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　导数中的函数零点问题
【高考真题】
1．(2022·全国乙文) 已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
2．(2022·全国乙理) 已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．
3．(2022·新高考Ⅰ)已知函数和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
【方法总结】
1．利用导数求函数零点的常用方法
(1)构造函数g(x)(其中g′(x)易求，且g′(x)＝0可解)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数；
(2)利用零点存在性定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数零点的个数．
2．求解函数零点(方程根)的个数问题的3步骤
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题；
第二步：利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象；
第三步：结合图象求解．
3．利用函数零点的情况求参数范围的方法
(1)分离参数(a＝g(x))后，将原问题转化为y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y＝a与y＝g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；
(2)利用零点的存在性定理构建不等式求解；
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．
【题型突破】
1．已知函数f(x)＝xex＋ex．
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)讨论函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零点的个数．
2．设函数f(x)＝ln x＋，m∈R．
(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；
(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数．
3．已知函数f(x)＝x－aln x(a>0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数g(x)＝x2－ax－f(x)的零点个数．
4．已知函数f(x)＝ln x－aex＋1(a∈R)．
(1)当a＝1时，讨论f(x)极值点的个数；
(2)讨论函数f(x)的零点个数．
5．函数f(x)＝ex－2ax－a．
(1)讨论函数的极值；
(2)当a＞0时，求函数f(x)的零点个数．
6．已知函数f(x)＝(2－x)ex，g(x)＝a(x－1)2．
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)讨论y＝f(x)和y＝g(x)的图象的交点个数．
7．已知函数f(x)＝－2(a∈R)．
(1)若曲线y＝f(x)在点处的切线经过坐标原点，求实数a；
(2)当a>0时，判断函数f(x)在x∈(0，π)上的零点个数，并说明理由．
8．已知函数f(x)＝xsin x＋cos x，g(x)＝x2＋4．
(1)讨论f(x)在[－π，π]上的单调性；
(2)令h(x)＝g(x)－4f(x)，试证明h(x)在R上有且仅有三个零点．
9．(2018·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)．
(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；
(2)证明：f(x)只有一个零点．
10．(2021·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有一个零点．①＜a≤，b＞2a；②0＜a＜，b≤2a．
11．(2020·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex－a(x＋2)．
(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
12．(2021·全国甲)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝(x>0)．
(1)当a＝2时，求f(x)的单调区间；
(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围．
13．已知f(x)＝x3＋x2＋2x，f′(x)是f(x)的导函数．
(1)求f(x)的极值；
(2)令g(x)＝f′(x)＋kex－1，若y＝g(x)的函数图象与x轴有三个不同的交点，求实数k的取值范围．
14．已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b＋．
(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；
(2)当a＝时，f(x)的图象与直线y＝bx有3个交点，求b的取值范围．
15．已知函数f(x)＝ex(ax＋1)，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝bx－e．
(1)求a，b的值；
(2)若函数g(x)＝f(x)－3ex－m有两个零点，求实数m的取值范围．
16．设函数f(x)＝－x2＋ax＋ln x(a∈R)．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在上有两个零点，求实数a的取值范围．
17．已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x．
(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；
(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[，e]上有两个不等的解，求实数a的取值范围．
18．(2021·浙江卷节选)设a，b为实数，且a>1，函数f(x)＝ax－bx＋e2(x∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若对任意b>2e2，函数f(x)有两个不同的零点，求a的取值范围．
19．设函数f(x)＝ex－ax－2．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)·f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．
20．已知函数f(x)＝ex＋(a－e)x－ax2．
(1)当a＝0时，求函数f(x)的极值；
(2)若函数f(x)在区间(0，1)内存在零点，求实数a的取值范围．　导数中的函数零点问题
【高考真题】
1．(2022·全国乙文) 已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
1．解析　(1)当时，，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以；
(2)，则，
当时，，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，此时函数无零点，不合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
又，由(1)得，即，所以，
当时，，
则存在，使得，所以仅在有唯一零点，符合题意；
当时，，所以单调递增，又，
所以有唯一零点，符合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；此时，
由（1）得当时，，，所以，
此时
存在，使得，所以在有一个零点，在无零点，
所以有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为．
2．(2022·全国乙理) 已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．
2．解析　(1)的定义域为，当时，，
所以切点为，所以切线斜率为2．
所以曲线在点处的切线方程为．
(2)，
设
若，当，即
所以在上单调递增，．
故在上没有零点，不合题意．
若，当，则．
所以在上单调递增所以，即．
所以在上单调递增，．
故上没有零点，不合题意．
若
(1)当，则，所以在上单调递增．
．所以存在，使得，即．
当单调递减，当单调递增．
所以当，当．
所以在上有唯一零点．又没有零点，即在上有唯一零点．
(2)当．
设，．所以在单调递增．
，所以存在，使得
当单调递减，当单调递增．
，又．
所以存在，使得，即
当单调递增，当单调递减，有
而，所以当．所以在上有唯一零点，上无零点
即在上有唯一零点，所以，符合题意．
所以若在区间各恰有一个零点，求的取值范围为．
3．(2022·新高考Ⅰ)已知函数和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
3．解析　(1)的定义域为R，而，
若，则，此时无最小值，故．
的定义域为，而．
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故．
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故．
因为和有相同的最小值，
故，整理得到，其中，
设，则，
故为上的减函数，而，
故的唯一解为，故的解为．
综上，．
(2)由(1)可得和的最小值为．
当时，考虑的解的个数、的解的个数．
设，，
当时，，当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
所以，而，，
设，其中，则，
故在上为增函数，故，
故，故有两个不同的零点，即的解的个数为2．
设，，
当时，，当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
所以，而，，
有两个不同的零点即的解的个数为2．
当，由（1）讨论可得、仅有一个零点，
当时，由（1）讨论可得、均无零点，
故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，则．
设，其中，故，
设，，则，
故在上为增函数，故，即，
所以，所以在上为增函数，
而，，
故在上有且只有一个零点，且
当时，即即，
当时，即即，
因此若存在直线与曲线、有三个不同的交点，故，
此时有两个不同的零点，
此时有两个不同的零点，
故，，，．
所以，即，即，
故为方程的解，同理也为方程的解．
又可化为，即，即，
故为方程的解，同理也为方程的解，
所以，而，
故，即．
【方法总结】
1．利用导数求函数零点的常用方法
(1)构造函数g(x)(其中g′(x)易求，且g′(x)＝0可解)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数；
(2)利用零点存在性定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数零点的个数．
2．求解函数零点(方程根)的个数问题的3步骤
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题；
第二步：利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象；
第三步：结合图象求解．
3．利用函数零点的情况求参数范围的方法
(1)分离参数(a＝g(x))后，将原问题转化为y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y＝a与y＝g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；
(2)利用零点的存在性定理构建不等式求解；
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．
【题型突破】
1．已知函数f(x)＝xex＋ex．
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)讨论函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零点的个数．
1．解析　(1)函数f(x)的定义域为R，且f′(x)＝(x＋2)ex，
令f′(x)＝0得x＝－2，则f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：
x (－∞，－2) －2 (－2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) 单调递减 － 单调递增
∴f(x)的单调递减区间是(－∞，－2)，单调递增区间是(－2，＋∞)．
当x＝－2时，f(x)有极小值为f(－2)＝－，无极大值．
(2)令f(x)＝0，得x＝－1，当x<－1时，f(x)<0；
当x>－1时，f(x)>0，且f(x)的图象经过点，(－1，0)，(0，1)．
当x→－∞时，与一次函数相比，指数函数y＝e－x增长更快，从而f(x)＝→0；
当x→＋∞时，f(x)→＋∞，f′(x)→＋∞，根据以上信息，画出f(x)大致图象如图所示．
函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零点的个数为y＝f(x)的图象与直线y＝a的交点个数．
当x＝－2时，f(x)有极小值f(－2)＝－．
∴关于函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零点个数有如下结论：
当a<－时，零点的个数为0；当a＝－或a≥0时，零点的个数为1；当－2．设函数f(x)＝ln x＋，m∈R．
(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；
(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数．
2．解析　(1)当m＝e时，f(x)＝ln x＋，f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＝．令f′(x)＝0，得x＝e．当x∈(0，e)时，f′(x)<0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝2．
(2)由题意知g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)，
令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0)．设φ(x)＝－x3＋x(x>0)，
则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)．
当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，∴x＝1也是φ(x)的最大值点，
∴φ(x)的最大值为φ(1)＝．
结合y＝φ(x)的图象(如图)可知，
①当m>时，函数g(x)无零点；
②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；
③当0④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．
综上所述，当m>时，函数g(x)无零点；当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；当03．已知函数f(x)＝x－aln x(a>0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数g(x)＝x2－ax－f(x)的零点个数．
3．解析　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝x－aln x可得f′(x)＝1－＝，
由f′(x)>0可得x>a；由f′(x)<0可得0单调递增区间为(a，＋∞)．
(2)由g(x)＝x2－ax－x＋aln x＝x2－(a＋1)x＋aln x，
可得g′(x)＝x－(a＋1)＋＝＝，令g′(x)＝0可得x＝1或x＝a，
因为g(1)＝－a－1＝－a－<0，g(2a＋3)＝(2a＋3)2－(a＋1)(2a＋3)＋
aln(2a＋3)＝a＋aln(2a＋3)＋>0，
当a>1时，g(x)在(1，a)上单调递减，所以g(1)>g(a)，所以g(a)<0，所以g(x)有一个零点，
当a＝1时，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以g(x)有一个零点，
当0此时g(a)＝a2－(a＋1)a＋aln a＝－a2－a＋aln a<0，g(x)只有一个零点，
综上所述，g(x)在(0，＋∞)上只有一个零点．
4．已知函数f(x)＝ln x－aex＋1(a∈R)．
(1)当a＝1时，讨论f(x)极值点的个数；
(2)讨论函数f(x)的零点个数．
4．解析　(1)由f(x)＝ln x－aex＋1，知x∈(0，＋∞)．
当a＝1时，f(x)＝ln x－ex＋1，f′(x)＝－ex，
显然f′(x)在(0，＋∞)上单调递减．又f′＝2－>0，f′(1)＝1－e<0，
所以f′(x)在上存在零点x0，且是唯一零点，当x∈(0，x0)时，f′(x)>0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)<0，
所以x0是f(x)＝ln x－ex＋1的极大值点，且是唯一极值点．
(2)令f(x)＝ln x－aex＋1＝0，则a＝．
令y＝a，g(x)＝，g′(x)＝(x>0)．令h(x)＝－ln x－1，则h′(x)＝－－<0，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，而h(1)＝0，
故当x∈(0，1)时，h(x)>0，即g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，即g′(x)<0，g(x)单调递减．故g(x)max＝g(1)＝．
又g＝0，当x>1且x→＋∞时，g(x)>0且g(x)→0，
作出函数g(x)＝的图象如图所示．
结合图象知，当a>时，f(x)无零点，当a≤0或a＝时，f(x)有1个零点，当05．函数f(x)＝ex－2ax－a．
(1)讨论函数的极值；
(2)当a＞0时，求函数f(x)的零点个数．
5．解析　(1)由题意，函数f(x)＝ex－2ax－a，可得f′(x)＝ex－2a，
当a≤0时，f′(x)＝ex－2a＞0，f(x)在R上为单调增函数，此时无极值；
当a＞0时，令f′(x)＝ex－2a＞0，解得x＞ln(2a)，
所以f(x)在(ln(2a)，＋∞)上为单调增函数；
令f′(x)＝ex－2a＜0，解得x＜ln(2a)，f(x)在(－∞，ln(2a))上为单调减函数，
所以当x＝ln(2a)时，函数f(x)取得极小值f(x)极小值＝f(ln(2a))＝a－2aln(2a)，无极大值．
综上所述，当a≤0时，f(x)无极值，当a＞0时，f极小值＝f(ln(2a))＝a－2aln(2a)，无极大值．
(2)由(1)知当a＞0，f(x)在(ln(2a)，＋∞)上为单调增函数，
在(－∞，ln(2a))上为单调减函数，且f(x)极小值＝a－2aln(2a)，
又由f(x)＝ex－a(2x＋1)，
若x→－∞时，f(x)→＋∞；若x→＋∞时，f(x)→＋∞；
当a－2aln(2a)＞0，即0＜a＜时，f(x)无零点；
当a－2aln(2a)＝0，即a＝时，f(x)有1个零点；
当a－2aln(2a)＜0，即a＞时，f(x)有2个零点．
综上，当0＜a＜时，f(x)无零点；当a＝时，f(x)有1个零点；当a＞时， f(x)有2个零点．
6．已知函数f(x)＝(2－x)ex，g(x)＝a(x－1)2．
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)讨论y＝f(x)和y＝g(x)的图象的交点个数．
6．解析　(1)f′(x)＝－ex＋(2－x)ex＝(1－x)ex，则f′(0)＝1，又f(0)＝2，
所以切线方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0．
(2)令F(x)＝g(x)－f(x)＝a(x－1)2＋(x－2)ex，则y＝f(x)和y＝g(x)的图象的交点个数即F(x)的零点个数．
F′(x)＝(x－1)(ex＋2a)．
①当a＝0时，F(x)＝(x－2)ex，F(x)只有一个零点．
②当a＜0时，由F′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．
若a≥－，则ln(－2a)≤1，故当x∈(1，＋∞)时，F′(x)＞0，
因此F(x)在(1，＋∞)上单调递增．
当x→＋∞时，F(x)＞0；又当x≤1时，F(x)＜0，所以F(x)只有一个零点．
若a＜－，则ln(－2a)＞1，故当x∈(1，ln(－2a))时，F′(x)＜0；当x∈(ln(－2a)，＋∞)时，F′(x)＞0．
因此F(x)在(1，ln(－2a))上单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)上单调递增．
当x→＋∞时，F(x)＞0；又当x≤1时，F(x)＜0，所以F(x)只有一个零点．
③若a＞0时，若x∈(－∞，1)，则F′(x)＜0；
若x∈(1，＋∞)，则F′(x)＞0，所以F(x)在(－∞，1)上单调递减，
在(1，＋∞)上单调递增．F(1)＝－e，F(2)＝a，
取b满足b＜0，且b＜ln ．则F(b)＞(b－2)＋a(b－1)2＝a＞0，
所以F(x)有两个零点．
综上，当a≤0时，y＝f(x)和y＝g(x)的图象的交点个数为1；当a＞0时，y＝f(x)和y＝g(x)的图象的交点个数为2．
7．已知函数f(x)＝－2(a∈R)．
(1)若曲线y＝f(x)在点处的切线经过坐标原点，求实数a；
(2)当a>0时，判断函数f(x)在x∈(0，π)上的零点个数，并说明理由．
7．解析　(1)f′(x)＝，f′＝π，
所以f(x)在点处的切线方程为y＝πx，所以f ＝，即－a－2＝，a＝－－2．
(2)因为x∈(0，π)，所以sin x>0，所以－2＝0可转化为x2－a－2sin x＝0，
设g(x)＝x2－a－2sin x，则g′(x)＝2x－2cos x，
当x∈时，g′(x)>0，所以g(x)在区间上单调递增．
当x∈时，设h(x)＝g′(x)＝2x－2cos x，此时h′(x)＝2＋2sin x>0，
所以g′(x)在x∈上单调递增，又 g′(0)＝－2<0，g′＝π>0，
所以存在x0∈使得g′(x)＝0且x∈(0，x0)时g(x)单调递减，x∈时g(x)单调递增．
综上，对于连续函数g(x)，当x∈(0，x0)时，g(x)单调递减，
当x∈(x0，π)时，g(x)单调递增．又因为g(0)＝－a<0，
所以当g(π)＝π2－a>0，即a<π2时，函数g(x)在区间(x0，π)上有唯一零点，
当g(π)＝π2－a≤0，即a≥π2时，函数g(x)在区间(0，π)上无零点，
综上可知，当0当a≥π2时，函数f(x)在(0，π)上没有零点．
8．已知函数f(x)＝xsin x＋cos x，g(x)＝x2＋4．
(1)讨论f(x)在[－π，π]上的单调性；
(2)令h(x)＝g(x)－4f(x)，试证明h(x)在R上有且仅有三个零点．
8．解析　(1) f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x．
当x∈∪时，f′(x)>0；当x∈∪时，f′(x)<0，
∴f(x)在，上单调递增，在，上单调递减．
(2)h(x)＝x2＋4－4xsin x－4cos x，∵h(－x)＝x2＋4－4xsin x－4cos x＝h(x)，
∴h(x)为偶函数．又∵h(0)＝0，∴x＝0为函数h(x)的零点．
下面讨论h(x)在(0，＋∞)上的零点个数：
h(x)＝x2＋4－4xsin x－4cos x＝x(x－4sin x)＋4(1－cos x)．
当x∈[4，＋∞)时，x－4sin x>0，4(1－cos x)≥0，∴h(x)>0，∴h(x)无零点；
当x∈(0，4)时，h′(x)＝2x－4xcos x＝2x(1－2cos x)，
当x∈时，h′(x)<0；当x∈时，h′(x)>0，
∴h(x)在上单调递减，在上单调递增，
∴h(x)min＝h＝＋4－sin －4cos ＝＋2－<0，
又h(0)＝0，且h(4)＝20－16sin 4－4cos 4>0，
∴h(x)在上无零点，在上有唯一零点．
综上，h(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，又h(0)＝0且h(x)为偶函数，
故h(x)在R上有且仅有三个零点．
9．(2018·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)．
(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；
(2)证明：f(x)只有一个零点．
9．解析　(1)当a＝3时，f(x)＝x3－3x2－3x－3，f′(x)＝x2－6x－3.
令f′(x)＝0，解得x＝3－2或x＝3＋2.
当x∈(－∞，3－2)∪(3＋2，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(3－2，3＋2)时，f′(x)<0.
故f(x)的单调递增区间为(－∞，3－2)，(3＋2，＋∞)，单调递减区间为(3－2，3＋2)．
(2)因为x2＋x＋1>0在R上恒成立，所以f(x)＝0等价于－3a＝0.
设g(x)＝－3a，则g′(x)＝≥0在R上恒成立，
当且仅当x＝0时，g′(x)＝0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．
又f(3a－1)＝－6a2＋2a－＝－62－<0，
f(3a＋1)＝>0，故f(x)有一个零点．
综上所述，f(x)只有一个零点．
10．(2021·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有一个零点．①＜a≤，b＞2a；②0＜a＜，b≤2a．
10．解析　(1)f′(x)＝xe x－2ax＝x(ex－2a)，
①当a≤0时，令f′(x)＝0 x＝0，且当x＜0时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当x＞0时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
②当0＜a＜时，令f′(x)＝0 x1＝0，x2＝ln 2a＜0，且当x＜ln 2a时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
当ln 2a＜x＜0时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞0时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
③当a＝时，f′(x)＝x(ex－1)≥0，f(x)在R上单调递增．
④当a＞时，令f′(x)＝0 x1＝0，x2＝ln 2a＞0，且当x＜0时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当0＜x＜ln 2a时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞ln 2a时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
(2)若选①，由(1)知f(x)在(－∞，0)上单调递增，(0，ln 2a)上单调递减，(ln 2a，＋∞)上单调递增．
注意到f＝e－＜0，f(0)＝b－1＞2a－1＞0．
∴f(x)在上有一个零点；
f(ln 2a)＝(ln 2a－1)·2a－a·ln22a＋b＞2aln 2a－2a－aln22a＋2a＝aln 2a(2－ln 2a)，
由＜a≤得0＜ln 2a≤2，∴aln 2a(2－ln 2a)≥0，
∴f(ln 2a)＞0，当x≥0时，f(x)≥f(ln 2a)＞0，此时f(x)无零点．
综上，f(x)在R上仅有一个零点．
若选②，则由(1)知f(x)在(－∞，ln 2a)上单调递增，在(ln 2a，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
f(ln 2a)＝(ln 2a－1)2a－aln22a＋b≤2aln 2a－2a－aln22a＋2a＝aln 2a(2－ln 2a)．
∵0＜a＜，∴ln 2a＜0，∴aln 2a(2－ln 2a)＜0．
∴f(ln2a)＜0，∴当x≤0时，f(x)≤f(ln 2a)＜0，此时f(x)无零点．
当x＞0时，f(x)单调递增，注意到f(0)＝b－1≤2a－1＜0．
取c＝，∵b≤2a＜1，∴c＞＞1，又可证ec＞c＋1，
∴f(c)＝(c－1)ec－ac2＋b＞(c－1)(c＋1)－ac2＋b＝(1－a)c2＋b－1＞c2＋b－1＝1－b＋1＋b－1＝1＞0．
∴f(x)在(0，c)上有唯一零点，即f(x)在(0，＋∞)上有唯一零点．
综上，f(x)在R上有唯一零点．
11．(2020·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex－a(x＋2)．
(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
11．解析　(1)当a＝1时，f(x)＝ex－(x＋2)，f′(x)＝ex－1，令f′(x)<0，解得x<0，令f′(x)>0，解得x>0，
所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
(2)令f(x)＝0，得ex＝a(x＋2)，即＝，
所以函数y＝的图象与函数φ(x)＝的图象有两个交点，φ′(x)＝，
当x∈(－∞，－1)时，φ′(x)>0；当x∈(－1，＋∞)时，φ′(x)<0，
所以φ(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减，
所以φ(x)max＝φ(－1)＝e，且x→－∞时，φ(x)→－∞；x→＋∞时，φ(x)→0，
所以0<．
所以a的取值范围是．
12．(2021·全国甲)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝(x>0)．
(1)当a＝2时，求f(x)的单调区间；
(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围．
12．解析　(1)当a＝2时，f(x)＝(x>0)，f′(x)＝(x>0)，
令f′(x)>0，则0则x>，此时函数f(x)单调递减，
所以函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为．
(2)曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，
可转化为方程＝1(x>0)有两个不同的解，即方程＝有两个不同的解．
设g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝(x>0)，令g′(x)＝＝0，得x＝e，
当00，函数g(x)单调递增，当x>e时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，
故g(x)max＝g(e)＝，且当x>e时，g(x)∈，又g(1)＝0，
所以0<<，所以a>1且a≠e，
即a的取值范围为(1，e)∪(e，＋∞)．
13．已知f(x)＝x3＋x2＋2x，f′(x)是f(x)的导函数．
(1)求f(x)的极值；
(2)令g(x)＝f′(x)＋kex－1，若y＝g(x)的函数图象与x轴有三个不同的交点，求实数k的取值范围．
13．解析　(1)因为f′(x)＝x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝－2，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如表所示：
x (－∞，－2) －2 (－2，－1) －1 (－1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 极大值 极小值
由表可知，函数f(x)的极大值为f(－2)＝－，极小值为f(－1)＝－．
(2)由(1)知g(x)＝x2＋3x＋2＋kex－1＝x2＋3x＋1＋kex，
由题知需x2＋3x＋1＋kex＝0有三个不同的解，即k＝－有三个不同的解．
设h(x)＝－，则h′(x)＝＝，
当x∈(－∞，－2)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
当x∈(－2，1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
又当x→－∞时，h(x)→－∞，当x→＋∞时，h(x)→0且h(x)<0，且h(－2)＝e2，h(1)＝－．
作出函数h(x)的简图如图，
数形结合可知，－14．已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b＋．
(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；
(2)当a＝时，f(x)的图象与直线y＝bx有3个交点，求b的取值范围．
14．解析　(1)当a＝1时，f(x)＝(x－1)ex－x2＋b＋(x∈R)，则f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝x(ex－2)．
令f′(x)>0，解得x<0或x>ln 2；令f′(x)<0，解得0所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(ln 2，＋∞)，单调递减区间为(0，ln 2)．
(2)因为a＝，所以f(x)＝(x－1)ex－x2＋b＋．
由(x－1)ex－x2＋b＋＝bx，得(x－1)ex－(x2－1)＝b(x－1)．当x＝1时，方程成立．
当x≠1时，只需要方程ex－(x＋1)＝b有2个实根．令g(x)＝ex－(x＋1)，则g′(x)＝ex－．
当xln 且x≠1时，g′(x)>0，所以g(x)在上单调递减，在和(1，＋∞)上单调递增，因为g＝－＝ln 2，
g(1)＝e－1≠0，所以b∈∪(e－1，＋∞)．
15．已知函数f(x)＝ex(ax＋1)，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝bx－e．
(1)求a，b的值；
(2)若函数g(x)＝f(x)－3ex－m有两个零点，求实数m的取值范围．
15．解析　(1)f(x)＝ex(ax＋1)，则f′(x)＝ex(ax＋1)＋ex·a＝ex(ax＋1＋a)，
由题意知解得∴a＝1，b＝3e．
(2)g(x)＝f(x)－3ex－m＝ex(x－2)－m，
函数g(x)＝ex(x－2)－m有两个零点，相当于函数u(x)＝ex·(x－2)的图象与直线y＝m有两个交点，u′(x)＝ex·(x－2)＋ex＝ex(x－1)，
当x∈(－∞，1)时，u′(x)<0，∴u(x)在(－∞，1)上单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，u′(x)>0，∴u(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴当x＝1时，u(x)取得极小值u(1)＝－e．又当x→＋∞时，u(x)→＋∞，
当x<2时，u(x)<0，∴－e∴实数m的取值范围为(－e，0)．
16．设函数f(x)＝－x2＋ax＋ln x(a∈R)．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在上有两个零点，求实数a的取值范围．
16．解析　(1)由题意知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－1时，f′(x)＝－2x－1＋＝，
令f′(x)＝0，得x＝(x＝－1舍去)，当00；当x>时，f′(x)<0．
∴f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为．
(2)令f(x)＝－x2＋ax＋ln x＝0，得a＝x－．
令g(x)＝x－，其中x∈，则g′(x)＝1－＝，令g′(x)＝0，得x＝1，
当≤x<1时，g′(x)<0；当10．
∴g(x)在上单调递减，在(1，3]上单调递增．∴g(x)min＝g(1)＝1，
∵函数f(x)在上有两个零点，又g＝3ln 3＋，g(3)＝3－，3ln 3＋>3－，
∴实数a的取值范围是．
17．已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x．
(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；
(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[，e]上有两个不等的解，求实数a的取值范围．
17．解析　(1)F(x)＝ax2－2ln x，其定义域为(0，＋∞)，所以F′(x)＝2ax－＝(x>0)．
①当a>0时，由ax2－1>0，得x>，由ax2－1<0，得0故当a>0时，F(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
②当a≤0时，F′(x)<0(x>0)恒成立，故当a≤0时，F(x)在(0，＋∞)上单调递减．
(2)方程f(x)＝g(x)在区间[，e]上有两个不等的解等价于方程a＝在区间[，e]上有两个不等的解．
令φ(x)＝，x∈[，e]，则φ′(x)＝＝，
易知φ(x)在[，)上单调递增，在(，e]上单调递减，则φ(x)max＝φ()＝，
而φ(e)＝<＝＝φ()，所以φ(x)min＝φ(e)，作出φ(x)的大致图象如图所示．
由图可知φ(x)＝a有两个不等解时，需≤a<，
即f(x)＝g(x)在[，e]上有两个不等解时实数a的取值范围为．
18．(2021·浙江卷节选)设a，b为实数，且a>1，函数f(x)＝ax－bx＋e2(x∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若对任意b>2e2，函数f(x)有两个不同的零点，求a的取值范围．
18．解析　(1)由题意得f′(x)＝axln a－b．因为a>1，所以ln a>0，ax>0，所以当b≤0时，f′(x)>0，
所以当b≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
当b>0时，令f′(x)>0，则ax>，所以x>loga；令f′(x)<0，得x所以当b>0时，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增．
综上，当b≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
当b>0时，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增．
(2)因为函数f(x)有两个不同的零点，所以ax－bx＋e2＝0有两个不同的根，
即曲线y＝ax与直线y＝bx－e2有两个不同的交点．
易知直线y＝bx－e2与y轴交于点(0，－e2)．
先考虑曲线y＝ax与直线y＝bx－e2相切的情况．
设切点坐标为(t，at)，则切线斜率为atln a，所以切线方程为y－at＝atln a(x－t)，
则y＝(atln a)x＋at－tatln a＝bx－e2，所以at－tatln a＝at－atln at＝－e2，
令at＝m(m>0)，则m－mln m＝－e2，令g(m)＝m－mln m＋e2，则g′(m)＝－ln m，
当m∈(0，1)时，g′(m)>0，当m∈(1，＋∞)时，g′(m)<0，
故g(m)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，观察可知at＝e2，
所以要满足条件，则b＞atln a＝e2ln a恒成立．
因为b＞2e2，只需2e2≥e2ln a即可，解得1＜a≤e2．
故a的取值范围为(1，e2]．
19．设函数f(x)＝ex－ax－2．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)·f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．
19．解析　(1)f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－a．
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，
所以f(x)单调增区间为(－∞，＋∞)，无单调减区间．
当a>0时，令f′(x)<0，得x令f′(x)>0，得x>ln a，
所以f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞)．
(2)由题设可得(x－k)(ex－1)＋x＋1>0，即k0)恒成立，令g(x)＝＋x(x>0)，
得g′(x)＝＋1＝(x>0)．
由(1)的结论可知，函数h(x)＝ex－x－2(x>0)是增函数．
又因为h(1)<0，h(2)>0，
所以函数h(x)的唯一零点α∈(1，2)(该零点就是h(x)的隐零点)．
当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0，所以g(x)min＝g(α)＝＋α．
又h(α)＝eα－α－2＝0，所以eα＝α＋2且α∈(1，2)，则g(x)min＝g(α)＝1＋α∈(2，3)，
所以k的最大值为2．
20．已知函数f(x)＝ex＋(a－e)x－ax2．
(1)当a＝0时，求函数f(x)的极值；
(2)若函数f(x)在区间(0，1)内存在零点，求实数a的取值范围．
20．解析　(1)当a＝0时，f(x)＝ex－ex，则f′(x)＝ex－e，f′(1)＝0，
当x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)在x＝1处取得极小值，且极小值为f(1)＝0，无极大值．
(2)由题意得f′(x)＝ex－2ax＋a－e，
设g(x)＝ex－2ax＋a－e，则g′(x)＝ex－2a．
若a＝0，由(1)知f(x)的极小值f(1)＝0，故f(x)在区间(0，1)内没有零点．
若a<0，则g′(x)＝ex－2a>0，故函数g(x)在区间(0，1)内单调递增．
又g(0)＝1＋a－e<0，g(1)＝－a>0，所以存在x0∈(0，1)，使g(x0)＝0．
故当x∈(0，x0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(x0，1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
因为f(0)＝1，f(1)＝0，所以当a<0时，f(x)在区间(0，1)内存在零点．
若a>0，由(1)得当x∈(0，1)时，ex>ex．则f(x)＝ex＋(a－e)x－ax2>ex＋(a－e)x－ax2＝a(x－x2)>0，
此时函数f(x)在区间(0，1)内没有零点．
综上，实数a的取值范围为(－∞，0)．

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