资源简介

解密02：常用逻辑用语
【考点解密】
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示
对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
【方法技巧】
一、充要条件的两种判断方法
（1）定义法：根据p q，q p进行判断.
（2）集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
二、充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：
（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
（2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
（3）数学定义都是充要条件.
【核心题型】
题型一：充分不必要条件
1．（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（理））“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022·山东济南·模拟预测）设：，：，则是成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022·四川资阳·一模（理））已知命题：“”；命题：“函数单调递增”，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不必要又不充分条件
题型二：必要不充分条件
4．（2022·贵州·模拟预测）已知曲线的方程，则“”是“曲线是圆”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2022·四川泸州·一模）已知直线m，n及平面，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）已知向量，，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型三：充要条件
7．（2022·河北·模拟预测）已知中，，则的充要条件是（ ）
A．是等腰三角形 B．
C． D．
8．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校三模（理））以下命题错误的序号为（ ）
①与是两条不同的直线，则“”是“”的充分不必要条件；
②若“”是真命题，则“”一定是假命题；
③荀子曰：不积跬步，无以至千里，不积小流，无以成江海．这说明“积跬步”是“至千里”的充分条件；
④“”是“为奇函数”的充要条件．
A．①③④ B．①② C．③④ D．①④
9．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
题型四：简单的逻辑联结词
10．（2023·陕西西安·高三期末（理））已知命题过直线外一定点，且与该直线垂直的异面直线只有两条；命题，，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·河南·一模（理））已知，；，．若为真，则实数a的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
12．（2022·四川省绵阳南山中学模拟预测（理））已知命题，，命题函数在区间上是减函数，则，下列结构中正确的是（ ）
A．命题“”是真命题 B．命题“”是真命题
C．命题“”是真命题 D．命题“”是真命题
题型五：全称量词与存在量词
13．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学二模）给出如下几个结论:
①命题“”的否定是“”;
②命题“”的否定是“”;
③对于;
④，使.
其中正确的是（ ）
A．③ B．③④ C．②③④ D．①②③④
14．（2022·全国·高三专题）若“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2022·四川绵阳·一模（理））若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型六：集合和逻辑用语的综合
16．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（理））已知函数的值域为集合A，函数的定义域为集合B．
(1)当时，求；
(2)设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围．
17．（2022·全国·高三专题练习）已知命题p：函数的值域为，命题q：，使得不等式．
(1)若p为真，求实数a的取值范围；
(2)若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．
18．（2022·河南·南阳中学模拟预测（理））已知，命题：函数仅有一个极值点；命题：函数在上单调递减.
（1）若为真命题，求的取值范围；
（2）若为真命题，为假命题，求的取值范围.
19．（2021·上海市行知中学高三开学考试）若数列满足(，且为实常数)，，则称数列为数列.
（1）若数列的前三项依次为，，，且为数列，求实数的取值范围；
（2）已知是公比为的等比数列，且，记.若存在数列为数列，使得成立，求实数的取值范围；
（3）记无穷等差数列的首项为，公差为，证明：“”是“为数列”的充要条件.
【高考必刷】
一、单选题
20．（2022·天津·高考真题）“为整数”是“为整数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
21．（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（理））已知命题，命题，则是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
22．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（文））设m，n为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
23．（2022·浙江绍兴·一模）已知数列为等差数列，前项和为，则“”是“数列为单增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
24．（2022·福建·福州三中模拟预测）如果对于任意实数表示不超过的最大整数，那么“”是“成立”的（ ）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
25．（2023·广西·模拟预测（文））“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
26．（2022·新疆·兵团第一师高级中学高三阶段练习（理））下列命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．若给定命题，使得，则，均有
C．若为假命题，则p，q均为假命题
D．命题“若，则”的否命题为“若，则”
27．（2022·山东·汶上圣泽中学高三阶段练习）给出如下几个结论:
①命题“”的否定是“”;
②命题“”的否定是“”;
③对于;
④，使.
其中正确的是（ ）
A．③ B．③④ C．②③④ D．①②③④
二、多选题
28．（2022·海南·模拟预测）已知命题:“”，"”，则下列正确的是（ ）
A．的否定是“”
B．的否定是“”
C．若为假命题，则的取值范围是
D．若为真命题，则的取值范围是
29．（2023·全国·高三专题）下列命题正确的是（ ）
A．正实数x，y满足，则的最小值为4
B．“”是“”成立的充分条件
C．若随机变量，且，则
D．命题，则p的否定：
30．（2022·全国·高三专题练习）已知公差为d的等差数列的前n项和为，则（ ）
A．是等差数列 B．是关于n的二次函数
C．不可能是等差数列 D．“”是“”的充要条件
31．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
32．（2023·全国·高三专题）在半径为10的圆上有三点M，N，C，其中M，N两点的坐标分别为 .现有两个命题如下：p：若∠MNC为60°，则三角形MNC的面积为；q：若，则四边形MCND的面积为.那么下列选项正确的是（ ）
A．命题p是真命题 B．命题p是假命题
C．命题q是真命题 D．命题q是假命题
三、填空题
33．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（理））若命题：“，使”是假命题，则实数m的取值范围为____．
34．（2022·吉林省实验中学模拟预测（理））已知m，n是两条不重合的直线，是一个平面，，则“”是“”的__________条件．
35．（2022·全国·高三专题练习）设命题:；命题:关于的方程的两个实根均大于0.若命题“且”为真命题，求的取值范围为____.
36．（2021·安徽省定远中学模拟预测（文））设，，记命题：“”，命题：“”，若是的必要不充分条件，则的取值范围为______________.
四、解答题
37．（2022·黑龙江·齐齐哈尔三立高级中学有限公司高三期中）设函数的定义域为A，集合
(1)求集合A；
(2)若p：，q：，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
38．（2021·陕西·安康市教学研究室二模（理））已知为正数，不等式对恒成立；函数的最小值不小于2．
（1）若为真命题，求的取值范围；
（2）若为假命题，为真命题，求的取值范围．解密02：常用逻辑用语
【考点解密】
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示
对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
【方法技巧】
一、充要条件的两种判断方法
（1）定义法：根据p q，q p进行判断.
（2）集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
二、充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：
（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
（2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
（3）数学定义都是充要条件.
【核心题型】
题型一：充分不必要条件
1．（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（理））“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据指对、数函数的单调性结合充分、必要条件分析判断.
【详解】∵在上单调递增，
∴，
又∵在R上单调递增，
∴，
由可得，但由不能得到，例如，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2022·山东济南·模拟预测）设：，：，则是成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】求出中x范围，再根据充分性和必要性的概念得答案.
【详解】由：得，，
即：
是成立的充分不必要条件.
故选：A
3．（2022·四川资阳·一模（理））已知命题：“”；命题：“函数单调递增”，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不必要又不充分条件
【答案】A
【分析】通过导数研究的单调性，以此判断命题p与的关系即可.
【详解】当时，，因，，
则，得单调递增，有，即p是的充分条件.
当函数单调递增，有恒成立，
得，有不能推出p（a可以等于1）.即p不是的必要条件.
综上：p是的充分不必要条件.
故选：A
题型二：必要不充分条件
4．（2022·贵州·模拟预测（理））已知曲线的方程，则“”是“曲线是圆”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据二元二次方程表示圆的条件、必要不充分条件的定义可得答案.
【详解】，即，
∴曲线是圆，∴“”是“”的必要不充分条件.
故选：A.
5．（2022·四川泸州·一模（文））已知直线m，n及平面，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由充分条件与必要条件求解即可
【详解】由题意可知：
当时，与可能平行，也可能相交，故充分性不成立；
当时，成立，故必要性成立；
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
6．（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）已知向量，，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量平行的坐标运算以及三角函数的性质可得当时或者或者，即可判断必要不充分条件.
【详解】若，则满足，进而得，故或或，
由于，所以或者或者，
因此“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
题型三：充要条件
7．（2022·河北·模拟预测）已知中，，则的充要条件是（ ）
A．是等腰三角形 B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据正余弦定理即可结合选项逐一求解.
【详解】由于，故当是等腰三角形时，或或；
当时，是等腰三角形，所以是等腰三角形是的必要不充分条件，所以选项A不正确；
当时，，即，所以或，则或；当时，，根据正弦定理可得，所以是的必要不充分条件，所以选项B不正确；
当时，，即，解得，所以不是的充分条件，所以选项C不正确；
当时，；当时，即，根据余弦定理，解得，则，所以是的充要条件，
故选：D．
8．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校三模（理））以下命题错误的序号为（ ）
①与是两条不同的直线，则“”是“”的充分不必要条件；
②若“”是真命题，则“”一定是假命题；
③荀子曰：不积跬步，无以至千里，不积小流，无以成江海．这说明“积跬步”是“至千里”的充分条件；
④“”是“为奇函数”的充要条件．
A．①③④ B．①② C．③④ D．①④
【答案】A
【分析】①根据平行线的条件计算出取值；②根据数学计算中逻辑“与”运算判断命题、的真假，即可判断；③根据充要条件性质判断即可；④根据奇函数定义判断即可.
【详解】对于①.若 ，则，解得或，当时是同一条直线，故是的充要条件，故①错误；
对于②.为真命题，则为真命题，为真命题，因此为假命题，为假命题，故②正确；
对于③, “积跬步”不一定可以“至千里”，但是“至千里”需要“积跬步”才能完成，故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件，故③错误
对于④，若，不一定是奇函数，如，故④错误.
故选:A
9．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由可得，取，则当时，，
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.
所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.
故选：C.
题型四：简单的逻辑联结词
10．（2023·陕西西安·高三期末（理））已知命题过直线外一定点，且与该直线垂直的异面直线只有两条；命题，，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】判断命题、的真假，利用复合命题的真假逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于命题，如下图所示，
设点为直线外一点，过点有且只有一个平面使得，
过点在平面内有无数条直线与异面且与直线垂直，命题为假命题；
对于命题，，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，命题为真命题.
因此，、、均为假命题，命题为真命题.
故选：B.
11．（2022·河南·一模（理））已知，；，．若为真，则实数a的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用不等式恒成立问题分别求出命题为真命题和为真命题时a的取值范围，取交集即可．
【详解】为真，得为真且为真，
，，
为真时，恒成立，
，解得.
，，
由，为真命题，得，
∴为真，有，
故选：C
12．（2022·四川省绵阳南山中学模拟预测（理））已知命题，，命题函数在区间上是减函数，则，下列结构中正确的是（ ）
A．命题“”是真命题 B．命题“”是真命题
C．命题“”是真命题 D．命题“”是真命题
【答案】C
【分析】先判断命题的真假性，然后结合逻辑连接词的知识求得正确答案.
【详解】对于命题，当时，，，所以为假命题，
对于命题，在区间上是减函数，
即，在上恒成立，
，所以，所以命题为真命题.
所以、、为假命题，
是真命题.
故选：C
题型五：全称量词与存在量词
13．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学二模）给出如下几个结论:
①命题“”的否定是“”;
②命题“”的否定是“”;
③对于;
④，使.
其中正确的是（ ）
A．③ B．③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题可判断①，②；利用基本不等式判断③;结合三角函数恒等变换以及性质判断④,可得答案.
【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，
知①不正确，
命题“”的否定是“或 ”,故②不正确；
因为，
当且仅当即 时取等号，③正确；
由，比如时,,
故，使，④正确，
故选：B
14．（2022·全国·高三专题练习）若“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】写出全称命题为真命题，利用辅助角公式求出，从而求出实数a的取值范围.
【详解】因为“，使得”为假命题，
则“，使得”为真命题，
因为，
所以实数a的取值范围是
故选：D
15．（2022·四川绵阳·一模（理））若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据命题是真命题，转换为求函数的最大值，即可求解.
【详解】，函数的最大值是，
根据命题是真命题可知，，即.
故选：A
题型六：集合和逻辑用语的综合
16．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（理））已知函数的值域为集合A，函数的定义域为集合B．
(1)当时，求；
(2)设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的值域和的定义域，求交集即可；
（2）根据p是q的充分不必要条件，可得 ，从而可得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
由题意，解得或，
所以或，
又函数的值域为集合A，故
所以.
（2）由题意，即，
解得：或，
所以或，
由题意可知 ，又
所以或，解得或
故实数a的取值范围.
17．（2022·全国·高三专题练习）已知命题p：函数的值域为，命题q：，使得不等式．
(1)若p为真，求实数a的取值范围；
(2)若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1） 根据题意，设，由对数函数的性质可得，解可得答案；
（2）根据题意，分析p、q为真时a的取值范围，又由复合命题的真假关系可得p、q一真一假，即可得关于a的不等式组，解可得答案．
(1)
根据题意，命题p：函数的值域为R，
设，必有，解可得，
(2)
对于q，，使得不等式，即在区间[1，2]上有解，
设，在区间[1，2]上为减函数，则有，
若q为真，必有，
若p∨q为真，p∧q为假，即p、q一真一假，
若p为真，q为假，必有；
若p为假，q为真，必有；
综合可得：a的取值范围为或．
18．（2022·河南·南阳中学模拟预测（理））已知，命题：函数仅有一个极值点；命题：函数在上单调递减.
（1）若为真命题，求的取值范围；
（2）若为真命题，为假命题，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）去掉绝对值号转化为分段函数，由二次函数可知其极值点，分类讨论即可求解；
（2）由复合函数的单调性求出为真命题时的取值范围，再根据复合命题的真假判断出为假命题，即可得出的取值范围.
【详解】，
易知函数和分别在和处取得极小值.
当时，仅有一个极小值点，
此时为真；
当时，有两个极小值点和
一个极大值点
此时为假；
当时，仅有一个极小值点
此时为真.
的取值范围是.
若命题为真命题，
函数在上单调递减，
函数在上单调递减，且恒大于，
为真命题，
为假命题，
又为假命题，
为假命题.
由为假命题可得或
的取值范围是.
19．（2021·上海市行知中学高三开学考试）若数列满足(，且为实常数)，，则称数列为数列.
（1）若数列的前三项依次为，，，且为数列，求实数的取值范围；
（2）已知是公比为的等比数列，且，记.若存在数列为数列，使得成立，求实数的取值范围；
（3）记无穷等差数列的首项为，公差为，证明：“”是“为数列”的充要条件.
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.
【分析】（1）由题意可得，可得的不等式组，解得的范围；
（2）由题意可得或，分别讨论的范围，结合等比数列的通项公式和数列极限的公式，即可得到所求范围；
（3）先证充分性，讨论是否为0，结合等差数列的通项公式和不等式的性质，以及数列的定义，可得证明；再证必要性，同样讨论是否为0，结合等差数列的通项公式和首项与公差的符号，即可得证．
【详解】（1）因为为（3）数列，所以，
则，解得，
即的取值范围是，；
（2）由数列为（4）数列，可得或，
当时，由，，所以．
则，
所以，即；
当时，由，，所以．
则，
所以，即，所以，
则的取值范围是；
（3）先证充分性．因为，所以，为等差数列，
所以当时，，此时，
由，所以成立，所以为数列；
当时，，
因为，所以，所以，
即有，
因为，所以
，
所以恒成立，所以为数列，
综上可得，为数列；
再证必要性．因为为数列，所以恒成立，所以，
当时，显然成立；
当时，因为，所以的每一项同号，所以与也同号，
所以，因为恒成立，所以时，成立，
因为为等差数列，，，
所以，即为，，
综上可得，“”是“为数列”的充要条件．
【高考必刷】
一、单选题
20．（2022·天津·高考真题）“为整数”是“为整数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由当为整数时，必为整数；当为整数时，比一定为整数；即可选出答案.
【详解】当为整数时，必为整数；
当为整数时，比一定为整数，
例如当时，.
所以“为整数”是“为整数”的充分不必要条件.
故选：A.
21．（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（理））已知命题，命题，则是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据分式不等式的解法，先求得，根据充分、必要条件的概念，分析即可得答案.
【详解】由，等价于，解得或，
所以．
因为，且，
所以是q的既不充分也不必要条件．
故选：D
22．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（文））设m，n为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据指数函数和对数函数单调性分别化简和，根据充分条件和必要条件的定义判断两者关系.
【详解】因为函数为上的单调递增函数，又，所以，所以，又函数在上单调递减，所以，所以“”是“”的充分条件，因为函数在上单调递减，又，所以，当为负数时，没有对数值，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件，A正确，
故选：A.
23．（2022·浙江绍兴·一模）已知数列为等差数列，前项和为，则“”是“数列为单增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】先说明充分性，由得到为单调递增数列，设公差为，表达出，结合对称轴得到时，此时先增后减，从而充分性不成立；
再举出反例得到必要性不成立.
【详解】若，故，即，
故为单调递增数列，设公差为，
此时，，
令，对称轴为，当时，此时对称轴，
此时先增后减，
所以数列不是单调数列，
充分性不成立，
若数列为单增数列，设等差数列公差为，
若，不妨设，此时，满足数列为单增数列，
此时，，故必要性不成立，
故“”是“数列为单增数列”的既不充分也不必要条件.
故选：D
24．（2022·福建·福州三中模拟预测）如果对于任意实数表示不超过的最大整数，那么“”是“成立”的（ ）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据的定义，结合已知条件，从充分性和必要性判断即可.
【详解】若，则，故
则，则，故充分性满足；
若，取，满足，但，故必要性不满足.
故“”是“成立”的充分不必要条件.
故选：.
25．（2023·广西·模拟预测（文））“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义得到不等式组，解出其解集，再根据两集合的关系判定为必要不充分条件.
【详解】方程表示椭圆，则所以且，
所以且能推出，反之不成立，所以为必要不充分条件，
故选：A.
26．（2022·新疆·兵团第一师高级中学高三阶段练习（理））下列命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．若给定命题，使得，则，均有
C．若为假命题，则p，q均为假命题
D．命题“若，则”的否命题为“若，则”
【答案】B
【分析】由充分必要条件，特称命题的否定，逻辑联结词，否命题的知识点对选项逐一判断
【详解】对于A，因为，所以或，
因此“”是“”的必要不充分条件，故A错误；
对于B，命题，使得的否定为，均有，故B正确；
对于C，若为假命题p，q至少有一个则为假命题，故C错误；
对于D，命题“若，则”的否命题为“若，则”，故D错误；
故选：B
27．（2022·山东·汶上圣泽中学高三阶段练习）给出如下几个结论:
①命题“”的否定是“”;
②命题“”的否定是“”;
③对于;
④，使.
其中正确的是（ ）
A．③ B．③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题可判断①，②；利用基本不等式判断③;结合三角函数恒等变换以及性质判断④,可得答案.
【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，
知①不正确，
命题“”的否定是“或 ”,故②不正确；
因为，
当且仅当即 时取等号，③正确；
由，比如时,,
故，使，④正确，
故选：B
二、多选题
28．（2022·海南·模拟预测）已知命题:“”，"”，则下列正确的是（ ）
A．的否定是“”
B．的否定是“”
C．若为假命题，则的取值范围是
D．若为真命题，则的取值范围是
【答案】AD
【分析】根据含有一个量词的命题的否定判断A、B；C选项转化为一元二次方程无实数解，用判别式计算的取值范围；D选项转化为二次不等式恒成立，计算参数的范围.
【详解】含有一个量词的命题的否定，是把量词改写，再把结论否定，所以A正确，B不正确；
C选项，若为假命题，则的否定“”是真命题，即方程在实数范围内无解，，得，C不正确；
D选项，，等价于，解得，D正确；
故选：AD.
29．（2023·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（ ）
A．正实数x，y满足，则的最小值为4
B．“”是“”成立的充分条件
C．若随机变量，且，则
D．命题，则p的否定：
【答案】BC
【分析】对于A，可用基本不等式“1”的妙用求最值；对于B，根据充要条件的知识及不等式性质进行判断；对于C，根据二项分布期望及方差公式求解判断；对于D，根据命题的否定的知识进行判断.
【详解】对于A，，当且仅当时等号成立，故A错误；
对于B，“”能推出“”，故B正确；
对于C，，解得，故C正确；
对于D，p的否定：，故D错误.
故选：BC.
30．（2022·全国·高三专题练习）已知公差为d的等差数列的前n项和为，则（ ）
A．是等差数列 B．是关于n的二次函数
C．不可能是等差数列 D．“”是“”的充要条件
【答案】AD
【分析】根据等差数列前项公式及函数特征结合等差数列的定义即可判断ABC，再结合充分条件和必要条件的定义即可判断D.
【详解】解：由知，，
则，所以是等差数列，故A正确；
当时，不是n的二次函数，故B不正确；
当时，，
则，所以是等差数列，故C不正确；
当时，，故，
，
所以“”是“”的充要条件，故D正确.
故选：AD.
31．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】先求命题“”为真命题的等价条件，再结合充分不必要的定义逐项判断即可.
【详解】因为为真命题，
所以或，
所以是命题“”为真命题充分不必要条件，A对，
所以是命题“”为真命题充要条件，B错，
所以是命题“”为真命题充分不必要条件，C对，
所以是命题“”为真命题必要不充分条件，D错，
故选：AC
32．（2023·全国·高三专题练习）在半径为10的圆上有三点M，N，C，其中M，N两点的坐标分别为 .现有两个命题如下：p：若∠MNC为60°，则三角形MNC的面积为；q：若，则四边形MCND的面积为.那么下列选项正确的是（ ）
A．命题p是真命题 B．命题p是假命题
C．命题q是真命题 D．命题q是假命题
【答案】AD
【分析】由条件及点的坐标可判断命题，根据向量的数量积及模，可判断命题.
【详解】M，N都在圆上，线段，因此MN为直径.由圆的性质知为直角三角形，有一个角为60°，,因此其面积为，故命题p为真命题，因此A正确.
，，则，所以与垂直，因此四边形MCND的面积应当为，命题q为假命题，故D正确.
故选:AD.
三、填空题
33．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（理））若命题：“，使”是假命题，则实数m的取值范围为____．
【答案】或
【分析】先得出存在量词命题的否定，即为恒成立问题，结合二次函数的图象与性质对的符号分类讨论即可
【详解】由题意得，“，使”是真命题，
当时，易得时命题成立；
当时，由抛物线开口向下，命题不成立；
当时，则命题等价于，即或
故答案为：或
34．（2022·吉林省实验中学模拟预测（理））已知m，n是两条不重合的直线，是一个平面，，则“”是“”的__________条件．
【答案】充分不必要
【分析】由线面垂直的性质可知满足充分性，由线面垂直的判定可知不满足必要性.
【详解】若，且有，根据线面垂直的性质，可得出；
若，且有，根据线面垂直的判定，直线不一定与平面垂直.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要
35．（2022·全国·高三专题练习）设命题:；命题:关于的方程的两个实根均大于0.若命题“且”为真命题，求的取值范围为____.
【答案】
【分析】由命题为真命题解得的范围，因为“且”为真命题，则，都是真命题，则可求出.
【详解】由命题为真命题，关于的方程的两个实根均大于0，
则，解得，
因为“且”为真命题，则，都是真命题，
所以，得.
故答案为：.
36．（2021·安徽省定远中学模拟预测（文））设，，记命题：“”，命题：“”，若是的必要不充分条件，则的取值范围为______________.
【答案】
【分析】求出集合，根据题意可得是的真子集，根据集合的真包含关系列出不等式组即可求解.
【详解】由题意知，，
因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，
所以解得：，
所以的取值范围为，
故答案为：.
四、解答题
37．（2022·黑龙江·齐齐哈尔三立高级中学有限公司高三期中）设函数的定义域为A，集合
(1)求集合A；
(2)若p：，q：，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对数函数的定义域及根式有意义列出不等式组，求出集合；
（2）根据p是q的必要不充分条件，得到是的真子集，分与两种情况，进行求解.
【详解】（1）由题意得：，解得：，
所以；
（2）因为p是q的必要不充分条件，所以是的真子集，
当时，，解得：，
当时，，
解得：，
综上：实数m的取值范围是
38．（2021·陕西·安康市教学研究室二模（理））已知为正数，不等式对恒成立；函数的最小值不小于2．
（1）若为真命题，求的取值范围；
（2）若为假命题，为真命题，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由均值不等式可得，根据条件可得，从而可得答案.
（2）先求出为真命题时参数的范围，根据条件，一真一假，可得答案.
【详解】解：（1）因为为正数，，所以，
当且仅当，即时，等号成立．
若为真命题，则，解得，
即的取值范围为．
（2）若为真命题，则，解得．
因为为假命题，为真命题，所以，一真一假．
若真假，则；若真假，则．
综上，的取值范围为．

展开更多......

收起↑