知数列的前 n 项和 Sn 与 an 的关系，则可用
S1 , n 1
an 来求通项，注意验证 a1 是否包含在后
Sn Sn 1 , n 2
面 an 的公式中，若不符合要单独列出．
37
（2）累加法：对于数列 an ，有递推公式为 an 1 an p（ p
为常数）或 an 1 an f n （ f n 可求和），那么求这
类数列通项公式的方法是由递推公式写出 n 1 个等式，
将这 n 1 个等式相加求和即可．
a
（3）累乘法：对于数列 an ，有递推公式为
n 1 p （ p 为
an
非零常数）或 an 1 f n an （ f n 可求积），那么求这
类数列通项公式的方法是由递推公式写出 n 1 个等式，
将这 n 1 个等式相乘即可．
（4）待定系数法：遇到形如 an 1 pan f n p 0 ,1 ，可
利用待定系数法构造等比或等差数列，从而求出通项 an ．
① an 1 pan q p 0,1,q 0 ，可设 bn an ；
② an 1 pan kn b p 0,1 ，可设bn an n ；
n
③ an 1 pan c q
n p 0,1, p q ，可设 bn an q ；
n n 1
④ an 1 pan c p p 0,1 ，等式两边同除以 p ．
（5）对数变换法： an 1 pa
q
n p 0 , an 0 ，在原递推式两
边取对数得 lgan 1 q lgan lg p ，令bn lgan ，得
b
bn 1 qbn lg p ，利用待定系数法求出 b a 10
n
n 之后得 n ．
38
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（6）倒数变换法： an 1 an pan 1an （ p 为常数且 p 0 ），两
1 1 1
边同除以 an 1an ，转化为 p ，令 bn ，得
an an 1 an
ma
bn bn 1 p ，求出 bn 之后再求 an ；还有形如 a
n
n 1
pan q
1 q 1 p
的递推式，也可采用取倒数的方法转化成
an 1 m an m
1
的形式，令 bn ，求出 bn 之后再求 an ．
an
8．数列求和的方法：
（1）有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将
这类数列适当拆开，可分为 几个等差、等比或常见的数列，
然后分别求和，再将其合并即可．常用的求和公式：
n 1
① k n n 1 ；
k 1 2
n
2 1
② k n n 1 2n 1 ；
k 1 6
n 2
3 1 ③ k n n 1 ．
k 1 2
39
（2）倒序相加法：将一个数列倒过来排列（反序），再把它与
原数列相加．
（3）错位相减法：这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公
式时所用的方法，这种方法主要用于求数列 an bn 的前
n 项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列．
（4） 裂项相消法：如果数列的通项可分裂成“两项差”的形式，
且相邻项分裂后相关联， 那么常选用裂项相消法求和．
常见的裂项形式有：
1 1 1
① an ；
n n 1 n n 1
1 1 1 1
② a ； n
n n k k n n k
1 1 1 1
③ ； 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1
1 1 1 1
④ an ；
n n 1 n 2 2 n n 1 n 1 n 2
1 1
⑤ a b ；
a b a b
Cm 1 ⑥ n C
m
n 1 C
m
n ；
⑦ n n! n 1 ! n!．
40
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八．立体几何
1．空间几何体的表面积和体积公式：
（1）棱柱：表面积 S表 S侧 2S底，体积V S底h．
1
（2）棱锥：表面积 S表 S侧 S底，体积V S h ． 底
3
（3）棱台：表面积 S表 S侧 S上底 S上底 ，体积
1
V h S ． 上底 S下底 S上底S下底
3
（ ）圆柱：表面积 S 2 r l r ，体积V r2 4 表 l ．（ l 为母
线长）
1
（5）圆锥：表面积 S表 r l r ，体积V r
2h ．（ l 为母
3
线长）
2 2
（6）圆台：表面积 S表 l r1 r2 r1 r2 ，体积
1
V h r 21 r1r2 r 2 ．（ l 为母线长） 2
3
4
（7）球：表面积 S 4 R2 ，体积V R3表 ．
3
41
2．平面的三个公理：
（1）公理一：如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么
这条直线上所有的点都在这个平面内．
A l

B l
符号语言： l
A
B
（2）公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个
平面．
推论 1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个
平面．
推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
（3）公理三：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它
们有且只有一条过该点的公共直线．
P l
符号语言：
P P l
3．立体几何八大定理：
（1）线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一
条直线平行，则该直线与此平面平行．
a

符号语言：b a//
a//b
42
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（2）线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过
这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．
a//

符号语言： a a//b
b
（3）面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另
一个平面平行，则这两个平面平行．
a
b

符号语言： a b P //
a//

b//
（4）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平
面相交，那么它们的交线平行．
//

符号语言： a a//b
b
（5）线面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交
直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
a

b

符号语言： l a l
l b

a b P
43
（6）线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两直线平行．
l
符号语言： l //m
m
（7）面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则
这两个平面垂直．
l
符号语言：
l
（8）面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直
于交线的直线与另一个平面垂直．

m
符号语言： l
l m
l
4．几何法求解空间角和距离：
（1）异面直线所成角（角的范围为 0 90 ）的求法：
①平移法：平移直线，构造三角形；
②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现
两条异面直线间的关系．
44
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（2）直线和平面所成角（角的范围为 0 90 ）的求法：
①直接法：直接作出线面角，然后根据正余弦定理求解
角度；
②在直线上找一点，用体积法求出点到平面的距离，然
后根据斜线长度求线面角的正弦值．
（3）二面角（角的范围为 0 180 ）的求法：
①定义法：在二面角的棱上找一特殊点，过该点在两个
半平面内分别作垂直于棱的射线．如图（1）， AOB为
二面角 l 的平面角．
②垂连法：过二面角的一个半平面内一点作另一个半平
面所在平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直
可找到二面角的平面角或其补角．如图（2）， AOB为
二面角 l 的平面角．
③面积射影定理：平面图形射影面积等于被射影图形的面
积乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦．即设一个
平面图形的面积为 S ，所在平面为 ，该平面图形在平面
上的射影面积为 S ， 与 的夹角为 ，则 S S cos ．
45
（4）求点到面的距离的主要方法：
①直接法：由点作面的垂线，求垂线段的长度；
②转化法：转化成另一点到该平面的距离；
③体积法：从不同的角度选择底和高计算体积．
5．向量法求解空间角和距离：
（1）异面直线所成角：设异面直线 l1 、l2 的方向向量分别为 m1 、
m2 ，则 l1 与 l2 所成的角 满足 cos cos m1,m2 ．
（2）线面角：设直线 l 的方向向量和平面 的法向量分别为 m
和 n ，则直线 l 与平面 所成角 满足 sin cos m,n ．
（3）二面角：设 n1 、 n2 分别是二面角 l 的两个半平面
、 的法向量，则向量 n1 与 n2 的夹角（或其补角）的
大小就是二面角的大小．
（4）点到面的距离的求法：如图，设 A 为平面 内的一点， B
为平面 外的一点， n 为平面 的法向量，则 B 到平面
AB n
的距离 d ．
n
46
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九．直线与圆
1．直线的斜率和倾斜角：
（1）倾斜角：当直线 l 与 x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，
x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 叫做直线 l
的倾斜角．规定：当直线 l 与 x 轴平行或重合时，直线的倾
斜角为 0 ．直线的倾斜角 的范围： 0 180 ．
（2）直线的斜率：我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做
这条直线的斜率，通常用 k 表示，即 k tan ．倾斜是 90
直线没有斜率
（3）斜率公式：经过两点 P1 x1 , y1 、 P2 x2 , y2 x1 x2 的直
y y
线的斜率公式为 k 2 1 ．
x2 x1
2．直线方程的五种形式：
（1）点斜式方程： y y0 k x x0 ，由直线上一点 x0 , y0
斜率 k 确定直线方程；
（2）斜截式方程： y kx b，由直线的斜率 k 和其在 y 轴上
的截距 b 确定直线的方程；
47
y y x x
（3）两点式方程： 1 1 x1 x2 , y1 y2 ，由直线
y2 y1 x2 x1
上两点 x1 , y1 、 x2 , y2 确定方程；
x y
（4）截距式方程： 1 a 0 , b 0 ，由直线在 x 、 y 轴
a b
上的截距 a 、 b 确定方程；
（5）一般式方程： Ax By C 0（ A 、 B 不全为零），与直
线一一对应．
3．两条直线 l1 : A1x B1y C1 0 、l2 : A2x B2 y C2 0的位置关
系：
（1）相交： A1B2 A2B1 0 ；
（2）平行： A1B2 A2B1 0 且 B1C2 C1B2 0 ；
（3）重合： A1 A2 ， B1 B ，C1 C2 02 ；
（4）垂直： A1A2 B1B2 0 ．
4．距离公式：
（1）点到直线的距离公式：点 P x0 , y0 到直线
Ax0 By0 C
l : Ax By C 0的距离 d ．
A2 B2
（2）两条平行线之间的距离：两条平行线 l1 : Ax By C1 0、
C1 C2
l2 : Ax By C2 0 之间的距离 d ．
A2 B2
48
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5．直线系方程：
（1）过两直线 l1 : A1x B1y C1 0 、 l2 : A2x B2 y C2 0交
点的直线系方程可设为
A1x B1y C1 A2x B2 y C2 0 0 ．
（2）与直线 l : Ax By C 0平行的直线系方程可设为
Ax By m 0 m C ．
（3）与直线 l : Ax By C 0垂直的直线系方程可设为
Bx Ay n 0 ．
6．到角和夹角公式：
（1） l1 到 l2 的角是指直线 l1 绕着交点按逆时针方向转到和直
线 l 重合所转的角 ， 0, 2 且
k2 ktan 1 k1k2 1 ．
1 k1k2

（2） l1 与 l2 的夹角是指不大于直角的角 ， 0, 且
2
k k
tan 2 1 k1k2 1 ．
1 k1k2
49
7．设 ABC 三顶点坐标为 A x1, y1 ， B x2 , y2 ，C x3 , y3 ，则
x x x y y y
重心坐标为G 1 2 3 , 1 2 3

．
3 3
8．对称问题：
（1）点关于点对称：
点 P x0 , y0 关于点 A m , n 的对称点 P x , y ，可利
用中点坐标公式求得，
x x 0

m
2 x 2m x0
由 ．
y y n 0
y 2n y0
2
（2）点关于直线对称：
设点 P x0 , y0 关于直线 Ax By C 0的对称点为
P x , y ，则线段 PP 的中点在已知直线上，且 PP 与已
x0 x y0 y
A B C 0
2 2
知直线垂直，即 ，解此方程，
y y
0 A 1
x x0 B
即可得 P x , y ．
50
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（3）直线关于点对称：
直线 Ax By C 0关于点 P x0 , y0 的对称直线方程的
求法：
法一：求出直线上的两个特殊点 M 、 N 关于点 P 的对称
点 M 、N 的坐标，则直线 M N 的方程即为所求的方程；
法二：设对称直线的方程为 l : Ax By C 0，可由点 P
到直线 l 、 l 距离相等确定 l 的方程．
（4）直线关于直线对称：
直线 l1 : A1x B1y C1 0 关于 l2 : A2x B2 y C2 0的对
称直线 l 的方程的求法： 1
①若 l1 与 l2 相交，可设交点为 M ，再求得 l1 上点 N 关于 l2
的对称点 N ，由 M 和 N 确定方程；
②若 l1 与 l2 平行，可由平行线的距离公式确定 l 的方程． 1
9．圆的方程：
（1）圆的标准方程：
①以点C a , b 为圆心， r 为半径的圆的方程为
2 2
x a y b r2 ．
2 2 2
②圆心在原点的圆的标准方程为 x y r ．
51
2
（2）圆的一般方程： x y
2 Dx Ey F 0
（ D2 E2 4F 0）．
2
注：① x2 和 y 项的系数相等且都不为零；
②没有 xy 这样的二次项；
D E D2 E2 4F
③表示以 , 为圆心， 为半
2 2 2
径的圆．
x a r cos
（3）圆的参数方程： 为参数 ，其中圆心为
y b r sin
a,b ，半径为 r ．
（4）以 A x1, y1 、 B x2 , y2 为直径的圆的方程为
x x1 x x2 y y1 y y2 0 ．
10．点、直线与圆的位置关系：
2 2 2
（1） 点与圆的位置关系：圆的标准方程 x a y b r ．
2 2 2
①若点 M x0 , y0 在圆外，则 x0 a y0 b r ；
2 2
②若点 M x0 , y0 在圆上，则 x0 a y0 b r
2
2 2
③若点 M x , y 在圆内，则 x a y b r20 0 0 0 ．
52
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（2）直线与圆的位置关系：如果圆心到直线的距离为 d ，圆
的半径为 r ，那么：
①若 d r ，则直线与圆相离；
②若 d r ，则直线与圆相切；
③若 d r ，则直线与圆相交．
（3）圆与圆的位置关系：
设圆O1 的半径为 r1 ，圆O2 的半径为 r2 ，两圆的圆心距为
d ，则：
①当 r1 r2 d 时，两圆外离；
②当 r1 r2 d 时，两圆外切；
③当 r1 r2 d r1 r2 时，两圆相交；
④当 r1 r2 d 时，两圆内切；
⑤当 r1 r2 d 时，两圆内含．
11．圆的切线方程：
（1）点 P x0 , y0 在圆 x
2 y2 r2 上，则过点 P 的切线方程
2
为： x0x y0 y r ．
2 2 2
（2）点 P x0 , y0 在圆 x y r 外，则过点 P 作圆的两条
切线，切点分别为 A, B ，则直线 AB 的方程为：
2
x0x y0 y r ．
2 2
（3）点 P x0 , y0 在圆 x a y b r
2 上，则过点 P 的
2
切线方程为： x0 a x a y0 b y b r ．
53
2 2
（4）点 P x0 , y0 在圆 x a y b r
2 外，则过点 P 作
圆的两条切线，切点分别为 A, B ，则直线 AB 的方程为：
x0 a x a y0 b y b r
2 ．
2 2
12．过圆C1 : x y D1x E1y F1 0
C2 : x
2 y2 D2x E2 y F2 0
交点的圆（相交弦）系方程为
x2 y2 D x E y F x2 y2 1 1 1 D2x E2 y F2 0，
1时为两圆相交弦所在直线方程．
54
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十．圆锥曲线
1．椭圆的标准方程与简单几何性质：
焦点的 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
位置
图形
2 2 y2x y x
2
标准方程 1(a b 0) 1(a b 0)
a2 b2 a
2 b2
范围 a x a 且 b y b a y a 且 b x b
A1( a，0)，A2 (a，0) A1(0， a)，A2 (0，a)
顶点
B1(0， b)，B2 (0，b) B1( b，0)，B2 (b，0)
轴长 短轴的长为 2b，长轴的长为 2a
焦点 F ( c，0)，F (c，0) F1(0， c)，F2 (0，c) 1 2
焦距 | F1F2 | 2c
对称性 关于 x 轴、 y 轴对称， (0，0) 为对称中心
c b2
离心率 e 1 (0 e 1)
a a2
55
2．椭圆的焦点三角形和焦半径：
（1）椭圆的焦点三角形：以椭圆的两个焦点 F1 ， F2 与椭圆上
的任意一点 P （非长轴顶点）组成的三角形．
（2）椭圆的焦点三角形的周长为 2a 2c ，面积为
2 F PF
S 1 2 ． PF F b tan1 2 2
（3）椭圆的焦半径公式：对于离心率为 e，焦点在 x 轴的椭
x2 y2
圆 E ： 1上的点 P x0 , y0 ，它到左焦点 F2 2 1 的距a b
离和到右焦点 F2 的距离分别为 PF1 a ex0 ，
PF2 a ex0 ．
56
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3．双曲线的标准方程与简单几何性质：
焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
图形
x2 y2 y2 x2
标准方程 1 1
a2 b2 a2 b2
x ， a a， y ， a a，
范围
且 y R 且 x R
顶点 A1( a，0)，A2 (a，0) A1(0， a)，A2 (0，a)
轴长 虚轴的长为 2b，实轴的长为 2a
焦点 F1( c，0)，F2 (c，0) F1(0， c)，F2 (0，c)
焦距 | F1F2 | 2c
对称性 关于 x 轴、 y 轴对称， (0，0) 为对称中心
b a
渐进线 直线 y x 直线 y x
a b
c b2
离心率 e 1 (e 1)
a a2
57
4．双曲线的焦点三角形和焦半径：
（1）双曲线的焦点三角形：以双曲线的两个焦点 F1 ， F2 与双
曲线上任意一点 P （非双曲线顶点）为顶点组成的三角
形．
b2
（2）双曲线的焦点三角形的面积为 S F PF ． 1 2 F PF
tan 1 2
2
（3）双曲线的焦半径公式：对于离心率为 e，焦点在 x 轴的
x2 y2
双曲线 E ： 1上的点 P x
2 2 0
, y0 ，P 在左支时，
a b
PF1 (ex0 a)， PF2 (ex0 a) ; P 在右支时，
PF1 ex0 a， PF2 ex0 a .
58
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5．设抛物线的焦点到准线的距离为 p （ p 0），抛物线的标准方
程与简单几何性质如下：
标准方程 图形 对称轴 焦点坐标 准线方程
y2 2 px p p
, 0 x
( p 0) 2 2
x 轴
y2 2 px p p
, 0 x
( p 0) 2 2
x2 2 py p p
0 , y
( p 0) 2 2
y 轴
x2 2 py p p
0 , y
( p 0) 2 2
抛物线的离心率：抛物线上的点到焦点与到准线的距离的比叫做抛
物线的离心率，用 e表示， e 1．
59
6．圆锥曲线的第二定义：
x2 y2
（1）①椭圆 1 a b 0 的左焦点对应的左准线为
a2 b2
a2 a2
x ，右焦点对应的右准线为 x ；
c c
x2 y2 a2
②双曲线 1的左焦点对应的左准线为 x ，
a2 b2 c
a2
右焦点对应的右准线为 x ；
c
2 p p
③抛物线 x 2py的焦点为 0 , ，准线为 y ；
2 2
2 p p
④抛物线 y 2px 的焦点为 , 0 ，准线为 x ．
2 2
圆锥曲线上的点到焦点距离与到准线距离的比为常数，且
该常数即为离心率 e．
（2）到定点与到定直线的距离之比为常数 e的点的轨迹为：
①当 0 e 1时，轨迹为离心率为 e的椭圆，定点为其中的
一个焦点；
②当 e 1时，轨迹为抛物线，定点为焦点；
③当 e 1时，轨迹为离心率为 e的双曲线，定点为其中一个
焦点．
60
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7．直线与圆锥曲线相切的充要条件：
2 2 2
（1）圆 x y r 与直线 Ax By C 0相切的条件是
A2r2 B2r2 C2 ；
x2 y2
（2）椭圆 1 a b 0 与直线 Ax By C 0相切的
a2 b2
条件是 A2a2 B2b2 C2 ；
x2 y2
（3）双曲线 1 a , b 0 与直线 Ax By C 0相切
a2 b2
的条件是 A2a2 B2b2 C2 ；
（4）抛物线 y2 2px p 0 与直线 Ax By C 0相切的条
2
件是 pB 2AC ；
2
（5）抛物线 x 2py p 0 与直线 Ax By C 0相切的条
2
件是 pA 2BC ．
61
8．过圆锥曲线C 上一点 P x0 , y0 与圆锥曲线相切的直线方程为：
圆锥曲线
圆锥曲线C 的方程 在点 P x0 , y0 处的切线
C
x2 y2 r2 x x y y r2 0 0
圆
2 2
2x a y b r2 x0 a x a y 0 b y b r
y2 2px y0 y p x x 0
抛物线
x2 2py x0x p y y 0
x2 y2 x x y y
椭圆 1 0 0 1
2 2 a2a b b
2
x2 y2 x x y y
双曲线 1 0 0 1
a2 b2 a
2 b2
一般圆锥
2 D EAx By2 Dx Ey F 0 Ax0x By0 y x x0 y y0 F 0
2 2
曲线
62
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9．设 P x0 , y0 是圆锥曲线C 外一点，过点 P 作曲线的两条切线，
切点为 M 、 N ，则切点弦 MN 所在的直线方程为：
圆锥
曲线 圆锥曲线C 的方程 切点弦方程
C
x2 y2 r2 2 x0x y0 y r
圆
2 2
x a y b r2 x0 a x a y0 b y b r
2
y2 2px y0 y p x x抛物 0
线
x2 2py x0x p y y 0
x2 y2 x0 x y0 y
椭圆 1 1
2 2
a2 b2 a b
双曲
x2 y2 x0 x y0 y 1 1
a2
2
b2 a b
2
线
一般
D E
圆锥 Ax2 By2 Dx Ey F 0 Ax0x By0 y x x0 y y0 F 0
2 2
曲线
63
10．圆锥曲线中的弦长问题：
（1）两根之差公式：
如果 x1 、x2 是一元二次方程 ax
2 bx c 0 a 0 , 0 的两

根，则 x1 x2 ．
a
（2）弦长公式：
假设直线与圆锥曲线相交于 A x1 , y1 、 B x2 , y2 两点：
①如果直线恒过 y 轴上某一定点 0 , b 时，则可把直线方
程设成 y kx b，则弦长公式为
2
1
AB 1 k 2 x1 x 1 k
2
2 1 y1 y2 ；
a k
②如果直线斜率可能不存在，或者直线恒过 x 轴上某一定
点 n , 0 时，可把直线方程设成 x my n（m 为斜率的
倒数，不能表示斜率为 0 的直线，称为倒斜横截式），对
应的弦长公式为
2
2 1 AB 1 m y1 y2 1 x1 x ． 2
m
64
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11．弦 AB 的中点与直线 AB 斜率的关系：
x2 y2
（1）已知 AB 是椭圆 1(a 0,b 0) 的一条弦，弦 AB
2 2 a b
b2 x
中点 M 的坐标为 x0 , y ，则 k
0
0 AB ；
a2 y0
x2 y2
（2）已知 AB 是双曲线 1(a 0,b 0) 的一条弦，
a2 b2
b2 x
弦 AB 中点 M 的坐标为 x0 , y0 ，则 k
0
AB ；
a2 y0
（3）已知 AB 是抛物线 y2 2px p 0 的一条弦，弦 AB 中
p
点 M 的坐标为 x0 , y0 ，则 kAB ．
y0
12．圆锥曲线中的面积问题：
设直线与圆锥曲线相交于 A x1 , y1 、B x2 , y2 两点，P0 为平
面内任意一点，P1 为直线 AB 与坐标轴的交点，P0 到直线 AB
的距离为 d ，且 P0P1 l ．则 P0 AB的面积可如下表示：
y y y
P0 A
A A
d P1
O x P O0 P x O x1
P0
B
B B
1 1 1
（1） S d AB ； （2） S P AB l y1 y ； （3） P AB 2 S P AB l x1 x ． 0 22 0 2 0 2
65
十一．导数与积分
1．函数的平均变化率：
一般地，已知函数 y f x ，x0 、x1 是其定义域内不同的两点
记 x x1 x0 ，
y y1 y0 f x1 f x0 f x0 x f x0
f x0 x f x0 y
则当 x 0时，商 称作函数
x x
y f x 在区间 x0 , x0 x （或 x0 x , x0 ）上的平均变
化率．
2．函数的瞬时变化率，函数的导数：
一 般 地 ， 函 数 y f x 在 x x0 处 的 瞬 时 变 化 率 是
y f x0 x f x0
lim lim ，我称它为函数 y f x 在
x 0 x x 0 x
x x 处 的 导 数 ， 记 作 f x 0 0 或 y ， 即x x0
f x x f x
f x0
0 0
lim ．
x 0 x
66
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3．导函数：
如果函数 f x 在开区间 a , b 内每一点都可导，那么其导数值
在 a , b 内构成一个新的函数，我们把这个函数叫做 f x 在开
区间 a , b 内的导函数，记作 f x 或 y ．导函数通常简称为
导数，如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是
求导函数．
4．基本初等函数的导数公式：
（1）若 f x c （ c 为常数），则 f x 0 ；
（2）若 f x x （ *Q ），则 f x x 1 ；
（3）若 f x sin x，则 f x cos x；
（4）若 f x cos x ，则 f x sin x ；
（5）若 f x ax ，则 f x ax ln a；
（6）若 f x ex ，则 f x ex ；
1
（7）若 f x loga x，则 f x ；
x ln a
1
（8）若 f x ln x，则 f x ．
x
67
5．导数运算法则（其中 f x 、 g x 都是可导函数， c 为常数）：
（1） f x g x

f x g x ；
（2） f x g x

f x g x f x g x ；
f x f x g x f x g x
（3） （ g x 0 ）．
g x
2
g x
6．复合函数求导：
复合函数 y f g x 的导数和函数 y f u 、u g x 的导
数间的关系为 y x y u ． u x
7．导数的几何意义：
函 数 f x 在 x x0 处 的 导 数 就 是 曲 线 y f x 在 点
x0 , f x0 处的切线的斜率．
8．曲线在某点的切线：
（1）求出函数 y f x 在 x x0 处的导数，即曲线 y f x 在
点 x0 , f x0 处切线的斜率；
（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为
y f x0 x x0 y0 ．
注意：如果曲线 y f x 在点 x0 , f x0 的切线平行于 y 轴
（此时导数不存在）时，由切线的定义可知，切线的方程为
x x0 ．
68
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9．曲线过某点的切线：
（1）曲线的切线不一定和曲线只有一个公共点；
（2）“在”某一点的切线和“过”某点的切线是两个不同的概念；
（3）在某一点的切线，若有，则只有一条；而过某点的切线
可能不只一条；
（4）用导数求切线的斜率时，先设出切点，即采用“待定切
点法”．
10．利用导数判断函数的单调性：
在某个区间 a , b 内，如果 f x 0 ，那么函数 y f x 在
这个区间内单调递增；如果 f x 0 ，那么函数 y f x 在
这个区间内单调递减．
11．利用导数研究函数的极值：
已知函数 y f x ，设 x0 是定义域内任一点，如果对 x0 附近
的所有 x ，都有 f x f x0 ，则称函数 f x 在点 x0 处取极
大值，记作 y f x f x极大值 0 ，并把 x0 称为函数 的一个极
大值点；如果在 x0 附近都有 f x f x0 ，则称函数 f x 在
点 x 处取极小值，记作 y f x0 极小值 0 ，并把 x0 称为函数
f x 的一个极小值点．
69
12．函数 y f x 在 a , b 上的最值：
（1）求函数 y f x 在 a , b 内的极值；
（2）将函数 y f x 的各极值与端点处的函数值 f a ，
f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最
小值．
13．导数题中常用的不等式：
（ x1） e 1 x；
（2） ln 1 x x ；
1
（3） ln x 1 ；
x
1 1 1
（4） ln 1 ；
n 1 n n
n
（5） 1 x 1 nx x 1, n 0 ．
14．定积分的概念：
如果函数 f x 在区间 a , b 上连续，用分点
a x0 x1 xi 1 xi xn b
将区间 a , b 等分成 n 个小区间，在每个小区间 xi 1 , xi 上任
n n b a
取一点 i i 1, 2 , , n ，作和式 f i x f i ，
i 1 i 1 n
当 n 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函
70
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数 f x 在区间 a , b 上的定积分，记作
b n b a
f x dx lim f ，这里， ai 与 b 分别叫做积分a n
i 1 n
下限与积分上限，区间 a , b 叫做积分区间，函数 f x 叫做
被积函数， x 叫做积分变量， f x dx 叫做被积式．
15．微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）：
一般地，如果 f x 是区间 a , b 上的连续函数，并且
b
F x f x ，那么 f x dx F b F a ．为了方便，a
我们常常把 F b F a 记成 F x ba ，即
b
f x dx F x b a F b F a ． a
71
十二．排列组合与二项式定理
1．加法原理：若完成一件事有 n 类办法，在第1类办法中有m1种
不同的方法，在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n
类 办 法 中 有 mn 种 不 同 方 法 ， 则 完 成 这 件 事 共 有
N m1 m2 mn 种不同的方法．
2．乘法原理：如果完成一件事需要 n 个步骤，第1步有 m1种不
同的方法，第 2 步有m2 种不同的方法，……，第 n 步有mn 种不
同的方法，那么完成这件事共有 N m1 m2 mn 种不同的
方法．
3．排列：一般地，从 n 个不同的元素中取 m m n 个元素，按
照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素
的一个排列．
排列数：从 n 个不同的元素中取m m n 个元素的所有排列的
个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号
Amn 表示．
排列数公式： Amn n n 1 n 2 n m 1 ，其中 m 、
n N ，并且 m n．
全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个
不同元素的一个全排列．
72
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n 的阶乘：正整数由1到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘，用 n!表
示．规定： 0! 1．
4．组合：一般地，从 n 个不同元素中，任意取出 m m n 个元
素并成一组，叫做从 n 个元素汇总任取 m 个元素的一个组合．
组合数：从 n 个不同元素中，任意取出 m m n 个元素的所有
组合的个数，叫做从 n 个不同元素中，任意取出 m 个元素的组
m
合数，用符号Cn 表示．
n n 1 n 2 n m 1 n!
组合数公式： Cmn ，
m! m! n m !
其中 m 、 n N ，并且 m n．
m n m
组合数的两个性质：性质1：Cn Cn ；
m
性质 2 ：Cn 1 C
m
n C
m 1
n ．（规定：C
0
n 1）
5．排列组合典型方法：
（1）元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑
其它元素．
（2）位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑
其它位置．
73
（3）排除法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种
间接解题的方法．
（4）捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素
“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆
元素”内部排列．
（5）插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，
再让不相邻的元素插空．
（6）隔板法： n 个相同元素，分成 m m n 组，每组至少一
个的分组问题，把 n 个元素排成一排，从 n 1个空中选
m 1
m 1个空，各插一个隔板，有Cn 1 种方法．
6．二项式定理：
n
a b C0an C1an 1b C2an 2b2 Cn n *n n n n b n N ．
其中的系数Crn r 0 ,1, 2 , , n 叫做二项式系数，式中的
Cran rn b
r
叫做二项展开式的通项，它是二项展开式中的第 r 1
r n r r
项，用Tr 1表示，即Tr 1 Cn a b ．
7．二项式系数的性质：
n
（1） a b 的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的
二项式系数相等．这一性质可直接由公式C
m Cn mn n 得到．
n
（2） a b 的二项展开式中，所有二项式系数之和等于 2n ，
C0 C1 C2 n n即 n n n Cn 2 ．
74
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n
（3） a b 的二项展开式中，奇数项的二项式系数之和等于
偶数项的二项式系数之和．即
C0 C2 C4 1 3 5 n 1n n n Cn Cn Cn 2 ．
n
（4） a b 的二项展开式中，当 n 为偶数时，中间一项的二
n
项式系数C 2 取得最大值；当 n 为奇数时，中间两项的二项n
n 1 n 1
式系数C 2 、C 2 相等且同时取得最大值． n n
75
十三．统计与概率
1．我们一般把所考察对象的某一数值指标构成的集合看做总体，
构成总体的每一个元素作为个体．从总体中抽出若干个体所组
成的集合叫做样本．样本中个体的数目叫做样本容量．
2．每个个体被抽到的机会均等，这样的抽样是随机抽样．
3．简单随机抽样：一般地，设一个总体含有 N 个个体，从中逐
个不放回地抽取 n 个个体作为样本（ n N ），如果每次抽取时
总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫
做简单随机抽样．最常用的简单随机抽样方法有两种——抽签
法和随机数法．
（1）抽签法：一般地，抽签法就是把总体中的 N 个个体编号，
把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，
每次从中抽取一个号签，连续抽取 n 次，就得到一个容量
为 n 的样本．
（2）随机数法：即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的
随机数进行抽样．
76
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4．系统抽样：一般地，假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为
n 的样本，我们可以按下列
步骤进行系统抽样：
（1）先将总体的 N 个个体编号；
N
（2）确定分段间隔 k ，对编号进行分段（当 是整数时，取
n
N
k ）；
n
（3）在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号 l （ l k ）；
（4）按照一定的规则抽取样本，通常是将 l 加上间隔 k 得到第
2 个个体编号 l k ，再加 k 得到第3个个体编号 l 2k ，
依次进行下去，直到获取整个样本．
5．分层抽样：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，
然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各
层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
6．列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤：
（1）计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差；
极差
（2）决定组距与组数：取组距，用 决定组数；
组距
（3）决定分点：决定起点，进行分组；
（4）列频率分布直方表：对落入各小组的数据累计，算出各
小数的频数，除以样本容量，得到各小组的频率；
77
频率
（5）绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以 的
组距
值为纵坐标绘制直方图，知小长方形的
频率
面积=组距 =频率．
组距
7．制作茎叶图的步骤：
（1）将数据分为“茎”、“叶”两部分；
（2）将最大茎与最小茎之间的数字按大小顺序排成一列，并
画上竖线作为分隔线；
（3）将各个数据的“叶”在分界线的一侧对应茎处同行列出．
8．一般地，设样本的元素为 x1 , x2 , , xn ，样本的平均数为 x ，
定义样本方差为
1 2 2 2 1 2
s2 x 2 21 x x2 x xn x x1 x2 x2 n nxn n
1 2 2 2样本标准差 s x x x 1 2 x xn x
n
78
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9． 2 2联表的独立性检验：如果对于某个群体有两种状态，对
于每种状态又有两种情况，这样排成一张 2 2的表，如下：
状态 B 状态 B 总计
状态 a b a b
状态 A c d c d
总计 a c b d a b c d
如果有调查得来的四个数据 a 、b 、c 、d ，并希望根据这样的
4 个数据来检验上述的两种状态 A 与 B 是否有关，就称之为
2 2联表的独立性检验．
（1）统计假设：如果事件 A 与 B 独立，这时应该有
P AB P A P B ，用字母 H0 表示此式，
即 H0 : P AB P A P B ，称之为统计假设．
（2） K 2 （读作“卡方”）统计量：
2
n ad bc
K 2 ，
a b c d a c b d
用它的大小来决定是否拒绝原来的统计假设 H0 ．当
K 2 6.635时，有 99% 的把握说事件 A 与 B 有关；当
K 2 3.841时，有 95% 的把握说事件 A 与 B 有关；
K 2当 3.841时，认为事件 A 与 B 是无关的．
79
10．线性回归系数的最佳估计值：
利用最小二乘法可以得到 a 、 b 的计算公式为：
n n
xi x yi y xi yi nxy
b i 1 i 1 ， a y b x
n 2 n 2
xi x x2i nx
i 1 i 1
由此得到的直线 y a bx 就称为回归直线，此直线方程即为线
性回归方程．其中 a ，b 分别为 a ，b 的估计值， a 称为回归截
距， b 称为回归系数， y 称为回归值．
11．事件的概率：
m
（1）等可能事件的概率公式： P A ．
n
（2）互斥事件有一个发生的概率公式为：
P A B P A P B ；
（3）相互独立时间同时发生的概率公式为：
P AB P A P B ；（4）条件概率：一般地，设 A 、B 为
P AB
两个事件，且 P A 0 ，称 P B A 为在事件 A 发
P A
生的条件下，事件 B 发生的条件概率．
80
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12．离散型随机变量的分布列：
（1）将离散型随机变量 X 所有可能的取值 xi 与该取值对应的
概率 pi i 1, 2 , , n 列表表示：
我们称这个表为离散型随机变量 X 的概率分布，或称为离
散型随机变量 X 的分布列．
（2）离散型随机变量的分布列的性质：
① pi 0 , i 1, 2 , , n；
② p1 p2 pn 1．
13．典型分布：
（1）两点分布：如果随机变量 X 的分布列为
则称 X 服从两点分布，并称 p P X 1 为成功概率．（两
点分布又称 0—1 分布，由于只有两个可能结果的随机试验
叫伯努利试验，所以还称这种分布为伯努利分布．）
81
（2）超几何分布：一般地，设有总数为 N 件的两类物品，其中
一类有 M 件，从所有物品中任取 n 件（ n N ），这 n 件中
所含这类物品件数 X 是一个离散型随机变量，它取值为 m
Cm Cn m
时的概率为 P X m M N M（ 0 m l ，l 为 n 和 M 中
CnN
较小的一个）．我们称离散型随机变量 X 的这种形式的概率
分布为超几何分布．
（3）二项分布：
①独立重复试验：如果每次试验，只考虑有两个可能的
结果 A 及 A ，并且事件 A 发生的概率相同．在相同的条
件下，重复地做 n 次试验，各次试验的结果相互独立，那
么一般就称它们为 n 次独立重复试验．
②二项分布：若将事件 A 发生的次数设为 X ，事件 A 不发
生的概率为 q 1 p ，那么在 n 次独立重复试验中，事件 A
恰好发生 k k n kk 次的概率是 P(X K) Cn p q , k=0 ,1 , 2..., n
于是得到 X 的分布列
此时称随机变量 X 服从二项分布，记作 X ~ B n , p ．
82
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14．离散型随机变量的均值与方差：一般地，若离散型随机变量 X
的分布列为
（1）称 E X x1 p1 x2 p2 xn pn 为随机变量 X 的均值
或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
（ ）称 2 2 22 D X x1 E X p1 x2 E X p2 xn E X pn
为随机变量 X 的方差，并称其算术平方根 D X 为随机
变量 X 的标准差．随机变量的方差和标准差都反映了随
机变量取值偏离于均值的平均程度．（离散程度）
（3）X 为随机变量，a ，b 为常数，则 E aX b aE X b，
D aX b a2D X ．
15．典型分布的期望与方差：
（1）两点分布：在一次两点分布试验中，离散型随机变量 X
的期望取值为 p ，在 n 次两点分布试验中，离散型随机变
量 X 的期望取值为 np ．
（2）超几何分布：若离散型随机变量 X 服从参数为 N ， M ，
n 的超几何分布，则
nM n N n N M M
E X ， D X ． 2
N N N 1
83
（3）二项分布：若离散型随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的
二项分布，则 E X np ， D X np 1 p ．
16．正态分布：
2
x
1 2
（1）正态曲线的定义：函数 , x e 2 ，x R，
2
其中实数 和 0 为参数，我们称
, x 的图象（如图）为正态分布密度
曲线，简称正态曲线．
（2）正态曲线的性质：
①曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；
②曲线是单峰的，它是关于直线 x 对称；
1
③曲线在 x 处达到峰值 ；
2
④曲线与 x 轴之间的面积为 1；
⑤当 一定时，曲线随着 的变化而沿 x 轴平移；
⑥当 一定时，曲线的形状由 确定， 越小，曲线
越“瘦高”，表示总体的分布越集中； 越大，曲线越“矮
胖”，表示总体的分布越分散．
84
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（3）正态分布的定义及表示：如果对于任何实数 a ，b（ a b ），
b
随机变量 X 满足 P a X b , x dx ，则称 X 的 a
分布为正态分布，记作 X ~ N , 2 ．
（4）正态分布的三个常用数据：
① P X 0.6826 ；
② P 2 X 2 0.9544；
③ P 3 X 3 0.9974．
85
十四．复数
1．虚数单位 i ：规定 i2 1，即 i 是 1的一个平方根．
2．数系的扩充与复数的定义：
形如 a bi a , b R 的数叫做复数，复数全体所成的集合叫做
复数集，一般用字母C 表示．复数通常用字母 z 表示，即
z a bi a , b R ．其中 a 叫做复数 z 的实部，记作Re z ；
b 叫做复数 z 的虚部，记作 Im z ．
实数集 R 是复数集C 的真子集，即R C．
复数可以分类如下：
实数 b 0

复数z a bi a , b R 纯虚数 a 0 , b 0
虚数
非纯虚数 a 0 , b 0
3．两个复数相等：如果两个复数 z1 a bi a , b R 和
z2 c di c , d R 的实部和虚部分别相等，即 a c 且b d ，
那么我们就说这两个复数相等．记作 a bi c di．
4．复数的运算法则：
对于两个复数 a bi、 c di （ a、b、c、d R）．
加法： a bi c di a c b d i ；
减法： a bi c di a c b d i ；
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乘法： a bi c di ac bd bc ad i ；
a bi ac bd bc ad
除法： i c di 0 ．
c di c2 d 2 c2 d 2
5．复数的运算定律：
复数的加法满足交换律、结合律，也就是说，对于任何复数 z1 、
z2 、 z3，均有 z1 z2 z2 z1， z1 z2 z3 z1 z2 z3 ．
复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，也就是说，对于任
何复数 z1 、z2 、z3，均有 z1 z2 z2 z1 ， z1 z2 z3 z1 z2 z3 ，
z1 z2 z3 z1 z2 z1 z3 ．
2 2
6．复数的模：对于复数 z a bi a , b R ，我们把 a b 称
为该复数的模，记作 z ．一般地，对任意复数 z 、 z1 、 z2 ，复
数的模的运算具有以下性质：
（1） z1 z2 z1 z2 ；
z z1
（2） 1 z2 0 ；
z2 z2
n n *
（3） z z n N ；
（4） z1 z2 z1 z2 z1 z2 ．
7．共轭复数：实部相等而虚部互为相反数的两个复数，称其为
共轭复数．对于复数 z a bi a , b R ，它的共轭复数用
z a bi a , b R 表示．任意复数 z 、 z1 、 z2 有：
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（1） z1 z2 z1 z2 ；
（2） z1 z2 z1 z2 ；
z z
（3） 1 1 z2 0 ；
z2 z2
n
（4） zn z ；
（5） z z 2Re z ， z z 2i Im z ；
（6） z z ；
2 2
（7） z z z z ．
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十五．极坐标与参数方程
1．极坐标系：如图，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极
点O引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角
度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样
就建立了一个极坐标系．
设 M 是平面内一点，极点O 与点 M 的距离 OM 叫做点 M 的
极径，记为 ；以极轴Ox 为始边，
射线OM 为终边的角 xOM 叫做
点 M 的极角，记为 ．有序数对
, 叫做点 M 的极坐标，记为
M , ．
一般地，不作特殊说明时，我们认为 0， 可取任意实数．
2．极坐标和直角坐标的互化：把直角坐标系的原点作为极点，
x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单
位．那么在这两种坐标系下，点的坐标可以根据需要相互转
2 x2 y2
x cos
化： 或 y ．
y
sin tan x 0
x
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3．极坐标系下曲线的方程：
（1）直线的方程：
① 0 R 表示过极点且极角为 0 的直线；
② cos 0 a 表示过点 A a , 0 且垂直于 OA 的
直线．
（2）圆的方程：
① r 表示以极点为圆心， r 为半径的圆；
② 2 2 2 cos r2 表示以 0 , 0 0 0 0 为圆心，
r 为半径的圆．
ep
（3）圆锥曲线的方程： 表示离心率为 e，焦点
1 ecos
到相应准线距离为 p 的圆锥曲线方程．
①当 0 e 1时，方程表示椭圆，极点在椭圆的左焦点；
②当 e 1时，方程表示抛物线，极点在抛物线的焦点；

③当 e 1时，若 R 则方程表示双曲线，若 R 则表
示双曲线的右支，极点在双曲线的右焦点．
4．参数方程的概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上
任意一点的坐标 x 、 y 都是某个变数 t 的函数 x f t ，并且对

y g t
于 t 的每一个允许值，由方程组 x f t 所确定的点 M x , y 都

y g t
在这条曲线上，那么该方程就叫做这条曲线的参数方程，联系
变数 x 、 y 的变数 t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而
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言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．
5．常见曲线的参数方程：
x m t cos
（1）直线 l 的常用参数方程为： ， t R 为参
y n t sin
数，其中 为直线的倾斜角， m , n 为直线上一点．
2 2
（2）圆 x a y b r2 的常用参数方程为：
x a r cos
， 0 , 2 为参数．
y b r sin
x2 y2 x acos
（3）椭圆 1的常用参数方程为： ，
a2 b2 y bsin
0 , 2 为参数．
x2 y2 x asec
（4）双曲线 1的参数方程为： ，
a2 b2

y b tan
0 , 2 为参数．
x 2 pt22
（5）抛物线 y 2px 的参数方程为： ， t 为参数．
y 2 pt
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十六．平面几何证明
1．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的
对应线段成比例．
2．相似三角形的判定定理：
（1）两角对应相等，两三角形相似；
（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
（3）三边对应成比例，两三角形相似．
3．直角三角形的射影定理：
（1）直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例
中项，
（2）两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．
4．圆周角定理、圆心角定理与弦切角定理：
（1）圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆
心角的一半．
（2）圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
（3）圆周角定理的推论：
①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的
圆周角所对的弧也相等；
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②半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90 的圆周角所
对的弦是直径．
（4）弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
5．圆的切线的性质和判定：
（1）性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
（2）与性质定理有关的结论：
①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（3）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的
直线是圆的切线．
6．圆内接四边形的性质与判定定理：
（1）圆内接四边形的性质定理：
①圆的内接四边形的对角互补；
②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．
（2）圆内接四边形的判定定理：
①定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的
四个顶点共圆；
②推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那
么这个四边形的四个顶点共圆．
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7．圆幂定理：
（1）相交弦定理：若弦 AB 、CD相交于圆O 内点 P ，则有
PA PB PC PD．
（2）割线定理：若 PAB 、 PCD是圆O 的两条割线，则有
PA PB PC PD．
（3）切割线定理：若 PA 切圆O 于 A ， PBC 是圆O 的割线，
则有 PA2 PC PB．
图（1） 图（2） 图（3）
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