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圆锥曲线中的最值与范围问题
【高考真题】
1．(2022·浙江) 如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段
上，直线分别交直线于C，D两点．
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求的最小值．
2．(2022·全国甲理) 设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当
直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
【方法总结】
1．最值问题的常用方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
2．范围问题常用方法
(1)利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的取值范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系．
(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
(4)利用基本不等式求出参数的取值范围．
(5)利用函数的值域求范围问题的关键是建立关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标变量的取值范围．在建立函数的过程中，要根据题目的其他已知条件把要求的量都用已知变量表示出来，同时要注意变量的取值范围．
【题型突破】
1．(2020·新高考全国Ⅱ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M(2,3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为.
(1)求C的方程；
(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值．
2．(2020·浙江)如图，已知椭圆C1：＋y2＝1，抛物线C2：y2＝2px(p＞0)，点A是椭圆C1与抛物线C2
的交点，过点A的直线l交椭圆C1于点B，交抛物线C2于点M(B，M不同于A)．
(1)若p＝，求抛物线C2的焦点坐标；
(2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
3．如图所示，点A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，
且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
4．(2021·全国乙)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小
值为4．
(1)求p的值；
(2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．
5．已知抛物线C1：y2＝4x和C2：x2＝2py(p>0)的焦点分别为F1，F2，点P(－1，－1)且F1F2⊥OP(O为坐
标原点)．
(1)求抛物线C2的方程；
(2)过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，求△PMN面积的最小值．
6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2，以B1，B2为顶点，
F1，F2分别为左、右焦点的椭圆E恰好经过点.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设经过点(－2,0)的直线l与椭圆E交于M，N两点，求△F2MN的面积的最大值．
7．已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的焦距是2，点P为C1上一动点，且满足P与点A1(－a，0)，A2(a，
0)连线斜率之积为－.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)当点P在x轴上方时，过P点作椭圆C1的切线l交抛物线C2：x2＝y于A，B两点，点P关于原点O的对称点为Q.求△QAB面积的最小值．
8．椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．
9．已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且椭圆与直线y＝x－相切．
(1)求椭圆的方程；
(2)过F1作两条互相垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于点P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最小值．
10．已知椭圆方程为＋＝1，若抛物线x2＝2py(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点．
(1)求该抛物线的方程；
(2)过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在点A，B处作抛物线的切线，两条切线交于P点，则△PAB的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线l的方程；若不存在，请说明理由．
11．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，已知直线AB的斜率为，|AB|＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l：x＝my－1与椭圆C交于不同的两点M，N，且点O在以MN为直径的圆外(其中O为坐标原点)，求m的取值范围．
12．(2019·全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．
13．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率是e，定义直线y＝±为椭圆的“类准线”，
已知椭圆C的“类准线”方程为y＝±4，长轴长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)O为坐标原点，A为椭圆C的右顶点，直线l交椭圆C于E，F两不同点(点E，F与点A不重合)，且满足AE⊥AF，若点P满足2＝＋，求直线AP的斜率的取值范围．
14．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0，)，离心率为e＝，记椭圆C的右焦点为F，过点F且
斜率为k的直线交椭圆于P，Q两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M(x0，0)，求x0的取值范围．
15．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，直线x＋y－1＝0被以椭圆C的短轴为直径的圆截
得的弦长为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点M(4,0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ＝|MA|·|MB|，求λ的取值范围．
16．如图，已知M(1，2)为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，过点D(2，－2)的直线与抛物线C交于A，B
两点(A，B两点异于M)，记直线AM，BM的斜率分别为k1，k2.
(1)求k1k2的值；
(2)记△AMD，△BMD的面积分别为S1，S2，当k1∈[1，2]时，求的取值范围．
17．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2为其左、右焦点，B1，B2为其上、下顶点，四边形F1B1F2B2
的面积为2.
(1)求椭圆E的长轴A1A2的最小值，并确定此时椭圆E的方程；
(2)对于(1)中确定的椭圆E，设过定点M(－2，0)的直线l与椭圆E相交于P，Q两点，若＝λ，当λ∈时，求△OPQ的面积S的取值范围．
18．已知A，B是x轴正半轴上两点(A在B的左侧)，且|AB|＝a(a＞0)，过A，B分别作x轴的垂线，与抛
物线y2＝2px(p＞0)在第一象限分别交于D，C两点．
(1)若a＝p，点A与抛物线y2＝2px的焦点重合，求直线CD的斜率；
(2)若O为坐标原点，记△OCD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求的取值范围．
19．已知抛物线C1：x2＝py过点(2，1)，椭圆C2的两个焦点分别为F1，F2，其中F2与抛物线C1的焦点重
合，过F1且与长轴垂直的直线交椭圆C2于A，B两点，且|AB|＝3.
(1)求抛物线C1与椭圆C2的方程；
(2)若曲线C3是以坐标原点为圆心，以|OF1|为半径的圆，动直线l与圆C3相切，且与椭圆C2交于M，N两点，若△OMN的面积为S，求S的取值范围．
20．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P是椭圆C上的一个动点．当
P是C的上顶点时，△F1PF2的面积为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设斜率存在的直线PF2与C的另一个交点为Q，是否存在点T(t，0)，使得|TP|＝|TQ|？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．圆锥曲线中的最值与范围问题
【高考真题】
1．(2022·浙江) 如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段
上，直线分别交直线于C，D两点．
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求的最小值．
1．解析　(1)设是椭圆上任意一点，，则
，
当且仅当时取等号，故的最大值是．
(2)设直线,直线方程与椭圆联立,可得，
设，所以，
因为直线与直线交于C．
则,同理可得,，则
．
当且仅当时取等号，故的最小值为．
2．(2022·全国甲理) 设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当
直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
2．解析　(1)抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时，所以，所以抛物线C的方程为；
(2)设，直线，
由可得，，
由斜率公式可得，，
直线，代入抛物线方程可得，
，所以，同理可得，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，
若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，
设直线，代入抛物线方程可得，
，所以，
所以直线．
【方法总结】
1．最值问题的常用方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
2．范围问题常用方法
(1)利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的取值范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系．
(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
(4)利用基本不等式求出参数的取值范围．
(5)利用函数的值域求范围问题的关键是建立关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标变量的取值范围．在建立函数的过程中，要根据题目的其他已知条件把要求的量都用已知变量表示出来，同时要注意变量的取值范围．
【题型突破】
1．(2020·新高考全国Ⅱ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M(2,3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为.
(1)求C的方程；
(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值．
1．解析　(1)由题意可知直线AM的方程为y－3＝(x－2)，即x－2y＝－4.
当y＝0时，解得x＝－4，所以a＝4.
由椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M(2,3)，
可得＋＝1，解得b2＝12.
所以C的方程为＋＝1.
(2)设与直线AM平行的直线方程为x－2y＝m.
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值．
联立可得3(m＋2y)2＋4y2＝48，化简可得16y2＋12my＋3m2－48＝0，
所以Δ＝144m2－4×16(3m2－48)＝0，即m2＝64，解得m＝±8，
与AM距离比较远的直线方程为x－2y＝8，
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，即d＝＝，
由两点之间的距离公式可得|AM|＝＝3.
所以△AMN的面积的最大值为×3×＝18.
2．(2020·浙江)如图，已知椭圆C1：＋y2＝1，抛物线C2：y2＝2px(p＞0)，点A是椭圆C1与抛物线C2
的交点，过点A的直线l交椭圆C1于点B，交抛物线C2于点M(B，M不同于A)．
(1)若p＝，求抛物线C2的焦点坐标；
(2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
2．解析　(1)由p＝，得抛物线C2的焦点坐标是.
(2)由题意可设直线l：x＝my＋t(m≠0，t≠0)，点A(x0，y0)．
将直线l的方程代入椭圆C1：＋y2＝1，得(m2＋2)y2＋2mty＋t2－2＝0，
所以点M的纵坐标yM＝－.
将直线l的方程代入抛物线C2：y2＝2px，得y2－2pmy－2pt＝0，所以y0yM＝－2pt，解得y0＝，
因此x0＝.
由＋y＝1，得＝4＋2≥160，
当且仅当m＝，t＝时，p取到最大值.
3．如图所示，点A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，
且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
3．解析　(1)由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)，
设点P的坐标是(x，y)，则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)，
∵PA⊥PF，∴·＝0，则
可得2x2＋9x－18＝0，得x＝或x＝－6.
由于y>0，故x＝，于是y＝.
∴点P的坐标是.
(2)由(1)可得直线AP的方程是x－y＋6＝0，点B(6,0)．
设点M的坐标是(m,0)，则点M到直线AP的距离是，于是＝|m－6|，
又－6≤m≤6，解得m＝2.
由椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，
得d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝2＋15，由于－6≤x≤6，
由f(x)＝2＋15的图象可知，
当x＝时，d取最小值，且最小值为.
4．(2021·全国乙)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小
值为4．
(1)求p的值；
(2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．
4．解析　(1)由题意知M(0，－4)，F，圆M的半径r＝1，
所以|MF|－r＝4，即＋4－1＝4，解得p＝2．
(2)由(1)知，抛物线方程为x2＝4y，
由题意可知直线AB的斜率存在，设A，B，直线AB的方程为y＝kx＋b，
联立得消去y得x2－4kx－4b＝0，
则Δ＝16k2＋16b>0　(※)，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝4·．
因为x2＝4y，即y＝，所以y′＝，则抛物线在点A处的切线斜率为，
在点A处的切线方程为y－＝(x－x1)，即y＝x－．
同理得抛物线在点B处的切线方程为y＝x－，
联立得则
即P(2k，－b)．因为点P在圆M上，所以4k2＋(4－b)2＝1　①，
且－1≤2k≤1，－1≤4－b≤1，∴－≤k≤，3≤b≤5，满足(※)式．
设点P到直线AB的距离为d，则d＝，
所以S△PAB＝|AB|·d＝4．
由①得，k2＝＝，
令t＝k2＋b，则t＝，且3≤b≤5．
因为t＝在[3，5]上单调递增，所以当b＝5时，t取得最大值，tmax＝5，此时k＝0，所以△PAB面积的最大值为20．
5．已知抛物线C1：y2＝4x和C2：x2＝2py(p>0)的焦点分别为F1，F2，点P(－1，－1)且F1F2⊥OP(O为坐
标原点)．
(1)求抛物线C2的方程；
(2)过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，求△PMN面积的最小值．
5．解析　(1)∵F1(1,0)，F2，∴＝，
·＝·(－1，－1)＝1－＝0，
∴p＝2，∴抛物线C2的方程为x2＝4y.
(2)设过点O的直线MN的方程为y＝kx(k<0)，
联立得(kx)2＝4x，解得M ，
联立得N(4k,4k2)，
从而|MN|＝＝，
点P到直线MN的距离d＝，
所以S△PMN＝··＝＝＝2，
令t＝k＋(t≤－2)．则S△PMN＝2(t－2)(t＋1)，
当t＝－2，即k＝－1时，S△PMN取得最小值，最小值为8.
即当过原点的直线方程为y＝－x时，
△PMN的面积取得最小值8.
6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2，以B1，B2为顶点，
F1，F2分别为左、右焦点的椭圆E恰好经过点.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设经过点(－2,0)的直线l与椭圆E交于M，N两点，求△F2MN的面积的最大值．
6．解析　(1)由题意得椭圆E的焦点在x轴上．
设椭圆E的标准方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，则b＝c，
∴a2＝b2＋c2＝2b2，∴椭圆E的标准方程为＋＝1.
∵椭圆E经过点，∴＋＝1，解得b2＝1.
∴椭圆E的标准方程为＋y2＝1.
(2)∵点(－2,0)在椭圆E外，∴直线l的斜率存在．
设直线l的斜率为k，则直线l：y＝k(x＋2)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由消去y，得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－2＝0.
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
Δ＝64k4－4(1＋2k2)(8k2－2)>0，解得0≤k2<.
∴|MN|＝|x1－x2|＝2.
∵点F2(1,0)到直线l的距离d＝，
∴△F2MN的面积为S＝|MN|·d＝3.
令1＋2k2＝t，t∈[1,2)，得k2＝.
∴S＝3＝3＝3＝3.
当＝，即t＝时，S有最大值，Smax＝，此时k＝±.
∴△F2MN的面积的最大值是.
7．已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的焦距是2，点P为C1上一动点，且满足P与点A1(－a，0)，A2(a，
0)连线斜率之积为－.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)当点P在x轴上方时，过P点作椭圆C1的切线l交抛物线C2：x2＝y于A，B两点，点P关于原点O的对称点为Q.求△QAB面积的最小值．
7．解析　(1)设P(x0，y0)(x0≠a)，则·＝＝－，即＋＝1，∴2b2＝a2，
且c＝1，∴a2＝2，b2＝1，即椭圆C1的方程为＋y2＝1.
(2)设切线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
又Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＝0，得m2＝2k2＋1.
再由得x2－kx－m＝0，
Δ＝k2＋4m＞0，即m2＋8m－1＞0，即m＞－4＋或m＜－4－，
由题知m＞0，且m2≥1，∴m≥1，
∴|AB|＝|x1－x2|＝·.
点O到直线AB的距离d＝，
∵点Q为点P关于原点的对称点．
∴S△ABQ＝2S△ABO＝|AB|·d＝|m|＝|m|.
显然函数f(m)＝|m|(m≥1)为增函数，∴S△ABQ≥f(1)＝2.
8．椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．
8．解析　(1)设椭圆的半焦距为c，依题意知
∴c＝，b＝1，∴所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
设直线AB的方程为y＝kx＋m.
由已知＝，得m2＝(k2＋1)．
把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理，得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0.
Δ＝36k2m2－4(3k2＋1)(3m2－3)＝36k2－12m2＋12>0.
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2＝(1＋k2)
＝＝
＝3＋＝3＋(k≠0)≤3＋＝4.
当且仅当9k2＝，即k＝±时等号成立．
当k＝0时，|AB|＝，综上所述|AB|max＝2.
∴当|AB|最大时，△AOB的面积取得最大值
S＝×|AB|max×＝.
9．已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且椭圆与直线y＝x－相切．
(1)求椭圆的方程；
(2)过F1作两条互相垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于点P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最小值．
9．解析　(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
因为它与直线y＝x－只有一个公共点，
所以方程组只有一组解，
消去y，整理得(a2＋b2)·x2－2a2x＋3a2－a2b2＝0.
所以Δ＝(－2a2)2－4(a2＋b2)(3a2－a2b2)＝0，
化简得a2＋b2＝3.
又焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，
所以a2－b2＝1，联立上式解得a2＝2，b2＝1.
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)若直线PQ的斜率不存在(或为0)，
则S四边形PMQN＝＝＝2.
若直线PQ的斜率存在，设为k(k≠0)，
则直线MN的斜率为－.
所以直线PQ的方程为y＝kx＋k，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立方程得
化简得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|PQ|＝|x1－x2|＝＝2×，
同理可得|MN|＝2×.
所以S四边形PMQN＝＝4×＝4×＝4×
＝4×＝4×.
因为4k2＋＋10≥2＋10＝18(当且仅当k2＝1时取等号)，
所以∈，所以4×∈.
综上所述，四边形PMQN面积的最小值为.
10．已知椭圆方程为＋＝1，若抛物线x2＝2py(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点．
(1)求该抛物线的方程；
(2)过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在点A，B处作抛物线的切线，两条切线交于P点，则△PAB的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线l的方程；若不存在，请说明理由．
10．解析　(1)由椭圆＋＝1，知a2＝4，b2＝3．
∴c＝＝＝1．
又抛物线x2＝2py(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点．
∴＝1，则p＝2．
于是抛物线的方程为x2＝4y．
(2)由抛物线方程x2＝4y知，F(0，1)．
易知直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝kx＋1．
由消去y并整理，得x2－4kx－4＝0．
且Δ＝(－4k)2－4(－4)＝16k2＋16>0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4．
对y＝求导，得y′＝，∴直线AP的斜率kAP＝．
则直线AP的方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝x－x．
同理得直线BP的方程为y＝x－x．
设点P(x0，y0)，联立直线AP与BP的方程，
得即P(2k，－1)．
|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·＝4(1＋k2)，
点P到直线AB的距离d＝＝2，
所以△PAB的面积S＝×4(1＋k2)×2＝4(1＋k2)≥4，
当且仅当k＝0时等号成立．
故△PAB面积的最小值为4，此时直线l的方程为y＝1．
11．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，已知直线AB的斜率为，|AB|＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l：x＝my－1与椭圆C交于不同的两点M，N，且点O在以MN为直径的圆外(其中O为坐标原点)，求m的取值范围．
11．解析　(1)由已知得A(－a,0)，B(0，b)，
∴可得a2＝4，b2＝1，
则椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由得(m2＋4)y2－2my－3＝0.
Δ＝(2m)2＋12(4＋m2)＝16m2＋48>0，
y1＋y2＝，y1y2＝，
由题意得∠MON为锐角，即·>0，
∴·＝x1x2＋y1y2>0，
又x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝m2y1y2－m(y1＋y2)＋1.
∴x1x2＋y1y2＝(1＋m2)y1y2－m(y1＋y2)＋1＝(1＋m2)·－＋1＝>0，
∴m2<，解得－∴m的取值范围为.
12．(2019·全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．
12．解析　(1)连接PF1(图略)．
由△POF2为等边三角形可知，在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，
于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，
故C的离心率为e＝＝－1.
(2)由题意可知，若满足条件的点P(x，y)存在，则|y|·2c＝16，·＝－1，
即c|y|＝16，①，x2＋y2＝c2，②，又＋＝1.③
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.
又由①知y2＝，故b＝4.
由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，
所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.
当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.
所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．
13．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率是e，定义直线y＝±为椭圆的“类准线”，
已知椭圆C的“类准线”方程为y＝±4，长轴长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)O为坐标原点，A为椭圆C的右顶点，直线l交椭圆C于E，F两不同点(点E，F与点A不重合)，且满足AE⊥AF，若点P满足2＝＋，求直线AP的斜率的取值范围．
13．解析　(1)由题意得＝＝4，2a＝8，a2＝b2＋c2，
联立以上3个式子，可得a2＝16，b2＝12，c2＝4．
所以椭圆C的标准方程为＋＝1．
(2)由(1)得A(4，0)．易知直线l不与x轴平行．
当直线l⊥x轴时，不妨设点E在点F上方．
因为AE⊥AF，所以直线AE的倾斜角为135°，
所以直线AE的方程为y＝－x＋4．
由得7x2－32x＋16＝0，解得x＝或x＝4(舍去)，
所以xE＝xF＝(xE，xF分别为点E，F的横坐标)．
由2＝＋得P，直线AP的斜率为0．
当直线l不垂直于x轴时，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，直线l：y＝kx＋t(t≠－4k，k≠0)．
由消去y并整理，得(3＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－48＝0．
则Δ＝(8kt)2－4(3＋4k2)(4t2－48)>0，即16k2－t2＋12>0，(*)
x1＋x2＝－，x1x2＝．因为AE⊥AF，
所以·＝(x1－4)·(x2－4)＋y1y2＝(x1－4)·(x2－4)＋(kx1＋t)(kx2＋t)
＝(1＋k2)x1x2＋(kt－4)(x1＋x2)＋16＋t2＝＝0，
即7t2＋32kt＋16k2＝0，
所以(7t＋4k)(t＋4k)＝0，解得t＝－且t满足(*)式．
所以2＝＋＝(x1＋x2，y1＋y2)＝，所以P．
则直线AP的斜率kAP＝＝－＝＝．
当k<0时，8k＋≤－2＝－4，此时－≤kAP<0；
当k>0时，8k＋≥2＝4，此时0综上可得，直线AP的斜率的取值范围为．
14．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0，)，离心率为e＝，记椭圆C的右焦点为F，过点F且
斜率为k的直线交椭圆于P，Q两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M(x0，0)，求x0的取值范围．
14．解析　(1)由题意可知解得
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)依题意，F(2，0)，直线PQ的方程为y＝k(x－2)，
联立方程组消去y并整理得(3k2＋1)x2－12k2x＋12k2－6＝0，
Δ＝(－12k2)2－4(12k2－6)(3k2＋1)＝24(k2＋1)＞0，
设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，故x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝，
设PQ的中点为N，则N.
因为线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M(x0，0)，
①当k＝0时，那么x0＝0；
②当k≠0时，kMN·k＝－1，即·k＝－1，解得x0＝＝，
因为k2＞0，所以3＋＞3，0＜＜，即x0∈，
综上，x0的取值范围为.
15．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，直线x＋y－1＝0被以椭圆C的短轴为直径的圆截
得的弦长为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点M(4,0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ＝|MA|·|MB|，求λ的取值范围．
15．解析　(1)因为原点到直线x＋y－1＝0的距离为.
所以2＋2＝b2(b>0)，解得b＝1.
又e2＝＝1－＝，得a＝2.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)当直线l的斜率为0时，λ＝|MA|·|MB|＝12.
当直线l的斜率不为0时，设直线l：x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程得(m2＋4)y2＋8my＋12＝0.
由Δ＝64m2－48(m2＋4)>0，得m2>12，
所以y1y2＝.
λ＝|MA|·|MB|＝|y1|·|y2|＝(m2＋1)·|y1y2|＝＝12.
由m2>12，得0<<，所以<λ<12.
故λ的取值范围是.
16．如图，已知M(1，2)为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，过点D(2，－2)的直线与抛物线C交于A，B
两点(A，B两点异于M)，记直线AM，BM的斜率分别为k1，k2.
(1)求k1k2的值；
(2)记△AMD，△BMD的面积分别为S1，S2，当k1∈[1，2]时，求的取值范围．
16．解析　(1)将点M(1，2)代入抛物线C：y2＝2px得p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x，
设直线AB的方程为x＝m(y＋2)＋2，
代入抛物线C的方程，消去x得y2－4my－8m－8＝0.
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－(8m＋8)，
k1k2＝·＝·＝＝＝－4，
所以k1k2＝－4.
(2)由(1)知k1＝∈[1，2]，所以y1＋2∈[2，4]．
又k2＝，·＝－4，
所以＝＝＝∈[1，4]．
17．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2为其左、右焦点，B1，B2为其上、下顶点，四边形F1B1F2B2
的面积为2.
(1)求椭圆E的长轴A1A2的最小值，并确定此时椭圆E的方程；
(2)对于(1)中确定的椭圆E，设过定点M(－2，0)的直线l与椭圆E相交于P，Q两点，若＝λ，当λ∈时，求△OPQ的面积S的取值范围．
17．解析　(1)依题意四边形F1B1F2B2的面积为2bc，∴2bc＝2，
∵|A1A2|＝2a＝2≥2＝2，
当且仅当b＝c＝1时等号成立，此时a＝，
∴长轴A1A2的最小值为2，
此时椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)依题意，可设直线l：x＝ty－2，联立得得(t2＋2)y2－4ty＋2＝0.由Δ＞0，得t2＞2.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由根与系数的关系得由＝λ，得y1＝λy2，
∴
由得λ＋＋2＝，
∵y＝λ＋＋2在λ∈上单调递减，∴λ＋＋2∈，
∴＜＜，＜t2＜4，满足Δ＞0.
△OPQ的面积S＝S△OMQ－S△OMP＝|OM||y1－y2|＝|y1－y2|＝＝.
设m＝，则m∈，t2＝m2＋2，∴S＝＝，
∵y＝m＋在m∈上单调递减，
∴S关于m单调递增，∴△OPQ的面积S∈.
18．已知A，B是x轴正半轴上两点(A在B的左侧)，且|AB|＝a(a＞0)，过A，B分别作x轴的垂线，与抛
物线y2＝2px(p＞0)在第一象限分别交于D，C两点．
(1)若a＝p，点A与抛物线y2＝2px的焦点重合，求直线CD的斜率；
(2)若O为坐标原点，记△OCD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求的取值范围．
18．解析　(1)由题意知A，则B，D，则C，
又a＝p，所以kCD＝＝－1.
(2)设直线CD的方程为y＝kx＋b(k≠0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由，得ky2－2py＋2pb＝0，
所以Δ＝4p2－8pkb＞0，得kb＜，
又y1＋y2＝，y1y2＝，由y1＋y2＝＞0，y1y2＝＞0，
可知k＞0，b＞0，因为|CD|＝|x1－x2|＝a，
点O到直线CD的距离d＝，
所以S1＝·a·＝ab.
又S2＝(y1＋y2)·|x1－x2|＝··a＝，所以＝，
因为0＜kb＜，所以0＜＜.即的取值范围为.
19．已知抛物线C1：x2＝py过点(2，1)，椭圆C2的两个焦点分别为F1，F2，其中F2与抛物线C1的焦点重
合，过F1且与长轴垂直的直线交椭圆C2于A，B两点，且|AB|＝3.
(1)求抛物线C1与椭圆C2的方程；
(2)若曲线C3是以坐标原点为圆心，以|OF1|为半径的圆，动直线l与圆C3相切，且与椭圆C2交于M，N两点，若△OMN的面积为S，求S的取值范围．
19．解析　(1)由于x2＝py(p>0)过点(2，1)，则4＝p，即C1的方程为x2＝4y，
根据题意可得椭圆焦点坐标F2(0，1)，所以椭圆中c＝1，其焦点也在y轴上．
设C2的方程为＋＝1(a>b>0)，
由得x＝±，|AB|＝＝3，又a2＝b2＋1，解得a＝2，b＝，
所以C2的方程为＋＝1.
(2)由(1)得|OF1|＝1，则C3的方程为x2＋y2＝1.
因为直线l与圆C3相切，所以圆心O到直线l的距离为1，所以S＝|MN|×1＝.
当直线l的斜率不存在时方程为x＝±1，两种情况所得到的△OMN面积相等，
由得y＝±，
不妨设M，N，|MN|＝，此时，S＝×|MN|×1＝；
当直线l的斜率存在时，设其为k，直线l的方程为y＝kx＋m，
所以圆心O到直线的距离为＝1，即m2＝k2＋1，
由得(4＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，
Δ＝36k2m2－4(4＋3k2)(3m2－12)＝48(2k2＋3)>0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1·x2＝，
所以S＝＝·＝·＝
令3k2＋4＝t，则k2＝，t≥4，0<≤，
所以S＝·＝·，
因为y＝－－＋2是关于的二次函数，开口向下，在0<≤时单调递减，所以≤S<.
综上，≤S≤.
20．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P是椭圆C上的一个动点．当
P是C的上顶点时，△F1PF2的面积为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设斜率存在的直线PF2与C的另一个交点为Q，是否存在点T(t，0)，使得|TP|＝|TQ|？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．
20．解析　(1)设椭圆C的半焦距为c．
因为S△F1PF2＝×2c×b＝，所以bc＝．
又e＝＝，a2＝b2＋c2，所以a＝2，b＝，c＝1．
所以椭圆C的标准方程为＋＝1．
(2)假设存在点T(t，0)，使得|TP|＝|TQ|．
由直线PQ过F2(1，0)，设直线PQ的方程为y＝k(x－1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
PQ的中点为N(x0，y0)．
当k＝0时，t＝0，符合题意．
当k≠0时，由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
Δ＝(－8k2)2－4(4k2＋3)(4k2－12)＝144k2＋144>0，x1＋x2＝．
所以x0＝＝，y0＝k(x0－1)＝－，即N．
连接TN，因为|TP|＝|TQ|，所以TN⊥PQ，则kTN·k＝－1(kTN为直线TN的斜率)．
所以·k＝－1，即t＝＝．
因为4＋>4，所以t∈．综上可得，t的取值范围为．

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