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中考数学复习专题－旋转
（绕某点旋转）
一、选择题
1．平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，将绕原点按逆时针方向旋转得，则点B的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
2．如图，点P(1，4)绕着原点顺时针方向旋转90度后得到像点Q，则点Q的坐标是 （　　）
A．（1，-4） B．（-1，4） C．（4，-1） D．（-4，1）
3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC中点A的坐标是(3，4)，把△ABC绕原点O逆时针旋转得到，则点A′的坐标为 （ ）
A．(4，－3) B．(－4，3) C．(－3，4) D．(－3，－4)
4．如图，在平面直角坐标系中，A（0，），B（6，0），点P 为线段AB的中点，将线段AB绕点O逆时针旋转90°后点P的对应点P/的坐标是 （ ）
A．（－3，） B．（，3） C．（，－3） D．（－1，）
5．在平面直角坐标系中，点，连接得到线段，现将线段绕点A旋转，点B的对应点为，则点的坐标为 （ ）．
A． B． C．或 D．或
6．如图，点A的坐标是(-2,0)，点B的坐标是(0,6)，C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到．若反比例函数的图象恰好经过的中点D，则k的值是 （　　）
A．9 B．12 C．15 D．18
7．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，点D（3，2）在边AB上，以C为中心，将△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是 （ ）
A．（1，6） B．（-1，0）
C．（1，6）或（-1，0） D．（6，1）或（-1，0）
8．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角△OAB位置如图，∠OBA=90°，点B的坐标为（1，0），每一次将△OAB绕点O逆时针旋转90°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转得到△OA1B1，第二次旋转得到△OA2B2，…，以此类推，则点A2022的坐标是 （ ）
A．(22022，22022) B．(-22021，22021) C．(22021，-22021) D．(-22022，-22022)
二、填空题
9．如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是，现将△ABC绕A点按逆时针方向旋转，则旋转后点C对应点的坐标是___________．
10．如图，直线与轴轴分别交于，两点，把绕点逆时针旋转后得到，则点的坐标是______.
11．如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△A′B′C′，则图中阴影部分图形的面积为_________．（结果保留π）．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A和B的坐标分别为（2，0），（0，-4），若将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，则点C的坐标为______．
13．如图所示的平面直角坐标系中，△是由△ABC绕点P顺时针旋转90°得到的，则点P的坐标是__________．
14．如图，ΔABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是（-1，0），现将ΔABC绕A点逆时针旋转90°，再向右平移一个单位后点C的对应点C＇的坐标是__________．
15．如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形绕原点O逆时针旋转，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点的坐标为___________．
16．如图，把正方形铁OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第—次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……，则正方形铁片连续旋转2022次，点P的坐标变为______．
三、解答题
17．如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，在给出的平面直角坐标系中：
(1)作出绕点顺时针旋转后得到的；并直接写出的坐标；
(2)作出关于原点成中心对称的；并直接写出的坐标
18．已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
(1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标；
(2)画出将绕点C1按顺时针旋转所得的．并写出点的坐标为___________．
(3)在y轴上有点P，使最小，直接写出P点坐标为 ；的最小值为___________．
19．实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为，．
(1)画出绕点B顺时针旋转90°后的；
(2)点M是的中点，在（1）的条件下，M的对应点的坐标为_______．
(3)以点B为位似中心，相似比为2:1，在x轴的上方画出放大后的．
20．如图，直线交轴于，交轴于
(1)直线关于轴对称的直线解析式为　　；
(2)直线绕原点旋转180度后的直线解析式为　　；
(3)将直线绕点顺时针方向旋转90度，求旋转后的直线解析式．
21．图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，反比例函数的图象经过点C．
(1)求出点C的坐标；
(2)求出反比例函数的解析式．
22．如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB=1，tan∠ABO=3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y=-x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．
(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
(2)过定点Q(1，3)的直线l：y=kx-k+3与二次函数的图象相交于M，N两点．
①若S△PMN=2，求k的值；
②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；
③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出抛物线的表达式．
23．某学生合作学习小组在探究旋转、平移变换．如图△ABC为等腰直角三角形，各顶点坐标分别为A（1，1），B（2，1），C（2，2）．
(1)他们将△ABC绕原点按顺时针方向旋转90°得到．请写出点的坐标；
(2)如果抛物线恰好经过（1）中得到的中的两个顶点，请求出符合条件的抛物线解析式；
(3)他们继续探究，发现将△ABC绕某个点旋转45°，若旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线上，则可求出旋转后三角形的直角顶点P的坐标，请你直接写出点P的所有坐标．
24．在平面直角坐标系中，为原点，点 ，点 ，把绕点逆时针旋转，得 ；点旋转后的对应点为，记旋转角为．
(1)如图①，若，则点的坐标为 ，点的坐标为 ， 的长为 ；
(2)如图②．若，求点的坐标；
(3)在（2）条件下在平面直角坐标系有一点，使 四个点构成的四边形是平行四边形，请你直接写出点的坐标．
25．如图1，点P(m，n)在一次函数y＝﹣x的图象上，将点P绕点A(﹣，﹣)逆时针旋转45°，旋转后的对应点为P′．
（1）当m＝0时，求点P′的坐标；
（2）试说明：不论m为何值，点P′的纵坐标始终不变；
（3）如图2，过点P作x轴的垂线交直线AP′于点B，若直线PB与二次函数y＝﹣x2﹣x+2的图象交于点Q，当m＞0时，试判断点B是否一定在点Q的上方，请说明理由．
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中考数学复习专题－旋转
（绕某点旋转）
一、选择题
1．平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，将绕原点按逆时针方向旋转得，则点B的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
【分析】先根据旋转的性质作图，利用图象则可求得点B的坐标．
【解析】过点B作轴于点C，过点B作轴于点F，
∵点A的坐标为，将绕原点按逆时针方向旋转得，
∴，，
∴点B的坐标为：．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是运用数形结合思想得出的长．图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
2．如图，点P(1，4)绕着原点顺时针方向旋转90度后得到像点Q，则点Q的坐标是（　　）
A．（1，-4） B．（-1，4） C．（4，-1） D．（-4，1）
【分析】根据旋转的方法，作图即可确定旋转以后点的坐标．
【解析】解：P点的坐标为（1，4），根据旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图，
从而得Q点坐标为（4，-1）．
故选：C．
【点睛】本题涉及图形变换，旋转，应抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度，通过画图求解．
3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC中点A的坐标是(3，4)，把△ABC绕原点O逆时针旋转得到，则点A′的坐标为 （ ）
A．(4，－3) B．(－4，3) C．(－3，4) D．(－3，－4)
【分析】连接，，过点A作AE⊥x轴于E，过点作轴于，根据旋转的性质可得，利用同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明△AOE和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后写出点的坐标即可．
【解析】解：如图，连接，，过点A作AE⊥x轴于E，过点作轴于，则，
∵点A的坐标是(3，4)，
∴．
∵OA绕坐标原点O逆时针旋转至，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴点的坐标为（ 4，3）．
故选：B
【点睛】本题考查了坐标与图形变化 旋转，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，A（0，），B（6，0），点P 为线段AB的中点，将线段AB绕点O逆时针旋转90°后点P的对应点P/的坐标是 （ ）
A．（－3，） B．（，3） C．（，－3） D．（－1，）
【分析】根据旋转的性质可得到A’和B’的坐标，再根据A’和B’的坐标求得其中点P’的坐标即可.
【解析】解：将线段AB旋转之后得到的线段为A’ B’，
由旋转的性质可得A’（-2，0） B’（0，6）
此时P’是线段为A’ B’的中点，
∴点P′的坐标为（）即（，3）．
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化——旋转：旋转不改变图形的形状和大小，根据旋转角度求出旋转之后的坐标即可．
5．在平面直角坐标系中，点，连接得到线段，现将线段绕点A旋转，点B的对应点为，则点的坐标为 （ ）．
A． B． C．或 D．或
【分析】由于题目没有说明顺时针旋转还是逆时针旋转，故需要分情况讨论．
【解析】解：当绕点A逆时针旋转时，
此时过点作轴于点D，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当绕点A顺时针旋转时，
过点作轴于点E，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质、两点间的距离和全等三角形的判定和性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
6．如图，点A的坐标是(-2,0)，点B的坐标是(0,6)，C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到．若反比例函数的图象恰好经过的中点D，则k的值是 （　　）
A．9 B．12 C．15 D．18
【分析】作轴于证明≌，推出，，求出点坐标，再利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题．
【解析】解：作轴于．
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵点的坐标是，点的坐标是，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
7．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，点D（3，2）在边AB上，以C为中心，将△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是 （ ）
A．（1，6） B．（-1，0）
C．（1，6）或（-1，0） D．（6，1）或（-1，0）
【分析】根据题意，分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，求出点D′到x轴、y轴的距离，即可判断出旋转后点D的对应点D′的坐标．
【解析】解：因为点D（3，2）在边AB上，
所以AB=BC=3，BD=3-2=1，
（1）若把△CDB顺时针旋转90°，
则点D′在x轴上，OD′=1，
所以D′（-1，0）；
（2）若把△CDB逆时针旋转90°，
则点D′到x轴的距离为6，到y轴的距离为1，
所以D′（1，6），
综上，旋转后点D的对应点D′的坐标为（-1，0）或（1，6），
故选：C．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，考查了分类讨论思想的应用，解答此题的关键是要注意分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况．
8．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角△OAB位置如图，∠OBA=90°，点B的坐标为（1，0），每一次将△OAB绕点O逆时针旋转90°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转得到△OA1B1，第二次旋转得到△OA2B2，…，以此类推，则点A2022的坐标是 （ ）
A．(22022，22022) B．(-22021，22021) C．(22021，-22021) D．(-22022，-22022)
【分析】△AOB是等腰直角三角形，OA=1，根据等腰直角三角形的性质，可得点A(1，1)逆时针旋转90°后可得，同理，依次类推可求得，，，这些点所位于的象限为每4次一循环，根据规律即可求出A2022的坐标．
【解析】∵是等腰直角三角形，点B的坐标为（1，0），
∴，
∴A点坐标为(1，1)．
将绕原点逆时针旋转得到等腰直角三角形，且，
再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，
依此规律，
∴点A旋转后的点所位于的象限为每4次一循环，
即，，，．
∵，
∴点与同在一个象限内．
∵，，，
∴点．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形在平面直角坐标系中旋转的规律问题，熟练掌握等腰直角三角形的性质并能够在坐标系中找到点的坐标的变化规律是解题的关键．
二、填空题
9．如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是，现将△ABC绕A点按逆时针方向旋转，则旋转后点C对应点的坐标是___________．
【分析】根据图形在坐标中的旋转步骤，对线段AB、AC先逆时针旋转，然后连接BC即可得出旋转后的图形，直接读出点的坐标即可．
【解析】解：如图所示，逆时针旋转后的图形如图，
根据图像可得：点C的坐标为：，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查图形在坐标系中的旋转，掌握图形旋转步骤是解题关键．
10．如图，直线与轴轴分别交于，两点，把绕点逆时针旋转后得到，则点的坐标是______.
【分析】过点作轴于点，根据题意求出B、A的坐标，然后证明和全等，根据对应边相等进行代换进而求出答案即可.
【解析】解：如图，过点作轴于点，
，当时，；
当时，，，；
，
，
由旋转的性质知，，
轴，
，
又
在和中
，
点在第二象限内
点的坐标是.
故答案为：.
【点睛】本题考查的旋转和全等的知识点，解题关键在于把握题干知识点证明全等之后进行代换即可.
11．如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△A′B′C′，则图中阴影部分图形的面积为_________．（结果保留π）．
【解析】试题解析：根据旋转的性质和勾股定理得到：A′B2=AB2=22+32=13．
S阴影=×2×3=．
考点：1.扇形面积的计算；2.旋转的性质．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A和B的坐标分别为（2，0），（0，-4），若将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，则点C的坐标为______．
【分析】如图，过点C作CH⊥x轴于H．证明△AOB≌△CHA（AAS），推出CH＝OA＝2，AH＝OB＝4，可得结论．
【解析】解：如图，过点C作CH⊥x轴于H．
∵A（2，0），B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，
∵∠AHC＝∠AOB＝∠BCA＝90°，
∴∠CAH＋∠BAO＝90°，∠ABO＋∠BAO＝90°，
∴∠CAH＝∠ABO，
在△AOB和△CHA中，
，
∴△AOB≌△CHA（AAS），
∴CH＝OA＝2，AH＝OB＝4，
∴OH＝AH OA＝2，
∴C（ 2，2）．
故答案为：（ 2，2）．
【点睛】本题考查坐标与图形变化 旋转，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
13．如图所示的平面直角坐标系中，△是由△ABC绕点P顺时针旋转90°得到的，则点P的坐标是__________．
【分析】根据对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心作图求解即可．
【解析】解：如图，点P即为所求，P（1，0）．
故答案为：（1，0）．
【点睛】本题考查坐标与图形变化 旋转变换，解题的关键是理解对应点连线的垂直平分线的交点是旋转中心．
14．如图，ΔABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是（-1，0），现将ΔABC绕A点逆时针旋转90°，再向右平移一个单位后点C的对应点C＇的坐标是__________．
【分析】利用旋转变换的性质画出图形，观察图形即可得结论．
【解析】ΔABC绕A点逆时针旋转90°后的图像如图：
观察图象，可知对应的点坐标为（-2，3），
∴（-2，3）再向右平移一个单位后点C的对应点C＇的坐标是
故答案是：．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转、平移，解题的关键是画出旋转后的图形，属于中考常考题型．
15．如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形绕原点O逆时针旋转，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点的坐标为___________．
【分析】连接OB，由题意可得∠=75°，可得出∠=30°，可求出的坐标，即可得出点的坐标．
【解析】解：如图：连接OB，，作⊥y轴
∵是正方形，OA=2
∴∠COB=45°，OB=
∵绕原点O逆时针旋转
∴∠=75°
∴∠=30°
∵=OB=
∴，
∴
∵沿y轴方向向上平移1个单位长度
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握网格结构，准确确定出对应点的位置是解题的关键．
16．如图，把正方形铁OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第—次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……，则正方形铁片连续旋转2022次，点P的坐标变为______．
【分析】首先求出P1 P5的坐标，探究规律后，再利用规律解决问题．
【解析】解：第一次P1 (2，1)，
第二次P2(4，1)，
第三次P3(7，2)，
第四次P4(11，2)，
第五次P5(14，1)，
……
发现点P的位置4次一个循环
∵2022÷4＝505……2
∴P2022的纵坐标与P2相同为1，横坐标为4+4×3×505＝6064
∴P2022 (6064，1)
故答案为：(6064，1)．
【点睛】本题考查坐标规律问题，由前面几个点的坐标寻找出规律是解题的关键．
三、解答题
17．如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，在给出的平面直角坐标系中：
(1)作出绕点顺时针旋转后得到的；并直接写出的坐标；
(2)作出关于原点成中心对称的；并直接写出的坐标
【分析】（1）绕点顺时针旋转，则，，连接，即可得到所求图形，并得到的坐标；
（2）关于原点成中心对称的，则点，，与点，，的坐标关系是横纵坐标变为原来的相反数，由此即可求解．
【解析】（1）解：绕点顺时针旋转，如图所示，
∴点．
（2）解：根据关于原点成中心对称的，作图如下，
原因原点的中心对称，则点，，与点，，的坐标关系是横纵坐标变为原来的相反数，
∴，，，
∴．
【点睛】本题主要考查图形在平面直角坐标系中的变换，解题的关键是点的坐标．
18．已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
(1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标；
(2)画出将绕点C1按顺时针旋转所得的．并写出点的坐标为___________．
(3)在y轴上有点P，使最小，直接写出P点坐标为 ；的最小值为___________．
【分析】（1）分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得出答案．
（2）分别作出点，绕点按顺时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可得出答案；
（3）作点C关于y轴的对称点D，连接交y轴于点P，此时的值最小，最小值为的长，根据轴对称的性质可得点，求出线段，直线的解析式，即可求解．
【解析】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为．
（2）解：如图，即为所求．．
（3）解：如图，作点C关于y轴的对称点D，连接交y轴于点P，此时的值最小，最小值为的长，
∵点，
∴点，
∴；
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
此时点P的坐标为．
故答案为：，
【点睛】本题主要考查了图形的轴对称变换，旋转变换，求一次函数的解析式，正确得出对应点的位置是解题的关键．
19．实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为，．
(1)画出绕点B顺时针旋转90°后的；
(2)点M是的中点，在（1）的条件下，M的对应点的坐标为_______．
(3)以点B为位似中心，相似比为2:1，在x轴的上方画出放大后的．
【分析】（1）找到O，A绕点B顺时针旋转90°后的对应点，顺次连接，则即为所求；
（2）点M是OA的中点，在（1）的条件下，即可得到点M的对应点的坐标；
（3）延长至，至，使得，，连接，则即为所求．
（1）
如图，找到O，A绕点B顺时针旋转90°后的对应点，顺次连接B，则即为所求；
（2）
由题意得，点M与点乙在图上标出，
由图可知，，
∵点M是的中点，
∴经过旋转点也是的中点，
∴，
∴，
故答案为：．
（3）
如图，延长至，至，使得，，连接，则即为所求．
【点睛】本题考查了画旋转图形，在平面直角坐标系中画位似图形，掌握旋转的性质和位似图形的性质是解题的关键．
20．如图，直线交轴于，交轴于
(1)直线关于轴对称的直线解析式为　　；
(2)直线绕原点旋转180度后的直线解析式为　　；
(3)将直线绕点顺时针方向旋转90度，求旋转后的直线解析式．
【分析】（1）先根据关于y轴对称确定两个坐标，然后运用待定系数法求解；
（2）根据关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数求确定两个点的坐标，然后利用待定系数法求解；
（3）点A、B对应点D、E的坐标，再利用待定系数法求解即可．
【解析】（1）解：由题意得：，
∵关于y轴对称，则此直线过点和，
设函数解析式为：，
∴，
解得，
∴函数解析式为：；
故答案为：；
（2）解：∵关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数，
∴可得函数解析式过点和，
同理可得函数解析式为：，
故答案为：；
（3）解：点A、B绕点顺时针方向旋转90度的对应点分别为D、E，
过点E作轴于点F，如图，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
函数解析式过点和，
同理可得函数解析式为：．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，关键是掌握几种对称的特点．
21．图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，反比例函数的图象经过点C．
(1)求出点C的坐标；
(2)求出反比例函数的解析式．
【分析】（1）过点C作CD⊥x轴，根据三角形全等的判定和性质，可求C（3，1）；
（2）把C的坐标代入求得k即可．
（1）
解：∵A（1，0），B（0，2），
∴OA＝1，OB＝2，
过点C作CD⊥x轴，
∵线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴△ABO≌△CAD（AAS），
∴AD＝OB＝2，CD＝OA＝1，
∴，
∴C（3，1），
（2）
∵反比例函数的图象经过点C，
∴k＝3×1＝3，
∴反比例函数的解析式（x＞0）．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，坐标与图形的变化 性质，反比例函数图象上点的坐标特征，求得C的坐标是解题的关键．
22．如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB=1，tan∠ABO=3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y=-x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．
(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
(2)过定点Q(1，3)的直线l：y=kx-k+3与二次函数的图象相交于M，N两点．
①若S△PMN=2，求k的值；
②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；
③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出抛物线的表达式．
【分析】(1)根据正切的定义求出OA，根据旋转变换的性质求出OC，利用待定系数法求出二次函数的解析式，利用配方法把一般式化为顶点式，求出顶点P的坐标；
(2)(①根据题意求出PQ=1，根据三角形的面积公式得到x2 x1=4，根据一元二次方程根与系数的关系解答即可；②根据正切的定义得到tan∠PME=1 x1，，进而证明∠PME=∠FPN，据此证明结论；③用k表示出MN的中点坐标，计算即可．
（1）
解：∵OB=1，tan∠ABO=3，
∴OA=OB tan∠ABO=3，
∴A(0,3)，
根据旋转的性质可得：OC=OA=3，
∴C(3,0)，
把A(0,3)、C(3,0)分别代入解析，得
，
解得：，
∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+3，
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，
∴顶点坐标为P(1,4)；
（2）
解：①设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∵直线l：y=kx-k+3过定点Q(1,3)，抛物线的顶点坐标为P(1,4)，
∴PQ=1，
∴，
∴x2-x1=4，
联立y=-x2+2x+3与y=kx-k+3可得x2+(k-2)x-k=0，
∴x1+x2=2-k，x1 x2=-k，
∴(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=k2+4=16，
∴；
②证明：过点P作PG⊥x轴，垂足为G，分别过点M，N作PG的垂线，垂足分别为E、F，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
∵M，N在二次函数y=-x2+2x+3图象上，
∴y1=-x12+2x1+3，y2=-x22+2x2+3．
∵P(1,4)，
∴PE=4-y1=4+x12-2x1-3=(x1-1)2，ME=1-x1，PF=4-y2=4+x22-2x2-3=(x2-1)2，NF=x2-1，
∴，
，
由①可知x1+x2=2-k，x1x2=-k，
∴x1+x2=2+x1x2，
∴(1-x1)(x2-1)=1，
∴，
∴tan∠PME=tan∠FPN，
∴∠PME=∠FPN，
∵∠PME+∠MPE=90°，
∴∠FPN+∠MPE=90°，即∠MPN=90°，
∴无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；
③解：设线段MN的中点(x,y)，
由②可得MN的中点为，
∴，
化简，得y=-2x2+4x+1，
∴抛物线的表达式为y=-2x2+4x+1．
【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式、旋转的性质、直角三角形的判定、正切的概念、一元二次方程根与系数的关系，灵活运用二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
23．某学生合作学习小组在探究旋转、平移变换．如图△ABC为等腰直角三角形，各顶点坐标分别为A（1，1），B（2，1），C（2，2）．
(1)他们将△ABC绕原点按顺时针方向旋转90°得到．请写出点的坐标；
(2)如果抛物线恰好经过（1）中得到的中的两个顶点，请求出符合条件的抛物线解析式；
(3)他们继续探究，发现将△ABC绕某个点旋转45°，若旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线上，则可求出旋转后三角形的直角顶点P的坐标，请你直接写出点P的所有坐标．
【分析】（1）将△ABC绕原点按顺时针方向旋转90°得到，画出图形，根据坐标系即可求解；
（2）①若过，将代入，②若过，将代入，待定系数法求解析式即可求解；
（3）分顺时针旋转，与逆时针旋转，每种情形又分三种情形讨论，画出图形，根据不同的点落在抛物线时，逐个分析，求得点的坐标．
（1）
如图，
∴；
（2）
①若过，将代入得：
∴，
∴
②若过，将代入得：
∴，
∴
综上，符合条件的抛物线解析式有：
（3）
在旋转过程中，可能有以下情形：
①顺时针旋转，点A、C落在抛物线上，如答图1所示：
则轴，设交轴于点，
∴,
∵,
,
∴点P坐标为；
②顺时针旋转，点B、C落在抛物线上，如答图2所示：
设点的横坐标分别为．
易知此时与一、三象限角平分线平行，
∴设直线的解析式为，
联立与得：，即，
∴．
∵，∴根据题意易得：，
∴，即
∴，解得．
∴，解得或．
∵点的横坐标较小，∴．
当时，，
∴；
③顺时针旋转，点、A落在抛物线上，如答图3所示：
设点的横坐标分别为．
易知此时与二、四象限角平分线平行，∴设直线的解析式为，
联立与得：，即，
∴．
∵，∴根据题意易得：，
∴，即
∴，解得．
∴，解得或．
∵点的横坐标较大，∴．
当时．，
∴；
④逆时针旋转，点、落在抛物线上．
因为逆时针旋转后，直线与y轴平行，因此，与抛物线最多只能有一个交点，故此种情形不存在；
⑤逆时针旋转，点B、落在抛物线上，如答图4所示：
与③同理，可求得：；
⑥逆时针旋转，点、A落在抛物线上，如答图5所示：
与②同理，可求得：．
综上所述，点P的坐标为：或或或．
【点睛】本题考查了旋转变换与二次函数的综合题型，难度较大．第（3）问是本题难点所在，解题关键是：第一，旋转方向有两种可能，落在抛物线上的点有三种可能，因此共有六种可能的情形，需要分类讨论；第二，针对每一种可能的情形，按照旋转方向与旋转角度，确定图形形状并进行计算．
24．在平面直角坐标系中，为原点，点 ，点 ，把绕点逆时针旋转，得 ；点旋转后的对应点为，记旋转角为．
(1)如图①，若，则点的坐标为 ，点的坐标为 ， 的长为 ；
(2)如图②．若，求点的坐标；
(3)在（2）条件下在平面直角坐标系有一点，使 四个点构成的四边形是平行四边形，请你直接写出点的坐标．
【分析】（1）由旋转的性质确定分别到坐标轴的距离，配合所在的象限写出坐标；然后根据两点间的距离公式求出 的长度即可；
（2）作 轴、，构造矩形和，然后分别求出 的长度，从而得出结果；
（3）通过线段的平移求解即可；
【解析】（1）解：
由旋转的性质可知：
， ，
到 轴的距离为：
（2）解：作 轴、 如图：
则四边形为矩形
由旋转的性质可知：
在中
∴点的坐标为
（3）解：将线段 沿方向平移，使点 移动到点 ；设点 平移后的对应点为
∵
四边形为平行四边形；
此时 的横坐标为： ；纵坐标为：
∴的坐标为
同理：将线段沿方向平移，可得
将线段 沿方向平移，可得：
综上：，，
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中图形的旋转变换、两点间的距离公式、平行四边形的性质；综合运用旋转的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
25．如图1，点P(m，n)在一次函数y＝﹣x的图象上，将点P绕点A(﹣，﹣)逆时针旋转45°，旋转后的对应点为P′．
（1）当m＝0时，求点P′的坐标；
（2）试说明：不论m为何值，点P′的纵坐标始终不变；
（3）如图2，过点P作x轴的垂线交直线AP′于点B，若直线PB与二次函数y＝﹣x2﹣x+2的图象交于点Q，当m＞0时，试判断点B是否一定在点Q的上方，请说明理由．
【分析】（1）当m＝0时，点P（0，0），而点A的坐标为（﹣，﹣），则点A在直线y＝x上且PA＝2，进而求解；
（2）点A的坐标为（﹣，﹣），故点A在直线y＝x上，则点P′A∥y轴，即可求解；
（3）求出直线AB的函数关系式为：y＝x+﹣，再求出点P、Q的坐标，即可求解．
【解析】（1）当m＝0时，点P（0，0），
∵点A的坐标为（﹣，﹣），
故点A在直线y＝x上且PA＝2，
∵点P绕点A（﹣，﹣）逆时针旋转45°，
∴P′A∥y轴，
故；
（2）∵点A的坐标为（﹣，﹣），
故点A在直线y＝x上，则点P′A∥y轴，
∵P′A＝PA＝2，
∴点P 的纵坐标均为；
（3）点 B一定在点Q的上方，理由：
根据条件首先求出P'的坐标，
设直线AB的表达式为：y＝kx+b，
将点A、P′的坐标代入上式得：，解得，
从而求出直线AB的函数关系式为：y＝x+﹣，
当x＝m时，y＝，即点B（m，），
当x＝m时，yQ＝﹣m2﹣m+2，即点Q（m，﹣m2﹣m+2），
∴yB﹣yQ＝﹣（﹣m2﹣m+2）＝m2+，
∵m＞0
∴
∴yB＞yQ
∴点 B一定在点Q的上方．
【点睛】本题考查的是函数图象上点的坐标特征，确定AP旋转后和y轴平行是本题解题的关键．
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