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河东区 2022～2023 学年度第一学期期末质量检测
高二数学试卷
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 100 分，考试用时 90 分钟。
答卷时，考生务必将答案答在答题卡的相应位置。考试结束后，将答题纸交回。
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项：
1．请同学们把答案按要求填写在答题卡上规定区域内，超出答题卡区域的答案无效！
2．本卷共 9小题，每小题 4分，共 36分。
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
x2 y2
（1）双曲线 =1的焦点坐标是
3 2
（A） ( 1,0) （B） ( 5,0)
（C） (0, 1) （D） (0, 5)
（2）抛物线 y2 = 2x 的准线方程为
（A） x = 1 （B） x =1
1 1
（C） x = （D） x =
2 2
（3）等轴双曲线的一个焦点是 F ( 6,0) ，则其标准方程为 1
x2 y2 y2 x2
（A） =1 （B） =1
9 9 9 9
x2 y2 y2 x2
（C） =1 （D） =1
18 18 18 18
3
（4）已知抛物线 x2 = 2py( p 0)上一点M (m,1) 到焦点的距离为 ，则其焦点坐标为
2
1 1
（A） (0, ) （B） ( ,0)
2 2
1 1
（C） ( ,0) （D） (0, )
4 4
高二数学试卷 第 1 页（共 5 页）
x2
（5）若点 P(1,2)在双曲线 y2 =1(a 0)) 的一条渐近线上，则它的离心率为
a2
5
（A） （B）2
2
（C） 5 （D） 2 5
（6）下列四个数中，是数列{n(n +1)}( n N* )中的一项的是
（A）380 （B）392
（C）321 （D）232
（7）已知等比数列{a }，满足 log a + log a =1，且 a a a ，则数列 的公比为 n 2 2 2 13 5 6 8a9 =16 {an}
（A）2 （B） 2
1 1
（C） （D）
2 2
（8）已知正项等差数列{a }的前 n项和为 Sn (n N
*) ，若 a2
n 8
a7 a9 = 3，则 S 的值为 15 a8
（A）3 （B）14
（C）28 （D）42
（9）九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具．它用九个圆环相连成串，以解开为胜．它在中
国有近两千年的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载．周邦彦也留下关于九连环的名句“纵
妙手、能解连环．”九连环有多种玩法，在某种玩法中：已知解下 1 个圆环最少需要移动圆环 1 次，
解下 2 个圆环最少需要移动圆环 2 次，记
an (3剟n 9，n N
*) 为解下 n 个圆环需要移动圆环 的 最
少次数，且 a = a + 2n 1n n 2 ，则解下 8 个圆环所需要 移 动
圆环的最少次数为
（A）341 （B）170
（C）90 （D）30
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第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上。
2．本卷共 11 小题，共 64 分。
二．填空题：本大题共 6小题，每小题 4分，共 24分．
x2 y2
（10）设 F ， F 为双曲线C : =1的左、右焦点， P 为双曲线 C 上一点，且1 2 | PF |= 4 ，则1
9 4
| PF ． 2 |=
（11）已知数列{a }满足 2an = an 1 + an+1(n…2，n N
*)，
n a2 + a4 + a6 =12，a1 + a3 + a = 9，则5 a2 + a5
等于 ．
（12）已知等比数列{a }的前 n项和为 S ，且 an+1 = 2Sn +1(n N
*) ，则 a = ． n n 5
（13）已知数列 满足 ， a = a + 3n ( n N*{an} a1 =1 n+1 n )，则{a }的通项公式 a ． n n =
（14）设等差数列{a }满足 a =1， an 0(n N
*)，其前 n项和为 S ，若数列 S 也为等差数列，n 1 n n
S
则 a = ； n+10 的最大值是 ． n
a2n
（15）已知抛物线C : y2 = 2px( p 0)与圆O : x2 + y2 = 5交于 A，B 两点，且 | AB |= 4，直线 l 过C 的
焦点 F ，且与C 交于M ， N 两点，给出下列命题：
3
①若直线 l 的斜率为 ，则 | MN |= 8 ；② | MF | +2 | NF |的最小值为3+ 2 2 ；
3
6 3
③若以MF 为直径的圆与 y 轴的公共点为 (0, )，则点M 的横坐标为 ；
2 2
④若点G(2,2)，则 GFM 周长的最小值为 4 + 5 ．
其中真命题的序号为 （把所有正确命题的序号都填在横线上）．
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三．解答题：本大题共 5小题，共 40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（16）（本小题满分 6分）
已知双曲线的方程为 4x2 y2 = 4，写出它的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长与渐近
线方程．
（17）（本小题满分 6分）
x2 y2
已知椭圆C : + =1(a b 0) 的左右焦点分别是 F 、 F ，左右顶点分别是 A 、 B ．
2 2 1 2a b
3
（Ⅰ）若椭圆C 上的点M (1, ) 到 F 、 F 两点的距离之和等于 4，求此椭圆C 的方程； 1 2
2
1
（Ⅱ）若 P 是椭圆C 上异于 A、B 的任一点，记直线 PA与 PB的斜率分别为 k 、1 k ，且 k ，2 1 k2 =
2
试求椭圆C 的离心率．
（18）（本小题满分 8分）
已知数列{a }是公差不为 0 的等差数列，数列n {b }是公比为 2 的等比数列，a 是n 2 a ，1 a 的等比5
中项， ， ( n N*b )． 3 a3 = 3 b1 = 2a1
（Ⅰ）求数列{a ， 的通项公式； n} {bn}
（Ⅱ）求数列{a b }的前 n项和 ． n n Sn
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（19）（本小题满分 10分）
x2 y22 2 6
已知 P( , ) 是椭圆C : + =1(a b 0) 与抛物线 E : y2 = 2px( p 0)的一个公共点，且椭
3 3 a2 b2
圆与抛物线具有一个相同的焦点 F ．
（Ⅰ）求椭圆C 及抛物线 E 的方程；
3
（Ⅱ） A ， B 是椭圆C 上的两个不同点，若直线OA，OB 的斜率之积为 （注 :O 为坐标原点），
4
| BM |
点 M 是线段OA的中点，连接 BM 并延长交椭圆C 于点 N ，求 的值．
| MN |
（20）（本小题满分 10分）
已知数列 满足： ， na + (n +1) = (n + 2)a + (n +1)3 *{a } a = 2 n Nn+1 n ( )． n 1
a
（Ⅰ）证明：数列 n 是等差数列；
n(n +1)
n(n + 2)
（Ⅱ）设b = ，求数列{b }的前 n项和n n S ． n+1 n2 an
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