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中考数学复习专题－旋转
（面积问题）
一、选择题
1．将直角边长为的等腰直角绕点逆时针旋转后得到△，则图中阴影部分的面积 ( )
A． B． C． D．
【分析】根据旋转的性质，旋转角∠CAC=15 ，则∠BAC=45 15 =30°，可见阴影部分是一个锐角为30°的直角三角形，且已知直角边AC=3厘米，根据勾股定理或者三角函数求出另一直角边即可解答．
【解析】解：设与交于点，
根据旋转性质得，而，
，
又，，
，
阴影部分的面积．
故选：．
【点睛】本题考查旋转的性质和解直角三角形．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点·旋转中心；②旋转方向；③旋转角度
2．如图是某公司设计的一款酒杯的设计平面图，为求出酒杯平面图中的杯子这部分面积，小明找到了设计图纸上的部分数据：是抛物线与轴交于点A、B时的轴上方的部分，且点，将绕点B旋转得，与轴交于另一点C，将绕点C旋转得，且，则图中阴影部分的面积为 （ ）
A．24 B． C．28 D．32
【分析】根据旋转可知，AB=BC=CD=4，得出点B的坐标，把点A、B的坐标代入函数关系式，得出二次函数关系式，从而求出二次函数的顶点坐标，即可求阴影部分的面积．
【解析】∵根据旋转可知，AB=BC=CD=4，点A的坐标为（-3，0），
∴点B的坐标为（1，0），
把点A、B的坐标代入得：
，
解得：，
∴函数关系式为：
，
∴顶点坐标为（-1，4），
∵根据旋转可知，与x轴围成的图形面积等于与x轴围成的图形面积，
∴图中阴影部分的面积为：，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质和二次函数的性质，熟练掌握图形的变换是解题的关键．
3．O为线段AB上一动点，且AB=2，绕O点将AB旋转半周，则线段AB所扫过的面积的最小值为 （ ）
A．4π B．3π C．2π D．π
【分析】当O是AB中点时，线段AB所扫过的面积的最小，根据公式求解即可．
【解析】解：当O是AB中点时，线段AB所扫过的面积的最小，
最小面积=π 12=π，
故选D．
【点睛】本题考查扇形面积的计算、旋转变换的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4．如图，P是等边三角形ABC内一点，将△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，若PA＝2，PB＝4，，则四边形APBQ的面积为 （ ）
A． B． C． D．
【分析】如图，连接PQ．由题意△PQA是等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明∠PQB＝90°即可解决问题．
【解析】解：如图，连接PQ．
∵△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，
∴AP＝AQ＝2，PC＝BQ＝2，∠PAQ＝60°，
∴△PAQ是等边三角形，
∴PQ＝PA＝2，
∵PB＝4，
∴，
∴∠PQB＝90°，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质以及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关内容是解题的关键．
5．如图，在正方形ABCD中，点O为对角线的交点，点P为正方形外一点，且满足∠BPC＝90°，连接PO．若PO＝4，则四边形OBPC的面积为 （　　）
A．6 B．8 C．10 D．16
【分析】先画出将△OCP顺时针旋转90°到△OBQ的位置的图形，再证Q、B、P在同一条直线上，再利用旋转的性质和正方形的性质，证△POQ是直角三角形，求出S△POQOP OQ4×4＝8，最后由S四边形OBPC＝S△OCP+S△OBP＝S△OBQ+S△OBP＝S△POQ求解．
【解析】解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC＝OB，∠BOC＝90°，
∴将△OCP顺时针旋转90°，则到△OBQ的位置，
则△OCP≌△OBQ，
∵∠BPC＝90°，
∴∠OCP+∠OBP＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠OCP＝∠OBQ，
∴∠OBQ+∠OBP＝180°，
∴Q、B、P在同一条直线上，
∵PO＝4，△OCP≌△OBQ，
∴QO＝PO＝4，∠COP＝∠BOQ，
∴∠QOP＝∠BOC＝90°，
∴△POQ是直角三角形，
∵S△POQOP OQ4×4＝8，
∴S四边形OBPC＝S△OCP+S△OBP＝S△OBQ+S△OBP＝S△POQ＝8，
故选：B．
【点睛】本题属旋转综合题目，考查了旋转的性质，正方形的性质，利用旋转性质和数形结合思想得出S四边形OBPC＝S△OCP+S△OBP＝S△OBQ+S△OBP＝S△POQ是解题的关键．
6．如图，两个边长都为2的正方形ABCD和OPQR，如果O点正好是正方形ABCD的中心，而正方形OPQR可以绕O点旋转，那么它们重叠部分的面积为 ( )
A．4 B．2 C．1 D．
【分析】连OA，OB，设OR交BC于M，OP交AB于N，由四边形ABCD为正方形，得到OB=OA，∠BOA=90°，∠MBO=∠OAN=45°，而四边形ORQP为正方形，得∠NOM=90°，所以∠MOB=∠NOA，则△OBM≌△OAN，即可得到S四边形MONB=S△AOB=×2×2=1．
【解析】连OA，OB，设OR交BC于M，OP交AB于N，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OB=OA，∠BOA=90°，∠MBO=∠OAN=45°，
而四边形ORQP为正方形，
∴∠NOM=90°，
∴∠MOB=∠NOA，
∴△OBM≌△OAN，
∴S四边形MONB=S△AOB=×2×2=1，
即它们重叠部分的面积为1．
故选C．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形的性质．
7．如图（1），有两全等的正三角形，，且，A分别为，的重心.固定点，将逆时针旋转，使得A落在上，如图（2）所示.则图（1）与图（2）中，两个三角形重叠区域的面积比为 （ ）
A．2：1 B．3：2 C．4：3 D．5：4
【分析】连接，交于点O，根据等边三角形的性质及三角形重心的性质得出，，再结合图形及三角函数计算阴影部分的面积求解即可．
【解析】解：如图所示，连接，交于点O，
设等边三角形的边长是x，
则高长为，
图（1）中阴影部分为一个内角是的菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
则阴影部分的面积为：，
图2中，，，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为：，
两个重叠区域的面积比为：，
故选：C．
【点睛】题目主要考查等边三角形的性质及解三角形的应用，菱形的性质等，理解题意，作出相应辅助线及掌握三角形重心的性质是解题关键．
8．将反比例函数y＝的图象绕坐标原点O逆时针旋转30°，得到如图的新曲线A（﹣3，3），B（，）的直线相交于点C、D，则△OCD的面积为 （　　）
A．3 B．8 C．2 D．
【分析】根据点A、B的坐标可求出OA、OB的长，以及OA、OB与x轴的夹角，进而可得到旋转前各个点的对应点的坐标，以及原直线的关系式，进而求出旋转前C′、D′的坐标，画出相应图形，结合反比例函数的图象，可求出面积
【解析】解：连接OA、OB，过点A、B，分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足为M、N，
∵点A（－3，3），B（，），
∵OM＝3，AM＝3，BN＝，ON＝，
∴OA＝＝6，OB＝＝3，
∵tan∠AOM＝＝，
∴∠AOM＝60°，
同理，∠BON＝30°，
因此，旋转前点A所对应的点A′（0，6），点B所对应的点B′（3，0），
设直线A′B′的关系式为y＝kx＋b，故有，，解得，k＝－2，b＝6，
∴直线A′B′的关系式为y＝－2x＋6，
由题意得，，解得，，
因此，点C、D在旋转前对应点的坐标为C′（1，4），D′（2，2），如图2所示，
过点C′、D′，分别作C′P⊥x轴，D′Q⊥x轴，垂足为P、Q，
则，C′P＝4，OP＝1，D′Q＝2，OQ＝2，
∴S△COD＝S△C′OD′＝S梯形C′PQD′＝（2＋4）×（2－1）＝3，
故选：A．
【点睛】考查反比例函数、一次函数的图象和性质，旋转的性质，求出直线AB在旋转前对应的函数关系式是解决问题的关键．
9．一副三角板按图1所示的位置摆放，将△DEF绕点A(F)逆时针旋转60°后(图2)，测得CG＝10cm，则两个三角形重叠(阴影)部分的面积为 ( )
A．75cm2； B．（25＋25)cm2； C．(25＋)cm2； D．(25＋)cm2
【分析】过点G作，根据题意及三角函数可得，，结合图形求解即可得出结果．
【解析】解：过点G作，如图所示，
，，，
在中，
，
在中，
，
∴，
阴影部分的面积为：，
故选：C．
【点睛】本题考查旋转、三角形的面积公式，锐角三角函数解三角形等，掌握旋转的特征和三角形的面积公式是解答本题的关键．
二、填空题
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°.把△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到，若AB＝4，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是_____（结果保留π）．
【分析】用扇形的面积减去△ABC的面积再加上的面积再减去扇形的面积，因为是由△ABC旋转得到的，因此面积相等，最终阴影部分的面积就是扇形的面积减去扇形的面积即为所求．
【解析】解：扇形的面积是： ，
扇形的面积是： ，
∵是由△ABC旋转得到的，因此和△ABC面积相等．
则阴影部分的面积是： -﹣＝．
故答案为：2π．
【点睛】本题考查求阴影部分面积， 在求阴影部分的面积是常常采用割补法将其转化为规则图形的面积．
11．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕点O顺时针旋转，当点A第一次落在直线y＝x上时停止旋转，则边AB在旋转过程中所扫过的面积为_____．
【分析】由于S阴＝S△OAB+S扇形OBB′﹣S△OAA′﹣S扇形OAA，根据公式即可求解．
【解析】解：如图，
边AB在旋转过程中所扫过的面积＝S阴＝S△OAB+S扇形OBB′﹣S△OA'B′﹣S扇形OAA′
＝S扇形OBB′﹣S扇形OAA′
＝
＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，找准物体旋转路径并用割补法求面积是解题的关键．
12．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ的面积为___________
【分析】根据旋转可知三角形APQ为等边三角形，再证，根据线段长可知是直角三角形，即可求得面积．
【解析】解：如图，连接PQ，
由旋转可知AP=AQ，，
∴三角形APQ为等边三角形，
∴AP=PQ=AQ=6，
在等边三角形ABC中，AC=AB，，
∴，
在和中，
，
∴（SAS），
∴CP=BQ=10，
在中，BP=8，PQ=6，BQ=10，
∴是直角三角形，，
∵三角形APQ为等边三角形，AP =6，
∴等边三角形AP边上的高=，
∴，
∴四边形APBQ的面积=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质和全等三角形的判定和性质以及勾股定理的逆定理．根据题目中给的线段长度，联想到勾股数，利用全等将线段转化到同一个三角形中是解题关键．
13．如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连接AP，BP，CP，若AP=3，BP=4，CP=5，则S△ABP+S△BPC=______．
【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△BP'A，根据旋转的性质可得∠PBP′=∠CBA=60°，BP=BP′，可得△BPP′为等边三角形，可得BP′=BP=4=PP'，再由勾股定理的逆定理可得△APP′是直角三角形，由三角形的面积公式可求解．
【解析】解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△BP'A，连接PP′，
根据旋转的性质可知，
旋转角∠PBP′=∠CBA=60°，BP=BP′，
∴△BPP′为等边三角形，
∴BP′=BP=4=PP'；
过点P作PD⊥BP′于点D，
∴BD=BP′=2，
由勾股定理得PD=2，
∴S△BP'P=×BP'×PD=4；
由旋转的性质可知，AP′=PC=5，
在△BPP′中PP′=4，AP=3，
由勾股定理的逆定理得△APP′是直角三角形，
∴S△ABP+S△BPC=S四边形AP'BP=S△BP'P+S△AP'P=4+×PP'×AP=6+4，
故答案为：6+4．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，作辅助线构造出等边三角形和直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．
14．如图，在中，，，，以斜边上距离点的点为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转至，则旋转前后两个三角形重叠部分的面积是________．
【分析】过P作PM⊥AC于M，PN⊥DF于N，由以斜边BC上距离B点6cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，根据旋转的性质得∠KPH=90°，∠KGH=90°，得∠MPN=90°，易证Rt△PCM≌Rt△PFN，得到PM=PN，则四边形PMGN为正方形，Rt△PNK≌Rt△PMH，由PM∥AB，PM：AB=CP：CB，得到，于是．
【解析】过P作PM⊥AC于M，PN⊥DF于N．如图，
∵以斜边BC上距离B点6cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，∴∠KPH=90°，∠KGH=90°，
∴∠MPN=90°，
∴∠KPN=∠MPH．
∵PC=PF，∠C=∠F，
∴Rt△PCM≌Rt△PFN，
∴PM=PN，
∴四边形PMGN为正方形，Rt△PNK≌Rt△PMH，
∴S重叠部分=S正方形PMGN．
∵∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴BC=10，而PB=6，则PC=4．
又∵PM∥AB，
∴PM：AB=CP：CB，
∴，
∴（cm2）．
故答案为．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了正方形的判定与性质、三角形全等的判定与性质．
15．如图，一副三角板如图1放置，，顶点重合，将绕其顶点旋转，如图2，在旋转过程中，当，连接，，此时四边形的面积是________．
【分析】延长CE交AB于点F，先根据特殊直角三角形的性质和∠AED=75°，推出AB∥CD，从而可证四边形ABCD为平行四边形，再根据等腰直角三角形的性质求出EF长，则可求出CF长，最后计算平行四边形ABCD的面积即可．
【解析】解：如图2，延长CE交AB于点F，
∵，
∴，
又，
∴，
∴AB∥CD，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，即，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定和平行四边形面积的计算，先证出四边形ABCD是平行四边形是解题的关键．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AC的中点，将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转的过程中点D的对应点为点E，连接AE、BE，则△AEB面积的最小值是_______．
【分析】作于，如图，先利用勾股定理计算出，再利用面积法计算出，再根据旋转的性质得，然后利用点在线段上时，点到的距离最小，从而可计算出的面积的最小值．
【解析】解：作于，如图，
，，，
，
，
，
点是的中点，
，
将绕着点逆时针旋转，在旋转过程中点的对应点为点，
，即点在以为圆心，2为半径的圆上，
点在线段上时，点到的距离最小，
的面积的最大值为．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理．
三、解答题
17．如图，在直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转90°．
(1)画出旋转后的；
(2)写出点的坐标为______；
(3)线段AB在旋转过程中扫过的面积为______．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B1、C1，再依次连接即可；
（2）根据图像可得的坐标；
（3）先计算出AB，然后计算扇形的面积即可．
（1）
解：如图，△AB1C1为所作；
（2）
由图可知：B1的坐标为（-1，-1）；
（3）
∵AB=，∠BAB1=90°，
∴线段AB在旋转过程中扫过的面积==．
【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
18．如图中，，P是内一点，将绕点A逆时针旋转一定角度后能与重合，如果，那么的面积是多少？
【分析】根据旋转的定义及性质可得，利用全等三角形的性质，得到对应边、对应角相等，再利用等量代换，确定为等腰直角三角形，即可求出三角形面积．
【解析】解：∵绕点A逆时针旋转得到，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即：，
在中，
，
∴的面积为4.5．
【点睛】题目主要考查旋转的定义、性质，全等三角形的性质等知识点，解题的关键在于掌握旋转、全等的性质，可以熟练运用于题目当中．
19．已知：如图，等腰直角中，，点在上．将绕顶点沿顺时针方向旋转后得到．
(1)画出，并求出的度数；
(2)连接，若，时，求的面积．
【分析】（1）找出点绕点顺时针旋转的对应点，然后连接、即可，根据旋转的性质可得，，然后利用四边形的内角和等于求解即可；
（2）利用勾股定理列式求出，然后求出，过点作轴于，可判定为等腰直角三角形，利用勾股定理可求出、，再求出，再根据计算即可．
（1）
解：如图所示，
∵绕顶点沿顺时针方向旋转后得到，
∴，，
∵，
∴，
∴
．
∴的度数为．
（2）
∵，是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
过点作轴于，设，
∴，和为直角三角形，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，
在中，，
∴，
∵绕顶点沿顺时针方向旋转后得到，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴
．
∴的面积为．
【点睛】本题考查利用旋转变换作图，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，四边形的内角和，勾股定理，等腰三角形的判定，解一元二次方程，三角形的面积等知识．本题利用了等积变换求面积．理解和掌握旋转的性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理是解题的关键．
20．如图，正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、DC（或它们的延长线）于点M、N．
(1)如图1，求证：；
(2)当，时，求的面积；
(3)当绕点A旋转到如图2位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．
【分析】（1）将绕点逆时针旋转 得到，证明，即可得证；
（2）利用全等得出，用正方形的面积减去即可求出的面积；
（3）将绕点逆时针旋转 得到，证明，即可得证．
（1）
解：如图，将绕点逆时针旋转 得到，
则：，
∴
∵四边形为正方形，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴（SAS），
∴；
（2）
解：∵四边形为正方形，
∴，，
∵
∴，
∴，
∵
∴，
∴；
（3）
解：，理由如下：
如图，将绕点逆时针旋转 得到，连接，
则：，，
∴
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴（SAS），
∴，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质综合应用．熟练掌握旋转的性质，正方形的性质，利用旋转构造全等三角形是解题的关键．
21．如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
(1)观察猜想：图1中，请判断线段PM与PN的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=3，AB=7，请直接写出△PMN面积的最大值．
【分析】（1）利用三角形的中位线得出由可得出再根据三角形的中位线知得到
由从而得出即可得到结论．
（2）先判断出得出同（1）类似方法即可得出结论．
（3）先判断出BD最大时，的面积最大，而BD最大是即可得出结论．
（1）
理由：
∵点P，N是BC，CD的中点，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE，
∴PM=PN，
∴∠DPN=∠ADC，
∴∠DPM=∠DCA，
∵∠BAC=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，
故答案为：
（2）
△PMN是等腰直角三角形．
理由如下：
由旋转知，∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
利用三角形的中位线得，PN=BD，PM=CE，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
同（1）的方法得，PM∥CE，
∴∠DPM=∠DCE，
同（1）的方法得，PN∥BD，
∴∠PNC=∠DBC，
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC
=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC
=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠ABC=90°，
∴∠MPN=90°，
∴△PMN是等腰直角三角形；
（3）
把绕点A旋转到如图所示的位置时，
由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=BD，
∴PM最大时，△PMN面积最大，
∴点D在BA的延长线上，
∴BD=AB+AD=10，
∴PM=5，
∴S△PMN最大=PM2=×52=
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和质，属于几何变换综合题，熟练掌握这些性质和判定是解此题的关键．
22．如图1，在矩形ABCD中，AB＝，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F.
(1)在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°如图2所示，得到结论：
①的值为 ；
②直线AE与DF所夹锐角的度数为 ；
(2)小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；
(3)在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为 .
【分析】（1）通过证明△FBD∽△EBA，可得，∠BDF＝∠BAE，即可求解；
（2）通过证明△ABE∽△DBF，可得，∠BDF＝∠BAE，即可求解；
（3）分两种情况讨论，先求出AE，DG的长，即可求解．
(1)
解：如图1，∵∠ABD＝30°，∠DAB＝90°，EF⊥BA，
∴cos∠ABD＝，
如图2，设AB与DF交于点O，AE与DF交于点H，
∵△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，
∴∠DBF＝∠ABE＝90°，
∴△FBD∽△EBA，
∴，∠BDF＝∠BAE，
又∵∠DOB＝∠AOF，
∴∠DBA＝∠AHD＝30°，
∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°，
故答案为：，30°；
(2)
结论仍然成立，
理由如下：如图3，设AE与BD交于点O，AE与DF交于点H，
∵将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，
∴∠ABE＝∠DBF，
又∵，
∴△ABE∽△DBF，
∴，∠BDF＝∠BAE，
又∵∠DOH＝∠AOB，
∴∠ABD＝∠AHD＝30°，
∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°．
(3)
如图4，当点E在AB的上方时，过点D作DG⊥AE于G，
∵AB＝4，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，∠DAB＝90°，
∴BE＝2，AD＝4，DB＝8，
∵∠EBF＝30°，EF⊥BE，
∴EF＝2，
∵D、E、F三点共线，
∴∠DEB＝∠BEF＝90°，
∴DE＝，
∵∠DEA＝30°，
∴DG＝DE＝，
由（2）可得：，
∴，
∴AE＝，
∴△ADE的面积＝AE×DG＝×（）×＝；
如图5，当点E在AB的下方时，过点D作DG⊥AE，交EA的延长线于G，
同理可求：△ADE的面积＝×AE×DG＝×（）×＝；
故答案为：或．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用分情况讨论思想解决问题是解题的关键.
23．已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．
(1)如图1，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时，易证S△DEF＋S△CEF与S△ABC的数量关系为__________；
(2)如图2，当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；
(3)如图3，这种情况下，请猜想S△DEF、S△CEF、S△ABC的数量关系，不需证明．
【分析】（1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形，边长是AC的一半，即可得出结论；
（2）过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，则∠DME=∠DNF=∠MDN=90°，证明△DME≌△DNF（ASA），得出S△DME=S△DNF，即可得出结论；
（3）同（2）得：△DEC≌△DBF，得出S△DEF=S五边形DBFEC=S△CFE+S△DBC=S△CFE+S△ABC．
（1）
当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形．
设△ABC的边长AC=BC=a，则正方形CEDF的边长为a．
∴S△ABC=a2，S正方形DECF=（a）2=a2
即S△DEF+S△CEF=S△ABC；
故答案为：S△DEF+S△CEF=S△ABC；
（2）
（1）中的结论成立；
证明：过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，则∠DME=∠DNF=∠MDN=90°，
又∵∠C=90°，
∴DM∥BC，DN∥AC，
∵D为AB边的中点，
由中位线定理可知：DN=AC，MD=BC，
∵AC=BC，
∴MD=ND，
∵∠EDF=90°，
∴∠MDE+∠EDN=90°，∠NDF+∠EDN=90°，
∴∠MDE=∠NDF，
在△DME与△DNF中，
，
∴△DME≌△DNF（ASA），
∴S△DME=S△DNF，
∴S四边形DMCN=S四边形DECF=S△DEF+S△CEF，
由以上可知S四边形DMCN=S△ABC，
∴S△DEF+S△CEF=S△ABC．
（3）
连接DC，
证明：同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE=∠DBF=135°，
∴S△DEF=S五边形DBFEC，
=S△CFE+S△DBC，
=S△CFE+，
∴S△DEF-S△CFE=．
故S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF-S△CEF=S△ABC．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了平行线的判定和性质，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、图形面积的求法；证明三角形全等是解决问题的关键．
24．如图，在菱形中，，，过点作于点，于点．
如图，连接分别交、于点、，求证：；
如图，将以点为旋转中心旋转，其两边、分别与直线、相交于点、，连接，当的面积等于时，求旋转角的大小并指明旋转方向．
【分析】（1）连接BD，证明△ABD为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到AE＝EB，根据相似三角形的性质解答即可；
（2）分∠EDF顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，根据旋转变换的性质解答即可．
【解析】如图，连接，
交于，
在菱形中，，，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
同理，，
∴；
∵，，
∴，又，
∴，
当顺时针旋转时，
由旋转的性质可知，，，
，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴的面积，
解得，，
则，
∴，
∴当顺时针旋转时，的面积等于，
同理可得，当逆时针旋转时，的面积也等于，
综上所述，将以点为旋转中心，顺时针或逆时针旋转时，的面积等于．
【点睛】本题考查的是菱形的性质和旋转变换，掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等是解题的关键．
25．（1）[问题提出]如图1，为的直径，点C为上一点，连接，若，则面积的最大值为　．
（2）[问题探究]如图2，在四边形中，，，点分别在边上．且，若，求的长；
（3）[问题解决]为进一步落实国家“双减”政策，丰富学生的校园生活，某校计划为同学们开设实践探究课.按规划要求，需设计一个正方形的研学基地，如图3．点分别在正方形的边上，将区域修建为种植采摘区，基地内其余部分为研学探究区，的长为40m，．为了让更多的学生能够同时进行种植，要求种植采摘区（）的面积尽可能大，则种植采摘区的面积的最大值为_______m2，此时正方形的边长为_______m．
【分析】（1）连接，过点作，由题意可得：，即可求解；
（2）将绕点顺时针旋转得到，通过旋转的性质得到，即可求解；
（3）将绕点顺时针旋转得到，可得，由（1）可得，当垂直平分时，面积最大，即可求解．
【解析】（1）如图1中，连接，过点作于点．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的最大值为3，此时垂直平分，
∴的面积的最大值为．
（2）将绕点顺时针旋转得到．
则，
∵，
∴，
∴共线，
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）将绕点顺时针旋转得到，如下图：
则，，，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
由（1）可得，当垂直平分时，最大，此时面积也最大，
则，
设，则，
由勾股定理可得：，
即，解得，（负值舍去），
，
故答案为：；
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，圆的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，作辅助线构造出全等三角形．
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中考数学复习专题－旋转
（面积问题）
一、选择题
1．将直角边长为的等腰直角绕点逆时针旋转后得到△，则图中阴影部分的面积 ( )
A． B． C． D．
2．如图是某公司设计的一款酒杯的设计平面图，为求出酒杯平面图中的杯子这部分面积，小明找到了设计图纸上的部分数据：是抛物线与轴交于点A、B时的轴上方的部分，且点，将绕点B旋转得，与轴交于另一点C，将绕点C旋转得，且，则图中阴影部分的面积为 （ ）
A．24 B． C．28 D．32
3．O为线段AB上一动点，且AB=2，绕O点将AB旋转半周，则线段AB所扫过的面积的最小值为 （ ）
A．4π B．3π C．2π D．π
4．如图，P是等边三角形ABC内一点，将△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，若PA＝2，PB＝4，，则四边形APBQ的面积为 （ ）
A． B． C． D．
5．如图，在正方形ABCD中，点O为对角线的交点，点P为正方形外一点，且满足∠BPC＝90°，连接PO．若PO＝4，则四边形OBPC的面积为 （　　）
A．6 B．8 C．10 D．16
6．如图，两个边长都为2的正方形ABCD和OPQR，如果O点正好是正方形ABCD的中心，而正方形OPQR可以绕O点旋转，那么它们重叠部分的面积为 ( )
A．4 B．2 C．1 D．
7．如图（1），有两全等的正三角形，，且，A分别为，的重心.固定点，将逆时针旋转，使得A落在上，如图（2）所示.则图（1）与图（2）中，两个三角形重叠区域的面积比为 （ ）
A．2：1 B．3：2 C．4：3 D．5：4
8．将反比例函数y＝的图象绕坐标原点O逆时针旋转30°，得到如图的新曲线A（﹣3，3），B（，）的直线相交于点C、D，则△OCD的面积为 （　　）
A．3 B．8 C．2 D．
9．一副三角板按图1所示的位置摆放，将△DEF绕点A(F)逆时针旋转60°后(图2)，测得CG＝10cm，则两个三角形重叠(阴影)部分的面积为 ( )
A．75cm2； B．（25＋25)cm2；
C．(25＋)cm2； D．(25＋)cm2
二、填空题
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°.把△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到，若AB＝4，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是_____（结果保留π）．
11．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕点O顺时针旋转，当点A第一次落在直线y＝x上时停止旋转，则边AB在旋转过程中所扫过的面积为_____．
12．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ的面积为___________
13．如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连接AP，BP，CP，若AP=3，BP=4，CP=5，则S△ABP+S△BPC=______．
14．如图，在中，，，，以斜边上距离点的点为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转至，则旋转前后两个三角形重叠部分的面积是________．
15．如图，一副三角板如图1放置，，顶点重合，将绕其顶点旋转，如图2，在旋转过程中，当，连接，，此时四边形的面积是________．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AC的中点，将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转的过程中点D的对应点为点E，连接AE、BE，则△AEB面积的最小值是_______．
三、解答题
17．如图，在直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转90°．
(1)画出旋转后的；
(2)写出点的坐标为______；
(3)线段AB在旋转过程中扫过的面积为______．
18．如图中，，P是内一点，将绕点A逆时针旋转一定角度后能与重合，如果，那么的面积是多少？
19．已知：如图，等腰直角中，，点在上．将绕顶点沿顺时针方向旋转后得到．
(1)画出，并求出的度数；
(2)连接，若，时，求的面积．
20．如图，正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、DC（或它们的延长线）于点M、N．
(1)如图1，求证：；
(2)当，时，求的面积；
(3)当绕点A旋转到如图2位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．
21．如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
(1)观察猜想：图1中，请判断线段PM与PN的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=3，AB=7，请直接写出△PMN面积的最大值．
22．如图1，在矩形ABCD中，AB＝，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F.
(1)在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°如图2所示，得到结论：
①的值为 ；
②直线AE与DF所夹锐角的度数为 ；
(2)小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；
(3)在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为 .
23．已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．
(1)如图1，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时，易证S△DEF＋S△CEF与S△ABC的数量关系为__________；
(2)如图2，当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；
(3)如图3，这种情况下，请猜想S△DEF、S△CEF、S△ABC的数量关系，不需证明．
24．如图，在菱形中，，，过点作于点，于点．
如图，连接分别交、于点、，求证：；
如图，将以点为旋转中心旋转，其两边、分别与直线、相交于点、，连接，当的面积等于时，求旋转角的大小并指明旋转方向．
25．（1）[问题提出]如图1，为的直径，点C为上一点，连接，若，则面积的最大值为　．
（2）[问题探究]如图2，在四边形中，，，点分别在边上．且，若，求的长；
（3）[问题解决]为进一步落实国家“双减”政策，丰富学生的校园生活，某校计划为同学们开设实践探究课.按规划要求，需设计一个正方形的研学基地，如图3．点分别在正方形的边上，将区域修建为种植采摘区，基地内其余部分为研学探究区，的长为40m，．为了让更多的学生能够同时进行种植，要求种植采摘区（）的面积尽可能大，则种植采摘区的面积的最大值为_______m2，此时正方形的边长为_______m．
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